Download UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7 Ecuaciones Exponenciales y

República de Panamá
Ministerio de Educación
DIRECCIÓN NACIONAL DE EDUCACIÓN MEDIA PROFESIONAL Y TÉCNICA
Instituto Profesional y Técnico de Veraguas
Tel.: 958-5804
Nombre del Alumno o la Alumna: _____________________________Grupo:10º ______
Sección: Bach Servicio y Gestión Institucional  Bach Industrial Especialidad: _____________________
UNIDAD DE APRENDIZAJE Nº 7
Ecuaciones Exponenciales y
Ecuaciones Logarítmicas
7.0 ÁREA: Álgebra
7.1 OBJETIVOS

Resuelven ecuaciones exponenciales y logarítmicas aplicando las propiedades.

Verifican las respuestas de las ecuaciones con radicales.
7.2 INTRODUCCIÓN: En lo que va del año escolar hemos estudiado las ecuaciones lineales,
cuadráticas, y con radicales o ecuaciones irracionales, pero ahora iniciaremos un breve estudio
de las ecuaciones exponenciales y las ecuaciones logarítmicas, las cuales se clasifican como
ecuaciones trascendentes, es decir, son ecuaciones cuya resolución va más allá del Álgebra.
(Trascienden el Álgebra)
Una ecuación trascendente es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en las que
aparecen una o más incógnitas relacionadas mediante operaciones matemáticas, que no son
únicamente algebraicas, y cuya solución no puede obtenerse empleando solo las herramientas
propias del Álgebra.
Estas ecuaciones sólo pueden resolverse en forma aproximada.
Son
ejemplos de estas ecuaciones: las ecuaciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e
hiperbólicas.
Las soluciones de muchas ecuaciones trascendentes se han obtenido tradicionalmente (antes
de la aparición de los ordenadores o computadoras) por métodos numéricos, aproximando la
solución mediante iteraciones sucesivas.
7.3 ECUACIÓN EXPONENCIAL: es aquella ecuación donde la incógnita se encuentra como
exponente, por ejemplo en: 2 x  8
7.3.1 DEFINICIÓN: decimos que una ecuación es exponencial cuando contiene a la incógnita
en algún exponente.
7.3.2 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
I. Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia:
1) 2 x  1  4 x 
 
Solución: 2 x  1  4 x  2 x  1 2 2
 2 x  1 22x
 2 x  1  2x
 23x  1
2) 2 x  1  8 x 
 
Solución: 2 x  1  8 x  2 x  1 2 3
x
 2 x  1 23x
 2 x  1  3x
 24x  1
3) 3 x  81 
 
Solución: 3 x  81  3 x 34
 3 x  34
 3 x  4
 34  x
4) 32 x  9 
 
Solución: 32 x  9  32 x 32
 32 x  32
 32 x  2  32 x  1
5) 32 x  1  64 x  2 
  2 
Solución: 32 x  1  64 x  2  2 5
x 1
6 x2
 2 5  x  1 2 6  x  2 
 2 5 x  5 2 6 x  12
 2 5 x  5  6 x  12
 211x  7
6) 2 x  16 x  1  128 x  1 
 
Solución: 2 x  16 x  1  128 x  1  2 x  2 4
x 1
 
 27
x 1
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
2
 2 x  2 4  x  1   2 7  x  1
 2 x 24x  4 27x  7
 2 x  4x  4  7x  7
 212 x  3
7) 27 x 2  9 x  2  81x  1 
 
Solución: 27 x  2  9 x  2  81x  1  33
x2
 
 32
x2
 
 34
x 1
 3 3  x  2   3 2  x  2   3 4  x  1
 33 x  6 3 2 x  4 3 4 x  4
 33 x  6  2 x  4  4 x  4
 39 x  2
II. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:
1)
2x  8
Solución: 2 x  23 Se expresa la cantidad en potencia de base 2
x3
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x 3
La solución
Verificación: Para x  3
23  8
2 2 2  8
8 8
 S   x  3
2)
Es la solución de la ecuación exponencial
5 2 x  2  15625
Solución: 5 2 x  2  56 Se expresa la cantidad en potencia de base 5
2 x  2  6 Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
2 x  6  2 Se despeja la variable x
x 2
La solución
Verificación:
Para x  2
5 2 2   2  15625
5 4  2  15625
5 6  15625
15625  15625
 S   x  2
Es la solución de la ecuación exponencial
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3
3) 1024  8  2 x
Sol.: 210  2 3  2 x
Se expresa las cantidades en potencia de base 2
210  2 3  x
Se aplica la propiedad del producto de potencia de igual base
10  3  x
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  10  3
Se despeja la x
x  7
La solución
Verificación: Para x  7
1024  8  2 7
1024  8  128
1024  1024
 S  x  7
4)
Es la solución de la ecuación exponencial
2x 1  8
Sol.: 2 x  1  2 3
Se expresa la cantidad en potencia de base 2
x 1  3
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  3 1
Se despeja la x
x  2
La solución
Verificación: Para x  2
22  1  8
23  8
2 2 2  8
8 8
 S   x  2
5)
Es la solución de la ecuación exponencial
9 x 1  3
 
Sol.: 3 2
x 1
3
Se expresa la cantidad en potencia de base 3
32 x  2  3
Se aplica la propiedad de potencia de potencia
2x  2  1
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
2x  1  2
Se despeja la x
x  
1
2
La solución
Verificación: Para x   12
9
 12  1
3
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4
9
1 2
2
3
1
2
9 3
9 3
33
 S   x   12 
6)
Es la solución de la ecuación exponencial
3 x  1  81
Sol.: 3 x  1  34
Se expresa la cantidad en potencia de base 3
x 1  4
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  4  1
Se despeja la x
x  3
La solución
Verificación: Para x  3
33  1  81
34  81
81  81
 S   x  3  Es la solución de la ecuación exponencial
7)
4x 
1
256
Sol.: 4 x 
1
44
Se expresa la cantidad en potencia de base 4
4 x  4 4
Se aplica la propiedad de potencia negativa
x 4
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  4
La solución
Verificación: Para x   4
1
256
1
4 4 
256
1
1

4
4
256
1
1

256
256
4x 
 S   x   4
8)
Es la solución de la ecuación exponencial
73x  2  1
Solución: 7 3 x  2  7 0
Se expresa la cantidad en potencia de base 7
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5
3x  2  0
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
3x  2
Se despeja la variable x
x 
2
3
La solución
Verificación: Para x 
7
3
 23   2
2
3
1
72  2  1
70  1
1 1
 S   x  23 
9)
Es la solución de la ecuación exponencial
41  3 x  2 x  2
 
Sol.: 2 2
1  3x
 2x  2
Se expresa la cantidad en potencia de base 2
22  6 x  2 x  2
Se aplica la propiedad de potencia de una potencia
2  6x  x  2
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
 6 x  x  2  2
Se despeja la variable x
 7x   4
4
7
x 
La solución
Verificación: Para x 
1 3
4
4
74 
1  12
7
4
4
7
 27
4
2
4
2
 27
7  12
7
5
7
4
1
4
1
2 
2
5
7
5
7
1
2
 S   x  74 
10
7
 2
 2


4  14
7
 10
7
1
10
27
1
10
27

1
10
27
Es la solución de la ecuación exponencial
10) 5x  1  0,2
Sol.: 5 x  1 
1
5
Se expresa la cantidad decimal como una fracción (y se lleva a base 5)
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6
5x  1  5  1
Se aplica la propiedad del exponente negativo de una de potencia
x 1   1
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  1 1
Se despeja la variable x
x  2
La solución
Verificación: Para x   2
5  2  1  0,2
5  1 0,2
1
 0,2
5
0,2  0,2
 S   x   2
Es la solución de la ecuación exponencial
11) 21  x  4 2 x
 
Sol.: 21  x  2 2
2x
Se expresa la cantidad en potencia de base 2
21  x  2 4 x
Se aplica la propiedad de potencia de una potencia
1  x  4x
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
 x  4 x  1
Se despeja la variable x, y por la leyes de los signos en la división
 5x   1
x 
el resultado queda positivo
1
5
La solución
Verificación: Para x  15
1
2
2
1
5
5 1
5
2
2
 4
2
15 
2
 45
 
4
5
 22
4
5
 2
 S   x  15 
2
5
4
5
Es la solución de la ecuación exponencial
12) 3 x  32 x  3  35
Sol.: 3 x  2 x  3  35
Se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias
x  2x  3  5
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
3x  3  5
Se despeja la variable x
3x  5  3
x 
8
3
La solución
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7
Verificación: Para x 
8
3
3  3
8
2   3
3
8
16
3
3
 35
3
33  3 3
8
3
 35
8 16

3
3 3
 35
8  16  9
3
 35
15
3 3  35
35  35
 S   x  83 
Es la solución de la ecuación exponencial
13) 35 x  8  9 x 2
 
Sol.: 35 x  8  32
x2
Se expresa la cantidad en potencia de base 3
35 x  8  32 x  4
Se aplica la propiedad de potencia de una potencia
5x  8  2 x  4
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
5x  2 x  4  8
Se despeja la variable x
3 x  12
x  4
La solución
Verificación: Para x  4
354 8  9 4  2
3208  9 6
312  9 6
3 2 6   9 6
96  96
 S  x  4
Es la solución de la ecuación exponencial
14) 3 x  2  3 x  1  3 x  3 x  1  120
Sol.: 3 x 32  3 x 31  3 x  3 x 3 1  120 Se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias
3 x 32  3 x 31  3 x 

3 x  3 2  31  1 


3x 9  3  1 

3x
 2 3  3  5 Se aplica la propiedad de potencia negativa y descompone
3
1
3
  2  3  5 Se factoriza el primer miembro (el de la izquierda)
3
1
3
  3 2 5
3
Se realiza la operación de fracciones en el primer miembro
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8
 27  9  3  1 
3
3x 
  3 2 5
3



 40 
3x    3  23  5
 3 

3x
40  3  40 Se simplifica o divide por 40 a toda la expresión
3
3x
 3
3
3x  3  3
Se traslada el 3, pasando al otro miembro multiplicando
3 x  32
Se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias
x 2
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x 2
La solución
Verificación: Para x  2
3 2  2  3 2  1  3 2  3 2  1  120
3 4  33  3 2  31  120
81  27  9  3  120
120  120
 S   x  2
Es la solución de la ecuación exponencial
15) 5 2 x  1  3  5 2 x  1  550
Sol.: 5 2 x 51  3  5 2 x 5  1  550 Se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias
5 2 x 51  3 
52 x
 2  5 2  11
5
Se aplica la propiedad de potencia negativa y descompone
3

5 2 x  51    2  5 2  11 Se factoriza el primer miembro (el de la izquierda)
5

3

5 2 x  5    2  5 2  11
5

Se realiza la operación de fracciones en el primer miembro
 25  3 
2
52 x 
  2  11  5
5


 22 
5 2 x    5 2  22 
 5 
52x
22  5 2  22 Se simplifica o divide por 22 a toda la expresión
5
52x
 52
5
52 x  52  5
Se traslada el 5, pasando al otro miembro multiplicando
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
9
5 2 x  53
Se aplica la propiedad de la multiplicación de potencias
2x  3
x 
3
2
La solución
Verificación: Para x 
5
2
 32   1
5
 3 5
31
2
 32   1
 3 5
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
3 1
3
2
 550
 550
5  3  5  550
4
2
5625  3  25  550
625  75  550
550  550
 S   x  32 
Es la solución de la ecuación exponencial
4x 1
16) x  2  128
2
2 
2 x 1
Sol.:
2
x2
 27
Se expresa las cantidades en base 2
2 2  x  1
 27
x2
2
Se aplica la propiedad de potencia de potencia
22x  2
 27
x2
2
Se realiza el producto de los exponentes
2 2 x  2  x  2  27
Se aplica la propiedad de la división de potencias de igual base y
22 x  2 x  2  27
se reducen los términos del exponentes
2 x  27
x 7
A iguales bases se igualan los exponentes y esa es la solución
Verificación: Para x  7
47  1
 128
27  2
48
 27
29
2 
2 8
9
 27
2
216
 27
9
2
27  27
 S   x  7
Es la solución de la ecuación exponencial
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
10
17) 27 x  1 
 
Sol.: 33
x 1
3
9

3
32 Se expresa la cantidad en potencia de base 3
3 3  x  1  3 3
2
2
33 x  3  3 3
3x  3 
3x 
2
3
2
3
3
Se aplica potencia de potencia y se cambia el radical a exponente fraccionario
Se resuelve la multiplicación de los exponentes
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
Se despeja la variable x
29
3
11
3x 
3
3x 
x
11 1 11
La solución
 
3 3 9
Verificación: Para x  119
1

3
9
11 9
9

3
9
27 
3
9
11
27 9
27
2
9
3 
2
9

3
9
3  92

3
9
2  93

3
9
 13
9 
3
9
9
3
9
3
3
3
3
 S   x  119 
Es la solución de la ecuación exponencial
7.3.3 EJEMPLOS PROPUESTOS DE ECUACIONES EXPONENCIALES
PRÁCTICA N°1
I. Transformar cada una de las siguientes expresiones en una sola potencia:
1) 32 x  1  64 x 
2) 3 x  9 
3) 16 x  2  8 2 x  3 
4) 5 2 x  2  253  x  125 x 
5) 2 3 x  16 x  2  256 x  1 
6) 2 x  1  4 2 x 
7) 27  3 x  2 
1

3
1
8) 27 x   
3
2x

 1 
9) 1 28 x  1   
 64 
 2x

II. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y verificar las soluciones obtenidas:
1) 52 x  625
2) 5 x  4  125
3) 7 2 x  4  2401
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
11
4) 3 x  2  3 x  90
7) 2  1  x 
2
5) 3 x  1  729
1
32
8) 3 1  x 
2
6) 2 x  2 x  1  32
1
27
9) 2  1  x 
1
16
10) 2 x  3  2 x  72
11) 3 x  1  3 x  18
12) 5 x  5 x  1  750
13) 2 x  3  8 x  1
14) 25 x  2  5  x  2
15) 4 x  1  2 x  1
16) 3 x  1  3 x  3 x  1   45
17) 3 x  1  3 x  2  3 x  1  12
18) 3 x  2  3 x  1  3 x  21
19) 5 x  5 x  1 
6
25
20) 2 x  2 x  3 
9
4
21) 2 x  3  2 x  2 x  1 
19
4
PRÁCTICA N°2
I. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales y verificar las soluciones obtenidas:
1) 5 x  8  125
3
5)  
5
10  3 x
2) 2 4 x  15  32
25

9
9) 7 2 x  8  2401
7
6)  
4
5x  6
4

7
3) 4 6 x  5  1024
1
7)  
3
2x 1
1
 
3
4) 82 x  7  4096
1 x
 1
8) 6 3 x  11 
1
6
10) 43 x  5  2
Respuestas: 1) x  11 , 2) x  5 , 3) x  53 , 4) x  112 , 5) x  4 , 6) x  1 , 7) x   2 , 8) x   4 ,
9) x  6 , 10) x   32
7.4 ECUACIONES LOGARÍTMICAS
El empleo de los logaritmos es de gran utilidad para entender muchos de los desarrollos que se
analizan en la Matemática, y para explicar una variedad muy extensa de problemas que tienen
que ver con el comportamiento de la naturaleza.
Los logaritmos se definen a partir de la
necesidad de despejar el exponente de una potencia.
7.4.1 DEFINICIÓN DE LOGARÍTMO
 Definición 1: “El logaritmo de un número A, es el
exponente C al que hay que elevar una base B para
obtener el número A”.
Expresado de manera
simbólica: logB A = C
Según la definición, lo anterior significa que si elevamos
la base B al exponente C, obtenemos el número A, esto es: BC = A
Es importante aclarar que lo anterior es cierto siempre y cuando la base B cumpla con ser
positiva y diferente de uno, además el número A debe ser mayor estrictamente que cero.
Tener presente entonces que: B > 0, B ≠ 1 y A > 0
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12
 Definición 2: “Dados dos números reales: a (positivo) y b (positivo y diferente de 1), diremos
que el logaritmo de a en base b es el número real que utilizando como exponente de la base
b nos da el número a.
Es decir: log b a  c
 b c  a con las siguientes condiciones de existencia: a  0, b  0, b  1
Ejemplo de notación logarítmica a notación exponencial:
FORMA LOGARÍTMICA
FORMA EXPONENCIAL
4

1
4
1
log 27

 27 3 
81
3
81
4
log 2 16  4  2  16
1
1
log 3   2  3 2 
9
9
2
2
log 125 25 
 125 3  25
3
log 2 32  5  25  32
log
8
27
3
1

2
3
 8 
  
 27 

1
3

3
2
log 2 8  3  23  8
Ejemplo de notación exponencial a notación logarítmica:
FORMA EXPONENCIAL
FORMA LOGARÍTMICA
1
1
2 3 
 log 2   3
8
8
4
3  81  log 3 81  4
1
2
1
2
3
7  343  log 7 343  3
4  2  log 4 2 
1
1
3
3
5  125  log 5 125  3
8 3  2  log 8 2 
4 5 
1
1024
 log 4
1
5
1024
Existen dos tipos de logaritmos que son los más utilizados:

Logaritmo decimal o logaritmo vulgar o logaritmo de Briggs, este logaritmo tiene por
base el número 10. La forma de referirse a estos logaritmos es escribiendo la palabra log
sin indicar la base.
Por ejemplo: log 100  2 (que significa que el logaritmo en base 10 de 100 es 2) se
sobreentiende que equivale a escribir log 10 100  2 ya que 10 2  100 .
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13

Logaritmo neperiano o logaritmo natural, este logaritmo tiene por base el número e
e  2,718281828
La forma de referirse a estos logaritmos es utilizando la abreviatura ln
sin indicar la base.
7.4.2 PROPIEDADES DE LOS LOGARÍTMOS
Una consecuencia de la definición de logaritmo, son las propiedades que a continuación
enunciaremos. Los logaritmos verifican las siguientes propiedades (siempre que a y b sean
positivos)
1. Logaritmo de un producto (o de la multiplicación): log c a  b  log c a  log c b
a
2. Logaritmo de un cociente (o de la división): log c    log c a  log c b
b
3. Logaritmo de una potencia: log c a b  b  log c a
4. Logaritmo de una raíz: log c b a 
1
 log c a
b
5. Logaritmo de un número igual a la base es uno: log c c  1
6. Logaritmo de uno en cualquiera base es cero: log c 1  0
7. Cambio de base: log c a 
log n a
log n c
8. Logaritmo del recíproco de un número: log c a  1    log c a
9. Otras dos propiedades de los logaritmos son:

El logaritmo de una potencia cuya base es igual a la base del logaritmo es igual al
exponente de la potencia: log c c a   a

La base elevado al logaritmo de un número es igual al número: c log c a  a
Observación: La propiedad de cambio de base nos permite transformar un logaritmo dado
en cierta base en otro logaritmo expresado en una base que nos convenga, por ejemplo:
aquellas que aparecen en las calculadoras (estas tienen base 10).
7.4.3 DEFINICIÓN DE ECUACIÓN LOGARÍTMICA
Una ecuación logarítmica es una ecuación en la que la incógnita se encuentra dentro del
argumento del logaritmo o bien como base del logaritmo.
Ejemplos de ecuaciones logarítmicas:
Log 3 5 x  6  2
16 log
x
2
3
log 4  log x  1  3
log x 4  2
5 log x  log 32  log
x
2
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14
7.4.4 EJEMPLOS RESUELTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
1) log 2 x  8
Sol.: log 2 x  2 3
Se descompone el 8 y se expresa como potencia
log 2 x  2 3 log 2 2
Se aplica la propiedad de logaritmo
log 2 x  log 2 2 2
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
3
log 2 x  log 2 2 8
Se resuelve la potencia
x  28
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x  256
Es la solución
 S   x  256 
Es la solución de la ecuación logarítmica
Sol.: log 2 x  8  x  28
x  256
 S   x  256 
Solución utilizando la definición de logaritmo
Se resuelve la potencia
Es la solución de la ecuación
2) log 3 5 x  6  2
Sol.: log 3 5 x  6  2  3 2  5 x  6
Se aplica la definición de logaritmo
9  5x  6
Se resuelve la potencia
5x  9  6
Se despeja la variable x
5 x  15
Se reduce los términos
x
15
5
x 3
 S   x  3
Se despeja la variable x
Es la solución
Es la solución de la ecuación logarítmica
3) log x 4  2
Sol.: log x 4  2  x 2  4 Se aplica la definición de logaritmo
x 2  4 Se extraen raíces cuadradas a ambos lados de la ecuación
x 2
Es la solución
 S   x  2  Es la solución ya que x   2 es solución extraña
4) log 5 x   1
Sol.: log 5 x   1 
x  5 1
x
 S   x  15 
1
5
Solución utilizando la definición de logaritmo
Se resuelve la potencia
Es la solución de la ecuación logarítmica
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15
5) log 3 log 5 x   1
Sol.: log 5 x  3 1
1
log 5 x 
3
 log 5 x  3 1

x5
1
3
Se aplica la definición de logaritmo
Se vuelve aplicar la definición de logaritmo
x 3 5
Se resuelve la potencia
 S x3 5
Es la solución de la ecuación logarítmica
6) log 5 x  12  log 5 x  2
Sol.: log 5 x  12  log 5 x  2
Se traspone o traslada el término de logaritmo
 x  12 
log 5 
2
 x 
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
x  12
 52
x
Se aplica la definición de logaritmo de un número
x  12  25 x
Se traslada el término y se resuelve la potencia
x  25 x   12
Se despeja la variable x
 24 x   12
x 
1
2
La solución
 S   x  12 
Es la solución de la ecuación logarítmica
7) log 5 125  x  1
Sol.: 5 x1  125
Se aplica la definición de logaritmo
5 x  1  53
Se expresa el término como una potencia
x 1  3
Se aplica la propiedad a iguales bases se igualan los exponentes
x  3  1
Se despeja la x
x  2
La solución
 S   x  2
8) 2 log x  3  log
Es la solución de la ecuación logarítmica
x
10
Sol.: 2 log x  3  log x  log 10
2 log x  log x  3  log 10
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
Se traspasa un logaritmo para el miembro izquierdo
log x 2  log x  log 1000  log 10 Se aplica la propiedad logaritmo de uno es cero
log
x2
1000
 log
x
10
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
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16
x 2 1000

x
10
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x  100
Se simplifica cada término
 S   x  100 
Es la solución de la ecuación logarítmica
9) log x  log x  3  2 log x  1
Sol.: log x x  3  2 log x  1
log x x  3  log x  1
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
x x  3  x  1
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x 2  3x  x 2  2 x  1
Se realiza el producto y la potencia
x 2  3x  x 2  2 x  1
Se reduce términos semejantes
2
2
x 1
 S   x  1
10)
La solución
Es la solución de la ecuación logarítmica
2 log x  2 log x  1  0
Sol.: log x 2  log x  1  0
2
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
log x 2  log x  1  log 1
Se aplica la propiedad logaritmo de uno es cero
x2
log
 log 1
x  1
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
x2
1
x  1
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
2
x 2  1x  1
2
x 2  x 2  2x  1
 2x  1
x 
Se traspone el término
Se realiza la potencia
Se despeja la variable x
1
2
 S   x   12 
11)
Se aplica la propiedad logaritmo de un producto
La solución
Es la solución de la ecuación logarítmica
log 10 x  2  2
Sol.: log 10 x  2  2 log 10 10
Se aplica la propiedad de logaritmo
log 10 x  2  log 10 10 2
Se aplica la propiedad logaritmo de potencia
log 10 x  2  log 10 100
Se resuelve la potencia
x  2  100
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x  100  2
Se traspone el término
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17
x  102
Se despeja la variable x
 S   x  102 
12)
log x  6  log 2x  1  0
Sol.: log x  6  log 2x  1
x  6  2x  1
x 7
 S   x  7
Se despeja la variable x
La solución
Es la solución de la ecuación logarítmica
log x  log 4  2
Sol.: log x  log 4  log 100
log x  4  log 100
4 x  100
x
Se transforma el 2 el logaritmo de base 10
Se aplica la propiedad logaritmo de un producto
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
100
4
Se despeja la variable x
x  25
La solución
 S   x  25
14)
Se traspone los términos
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x  2x   1  6
13)
Es la solución de la ecuación logarítmica
Es la solución de la ecuación logarítmica
log 3 x  2  log 3 x  4  3
Sol.: log 3 x  2  log 3 x  4  log 3 27 Se transforma el 3 en logaritmo de base 3
log 3  x  2x  4  log 3 27
Se aplica logaritmo de un producto
x  6x  4  27
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x 2  2 x  8  27
Se desarrolla el producto
x 2  2 x  35  0
Se despeja la variable x
x  7 x  5
 0
x7  0 ; x  5  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
x 1  7 ; x2   5
Son las soluciones
 S   x  7
15)
Se factoriza el trinomio
Es la solución ya que x   5 es solución extraña
log 3 x  log 3 2  2
Sol.: log 3 x  2  log 3 32 
Se aplica la propiedad de logaritmo de un producto
2 x  32
 
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
2x  9
Se resuelve la potencia
x 
9
2
Es la solución
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18
 S   x  92 
16)
 x 1 
log 3 
 2
 2x  1 
 x 1 
2
Sol.: log 3 
  log 3 3 
2
x

1


Se aplica la propiedad de logaritmo de una potencia
 x 1 
2

 3
2
x

1


Se aplica logaritmo de un producto
x 1
 9
2x  1
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
 
x  1  9 2x  1
Se traspone el término
x  1  18 x  9
Se desarrolla el producto
x  18 x   9  1
 17 x   10
x 
10
17
Se despeja la variable x
Se reduce los términos
Es la solución
10

 S   x  17
17)
Es la solución de la ecuación logarítmica
Es la solución de la ecuación logarítmica
log 2 x  7  log x  1  log 5
 2x  7 
Sol.: log 
  log 5
 x 1 
2x  7
 5
x 1
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
Se elimina logaritmo a ambos lados de la ecuación
2x  7  5 x  1 Se trasponen los términos
2 x  7  5x  5
Se traspone el término
2 x  5x   5  7
Se desarrolla el producto
 3x  2
x  
Se despeja la variable x
2
3
Es la solución
 S   x   23 
18)
Es la solución de la ecuación logarítmica
2 log x  log 10  3x
Sol.: log x 2  log 10  3x 
x 2  10  3x
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x 2  3x  10  0
x  5 x  2
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
 0
x5  0 ; x  2  0
Se resuelve la ecuación cuadrática
Se factoriza el trinomio
Se iguala cada factor a cero y se despeja x
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19
x 1   5 ; x2  2
Son las soluciones
 S   x  2
19)
Es la solución ya que x   5 es solución extraña
log 10 x  log 10 x  15  2
Sol.: log 10 x  log 10 x  15  log 10 100
log 10  x x  15  log 10 100
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x 2  15 x  100
Se desarrolla el producto
Se despeja la variable x
20 x  5  0
Se factoriza el trinomio
x  20  0 ; x  5  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja la variable
x 1   20 ; x2  5
Son las soluciones
 S   x  5
20)
Es la solución ya que x   20 es solución extraña
2 log x  4 log 2  log 2 6
Sol.: log x 2  log 2 4  log 2 6
 x2
log  4
2
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia

  log 2 6

Se aplica logaritmo de un producto
x2
 26
4
2
x2

16
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
Se extraen raíces cuadradas a ambos lados
64
x
8
4
21)
Se aplica logaritmo de un producto
x x  15  100
x 2  15 x  100  0
x 
Se transforma el 2 en logaritmo de base 10
Se despeja la variable x
x  84
Se traspone trinomio
x  32
Es la solución
 S   x  32 
Es la solución de la ecuación logarítmica
5 log x  log 243  4 log
x
3
 x
Sol.: log x 5  log 35  log  
3
log x 5  log 35  log
 x5 
x4
log  5   log 4
3
3 
x4
34
4
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
Se aplica la potenciación
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
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20
22)
x5
x4
 4
35
3
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x5
35

x4
34
Se simplifican los términos
x3
Se despeja la variable x
 S   x  3
Es la solución de la ecuación logarítmica
log 4  2 log x  3  log x
Sol.: log 4  log x  32  log x

log 4  x  3
2
  log x
4  x  3
2
 x

Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
Se aplica la propiedad logaritmo de un producto
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación

4  x 2  6 x  9  x Se resuelve el binomio
4 x 2  24 x  36  x
Se resuelve el producto
4 x 2  25 x  36  0
Se reducen términos semejantes
4 x 2  25 x  36  0
x 
  25 
x 
25 
Se aplica la fórmula general, donde a  4, b  25, c  36
 252  4 436
2 4
Remplazando los valores en la fórmula general
625  576
8
25  49
8
25  7
x
8
25  7 32
x1 

4
8
8
x 
x2 
25  7 18 9


8
8 4
 S   x  4 y x  94 
23)
Se despeja la variable x
Son las soluciones de la ecuación logarítmica
log x  log x  2  log 4 x  1
Sol.: log  x x  2  log 4x 1
Se aplica logaritmo de un producto
x x  2  4x 1
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x 2  2x  4x 1
Se resuelve el producto
x 2  2x  4x  1  0
Se resuelve el producto
x 2  2x  1  0
Se reducen los términos semejantes
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21
x  1x  1
 0
Se factoriza el trinomio
x 1  0 ; x  1  0
Se iguala cada factor a cero y se despeja la variable
x 1  1 ; x2  1
Son las soluciones
 S   x  1
24)
Es la solución de la ecuación logarítmica
3 log x  2 log 2  log x 2  log 2
Sol.: log x 3  log 2 2  log x 2  log 2
log x 3  log 4  log x 2  log 2
 x3 
 x2 
log    log  
 4
 2 
Se aplica la propiedad logaritmo de una potencia
Se aplica la potenciación
Se aplica la propiedad logaritmo de un cociente
x3
x2

22
21
Se eliminan logaritmo a ambos lados de la ecuación
x3
22

x2
21
Se simplifican los términos
x2
Se despeja la variable x
 S   x  2
Es la solución de la ecuación logarítmica
7.4.5 EJEMPLOS PROPUESTOS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS
PRÁCTICA N°3
I. Escriba las siguientes expresiones en forma de exponente, según la definición de logaritmo:
1) log 3 9  2
2) log 10 1  0
3) log 4 64  3
II. Escriba las siguientes expresiones en forma logarítmica, según la definición de logaritmo:
1) 9 3  729
2) 6 3 
1
216
3) 4 5  1024
III. Calcule los siguientes logaritmos, cuando sea posible y verifique la solución que obtenga,
aplicando la definición de logaritmo:
1) log 4 64  x
2) log 2 2  x
3) log 3 19  x
IV. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas, y verifique las soluciones que obtengan:
1) log x 27  3
2) log 1  x  5  2
3) log x  log 17  0
2
4) log 8 3  2 x   0
5) log 5 x  5 log 3 2
6) log 3 x  4
7) log 2  12   x
8) log 3 x  2  2
9) 2 log 4 x   4
10) log x  16  log x  5  2
11)  3 log 3 x 2  8  14
12) log x  log 3  2
13) log 12 (2 x  6)  3  3
14) 2 log x  log x  6  0
15) log x  6  1  log x  3
Material de Álgebra. Elaborado por la Profesora: Xenia Batista ([email protected]) I. P. T. Veraguas, 2014
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