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LICENCIATURA EN AUDIOVISIÓN
Ing. Jorge Petrosino
Parte 5 - Logaritmos
El origen de los logaritmos
El trabajo con logaritmos surge originalmente de intentar encontrar una manera de resolver
más sencillamente la tarea de realizar una gran cantidad de multiplicaciones. El hecho de
que hoy dispongamos de calculadoras y computadoras provoca que no podamos percibir con
claridad la necesidad de encontrar este procedimiento. Nos provoca además una sensación
incómoda, ya que el cálculo con logaritmos estaría proponiendo un método de reemplazar
una gran cantidad de multiplicaciones (algo muy fácil de hacer hoy), por el trabajo con otros
elementos de la matemática tan extraños como son los logaritmos. ¿Dónde podría estar la
ventaja?
Vamos a intentar explicar esto con cierto detalle, ya que los logaritmos tienen más ventajas
que la indicada en el párrafo anterior y una estrecha relación con los decibeles (de gran
importancia en las aplicaciones relacionadas con audio y con video).
Hace varios siglos, existían ciertos problemas prácticos que requerían el cálculo de gran
cantidad de multiplicaciones de números con muchos dígitos. Los matemáticos intentaron
pensar en modos de hacer que este problema resultase más sencillo de resolver. La idea
que comenzó a tener más posibilidades de lograr este objetivo fue la de encontrar una
manera (algún tipo de operación), que transformara todas las multiplicaciones en sumas.
¿Cómo es esto posible? ¿Qué sentido tendría?
Veamos un poco más la idea basándonos en un ejemplo un poco ingenuo y fantasioso, pero
que consideramos que resulta útil para comprender la complejidad del tema.
Solicito ahora un esfuerzo de imaginación cuyo sentido se irá viendo más adelante.
Supongamos que intentamos pensar una transformación matemática como si fuese el
resultado de “observar” un número a través de una lupa. Así, en un posible ejemplo si
utilizamos una “lupa de elevar al cuadrado”, cada vez que miremos el número 3 a través de
la lupa estaremos observando un 9. Si bien parece una tontería tener que pensar en una
función basándonos en esta metáfora, creemos que resultará útil para pensar en relación con
los logaritmos.
Supongamos ahora que alguien encuentra una extraña lupa (que va a ser la “lupa
logarítmica”), tal que cuando observamos un número a través de esta lupa lo que vemos es
otro número distinto. A continuación mostraremos algunos ejemplos de lo que se observaría
mirando a través de esta lupa, y nuestra primer tarea consistirá en intentar expresar con
palabras el tipo de transformación que sufren los números que observamos.
10
1
Si observo el número 10 a través de esta “lupa”, lo que veo es el número 1.
Logaritmos – pág. 36
1000
3
Si observo el número 1000 a través de esta “lupa”, lo que veo es el número 3.
Si tuviéramos que arriesgar una predicción de cómo se comporta esta lupa en base a sólo
estas dos observaciones, ¿qué número se vería a través de la lupa si observásemos el
número 100? ¿Y el número 10000?
Supongamos que probamos observando esta clase de números y parece confirmarse que
cuando los miramos a través de la lupa, lo que se ve es “la cantidad de ceros de ese
número”. Intentaremos extender poco a poco el tipo de cosas que observamos con esta lupa.
¿Qué pasará si observamos con la lupa el producto de 100x1000? ¿Se transformará también
la operación matemática involucrada? Supongamos que lo que vemos es lo siguiente:
1000x100 =100000
3 (?) 2 = 5
Si observo este producto, ¿qué operación puede ir entre el 3 y el 2?
Podríamos decir que esta lupa parece transformar los números (al menos los múltiplos de 10
positivos, que son los que comienzan por 1 y siguen con ceros) en la cantidad de ceros, y el
producto en una suma.
¿Cómo se vería una división? ¿Será una resta?
1000/100 =10
3 (?) 2 = 1
Si observo esta división, ¿qué operación puede ir entre el 3 y el 2?
Logaritmos – pág. 37
Probemos ahora qué sucede cuando observamos números expresados como potencias de
base 10. ¿Qué esperaríamos que suceda cuando observemos el número 102?
Bueno, lo razonable parecería ser que como 102 es igual a100, el resultado de mirar a través
de la lupa fuera 2.
¿Qué observaríamos al mirar el número 107? Supongamos que probamos y efectivamente da
por resultado 7.
107
7
Si observo una potencia de base 10, lo que queda es el exponente.
¿Qué veremos al trabajar con operaciones con potencias?
107.102 = 109
7+2=9
El producto de potencias de igual base, se transforma en la suma de los exponentes.
107/102 = 105
7-2=5
La división de potencias de igual base, se transforma en la resta de los exponentes.
Logaritmos – pág. 38
Para resolver i
¿Qué se verá al observar con esta “lupa” las siguientes expresiones? (El resultado será la
expresión de una operación completa en los dos primeros casos, y será sólo un número en
los últimos tres)
a)
b)
10/10=1
c)
1/100=0.01
d)
e)
106
0.1
10-6
Para resolver ii
¿Qué operación estará escrita bajo esta “lupa” cuando lo que se observa a través de ella es
lo siguiente?
a)
2 - 4 = -2
b)
c)
1
d)
-3
e)
6
6-3=3
En realidad, la lupa está cumpliendo exactamente el mismo tipo de comportamiento que se
observa al aplicar logaritmos decimales (que son los más comunes).
Pueden probar con la calculadora utilizando los resultados anteriores.
Observar con la “lupa” un número, sería equivalente a calcular su logaritmo, mientras que
intentar deducir cuál es el número que hay debajo, si estamos mirando el resultado a través
de la lupa, sería equivalente a obtener el antilogaritmo.
Así, tenemos que
log(100) = 2.
y también tenemos que
antilog (3) = 1000
Con lo visto hasta ahora sólo sabríamos predecir lo que podría suceder con un grupo de
números muy especiales (los múltiplos de 10 positivos). Pronto extenderemos esta idea a
otros números. Preferimos ir de a poco para que la idea que cada lector vaya construyendo
en su mente de lo que son los logaritmos sea la más clara posible.
Para resolver iii
Calcular los siguientes logaritmos, sin utilizar calculadora
- log(10000)
- log(0.001)
- log(107)
- log(10-2)
- log(1)
Para resolver iv
Calcular los siguientes antilogaritmos, sin utilizar calculadora
- antilog(5)
- antilog(1)
- antilog(-3)
- antilog(0)
Logaritmos – pág. 39
Para resolver v
Calcular las siguientes operaciones sin utilizar calculadora
- log(log(10100))
- antilog(antilog(0))
- log(antilog(10))
- antilog(log(100))
Transformación de productos en sumas
Sabemos que en una primera aproximación el logaritmo transforma un número de la forma
10n, en el número n. Pero, ¿transforma también las operaciones?
Recordemos que cuando jugamos con la idea de la lupa, decíamos que
100x10 = 1000 se transforma en
2+1 = 3
Esto es, el 100 se transforma en 2, el 10 en 1, el 1000 en tres, el signo igual se mantiene
como “=”, y el signo de multiplicación se transforma en el de suma.
¿Cómo se expresa esto en un lenguaje más formal?
Se dice que el log(100x10), que significa mirar a través de la lupa todo el lado izquierdo de la
igualdad, es lo mismo que log(100)+log(10). Esto quiere decir que para obtener el resultado
de log(100x10) sería lo mismo calcular el producto de 100x10 y luego obtener su logaritmo,
que calcular el logaritmo de 100, luego calcular el logaritmo de 10, y luego sumar los
resultados.
La siguiente igualdad es válida
log(100x10) = log(100) + log(10)
y escribiéndola en forma general
log(a.b) = log(a) + log(b)
De forma similar, la división se convierte en una resta, con lo cual puede decirse que la
siguiente igualdad es válida
log(100/10) = log(100) - log(10)
y escribiéndola en forma general
log(a/b) = log(a) - log(b)
Para resolver vi
Calcular los siguientes logaritmos obteniendo primero el logaritmo del producto, y luego
obteniendo los logaritmos individuales y sumando el resultado
- a) log(1000x1000)
- b) log(1000/10)
- c) log(10/100)
- d) log(105x100)
Con esto logramos convertir productos en sumas, tal como mencionamos al principio. Pero,
¿qué utilidad podría tener semejante cosa?
Cuando decíamos que en ciertas aplicaciones en el pasado era necesario realizar muchas
multiplicaciones, nos referíamos a multiplicaciones de cualquier tipo de números, y no
solamente a operaciones con múltiplos de 10 positivos, ya que estas multiplicaciones
resultan muy sencillas de realizar. Sin embargo, nos permitirán explicar el tipo de solución
que los logaritmos pretendían brindar.
Supongamos que logremos extender la noción de logaritmos de modo que no sean sólo
múltiplos de 10 positivos, y que alguien se tome el trabajo de calcular los logaritmos de todos
Logaritmos – pág. 40
los números y los escriba en una inmensa tabla. Cómo utilizaríamos esa tabla en caso de
querer multiplicar dos números, pero sólo sumando números y revisando en esa tabla.
x
...
0.1
...
1
...
10
...
log(x)
...
-1
...
0
...
1
...
Lo que queremos es multiplicar el número a por el número b, pero sin utilizar ninguna
multiplicación. Para ello buscamos en la tabla de logaritmos cuánto vale el logaritmo de a que
anotamos aquí como log(a), y también cuánto vale el logaritmo de b, que sería log(b). Luego
sumamos estos dos valores y obtenemos un resultado, que sabemos que tendrá que
coincidir con el log(a.b). Por lo tanto, si buscamos en la tabla del lado derecho (el de los
logaritmos) hasta encontrar un número igual al obtenido como resultado de todo este trabajo,
será que estamos mirando el log(a.b), y si observamos en la columna de la izquierda,
podremos saber cuánto vale a.b.
Con todo este trabajo tan largo de explicar habremos obtenido el resultado de una
multiplicación, sin hacer ninguna multiplicación. Sólo habremos mirado en la tabla, y sumado
algunos números.
Veamos un ejemplo con múltiplos de 10, para que podamos comprender mejor el proceso.
Debe quedar claro que con múltiplos de 10 no tendría sentido, ya que es más fácil hacer la
multiplicación en forma mental que realizar todo este trabajo, pero nos servirá para entender
la lógica de toda la idea.
Supongamos que queremos obtener el producto de 100x1000, y no queremos obtenerlo
mentalmente ni queremos multiplicar (por algún extraño motivo). Podríamos buscar en la
tabla el log(100) obteniendo el valor 2. Luego obtener el log(1000) que da 3. Luego sumar los
resultados, obteniendo un 5. Por último buscaríamos en la tabla para ver a qué número le
corresponde el 5, como resultado de aplicar el logaritmo. En otras palabras buscaríamos el
antilogaritmo de 5. Encontraríamos que da por resultado 100000, que es el resultado de
multiplicar 100x1000, pero que logramos hallarlo sin multiplicar nada, sólo sumando números
y buscando en la tabla.
x
...
100
...
1000
...
100000
...
log(x)
...
2
...
3
...
5
...
5
En el caso de tener una tabla completa con todos los números, podríamos calcular la
multiplicación de dos números cualesquiera obteniendo el logaritmo de cada uno de ellos,
sumando los resultados y luego obteniendo el antilogaritmo de este valor.
¿No es demasiado complicado este procedimiento para pretender reemplazar a un simple
producto entre dos números?
Si que lo es. Desde la perspectiva de nuestra época es casi absurdo. Disponemos de
calculadoras y de computadoras que permiten hacer estas multiplicaciones sin dificultad,
pero para los matemáticos de algunos siglos atrás esto representaba una ventaja
indiscutible. Sólo que era necesario andar siempre con la tabla de logaritmos bajo el brazo,
ya que de otro modo el procedimiento no podía aplicarse.
Logaritmos – pág. 41
Para resolver vii
Obtenga el producto de los siguientes números utilizando la función log y antilog de la
calculadora, pudiendo sumar valores pero sin utilizar la multiplicación
123x412
Logartimos de números que no son múltiplos de 10
Está claro que nuestra primera definición provisional de lo que un logaritmo es (el número de
ceros), sólo tiene sentido cuando estamos trabajando con un múltiplo de 10.
Veamos que sucede ahora si damos más importancia a la ley de que el logaritmo de un
producto se transforma en la suma de los logaritmos, que a esa definición provisional.
Cómo podríamos darle un valor a log(2) de manera que todo lo anterior mantuviera su
coherencia.
Vamos a intentar contar un procedimiento posible para darle un valor a log(2).
Supongamos que alguien propone un valor para log(2), y nos dice que log(2)=k. Donde k
representa algún número que esta persona está proponiendo como válido. ¿Cómo
podríamos darnos cuenta si cumple con las propiedades anteriores?
En primer lugar podríamos intentar ver si cumple con la ley del producto y si es coherente
con los valores de los múltiplos de 10 que ya conocemos.
¿Podrá lograrse que multiplicando 2 por 2 por 2 varias veces, nos aproximemos bastante a
algún número cuyo logaritmo ya conozcamos?
Por suerte sí es posible. El valor 210, que coincide con multiplicar al 2 por sí mismo 10 veces
es igual a 1024, que es bastante parecido a 1000. Y resulta que el valor del logaritmo de
1000 lo conocemos (log(1000)=3).
Veamos esto con más detalle.
log(1024) = log(210) = log(2x2x2x2x2x2x2x2x2x2) =
= log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)+ log(2)=
= 10.log(2) ~ log(1000) (aproximadamente igual a 3)
Si 10.log(2) ~ 3, entonces será que log(2) ~ 0.3
Verifiquen con la calculadora obteniendo el valor de log(2) y verán que da 0.301.
Para resolver viii
Hemos obtenido un valor que no es múltiplo de 10. Busquemos ahora otro más.
Sabiendo que 2x5=10, y conociendo el valor de log(2)=0.3 y el valor de log(10)=1, obtener el
valor de log(5), sin utilizar calculadora.
Con este mismo tipo de procedimientos y con algunas ideas ingeniosas sobre qué tipo de
números poner en juego, es posible ir construyendo una tabla de logaritmos. Para nuestros
intereses nos alcanza con conocer estos dos nuevos logaritmos.
Cálculo de algunos logaritmos sin utilizar calculadora
Sabiendo que log(2)=0.3, y que log(5)=0.7, es posible obtener una gran cantidad de
logaritmos de muchos otos números sin necesidad de utilizar calculadoras.
Vamos a ver el procedimiento con un ejemplo.
Supongamos que alguien nos pide calcular el log(400) sin utilizar calculadora, pero pudiendo
conocer los valores de log(2), de log(5) y de cualquier múltiplo de 10, en caso de
necesitarlos.
Logaritmos – pág. 42
Lo primero que haremos será intentar expresar el número 400 como un producto de términos
que tengan el número 2, el número 10 (y si fuera necesario el número 5)
Podemos decir que 400 es igual a 2x2x100. Y resulta que el logaritmo de todo este producto
puede transformarse en la suma de los logaritmos, y que cada uno de esos logaritmos por
separado los conocemos, con lo cual queda que:
log(400) = log(2x2x100) = log(2)+log(2)+log(100) = 0.3+0.3+2 = 2.6
Comprueben este valor obteniendo log(400) con calculadora. Notarán que la diferencia
obtenida es muy pequeña. Esto se debe a que supusimos que log(2)=0.3 en lugar de agregar
más decimales (0.301). Para todos los fines prácticos relacionados con electrónica, con
audio y con video, el valor de 0.3 se considera una muy buena aproximación para el
logaritmo de 2.
Otro ejemplo:
¿Qué habríamos hecho para calcular el valor de log(0.5)?
Podríamos haber elegido dos caminos.
Primer camino
log(0.5) = log(5x0.1) = log(5) + log(0.1) = 0.7 - 1 = -0.3
Segundo camino
log(0.5) = log(1/2) = log(1) - log(2) = 0 - 0.3 = -0.3
Ambos son igualmente válidos.
Un ejemplo más y pasaremos a resolver algunos ejercicios.
Obtengamos el logaritmo de 0.08, sin calculadora.
Este será igual a
log(0.08) = log(2x2x2x0.01) = log(2) + log(2) + log(2) + log(0.01) = 0.3+0.3+0.3+(-2) = -1.1
Para resolver ix
Obtengan los logaritmos de los siguientes números sin utilizar calculadora. Sólo vale tener en
cuenta el logaritmo de 2, el de 5 y el de los múltiplos de 10.
-
a) log(80)
b) log(500)
c) log(250)
d) log(0.25)
e) log(0.0005)
f) log (0.4)
Del mismo modo para obtener el antilogaritmo de un número deberemos intentar expresar
dicho número como sumas o restas de 1, 0.3 y 0.7, cuyos antilogaritmos ya conocemos.
Por ejemplo, el antilogaritmo de 3.6 deberá ser igual a
antilog(3.6) = antilog(3 + 0.3 + 0.3) = antilog(3)xantilog(0.3)xantilog(0.3) = 1000x2x2 = 4000
Para resolver x
Obtengan los antilogarimtos de los siguientes números sin utilizar calculadora. Sólo vale
tener en cuenta los antilogaritmos de 0.3, de 0.7 y de cualquier valor entero (que da por
resultado un múltiplo de 10).
-
a) antilog(1.4)
b) log(0.6)
c) log(-0.6)
d) log(2.9)
e) log(-3.6)
f) log (-1.7)
Logaritmos – pág. 43
Propiedades de logaritmos en relación con la potenciación
Vimos ya que el logaritmo de un producto se transformaba en la suma de los logaritmos.
Como sabemos que la potenciación fue definida en un primer momento como un producto
que se repite varias veces, podemos intentar ver si existe algún tipo de propiedad al trabajar
con potencias.
Sabemos que (103)2 =103x2 = 106. Por lo cual el logaritmo puede heredar esta propiedad. De
modo que la operación de obtener la potencia de una potencia se transforma en un producto.
(103)2 = 106
3x2=6
La potencia de otra potencia, se transforma en el producto entre exponentes.
¿Podríamos decir que lo que los logaritmos logran es “bajar” las potencias?
Notemos que ya vimos que:
log(107) = 7
log(103x2) = 3x2
Valdrá esta afirmación para cualquier número elevado a cualquier potencia. Si vale, pero con
un pequeño agregado.
Veamos lo que sucede si queremos analizar lo que sucede con
23 = 8
Sabemos que:
log(23) = log(2x2x2) = log(2)+log(2)+log(2)
y esto último es igual a “3 veces el logaritmo de 2”.
Con lo que tenemos que
log(23) = 3.log(2)
Esto es, logramos ver que “baja” el exponente, aunque mantiene además el logaritmo del
número que estaba siendo elevado a ese exponente.
¿Por qué no lo notamos antes? Porque estabamos trabajando con múltiplos de 10, y en este
caso se da una particularidad, como mostramos a continuación
log(103) = 3.log(10)
pero como log(10) = 1, entonces queda
log(103) = 3
De este modo la propiedad general para los logaritmos respecto de las potencias será:
log(ak) = k.log(a)
Logaritmos – pág. 44
Algunas advertencias importantes
Con los logaritmos sucede algo que también sucedía con la radicación. El cálculo de algunos
logaritmos resulta imposible dentro del conjunto de los números reales. Esto es, el logaritmo
no es ley de composición interna en el conjunto de los reales (aunque si lo es en el conjunto
de los números complejos).
¿En qué casos es imposible calcular el logaritmo dentro de los números reales?
No existe ningún valor real que se corresponda con el log(0), ni tampoco con el log(-10). El
logaritmo sólo puede calcularse para los reales positivos (el cero tampoco puede calcularse),
para obtener un resultado real.
Sin embargo sí existe el antilogaritmo de 0 y el antilogaritmo de –10.
¿Cómo podemos pensar esto con un poco más de detalle?
Notemos que el log(1) es igual a cero. El logaritmo de los números mayores que 1 da un
resultado positivo (log(2)=0.3, log(5)=0.7, log(10000)=4, log(200000)=5.3, etc.).
El logaritmo de los números mayores que cero pero menores que uno cubre a todos los
negativos. Así log(1/2)=-0.3, log(1/5)=-0.7, log(0.01)=-2, log(0.000001)=-6, etc.).
Al imaginar un número extremadamente pequeño (muy cercano a cero, pero positivo),
obtendremos al calcular el logaritmo un número negativo grande. El logaritmo de cero coma
novecientos noventa y nueve ceros y un uno será igual a –1000.
Recomendamos entonces hacer un esfuerzo por diferenciar el caso de un número escrito
que va a ser mirado a través de la lupa de los logaritmos, del caso en que estemos viendo el
resultado en la lupa y debamos intentar deducir cuál es el número escrito debajo.
De este modo
- log(0) no existe entre los números reales
- log(-2) no existe entre los números reales
- antilog(0) = 1
- antilog(-2) = 0.01
- antilog(-0.3) = 0.5
Otra aclaración importante surge de considerar el modo en que el logaritmo transforma las
operaciones.
log(a+b) no puede expresarse de otro modo que no sea ese
log(a.b) = log(a)+log(b)
log(ab) = b.log(a)
antilog(a+b) = antilog(a).antilog(b)
antilog(a.b) no tiene un modo sencillo de ser simplificado dentro de lo que hemos visto.
antilog(ab) no tiene un modo sencillo de ser simplificado dentro de lo que hemos visto.
Para resolver xi
Resolver los siguientes logaritmos en forma aproximada sin utilizar calculadora (log(2)=0.3,
log(5)=0.7)
-
a) log(1010)
b) log(105)
c) log(2x103)
d) log(25)
e) log(510)
f) log(210)
Logaritmos – pág. 45
Para resolver xii
Hallar los siguientes logaritmos, aplicando sus propiedades (sin calcular las raíces).
-
3 2
2
b) log 14 5 
a) log
Importancia de los logaritmos para el despeje de ecuaciones
Cuando analizamos el tema de la potenciación y la radicación, vimos que éramos capaces de
despejar una ecuación que tuviese el siguiente formato:
y = x5
Lo único que había que hacer era aplicar raíz quinta a ambos miembros de la ecuación.
Sin embargo, con lo que sabíamos en ese momento nos habría resultado imposible despejar
la x de la siguiente ecuación
y = 5x
Con lo que hemos estudiado de logaritmos podemos ahora despejar a la X aún cuando esté
en un exponente.
El truco consistirá en aplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación recién indicada,
obteniendo una nueva igualdad:
log(y) = log(5x)
Pero como sabemos que el logaritmo permite “bajar” las potencias tendremos que
log(y) = log(5x) = x. log(5)
Y ahora que la x está en el nivel correcto, sólo nos resta comenzar a despejar como antes.
Vemos que log(5) está multiplicando a la x, con lo que deberemos dividir ambos miembros
por x, de modo que podamos simplificar del lado derecho.
(log(y)/log(5)) = x
Para resolver xiii
Despejar la x de las siguientes ecuaciones:
-
= 3a + (b(3x+5))/2
(3x+5) 2
b) y = 8 + (b
)
(x+2) (1/2)
c) y = (3.a
)
d) y = 3.log(x)
e) y = 3.antilog(x)
f ) y = 4.b + (a.log(x))5
a) y
Logaritmos – pág. 46
Otra forma de escribir el antilogaritmo
Si observamos algunas calculadoras científicas podremos notar que encima de la tecla log(x)
se encuentra escrito 10x, lo cual resulta curioso, ya que es común que lo que está escrito
encima de una tecla determinada, en la mayoría de las calculadoras, sea su función inversa.
¿Será 10x lo mismo que antilog(x)?
Sí, es lo mismo. Podemos verlo con los siguientes ejemplos.
Está claro que la función inversa será la que devuelve el valor original. Así que si trabajamos
con potencias de 10 notaremos que
log(105) = 5
y por lo tanto
antilog(5) = 105
En general será que
antilog(k) = 10k
Así, que lo que parece que estamos haciendo al calcular el antilogaritmo de k, es elevar 10 a
la potencia k.
¿Qué pasará cuando obtenemos el antilogaritmo de un valor que no es entero?
Por ejemplo, si queremos calcular el antilogaritmo de 0.3, ¿será igual a 10 0.3?
Sí, antilog(0.3) = 100.3.
Por otro lado, sabemos que log(2) es aproximadamente igual a 0.3. Por lo tanto el
antilog(0.3) será aproximadamente igual a 2
¿Querrá decir esto entonces que 100.3 ~ 2?
Efectivamente es cierto que 100.3 ~ 2
De este modo estamos contando con dos soluciones equivalentes para muchos
antilogaritmos que calculemos sin calculadora. Así, si nos preguntan cuál es el antilogaritmo
de 0.7, podremos decir que es aproximadamente igual a 5, y también que es igual a 10 0.7.
El uso de la palabra “aproximadamente” se refiere a que log(2) no es exactamente 0.3 sino
0.301 y más decimales. Algo similar ocurre con el log(5). Sin embargo, antilog(0.3) sí es
exactamente igual a 100.3.
Por estos motivos, muchas calculadoras ofrecen la posibilidad de calcular 10 x, y esto no es
otra cosa que calcular el antilogaritmo.
Muchos de los ejercicios anteriores podrían haberse escrito de forma más resumida si
hubiésemos conocido previamente esta relación.
Por otra parte, sabiendo que log(antilog(a))=a, y que antilog(log(a))=a, podremos decir ahora
que sabemos que:
log(10a) = a
y que
10(log(a)) = a
Logaritmos – pág. 47
Logaritmos con bases distintas de 10
En las calculadoras científicas aparece también otro tipo de logaritmos (normalmente
indicado con una tecla que dice LN, por logaritmo natural). El logaritmo natural es un
logaritmo que utiliza una base distinta a 10.
¿Qué quiere decir que un logaritmo utiliza una base distinta? ¿Cuando se utilizan estos otros
logaritmos?
En realidad dependen mucho de la aplicación. En ciencias relacionadas con la informática y
con la teoría de las comunicaciones suelen utilizarse logaritmos en base 2. En las ciencias
naturales es común que las cosas se expresen utilizando logaritmos naturales (en base a un
número irracional que se llama “número e”, y que vale 2.718). En las disciplinas relacionadas
con la electrónica es común el uso de logaritmos decimales como los que discutimos en este
apunte.
El por qué las ciencias naturales prefieren un logaritmo con una base tan extraña queda
fuera de los objetivos de este apunte. Pero de todas maneras nos interesa que capten la idea
general de lo que puede significar utilizar logaritmos con una base distinta a 10.
Recordemos los puntos principales de la argumentación del comienzo de este apunte.
Suponíamos haber encontrado una “lupa” en la que si observábamos un número múltiplo de
10, nos daba como resultado la cantidad de ceros de dicho número. Pero resulta que la
cantidad de ceros no es otra cosa, que la cantidad de veces que multiplico a 10 por sí mismo.
De este modo:
log(107) = 7
y
antilog(7) = 107
También:
log(10) = 1
y
antilog(1) = 10
Supongamos que volvemos a contar dicha historia imaginando una lupa que lo que nos
indica es la cantidad de veces que multiplicamos al número 2 por sí mismo.
Tendríamos entonces que:
log2( 23) = 3
y que:
antilog2(3) = 23
También sabríamos que:
log2( 2) = 1
y que:
antilog2(1) = 2
Así los matemáticos pudieron construir todo un edificio nuevo tomando como base de los
logaritmos al número 2. Para marcar la diferencia se escribe log2. Cuando no se escribe
ningún número debajo del log suele asumirse que se está utilizando logaritmos en base 10,
aunque en algunas aplicaciones (o en algunos textos) puede suceder que digan solo log sin
aclaraciones y estén queriendo referirse a una base diferente. En dicho caso, el texto o la
aplicación aclaran en algún lugar a qué base se están refiriendo.
Para eliminar malas interpretaciones algunas veces se aclara que se está trabajando con
logaritmos en base 10, escribiendo log10, pero en la mayoría de los casos la aclaración no se
utiliza.
Para aclarar el uso del logaritmo utilizado en ciencias naturales debería escribirse loge (esto
es, logaritmo en base “e”). Sin embargo por cuestiones de tradición histórica, se le cambia el
símbolo a los logaritmos de esta base y suele escribirse como una L y una N.
Así:
ln( e3) = 3
y:
ln(e) = 1
Logaritmos – pág. 48
Operaciones de cambio de base de un logaritmo
Si quiero saber cuánto valdría log2(16), y sólo tengo una calculadora que permite calcular los
logaritmos decimales, puedo aplicar la siguiente relación:
x = log2(16)
Esto quiere decir que
2x = 16
aplicamos logaritmo decimal a esta ecuación
log10(2x) = log10(16)
Por otra parte, aplicando propiedades de logaritmos sabemos que
log10(2x) = x.log10(2) = log10(16)
Si reemplazamos x, que es igual a log2(16), tenemos que:
log2(16).log10(2) = log10(16)
Despejando ahora lo que está en negrita (que es lo que no podíamos calcular) tenemos:
log2(16) = log10(16) / log10(2)
De aquí sale una fórmula general para el cambio de base de los logaritmos
logm(a) = log10(a) / log10(m)
Para resolver xiv
Obtener el valor de los siguientes logaritmos (puede utilizarse el cálculo del logaritmo decimal
de las calculadoras científicas para obtener el resultado).
-
a) log2(10)
b) log2(5)
c) log2(1544)
------- 0 --------
Logaritmos – pág. 49
SOLUCIONES
i
-
Los resultados son:
a) 10/10 = 1 se transforma en 1-1 = 0
b) 1/100 = 0.01 se transforma en 0-2 = -2
c) 0.1 se transforma en –1
d) 106 se transforma en 6
e) 10-6 se transforma en –6
ii
-
Las soluciones son:
a) 2 - 4 = -2 se transforma en 100/10000 = 0.01
b) 1 se transforma en 10
c) -3 se transforma en 0.001
d) 6 se transforma en 1000000 (un millón)
e) 6 - 3 = 3 se transforma en 1000000/1000=1000
iii
Los resultados son
a) log(10000) = 4
b) log(0.001) = -3
c) log(107) = 7
d) log(10-2) = -2
e) log(1) = 0
iv
Los resultados son
a) antilog(5) = 100000 (o lo que es lo mismo 105)
b) antilog(1) = 10
c) antilog(-3) = 0.001
d) antilog(0) = 1
v
-
Los resultados son
a) log(log(10100)) = log(100) = 2
b) antilog(antilog(0)) = antilog(1) = 10
c) log(antilog(10)) = log(1010) = 10
d) antilog(log(100)) = antilog(2) = 100
vi
-
Los resultados son
a1) log(1000x1000)=log(1000000) = 6
a2) log(1000) + log(1000) = 3+3 = 6
b1) log(1000/10) = log(100) = 2
b2) log(1000) - log(10) = 3 - 1 = 2
c1) log(10/100) = log(0.1) = -1
c2) log(10/100) = log(10) - log(100) = 1 - 2 = -1
d1) log(105x100) = log (107) = 7
d2) log(105x100) = log(105) + log(100) = 5 + 2 = 3
vii
Para obtener el valor calculamos log(123) = 2.0899051, luego calculamos el valor de
log(412) = 2.6148972, sumamos el resultado y obtenemos 4.7048023, luego aplicamos el
antilogaritmo de este valor y el resultado es 50675.997
Si calculamos directamente el producto obtenemos 50676. En los cálculos históricos en que
se necesitaba este tipo de operaciones esta diferencia no se consideraba tan importante. Era
el precio a pagar para poder realizar multiplicaciones complicadas de un modo rápido.
viii
Si 2x5=10, entonces log(2x5)=log(10). De aquí sabemos que log(2)+log(5)=log(10).
Como conocemos log(2) y log(10), pero no conocemos log(5), lo despejamos como si fuera
una variable desconocida.
Obtenemos entonces que log(5)=log(10)-log(2). Esto es: log(5) = 1 - 0.3 = 0.7
Obtengan ahora con calculadora log(5) y verán que es muy cercano al valor que obtuvimos.
Logaritmos – pág. 50
ix
Los resultados son
a) log(80) = log(2x2x2x10) = 0.3+0.3+0.3+1 = 1.9
b) log(500) = log(5x100) = log(5)+log(100) = 0.7+2 = 2.7
c) log(250) = log(5x100/2) = log(5) + log(100) - log(2) = 0.7+2 - 0.3 =2.4
d) log(0.25) = log(5 x 0.1 / 2) = log(5) + log(0.1) - log(2) = 0.7-1-0.3 = -0.6
e) log(0.0005) = log(5x0.0001) = log(5) + log(0.0001) = 0.7 + (-4) = -3.3
f) log (0.4) = log(2x2x0.1) = log(2) + log(2) + log(0.1) = 0.3 + 0.3 + (-1) = - 0.4
x
-
Los resultados posibles son (hay más de un modo de llegar al resultado):
a) antilog(1.4) = antilog(0.7+0.7) = antilog(0.7)+antilog(0.7) = 5x5 = 25
b) log(0.6) = antilog(0.3+0.3) = antilog(0.3)xantilog(0.3) = 2x2 = 4
c) log(-0.6) = antilog(- 0.3 - 0.3) = antilog(–0.3)+antilog(–0.3)=(1/2).(1/2) = 1/4
d) log(2.9) = antilog(2+0.3+0.3+0.3) = 100x2x2x2 = 800
e) log(-3.6)=antilog(-3-0.3-0.3)=(antilog(-3)/antilog(0.6))/antilog(0.6)=(0.001/2)/2=0.00025
f) log (-1.7) = antilog(-1-0.7) = antilog(-1)/antilog(0.7) = 0.1/5 = 0.02
xi
-
Los resultados son:
a) log(1010) = 10.log(10) = 10
b) log(105) = 5.log(10) = 5
c) log(2x103) = log(2)+3.log(10) = 0.3 + 3.log(10) = 0.3 + 3 = 3.3
d) log(25) = 5.log(2) = 5x0.3 = 1.5
e) log(510) = 10.log(5) = 7
f) log(210) = 10.log(2) = 3
xii
Los resultados son:
log
3 2 = (1/3)xlog(2) = (1/3)x0.3 = 0.1
14 52
 = (2/14)xlog(5) = (2/14)x0.7 = (2x0.7)/14 = 1.4/14 = 0.1
log 
xiii
-
Las respuestas son:
a) y = 3a + (b(3x+5))/2
((y – 3a).2) = b(3x+5)
log((y – 3a).2) = log(b(3x+5)) = (3x+5).log(b)
log((y – 3a).2))/log(b) = (3x+5)
[log((y – 3a).2))/log(b)] - 5= 3x
 log  y  3 a  2

 5

log ( b )


3
-
b) y
=
x
= 8 + (b(3x+5))2
(y – 8) = (b(3x+5))2
(y – 8)(1/2) = b(3x+5)
log((y – 8)(1/2)) = (3x+5). log(b)
[log((y – 8)(1/2))]/log(b) = (3x+5)
Logaritmos – pág. 51
1 
 
 

2
 log y  8  
 log( b)
5


=
3
-
x
c) y = (3.a(x+2))(1/2)
y = (3.a(x+2))(1/2) => y2 = 3.a(x+2)
(y2)/3 = a(x+2)
log((y2)/3) = log(a(x+2)) = (x+2).log(a)
[log((y2)/3)]/log(a) = x+2
 y2 
log
 3 
log ( a)
-
2
=
x
d) y = 3.log(x)
y = 3.log(x) => y/3 = log(x)
10(y/3) = x
-
e) y = 3.antilog(x)
y = 3.antilog(x) => y/3 = antilog(x)
log(y/3) = x
-
f ) y = 4.b + (a.log(x))5
y = 4.b + (a.log(x))5
(y - 4.b) = (a.log(x))5
(y - 4.b)(1/5) = a.log(x)
[(y - 4.b)(1/5)]/a = log(x)
1
( y 4 b )
10
xiv
-
a
Los resultados son
a) log2(10) = log(10) / log(2)  1 / 0.3
b) log2(5) = log(5) / log(2)  0.7 / 0.3
c) log2(1544) = log(1544) / log(2) = 10,592
5
=
x