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LOGARITMO
INTRODUCCIÓN
Sean u > 0 , a > 0 y a ≠ 1 , entonces:
log a ( u ) =
x

ax = u
PROPIEDADES
Sean a y b números positivos distintos de 1 , u y v números positivos, p
número real, n número entero distinto de cero y m número natural mayor
que 1 , entonces:
1 ) Logaritmo de la unidad:
log a ( 1 ) = 0
2 ) Logaritmo de la base:
log a ( a ) = 1
3 ) Logaritmo de la potencia de la base:
log a ( a n ) = n
Ejemplo:
log 5 ( 625 ) = log 5 ( 5 4 ) = 4
4 ) Logaritmo del producto:
log a ( u v ) = log a ( u ) + log a ( v )
Ejemplo:
log 2 ( 8 × 4 ) = log 2 ( 8 ) + log 2 ( 4 ) = 3 + 2 = 5
5 ) Logaritmo del cociente:
log a ( u / v ) = log a ( u ) – log a ( v )
Ejemplo:
log 3 ( 9 / 27 ) = log 3 ( 9 ) – log 3 ( 27 ) = 2 – 3 = – 1
6 ) Logaritmo de la potencia:
log a ( u p ) = p log a ( u )
Ejemplo:
log 2 ( 4 3 ) = 3 log 2 ( 4 ) = 3 × 2 = 6
7 ) Logaritmo de la raíz:
Ejemplo:
8 ) Logaritmo del cambio de base:
Ejemplo:
LOGARITMOS COMUNES
A los logaritmos de base 10 , se les denomina logaritmos comunes (
decimales o de Briggs ). Por ejemplo, el logaritmo común de u se simboliza
así:
log ( u )
LOGARITMOS NATURALES
A los logaritmos de base e , se les denomina logaritmos naturales ( o
neperianos , en honor a Napier ). Por ejemplo, el logaritmo natural de u se
simboliza así:
ln ( u )
El logaritmo de un número en una base establecida es el exponente al cual se debe
elevar la base para obtener así el número. Es por lo tanto la función matemática
inversa de la función exponencial. Esta última se conoce como la función real ex
donde e representa en número de Euler. Esta función tiene por dominio de definición
la totalidad de los números reales y tiene la peculiaridad de que su derivada es la
misma función.
Veamos a continuación un logaritmo con base b de un número” a “es el exponente
“c” al que debemos elevar esa misma base para que nos dé el número “a” que ya
nombramos. También se puede observar allí como se denominan las partes que
conforman un logaritmo.
Debemos tener en cuenta que hay derivaciones inmediatas de la definición de
logaritmo. En primer lugar diremos que el logaritmo de 1 es cero, cualquiera sea la
base. En segundo lugar podemos afirmar que el logaritmo de la base es 1. Por ultimo
diremos que solo tienen logaritmos los números positivos. Veamos a continuación la
representación de cada uno de estos casos:
Podemos deducir también que no existe el logaritmo de un número negativo ni de un
número con base negativa, así como tampoco existe el logaritmo de cero.
Algunas de Las propiedades más importantes de los logaritmos son las siguientes:
El logaritmo de un producto es igual que la suma de los logaritmos de los factores. O
sea que:
El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el del divisor,
es decir que es igual a la diferencia de estos:
Otra de las propiedades sería que el logaritmo de una potencia es igual al producto del
exponente multiplicado por el logaritmo de la base:
El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividiéndolo por el índice
de la raíz.
Para cambiar de base el logaritmo en base “a” de un número se puede conseguir a
partir de logaritmos en otra base: