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5. TRIGONOMETRIA
1
Si a es un ángulo agudo y tg a =5, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a 
1
1  tg a
2

sen a  cos a tg a 
1
 cosa 
1  25
1
5 
26
2
5
1
 0,1961;
26
 0,9806.
26
Si a es un ángulo agudo y sen a = 0,2, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a  1  sen 2 a  1  0,04  0,96  0,9798;
tg a 
3
sen a
0,2

 0,2041.
cos a 0,9798
Si a es un ángulo agudo y tg a = 0,4, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos 2 a 
1
1  tg a
2

1
 0,8621  cos a  0,8621  0,9285;
1  0,16
sen a  cos a tg a  0,9285  0,4  0,3714.
4
En un triángulo rectángulo, donde el ángulo recto es A, se sabe que a = 8 m y b = 6m. ¿Cuánto mide c? Calcula las
razones de los ángulos B y C.
Solución:
82  62  c2  c  28  2 7 m
Por el teorema de Pitágoras:
. Por tanto:
6 3
2 7
7
6
3 7
7 3 7
4
4 7
4
senB   , cosB 

, tgB 

, cotgB 

, secB 

, cosecB 
8 4
8
4
7
3
7
7
3
2 7
7
.
senC 
2 7
7
6 3
2 7
7 cotgC  6  3 7 , secC  4 , cosecC  4  4 7

, cosC   , tgC 

,
7
3
7
2 7
7
8
4
8 4
6
3
.
5
Beatriz sujeta una cometa con una cuerda de 42 m. ¿A qué altura se encuentra ésta en el momento en que el cable tenso
forma un ángulo de 52º 17' con el suelo?
Solución:
sen 52º17' 
6
h
 h  42 sen 52º17'  42·0,7910  33,22 m
42
Calcula de manera razonada y exacta sen30º.
Solución:
Tomemos un triángulo equilátero como el de la figura:
AD 
Como
7
AC
2
sen 30º 
AD 1

AC 2
, entonces
.
Calcula el seno, coseno y tangente del ángulo A en el siguiente dibujo:
Solución:
Como A = 90º - B, tenemos que:
16 4
12 3
16 4
senA  cosB 
 , cosA  senB 
 , tgA  cotgB 

20 5
20 5
12 3
.
8
Calcula de manera razonada y exacta sen45º.
Solución:
Tomemos un triángulo rectángulo isósceles como el de la figura:
sen 45º 
Aplicando el teorema de Pitágoras, sabemos que
1
AB  BC 2
BC
1
2


AB
2
2
, por lo que
Si a es un ángulo obtuso y cos a =0,7, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
Como cos a es positivo y a es obtuso, a debe estar en el cuarto cuadrante.
sen a   1  cos 2 a   1  0,49   0,51  0,7141;
tg a 
sen a  0,7141

 1,0202.
cos a
0,7
.
2
Si a es un ángulo del tercer cuadrante y sen a = - 0,9, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
cos a   1  sen 2 a   1  0,81   0,19  0,4359;
tg a 
3
sen a
 0,9

 2,0647.
cos a  0,4359
Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre 0 y 2π radianes se verifica que
1
1
senA  ; cosB  ; tgC  1
2
2
.
Solución:
A  arcsen
1 π
5π
 rad ó
rad .
2 6
6
B  arccos
1 π
5π
 rad ó
rad .
2 3
3
C  arctg( 1) 
4
3π
7π
rad ó
rad .
4
4
Si a es un ángulo del segundo cuadrante y cos a = -0,05, ¿cuánto valen las otras dos razones trigonométricas?
Solución:
sen a  1  cos 2 a  1  0,0025  0,9975  0,9987;
tg a 
sen a 0,9987

 19,9750.
cosa
 0,05
senA  tgA
5
Usa la fórmula que relaciona la tangente de un ángulo con su seno y su coseno para probar que
ángulo A cuya tangente sea positiva.
Solución:
tgA 
Como
6
senA
 senA  cosA·tgA
cosA
, y como
cosA  1
senA  tgA
, entonces
.
Indica si las siguientes afirmaciones con verdaderas o falsas razonando tu respuesta:
senA  cosB  2
a) Es posible que
.
senA  cosB  1
b) No es posible que
.
senA  cosB  3
c) Es imposible que
.
senA  cosB  1
d) Puede ocurrir que
.
senA  cosB  3
e) Jamás sucede que
.
Solución:
a) Verdadero. Por ejemplo para A = 90º y B = 0º.
b) Falso. Por ejemplo para A = B = 0º.
c) Verdadero, porque sen A y cos B están entre -1 y 1.
d) Verdadero. Por ejemplo para A = B = 90º.
e) Verdadero, porque sen A y cos B están entre -1 y 1.
para todo
7
Determina, sin calculadora, para qué ángulos comprendidos entre -2π y 2π se verifica que tg A = 1.
Solución:
A  arctg 1 
8
π
5π
3π
7π
rad ó
rad ó 
rad ó 
rad .
4
4
4
4
Completa la tabla sin utilizar la calculadora. ¿Hay varias soluciones posibles? Calcula posteriormente A, B y C:
A
B
C
sen
3

2
cos
3
2
tg
1
Solución:
A
sen

3
2
B
1

2
1
2
3
2
cos

tg
 3

3
3
C

2
2

2
2
1
A = 210º ó 300º, B = 30º ó 330º, C = 45º ó 225º.