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III. Números en forma decimal
13. Expresión decimal de fracciones
Todo número racional puede escribirse en forma decimal periódica.
Para pasar un número racional de forma fraccionaria a forma decimal basta
dividir el numerador entre el denominador.
Entero
Decimal exacto
Decimal periódico puro
Decimal periódico mixto
48
8
6
25
 3,125
8

32
 10,66....  10,6
3

75
 2,0833....  2,083
36
Dos fracciones pueden compararse conociendo su expresión decimal:


3
2
3 2
porque
y
0,75  0,6
 0,75

 0.6
3
4 3
4
45 Escribe estas fracciones en forma decimal e indica de qué tipo es cada una:
a)
7
=
3
d)
39
=
22
g)
59
=
10
b)
16
=
15
e)
75
=
3
h)
14
=
12
c)
5
=
4
f)
3
=
11
i)
35
=
8
46 Pasa a forma decimal las fracciones
5
8
49
,
y
, y di cuál de ellas es la
3
20
2
mayor.
47 Completa:
a) Con un decimal exacto. 1,7 < ___ < 1,8
b) Con un decimal periódico puro: 2,63 < ___ < 2,73
c) Con un decimal periódico mixto:
1
3
< __ <
5
5
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14. Expresión fraccionaria de decimales
Todo número decimal periódico puede escribirse en forma fraccionaria.
Si llamamos
entonces:
x
al
número
decimal
. Decimal exacto: -31,2  x 
. Decimal periódico: x 
donde
cuya
forma
fraccionaria
queremos
hallar,
312 156

10
5
EAP  EA
9... 90... 0
E
parte entera
A
anteperiodo
P
periodo
9...9
tantos 9 como cifras, tiene el periodo
0...0
tantos 0 como cifras, tiene el anteperiodo
Ejemplos:
Decimal periódico puro:
9,6363...: {E = 9; P = 63}  x 
963  6 954 106


99
99
11
Decimal periódico mixto:
3,12444...: {E = 3; A = 12; P = 4}  x 
3124  312 2812 703


900
900 225
48 Escribe en forma de fracción irreducible los siguientes números decimales:
a)
b)
c)
d)
5,4 =
7,26 =
0,317 =
10,333...=
e)
f)
g)
h)
15. Operaciones
decimales
0,483483... =
6,4242... =
9,1888... =
2,36999... =
i)
j)
k)
l)
combinadas
3,507171... =
-6,5 =
-17,444... =
-2,8555... =
con
fracciones
y
Sugerencias: Ten en cuenta que, al operar, todos los números deben expresarse en
la misma forma, y que los números decimales periódicos debes pasarlos a forma de
fracción.
49 Realiza las siguientes operaciones.
2
2
3
 10 
 0,7   =
b)   0,1 :
5
4
 3 
7 5
2
a) 0,52    0,8  =
4 2
3
c) 1,5 :

9 7 5
     0,8 =
2 3 8
2
2
4 7
  3
e)    0,25    =
3 4
  2
d)
  7 2
1 1

 3,5     =
2 2,7
4 5
2
4
1
 1
f) 0,4   5    0,3 :  0,2 =
2
5
4

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IV. Números reales
16. Clasificación de los números
Números naturales N = {1, 2, 3, ...}
Números enteros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Números racionales Q
Exactos
Periódico puro
Periódico mixto
Racionales
Números reales R
Irracionales
50 Clasifica los siguientes números reales:
a)
b)
45 15

24 8
39
72
c)
125
65
d) 
414
18
e)
852
28
f)
370
200
51 Clasifica los siguientes números reales:
a)
35
12
b) 10,384384...
c)
10
d) -6,32444...
e) 4,212112111...
f) 3,25468
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17. Expresión aproximada de números reales
Los números con muchas cifras decimales se manejan con menos cifras para
trabajar mejor con ellos. Al hacerlo estamos tomando un valor aproximado del
número dado. Y, por consiguiente, arrastramos un error, llamado error de
aproximación.
Error de aproximación = Verdadero valor – valor aproximado
Ejemplo:
5 = 2,23606...
Nº de cifras decimales de aproximación
Por defecto
2
2,2
2,23
2,236
2,2360
...
0
1
2
3
4
...
5
Aproximaciones de
Por exceso
3
2,3
2,24
2,237
2,2361
...
Error de aproximación menor que:
Por redondeo
2
2,2
2,24
2,236
2,2361
...
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
...
52 Escribe las aproximaciones por exceso, por defecto y por redondeo, así como
el error de los siguientes números cuando se eligen 3 y 4 cifras decimales:
11 = 3,3166247...
Aproximación
3 cifras
4 cifras
Por defecto
Por exceso
53 Escribe dos valores aproximados del número
Por redondeo
Error
11 con error de aproximación:
a) Menor que una centésima.
b) Menor que una milésima.
54 Si quieres tomar 55/14 con tres cifras decimales, cometiendo el menor error
posible, debes tomar.
a) 3,928
b) 3,929
c) 3,930
55 Escribe algún número que tenga por aproximación a alguno de los siguientes:
a) 5,42 es aproximación de 5,418
c) 12,315
b) 3,7 es aproximación de:
d) 0,1825
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18. Operaciones con nos reales en forma decimal
Las operaciones con números reales se realizan siempre con los valores
aproximados respectivos. Ahora bien, como todo valor aproximado es un número
racional, las operaciones y jerarquía con números reales son las mismas que con
números racionales.
Ejemplo: Sean
5 = 2,23606... y
cuatro cifras decimales tenemos
Por exceso
Por defecto
Error = exceso - defecto
7
= 2,645751..., si los aproximamos con
5
7
2,2361
2,2360
0,0001
2,6458
2,6457
0,0001
5 7
5 7
4,8819
4,8817
0,0002
5,9163
5,9157
0,0006
56 Completar la tabla siguiente (con cuatro cifras decimales):
3
4
3
3
4 3
3
4 3
Por exceso
Por defecto
Por error
57 Si quieres conocer la superficie de una piscina rectangular de lados 43 m y
32 7 m, con un error menor que una décima, ¿cuántos decimales debes tomar de
7 ? ¿Cuál es el resultado por redondeo? (Sugerencia: aproxima
7 con 2,6;
2,64; 2,645; ... y compara, en cada caso, el resultado de la superficie con el
que daría tomando
7 .)
58 Si quieres conocer la superficie de una pista circular de atletismo de radio
208 metros con un error menor que una décima, ¿cuántos decimales de  debes
tomar? Aproxima por redondeo el valor de dicha superficie.
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19. Ordenación de números reales
a < b (a menor que b)  b – a es positivo
a, b  R
* Si a y b son decimales:
1,45 < 2,68 porque 2,68 – 1,45 = 1,23 > 0
-2,68 < -1,45 porque –1,45 – (-2,68) = 1,23 > 0
4,1532... < 4,1576... comparando las cifras de igual orden de izquierda a
derecha:
4 = 4, 1 = 1, 5 = 5, 3 < 7
* Si a y b no son decimales, hay que pasarlos a forma decimal:
21
21
7 = 2,6457...
= 2,625 y
 7 porque
8
8
59 Escribe < o >, según corresponda, entre cada una de las siguientes parejas
de números:
a) 0,64

5
15
d)
3
e)
21
3
b)
119
26

32
7
c)
19
4

5
9

f) 5,36
2,24
g)

63
70
h)

483
90
3
2
1,5


67
15
6
5
60 Completa con un:
a) Decimal exacto: 3,25 < ___ < 3,26
b) Periódico puro. 1,437 < ___ < 1,438
c) Periódico mixto: 0,18923 < ___ < 0,18924
d) Decimal exacto:
3
16
< ___ <
23
4
e) Irracional: 5,1724 < ___ < 5,1725
f) Número fraccionario:
5
4
< ___ <
9
9
61 Escribe en orden creciente:
8
,
3
10 ,
0
, 2 3 16 , 2 ,
7
3,6 ,
33
22
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20. Representación de números en la recta
Representación geométrica
de fracciones
Representación geométrica de raíces
d2 = (2)2 + 12 = 2 + 1
d2 = 3 ; d = 3
1
d= 3
0
2
1
2
3
1
0
1
2
7
9
3
,
,
5
5
5
2
5
62 Representa en la recta los siguientes números:  ,
63 Dibuja en la recta real los números 
15
,
9
3
5,
3
14
,
10
7
7
,
aproximándolos
6
6
con un decimal.
64 Halla el valor de d en los siguientes casos y represéntalo en la recta real:
a)
c)
d
0
d
1
1
2
0
b)
1
1
3
1
d)
d
d
2
2
0
1
2
0
65
Descompón
26
en
suma
correspondiente al número
66
Descompón
41
en
dos
cuadrados
para
representar
el
punto
el
punto
26 en la recta real. Represéntalo.
suma
correspondiente al número
de
3
1
de
dos
cuadrados
para
representar
41 en la recta real. Represéntalo.
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21. Intervalos y semirrectas
(2,5)
[2,5]
5
2
[2,5)
2
Intervalo abierto
5
Intervalo cerrado
2  x  5
2 < x < 5
(-,2)
2
5
Intervalo semiabierto
por la derecha
2  x < 5
(3,+)
2
(2,5]
(-,2]
Semirrectas abiertas
5
2 < x  5
[3,+)
2
3
2
Intervalo semiabierto
por la izquierda
3
Semirrectas cerradas
x < 2
x > 3
x  2
x  3
67 Representa en la recta real los intervalos:
a) (-3, -2]
b) [0, 4]
c) [-2, 0)
d) [4, 8]
e) [3, 6)
f) (2, 7)
68 Representa los intervalos:
a) I = (-1, 3]
b) J = [1, 5]
c) Halla el intervalo común a los intervalos anteriores y represéntalo.
69 Representa en la recta real las siguientes semirrectas (utiliza la misma
recta en cada apartado):
a) (-, 2] y (6, +)
b) (-, -3) y (-3/2, +)
c) (-, 0] y [-2, +)
d) ¿Tienen algún punto común las semirrectas de los apartados anteriores?
Represéntalos.
70 Indica si los números dados pertenecen o no a los intervalos y semirrectas:
(-, 1]
-2
2
5

 3,6
4
10
7
3
[2, 5]
(1, 4)
[4, +)
[-3, 1)
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22. Notación científica
El número 2 345 000 000 000 en notación científica se escribe así: 2,345·1012
Orden de magnitud
2 345 000 000 000 = 2,345 · 1012
parte decimal
Número
2 279 000 000
0,000025
Notación científica
2,279·109
2,5·10-5
parte potencial
Cifras significativas
2,279
2,5
Orden de magnitud
9
-5
71 Escribe en notación científica los siguientes números e indica su orden de
magnitud:
a) 29 348 000 000
b) 11 015 millones de pesetas
c) 0,00000000132
d) 3,0000000045
72 Escribe en forma decimal los siguientes números:
a) 7,21 · 108
b) 2,631 · 106
c) 8,81 · 10-7
d) 4,908 · 10-5
73 Realiza las siguientes operaciones y escribe:
a) 2,31·105 · 6,23·107
b) 5,05·10-6 · 1,22·108