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EJERCICIOS OPCIONALES DEL TEMA 2. CAMPO GRAVITATORIO
Pg 67. Ej 10. Explica por qué decimos que la fuerza y la energía potencial
no son magnitudes características exclusivas del campo gravitatorio.
Como podemos comprobar en las ecuaciones que definen la fuerza
gravitatoria y la energía potencial, ambas magnitudes dependen también
de la masa testigo (m) colocada en el campo gravitatorio.
Pg 71. Ej 14. Determina la gravedad para una altura igual al radio
terrestre.
En la superficie de la tierra:
=m·g0 (1)
Cuando la altura es igual al radio terrestre, r = RT+RT=2RT, por lo que
r2=4RT2 :
=m·g (2)
Podemos trabajar despejando G·M que, en el caso de la expresión (1), da
g0·RT2 y, en el caso de la expresión 2, da g·4RT2. Así:
Por lo que g·4RT2=g0·RT2. Así, g = g0/4=9,8/4=2,45 m/s2.
Pg 73. Ej 19. Razona si es correcta la proposición siguiente “Para dos
planetas de igual masa, la velocidad de escape es mayor en el que tiene
la densidad más baja”.
Teniendo en cuenta la expresión de la velocidad de escape
Y la definición de densidad 
Si despejamos r, puesto que la masa es la misma, al disminuir la densidad
aumenta r. Dado que r se encuentra en el denominador de la expresión
ve, la proposición es falsa y lo que ocurre es que la velocidad de escape es
menor para el que tiene la densidad más baja.
Pg 77. Ej 23. Razona si es correcta la proposición siguiente “En una órbita
elíptica, el momento lineal del satélite es mayor en el apogeo que en el
perigeo”.
Es falsa. En el apogeo, el satélite está en el punto más alejado del planeta,
por lo que su velocidad es mínima (al contrario que en el perigeo, que es
el punto donde el satélite está más cerca del planeta y en el que se da la
velocidad máxima) y, por lo tanto, también lo es su momento lineal
(p = m·v).
Pg 77. Ej 25. Calcula el momento angular de un satélite de 2200 kg de
masa que gira en órbita circular en torno a Venus con una frecuencia de
4 vueltas por día, si la masa de Venus es MV = 4,87·1024 kg.
Datos:
m= 2200 kg
f= 4 vueltas/día  T = 1/f = 0,25 días = 21600 s
Mv = 4,87·1024 kg
Necesitamos calcular el momento angular utilizando la ecuación L = m·R·v.
De esta ecuación sólo conocemos la masa del cuerpo, por lo que tenemos
que hallar R y v.
- R se puede hallar teniendo en cuenta la definición de velocidad
orbital y que nos encontramos ante un MRU:
- Igualando las dos expresiones, despejamos R:
Y obtenemos un valor de R = 1,57·107m,
- v se puede hallar fácilmente a partir de cualquiera de las ecuaciones
del apartado anterior: vorb = 4544 m/s
Pg 81. Ej 31. Calcula el radio orbital de un satélite cuyo período sea la
mitad del período de rotación de la Tierra.
Podemos utilizar la 3ª Ley de Kepler, que relaciona los períodos con los
radios, teniendo en cuenta que T1 es el período del satélite (que tiene
como valor la mitad del período de la tierra) y que T2 es el período de la
Tierra: T1 = TT/2 T2=TT
Así:
ACTIVIDADES DEL FINAL DEL TEMA
11. Datos:
R=RT/2
M = MT
- Para el apartado a, sabiendo la definición de campo gravitatorio, la
podemos aplicar teniendo en cuenta que la masa se mantiene
constante y el radio se reduce a la mitad:
Teniendo en cuenta que G·MT/RT2=g0 (gravedad en la superficie de
la tierra), obtenemos g’=4g0. Por tanto, el valor del campo
gravitatorio aumentaría 4 veces (resultado que tiene sentido,
puesto que la distancia al centro de la Tierra sería menor).
Para calcular la velocidad de escape aplicamos la condición que se
debe cumplir cuando un satélite escapa del campo gravitatorio:
Em = 0  Ec = Ep

15. Datos:
v0 =vA= 4000 m/s
g0 = 9,8 m/s2
RT = 6370·103 m
Para saber hasta qué altura podrá llegar el proyectil, realizamos un
balance de energía entre los puntos A (superficie de la Tierra) y B
(altura hasta la que llega). Como está dentro del campo gravitatorio,
se cumple que Ep(A) + Ec(A) = Ep(B) + Ec(B).
En el momento que el cuerpo alcanza la altura máxima, se cumple
que Ec = 0 (recordad que para la máxima altura, la velocidad vale 0,
puesto que es justo el momento en el que el proyectil se detiene y,
un instante después, comienza a caer). Por tanto, se cumple que:
De esta igualdad se puede eliminar la masa del proyectil m, por lo
que
nos
queda:
Recordando que G·MT/RT2 = g0, podemos despejar G·MT=g0·RT2, por
lo que obtenemos:
Sacando como factor común RT + h, operamos hasta despejar h y
obtenemos h = 9,36·105 m.
17. Datos:
Mp = 1,2·1023 kg
Rp = 1,3·106 m
hmáx = Rp/2
Puesto que el proyectil está sometido al campo gravitatorio (que es una
fuerza conservativa), hacemos un balance d energía mecánica entre la
superficie de la Tierra y la altura máxima del proyectil:
Ep(A) + Ec(A) = Ep(B) + Ec(B).
En el momento que el cuerpo alcanza la altura máxima, se cumple que Ec
= 0 (recordad que para la máxima altura, la velocidad vale 0, puesto que es
justo el momento en el que el proyectil se detiene y, un instante después,
comienza a caer). Por tanto, se cumple que:
De esta igualdad se puede eliminar la masa del proyectil m, por lo que nos
queda:
Sacando factor común, operamos y despejamos vA, que es la velocidad
inicial: vA = 2026 m/s.
21. Datos:
m = 10000 kg
v = 4200 m/s
- Para calcular el radio de la órbita sólo hay que tener en cuenta que
el satélite está sometido a una fuerza centrípeta, que es la de
atracción gravitatoria. Por tanto, se cumple que Fg = Fc = m·ac
De aquí despejamos R = 22611 km.
- Para calcular el tiempo que tarda en dar 10 vueltas, podemos
calcular en primer lugar el período (tiempo que tarda en dar una
vuelta):
T = 2··R/v = 33826,65 m/s
En dar 10 vueltas tardará 10T = 338266,5 s = 3,92 días
- Finalmente, para calcular la energía potencial gravitatoria del
satélite aplicamos la ecuación de la energía potencial:
26. Datos:
m= 500 kg
T =42,47 h
R = 419000 km = 419000000 m = 1,49·108 m
- Para el primer apartado hay que calcular la fuerza gravitatoria Fg
que actúa sobre el satélite. Como sabemos que el satélite describe
una órbita circular por estar sometido a una fuerza centrípeta (que
es la fuerza de atracción gravitatoria): v = 2··R/T = 17219 m/s.
Fg=Fc=m·ac = m·v2/R = 353,81 N
- El segundo apartado pide los valores de energías cinética, potencial
y mecánica:
Por lo que Em = Ec + Ep = -7,41·1010 J
- En la órbita circular se cumple la relación Ep = -2·Ec. Si el satélite
duplica su velocidad, Ep’ = Ep (porque Ep es independiente de la
velocidad), pero Ec’ = 4·Ec. Así las cosas, si el satélite duplicara la
velocidad, se cumpliría que Em’ = Ec’ + Ep’ = 4·Ec – 2·Ec = 2·Ec >0.
Cuando se alcanza Em’ > 0, como se ha superado la barrera Em’ = 0,
el satélite ya no está ligado al planeta, por lo que se alejará de él
indefinidamente.