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UNIDAD 01 11/12/07 12:09 Página 6
unidad 1
contenidos
1. Números naturales y enteros
2. Números racionales.
Potencias
3. Relaciones entre los números
racionales y decimales
4. Números irracionales
5. Números reales.
Representación
6. Conjuntos en la recta real
7. Aproximaciones decimales
8. Redondeos y truncamientos
9. Errores
10. Notación científica y orden
de magnitud
11. Radicales
12. Operaciones con radicales
13. Racionalización
de denominadores
Números reales
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 7
7
Las Matemáticas que desarrollaron los griegos nos muestran que
ya conocían los números naturales y fraccionarios. Fueron los primeros en descubrir los números irracionales, es decir, números
que no pueden ser expresados a través de una fracción, al comparar la diagonal y el lado de un pentágono regular o la diagonal y el lado de un cuadrado.
Uno de estos números irracionales es la razón que existe entre la
diagonal y el lado de un pentágono regular. Este número dio
nombre al rectángulo áureo, llamado así porque la razón entre
sus lados es el número de oro. Para los antiguos griegos este rectángulo representaba la armonía, por eso, lo utilizaron en sus
obras escultóricas y arquitectónicas. La fachada del Partenón es
un rectángulo áureo perfecto a la vez que otros muchos elementos del edificio.
Este conocimiento de los números por parte de los griegos no fue
superado hasta veinticuatro siglos más tarde. Los matemáticos G.
Cantor (1845-1918), R. Dedekind (1831-1916), K. Weierstrass
(1815-1897) y B. Bolzano (1781-1848) fueron los que culminaron
la obra, que duró medio siglo de investigaciones, sobre los números reales.
Los conceptos de intervalo y entorno asociados a los números
reales, así como una operación muy peculiar que crearon —denominada paso al límite—, consolidó y otorgó rigor al conjunto
de conceptos y métodos infinitesimales que conforman la parte
de las Matemáticas conocida como cálculo diferencial e integral.
cuestiones iniciales
1. Encuentra varios números que estén comprendidos entre los que se indican:
2
3
a) y ;
5
5
b) 2,1 y 2,2;
c) 2,01 y 2,1.
2. Utilizando solamente las teclas de las operaciones elementales de tu
3
calculadora, describe un procedimiento que te permita calcular 10
.
3. Ordena de menor a mayor los siguientes números:
5,31; –4,21; 5,201; –4,201; 5,2101; –4,2101; 4,211; 4,201.
4. Elevando ambos miembros al cuadrado comprueba la igualdad:
– 3
22
= 6 – 2
n
5. ¿Para qué valores de n y a se cumple a X ?
Y
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Unidad 1
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1. Números naturales y enteros
Leopold Kronecker (1823-1891)
Los números naturales surgen, de forma espontánea, ante la necesidad que tiene el hombre de contar todo cuanto le rodea.
• El conjunto de los números naturales se representa por y sus elementos son:
= {0, 1, 2, 3, 4, ...}
Existen numerosas situaciones en las que los números naturales son insuficientes para resolverlas, como:
• la cronología antes y después de Jesucristo.
• las temperaturas sobre y bajo cero.
• las soluciones de ecuaciones como: x + 3 = 1
debido a esto surgen los números enteros.
Fue un gran matemático alemán que
estudió la Teoría de Números. Pronunció la siguiente frase: «El buen
Dios creó los números naturales, todo
lo demás es obra del hombre».
• El conjunto de los números enteros se representa por y está formado por los números naturales (enteros positivos y cero) y por los números enteros negativos.
= – {0} + = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}
Los números enteros se representan sobre una recta horizontal en la cual fijamos el origen, que designamos 0, y a partir de este colocamos sucesivamente
un segmento, que tomamos como unidad, a la derecha del cero dando lugar a
los enteros positivos y a la izquierda del cero dando lugar a los enteros negativos:
...
–3
–2
–1
0
1
2
3
...
Utilizamos la representación gráfica para comparar números enteros.
• Un número entero a es menor que otro número entero b cuando en
la representación gráfica a está situado a la izquierda de b. Se escribe:
Valor absoluto de un número
entero
La definición de valor absoluto, simbólicamente, se puede escribir:
|a| =





a si
a≥0
–a si
a<0
a < b
a
b
• Un número entero b es mayor que otro número entero a cuando en
la representación gráfica b está situado a la derecha de a. Se escribe:
b > a
a
b
Un concepto asociado a los números enteros es el de valor absoluto, que es el
número natural que resulta de suprimir el signo + ó – que precede al número
entero.
Y
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Números reales
9
2. Números racionales. Potencias
Los números enteros también son insuficientes para resolver muchas situaciones como por ejemplo:
5x = 3
Debido a esto surgen los números racionales.
• El conjunto de los números racionales se representa por y está formado por:
a
= a, b y b ≠ 0
b
Representación de números
racionales
2
• Representamos
5
Los números racionales se representan sobre una recta horizontal de forma
análoga a los números enteros, dividiendo cada unidad en tantas partes como
indica el denominador, como se muestra en el margen.
Al igual que en los números enteros utilizamos la representación gráfica para
comparar números racionales siguiendo el mismo criterio que en aquellos.
0
El concepto de potencia de base un número racional y exponente natural es
el mismo que el de base un número entero y exponente natural ya conocido:
4
( )
=
2
2
5
Potencias de números racionales
2
5
1
• Representamos
7
3
4
2 2 2 2
2·2·2·2
·
·
·
=
= 24
5 5 5 5
5·5·5·5
5
• La potencia de base un número racional, a , y exponente entero se deb
fine por:
a
b
n
a
b
0
( )
( )
( ) ( )
• Si el exponente es entero positivo:
• Si el exponente es cero:
a
b
• Si el exponente es entero negativo:
n
a
bn
=
0
1
2
3
4
7
3
=1
–n
n
b
a
=
n
= bn
a
Estas potencias tienen las mismas propiedades que las potencias de base un
número entero.
1
1)
( )
3)
( ) ( ) ( )
5)
[( ) ( )] ( ) ( )
a
b
a
b
=
n
:
a
b
a
b
a
c
·
b
d
m
=
n
a
b
a
=
b
c
·
d
m
n+m
( ) ( ) ( )
4)
[( ) ] ( )
6)
[( ) ( )] ( ) ( )
n–m
n
n
2)
n
a
b
a
b
·
a
b
n m
=
c
a
:
d
b
a
b
=
a
b
n
n·m
a
=
b
n
c
:
d
n
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 10
Unidad 1
10
3. Relaciones entre los números
racionales y decimales
Conversión de racional a decimal
Cualquier número racional se puede escribir como un número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto sin más que dividir numerador entre denominador.
•
131 20 = 22 · 5
= 6,55
20 d. exacto
•
514 257 9 = 32
= 28,5
=
18
9 d. p. puro
•
68 55 = 5 · 11
272
= 1,236
=
220
55 d. p. mixto
[
]
]
]
(
[
(
[
Como recordarás del curso pasado, entre los números racionales y decimales
existe una estrecha relación.
• Un número racional m (m y n primos entre sí) se convierte en:
n
• decimal exacto si los únicos factores primos que tiene el denominador
son 2 ó 5.
• decimal periódico puro si entre los factores primos del denominador
no se encuentra ni el 2 ni el 5.
• decimal periódico mixto si entre los factores primos del denominador
se encuentra el 2 ó el 5.
Conversión de decimal a racional
• 6,55 =
(
• 28,5 =
655 131
=
100
20
De todo lo anterior deducimos la siguiente propiedad:
285 – 28 257
=
9
9
(
• 1,236 =
Análogamente, cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico
mixto se puede expresar como un número racional, como puedes ver en el
margen.
• El conjunto de los números racionales equivale al conjunto formado por
los decimales exactos, los periódicos puros y los periódicos mixtos.
68
1 236 – 12
=
990
55
decimales
decimales
= decimales periódicos periódicos
exactos puros
mixtos
ACTIVIDADES
RESUELTAS
1. En una determinada ciudad se han contabilizado al final del año 4 250 vehículos, de los cuales una parte han sido
adquiridos durante ese año. De los no adquiridos durante ese año el 54,545454...% son coches y el 10,2777...%
motocicletas. ¿Cuántos vehículos se adquirieron ese año?
Convertimos los decimales dados en fracciones:
(
•
54,545454...
100
=
54,54
100
=
5 454 – 54
9 900
=
6
11
•
10,27
100
=
1 027 – 102
9 000
=
37
360
Por tanto, el número de vehículos no adquiridos ese año ha de ser múltiplo de 11 y de 360 y menor de 4 250. El número más
pequeño que lo verifica es mcm (11,360) = 3 960, con lo que ese año se adquieron 4 250 – 3 960 = 290 vehículos.
Y
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Números reales
11
4. Números irracionales
Las relaciones que hemos descubierto entre los números racionales y decimales nos aseguran que los números racionales coinciden con los decimales exactos y decimales periódicos. Sin embargo, existen números decimales con infinitas cifras decimales y que no son periódicos, como, por ejemplo:
• 2,010010001…
Godefroy Harold Hardy
(1877-1947)
• 427,232233222333…
A estos números los llamamos irracionales.
• El conjunto de los números irracionales, , está formado por aquellos
números que, cuando los expresamos en forma decimal, aparecen infinitas cifras decimales pero no son periódicos. Los números irracionales,
por tanto, no se pueden expresar en forma de fracción.
Algunos de los números irracionales más conocidos o más importantes son:
• El número p. Es el primer número irracional que manejamos.
π = 3,14159265...
• El número 2
que aparece al calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1.
Matemático inglés, recoge en su
libro Autojustificación de un matemático dos famosos teoremas de la
matemática griega clásica. El primero de ellos afirma que existen infinitos números primos y el segundo
afirma que 2 es irracional.
A
2 = 1,41421356...
3
También son irracionales 3, 5, 7, 2, etc.
• El número de oro F (número áureo) que aparece como razón entre la diagonal de un pentágono regular y su lado.
1 + 5
F = = 1,61803398…
2
B
C
Φ=
AC
AB
Y
Este número aparece como razón entre los lados del «rectángulo áureo».
Para los antiguos griegos este rectángulo representaba «la armonía».
( )
1
y= 1+—
x
• El número e aparece en múltiples procesos biológicos, químicos, físicos, etc.
Es el número al que tiende la función que figura en el margen cuando x tiende a + ∞ ó – ∞.
x
e
+1
e = 2,71828182845904...
–1
0
X
Y
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Unidad 1
12
5. Números reales. Representación
El conjunto de los números racionales junto con los irracionales forma el conjunto de los números reales, y se denotan por la letra mayúscula .
números
números
= racionales
q irracionales
=q
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
Enteros Enteros positivos Cero 0
+
Enteros negativos Racionales Reales Decimales
Naturales –
Decimales exactos
Decimales periódicos
Irracionales En los epígrafes anteriores hemos representado sobre la recta los números naturales, enteros y racionales. Los puntos de la recta que no están ocupados por
números racionales son ocupados por los números irracionales hasta llenar todos los huecos.
• Los números reales llenan por completo la recta, de ahí que la llamemos
recta real.
• Dado un origen y una unidad, a cada punto de la recta le corresponde un
número real, y a cada número real le corresponde un punto de la recta.
Representación
Ya sabemos representar en la recta números naturales, enteros y racionales. Nos
quedarían por representar los números irracionales. Vamos a representar, solamente, los números irracionales de la forma √n con n natural.
Estos números se pueden representar en la recta real mediante procedimientos geométricos que se basan en el teorema de Pitágoras, como puedes ver a
continuación.
2
3
5
0
1
1
2
Φ = 1+ 5
2
3
4
–1
0
1
2
3
2
5
6
1+ 5
Los restantes números irracionales se representan en la recta real, de forma
aproximada, mediante sus aproximaciones decimales.
Y
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Números reales
13
6. Conjuntos en la recta real
Dentro de la recta real podemos definir una serie de subconjuntos, entre los
que se encuentran los intervalos y los entornos. Estos subconjuntos tienen
gran importancia en el estudio de las funciones. Su definición está basada en
la relación de orden de los números reales.
Unión de dos conjuntos
A q B es el conjunto formado por
todos los elementos de A y de B.
Intersección de dos conjuntos
A Q B es el conjunto formado por
los elementos comunes de A y de B.
• Un número real a es menor o igual que otro número real b cuando en la
recta real a está a la izquierda de b o superpuesto con él. Simbólica y
gráficamente:
a ≤ b ⇔ ———— ó ————
a
b
a = b
A
B
A
El símbolo ⇔ se lee «sí y sólo si» e indica equivalencia.
B
A q B
A continuación podemos ver la relación que existe entre los distintos conjuntos numéricos.
A Q B
CONJUNTOS EN LA RECTA REAL
SUBCONJUNTOS
SÍMBOLO
Intervalo
abierto
(a, b)
DEFINICIÓN
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
(a, b) = {x Z | a < x < b}
El intervalo abierto de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b
a
b
a
b
[a, b] = {x Z | a ≤ x ≤ b}
Intervalo
cerrado
Intervalo
semiabierto o
semicerrado
[a, b]
El intervalo cerrado de extremos a y b es el conjunto de números reales comprendidos entre a y b e incluidos estos
[a, b)
[a, b) = {x Z | a ≤ x < b}
(a, b]
(a, b] = {x Z | a < x ≤ b}
Entorno
simétrico
E(a, r)
Entorno
reducido
E *(a, r)
Entorno
lateral a
la izquierda
E (a, r)
Entorno
lateral a
la derecha
E (a, r)
a
E(a, r) = (a – r, a + r) = {x Z | |x – a| < r}
b
r
r
El entorno simétrico de centro a y radio r positivo es
el intervalo abierto de extremos a – r y a + r
a–r
a
a+r
E*(a, r) = E(a – r) – {a}
a–r
a
a+r
–
E –(a, r) = (a – r, a)
a–r
a
+
E +(a, r) = (a, a + r)
a
a+r
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 14
Unidad 1
14
El número π
Existe un poema de Manuel Golmayo que permite recordar las 20 primeras cifras de π, contando el número de letras de cada palabra:
«Soy y seré a todos definible
3 1
4
1
5
9
mi nombre tengo que daros,
2
6
5
3
5
7. Aproximaciones decimales
Los números irracionales y los números decimales periódicos tienen infinitas
cifras decimales por lo cual, para trabajar con ellos, necesitamos utilizar aproximaciones de los mismos.
El número irracional π es:
π = 3,14159265358979323846...
por lo que podemos considerar las siguientes desigualdades:
cociente diametral siempre inmedible
8
9
7
3<π<4
9
3,1 < π < 3,2
soy de los redondos aros».
3
2
3
8
4
3,14 < π < 3,15
3,141 < π < 3,142
3,1415 < π < 3,1416
…
Los números que aparecen a la izquierda de estas desigualdades son aproximaciones de π por defecto, pues son menores que π. Los números que aparecen a la derecha de estas desigualdades son aproximaciones de π por exceso,
pues todas ellas son mayores que π.
• Una aproximación decimal de orden n por defecto es una estimación en
la cual todas las cifras, incluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original, y las demás son cero.
• Una aproximación decimal de orden n por exceso es una estimación en
la cual todas las cifras, excluida la que indica el orden, son las mismas que
en el número original; la que indica el orden es una unidad más y el resto de ellas son cero.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
2. Dado el número de oro Φ = 1,61803398…, calcula las siguientes aproximaciones decimales:
a) Aproximación decimal a unidades por exceso. La aproximación es 2.
b) Aproximación decimal a centésimas por defecto. La aproximación es 1,61.
c) Aproximación decimal a millonésimas por exceso. La aproximación es 1,618034.
3. Halla dos números que puedan ser valores exactos en cada una de las siguientes aproximaciones decimales:
a) 432 es la aproximación a unidades por exceso. Los números pueden ser 431,74…; 431,2…
b) 432,25 es la aproximación a centenas por exceso. Los números pueden ser 432,247…; 432,244…
c) 432,266 es la aproximación a milésimas por defecto. Los números pueden ser 432,2667…; 432,2662…
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 15
Números reales
15
8. Redondeos y truncamientos
8.1. Redondeos
• Los números 3,14 y 3,15 son aproximaciones decimales por defecto y por
exceso, respectivamente, del número π = 3,14159... Observa que el número π se encuentra comprendido entre ellas.
π
(
)
3,14
3,15
En este caso, la aproximación por defecto está más próxima a π que la aproximación por exceso. Decimos, por tanto, que 3,14 es un redondeo de π a
centésimas.
• Los números 3,1415 y 3,1416 son aproximaciones decimales por defecto y
por exceso de π respectivamente. Observa que el número π se encuentra
comprendido entre ellas.
π
(
)
3,1415
3,1416
En este caso, el número π está más próximo a la aproximación por exceso,
por tanto 3,1416 es un redondeo de π a diezmilésimas.
• El redondeo de orden n de un número es la mejor aproximación decimal
de orden n que se puede dar de ese número.
• En la práctica se escribe el número exacto en forma decimal. Observamos la cifra que ocupa el lugar de orden n, objeto del redondeo; si la cifra siguiente es inferior a 5, el redondeo es la aproximación decimal por
defecto y, si es mayor o igual que 5, el redondeo coincide con la aproximación decimal por exceso.
Las aproximaciones decimales por defecto del número π:
3,14;
3,141;
3,1415;
ción MODE 7 que nos permite
hacer redondeos con el orden deseado.
π
(
(
3,1415
Truncamiento
Ejemplo: π = 3,141592653589...
Muchas calculadoras tienen la op-
...
son truncamientos del número π.
3,14
Redondeo = Trucamiento
Redondeos y calculadora
Las calculadoras redondean los resultados presentados en la pantalla a la
última cifra.
Si pedimos este resultado a la calculadora nos da 3,141592654, que es
el redondeo a milmillonésimas.
8.2. Truncamientos
3,1;
)
3,15
Así, con el número π en pantalla, tecleamos:
π
)
3,1416
Redondeo
• El truncamiento de orden n de un número es su aproximación decimal
por defecto de orden n.
• En la práctica, para hacer truncamiento de orden n se eliminan todas las
cifras a partir de ese orden. Cuando el redondeo es la aproximación por
defecto del número, coincide con el truncamiento en forma decimal.
• MODE 7
1 y aparece en
pantalla 3,1 que es el redondeo a
décimas.
• MODE 7
3 y aparece en
pantalla 3,142 que es el redondeo a milésimas.
Para volver la calculadora al modo
normal, se pulsa:
MODE
9
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 16
Unidad 1
16
9. Errores
• Cuando tomamos 3,14 como aproximación decimal por defecto de
π = 3,141592… estamos cometiendo un error.
| 3,141592… – 3,14 | = 0,001592… < 0,01
π
(
)
3,14
3,15
Error
Cota de error
Dicho error es 0,001592…, y la cota de error es 1 centésima.
Tanto por ciento o porcentaje
de error
• A la vista del dibujo anterior podemos observar que, si tomamos 3,15 como
aproximación decimal por exceso de π, estamos cometiendo un error.
• El error relativo, o error por cada
unidad, es un tanto por uno. A
veces este error relativo se expresa
en tantos por ciento.
• Por lo anterior, el tanto por ciento o porcentaje de error se obtiene multiplicando el error relativo
por 100.
| 3,141592… – 3,15 | = 0,008407… < 0,01
Este error es 0,008407… y la cota de error es también de 1 centésima.
• El error absoluto de una aproximación es la diferencia, en valor absoluto, entre el valor real y el aproximado.
|valor real – valor aproximado| = error absoluto
• La cota del error absoluto es un número que verifica:
|valor real – valor aproximado| < cota de error
• La cota de error de una aproximación decimal de orden n, por defecto o
por exceso, es una unidad de ese orden. La cota de error de un redondeo
de orden n es media unidad de ese orden.
El error cometido por cada unidad se llama error relativo, y viene dado por:
error absoluto
error relativo = valor real
ACTIVIDADES
RESUELTAS
4. Completa la siguiente tabla:
Valor exacto
Aproximación
decimal a centésimas
por defecto
y cota de error
Aproximación
decimal a décimas
por exceso y cota
de error
Redondeo a
milésimas y cota
de error
Truncamiento a
milésimas y cota
de error
F = 1,61803…
aproximación: 1,61
cota de error: 0,01
aproximación: 1,7
cota de error: 0,1
redondeo: 1,618
truncamiento: 1,618
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
p = 3,14159…
aproximación: 3,14
cota de error: 0,01
aproximación: 3,2
cota de error: 0,1
redondeo: 3,142
truncamiento: 3,141
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
´ = 2,71828…
aproximación: 2,71
cota de error: 0,01
aproximación: 2,8
cota de error: 0,1
redondeo: 2,718
truncamiento: 2,718
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
2 = 1,41421…
aproximación: 1,41
cota de error: 0,01
aproximación: 1,5
cota de error: 0,1
redondeo: 1,414
truncamiento: 1,414
cota de error: 0,0005 cota de error: 0,001
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 17
Números reales
17
10. Notación científica y orden
de magnitud
Calculadora y notación
científica
10.1. Notación científica
En la práctica es muy útil escribir los números muy grandes o muy pequeños
en notación científica. Así:
Expresión decimal
Notación científica
Para introducir en la calculadora números en notación científica se utiliza la tecla EXP .
11
523 000 000 000
5,23 · 10
–1,345 · 1014
–134 500 000 000 000
0,00 000 000 009 235
9,235 · 10
Así el número –9,423 · 10–20 se introduce en la calculadora de la siguiente forma:
–11
–7,91 · 10–7
–0,000 000 791
.
9
• Expresar un número en notación científica es ponerlo como un producto cuya cifra de unidades es un dígito del 1 al 9 seguido de una parte
decimal, por una potencia de base 10 y exponente entero. Simbólicamente:
a,bcd … · 10n
EXP
4
2
2
3 +/–
0 +/–
y aparecerá en pantalla:
Cuando la calculadora ha de presentar en la pantalla un número muy grande
o muy pequeño, con más cifras de las que puede mostrar en su visor lo presenta automáticamente en notación científica. La calculadora presentará los números que aparecen en el ejemplo anterior en notación científica de la siguiente forma:
Cálculo del orden de magnitud
Para hallar el orden de magnitud de
un número hay que situarlo entre
dos potencias consecutivas de 10 y,
después, observar a cuál de ellas se
aproxima más.
10.2. Orden de magnitud
• El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a
dicho número.
Para calcular el orden de magnitud de un número se pueden utilizar los siguientes procedimientos:
• La definición, como podemos ver en el margen.
• La notación científica. El orden de magnitud de un número, escrito en notación científica, es el producto del orden de magnitud de la parte entera
por la potencia de 10 correspondiente. Así por ejemplo:
3
a) El orden de magnitud de 6 572 = 6,572 · 10 es:
3
4
10 · 10 = 10
b) El orden de magnitud de 0,000042 = 4,2 · 10–5 es: 1 · 10–5 = 10–5
2
2
2
c) El orden de magnitud de –364 = –3,64 · 10 es:
1 · 10 = 10
d) El orden de magnitud de 62 milésimas es:
10 · 10–2 = 10–1
Observa los ejemplos:
a) Orden de magnitud de 6 572:
1 000
5 000
10 000
↑
6 572
1 000 < 6 572 < 10 000
Como está más próximo a 10 000
(104) que a 1 000 (103), el orden de
magnitud es 104.
b) Orden de magnitud de 0,000042:
0,00001
0,00005
0,0001
↑
0,000042
0,00001 < 0,000042 < 0,0001
Como está más próximo a 0,00001
(10–5) que a 0,0001 (10–4), el orden
de magnitud es 10–5.
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 18
Unidad 1
18
11. Radicales
Como recordarás de cursos pasados, decimos que 9 = 3 y 125
= 5 porque:
3
9 = 3 ⇔ 9 = 32
125 = 5 ⇔ 125 = 53
3
n
• Raíz enésima de un número a, que se escribe a, es otro número b que
cumple a = bn.
n
a = b ⇔ a = bn
n
El símbolo a se llama radical, donde a es el radicando y n el índice.
Raíces cuadrada y cúbica
en la calculadora
n
índice
a
b
=
raíz
enésima
Las calculadoras nos ofrecen las
siguientes funciones para el cálculo
de raíces cuadradas y cúbicas:
Permite calcular las raíces cua• dradas de radicando positivo.
radicando
radical
Observa que un mismo radical puede ser escrito de diferentes formas:
3
Así, para calcular 576
debes ejecutar:
5 7 6 y obtienes:
3
• Permite calcular las raíces cúbicas de cualquier radicando.
4
5
2 = 4 = 8 = 16
= 32
A todos estos radicales que dan lugar a la misma raíz se les llama radicales
equivalentes.
• Radicales equivalentes son los que tienen las mismas raíces. Para obtener un radical equivalente a otro se multiplican, o se dividen, el índice y
el exponente por el mismo número.
n
pn
pm
am = a
3
Para calcular 60
debes ejecutar:
6 0
3
y obtienes:
El concepto de radicales equivalentes es muy útil en la simplificación de
radicales.
Como ejemplo, vamos a simplificar los radicales siguientes:
3
También puedes calcular –60
ejecutando:
3
6 0 +/– y obtienes:
3
3
3
4 096 = 212 = 24 · 3 = 24
• 8
4
2· 4
• x6 = x2 · 3 = x3
5
5
• –243
(–3)5 = –3
= Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 19
Números reales
19
Los radicales como potencias de exponente
fraccionario
Para trabajar con radicales, en ocasiones resulta muy útil escribir estos como
potencias de exponente fraccionario.
Otras raíces de la calculadora
Con tu calculadora científica puedes
encontrar el valor de la raíz de cualquier índice de un número dado.
• Todo radical se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario de la siguiente forma:
n
Para calcular raíces de cualquier índice, y, utilizamos
m
––
n
a = a
m
la tecla x 1/y puesto que:
1
Escribimos los radicales en forma de potencia cuando queremos simplificar radicales y cuando operamos con ellos:
Ejemplos:
3
3
7
––
3
• 2 187 = 3 =3 =3
7
1
2+ ––
3
1
––
4
2
=3 ·3
2
––
1
––
3
3
= 9 3
1
––
• 4
· a2 = (22 · a2) 4 = (2a) 4 = (2a) 2 = 2a
3
2
––
3
• 5 : 5 = 5 : 5
2
1
––
2
=5
y
x y = x
2
1
–– – ––
3
2
=5
1
––
6
5
Para calcular 12
debes efectuar:
1 2
6
= 5
x 1/y 5
y obtienes
Las propiedades de las potencias con exponente entero son también válidas
con exponente fraccionario.
m
––
p
––
m
p
–– + ––
q
m
––
p
––
m p
–– – ––
q
m p
–– ––
q
4) a n 1) a n · a q = a n
2) a n : a q = a n
m
– ––
n
3) a
m p
–– · ––
q
=an
m
––
m
––
m
––
m
––
m
––
m
––
5) (a · b) n = a n · b n
1
= m
––
an
6) (a : b) n = a n : b n
ACTIVIDADES
RESUELTAS
5. Expresa en forma de potencia:
4
a) x
Las potencias, con exponente fraccionario, son:
6. Expresa de forma radical:
11
a) x5
Los radicales son:
a) x5/11
5
b) (
x3)
a) x1/4
b) (x3 · y3)1/5
5
b) x3 · y3
3
c) x y
c)
x
3
b) x15/2
d)
x
n m
c) x1/6
c) x1/2 · y1/3
k
d) x k/mn
d) [(x3)1/2]1/5
10
d) x3
4
6
7. Halla radicales equivalentes con índice común para los radicales 5
35
, 73 y Consideramos el menor índice común, es decir, el mínimo común múltiplo de los índices que, en este caso, es el mcm (2, 4, 6) = 12.
Los radicales buscados son:
12
56
5 = 51/2 = 56/12 = 12
12
4
12
79
73 = 73/4 = 79/12 = 6
12
310
35 = 35/6 = 310/12 = 12
Es decir, 5
310 son radicales con igual índice, y respectivamente equivalentes a los dados.
6, 79 y Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 20
Unidad 1
20
12. Operaciones con radicales
Recuerda que, para operar con radicales, podemos poner estos en forma de potencia y utilizar las propiedades de las potencias, o bien mantener los radicales y utilizar las siguientes propiedades.
12.1. Radicales de igual índice
• El producto de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por
índice el índice común y por radicando, el producto de los radicandos.
Potencias y raíces
n
n
n
• a · b
a·b
= • a
1
n
·b
n
1
n
= (a · b)
n
n
• El cociente de dos radicales del mismo índice es otro radical que tiene por índice el índice común y por radicando, el cociente de los radicandos.
n
• a : b
a:b
= 1
1
1
n
n
• (a)m = am
1
m
• a n
•
•
• La potencia de una raíz es otra raíz que tiene por índice el mismo, y por radicando, la potencia del radicando.
m
=an
n
m n
nm
1 1
n m
m
(a)
a = a
a n
n
:b
a : b = a
• a n : b n = (a : b) n
n
n
n
a·b
a · b = 1
n
n
= am
• La raíz de una raíz es otra raíz que tiene por índice el producto de los índices y por radicando, el mismo.
1
m·n
=a
a = a
m n
m·n
12.2. Radicales de distinto índice
Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice podemos operar de dos
formas:
• Transformando los radicales en potencias de exponente fraccionario.
• Hallando los radicales equivalentes a los dados con igual índice y aplicando las propiedades anteriores.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
8. Efectúa y da el resultado en forma de radical.
3
3
3
3
3
5 · 25 = 5
· 5 2 = 53 = 5
a) 5
· 25
= 4
reducimos a
índice común
4
utilizamos potencias
de exponente fraccionario
b) 2
· 8
2 · 8
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
3
1
––
1
––
1
––
3
––
reducimos a
índice común
3
12
1
3
–– + ––
4
= 22 · 8 4 = 22 · 24 = 22
c) 81
81: 3 = 27
: 3 = = 33 = 3
d) 27
: 9
4
2
= 2
· 8 = 22 · 23 = 2
2 · 8 = 2
5 = 22
12
12
12
9
= 27
: 38 = 3
3 : 94 = 3
5
––
= 24 = 2
1
1 + ––
4
4
= 22
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 21
Números reales
21
13. Racionalización de denominadores
Al procedimiento por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador de una fracción se llama racionalización de denominadores.
En la siguiente tabla mostramos los casos más usuales de racionalización con
sus respectivos procedimientos.
EXPRESIONES MÁS
FRECUENTES
PROCEDIMIENTOS
a
b
Expresiones conjugadas
Las expresiones
Multiplicamos numerador y denominador por b
a + b
y a – b,
así como
a + b y a – b,
n
n–m
Multiplicamos numerador y denominador por b
a con m < n
n m
b
se llaman conjugadas.
a
b ± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador
a
b
± c
Multiplicamos numerador y denominador por la expresión
conjugada del denominador
Las segundas son conjugadas de las
primeras, y estas son conjugadas de
aquellas.
ACTIVIDADES
RESUELTAS
5
c) 2
5–3
12
b) 6 + 2
3
a) 5
73
9. Racionaliza:
2
d) x–2
5
5
3
72
72
3
3
a) =
·
=
5
5
5
7
72
73
73
6 – 2)
12(
12
6 – 2
12
b) = · = = 3 (6
– 2)
6
–
2
6
–
2
6
+
2
6 + 2 5
c) =
2
5–3
5 (25 + 3)
10 + 3
5
10 + 3
5
= = 11
20
–
9
(25 – 3)(25 + 3)
2 x–2
x–2
2 2
d) = = x
–
2
x – 2 · x–2
x–2
10. Opera y simplifica las expresiones siguientes:
3
3
a) 316
– 250
+2
3
32
3 · b) 4
3
3
3
3
3
54
2 · 53 + 2
4 – = 32
8
reducimos a
índice común
12
12
36 · 38
= =
12
9
3
5
5
5 = 5
· 5 · 5
3
c)
4
5
2
3
12
60
2
3
33 · 2
3
3
3
6 3
= 62
– 52 + 2 = 42
3
2
2
12
36 · 38
=
39
12
transformamos en potencias
de exponente fraccionario
314
12
= 3
5
39
1
––
1
––
2
––
1
1
2
–– + –– + ––
12 60
= 5 3 · 512 · 560 = 5 3
27
––
9
––
20
= 560 = 520 = 59
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 22
Unidad 1
22
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
Un triángulo en un cuadrado
A
D
En el cuadrado ABCD dibujamos un punto P como indica la figura.
¿Cómo te parece que es el triángulo APD?
FAMILIARIZACIÓN CON EL PROBLEMA
Se trata de conseguir tener una idea clara sobre el problema en cuanto a
datos, incógnitas, relaciones, etc. La idea clave de esta fase es: antes de hacer, tratar de entender. Esta fase es clara en el problema que nos ocupa y
se percibe sin dificultad lo que el problema enuncia y pide.
BÚSQUEDA DE ESTRATEGIAS
P
15°
B
15°
C
Una vez que nos hemos familiarizado con el problema, buscamos las estrategias que nos permiten resolverlo. En nuestro problema las estrategias
que se nos ocurren son: resolución por trigonometría, resolución por métodos analíticos y resolución por medio de simetrías del cuadrado y de la
figura propuesta.
LLEVAR ADELANTE LA ESTRATEGIA
A
D
Comenzamos por dibujar en cada lado del cuadrado un triángulo isósceles,
como el que figura verde en el dibujo adjunto. De forma sencilla, obtenemos los valores de los ángulos que se señalan en el dibujo y que corresponden a los ángulos de los 4 triángulos isósceles, de los 4 triángulos equiláteros y del cuadrado figuras estas que componen el cuadrado inicial dado.
90°
T
60°
P
B
15°
A la vista de las estrategias que hemos encontrado, llevamos adelante la
que nos parece más oportuna y directa, sin descartar las otras, pues ellas
pueden resultar útiles en caso de fallar la elegida.
En nuestro problema vamos a seguir la tercera estrategia puesto que, por
la experiencia acumulada, sabemos que los procedimientos geométricos
suelen ser más sencillos y más elegantes que los analíticos.
150°
C
A partir del dibujo, podemos razonar como sigue: el triángulo ATP es igual
que el triángulo BPC, pues tienen dos lados iguales (AT = BP y TP = PC) e
igual el ángulo comprendido, cuyo valor común es de 150°; de la igualdad
de estos dos triángulos obtenemos que AP = BC. Por la simetría de la figura podemos establecer que: AP = PD = AD, de lo que se sigue que el
triángulo APD es equilátero.
REVISAR EL PROCESO Y SACAR CONSECUENCIAS DE ÉL
Tanto si hemos resuelto el problema como si no, debemos reflexionar sobre todos los incidentes que nos han surgido en el camino seguido. Si es posible, resulta conveniente trasladar las ideas que hemos tenido a otras situaciones, modificar el problema, generalizarlo, etc.
Ante el problema que hemos resuelto, se nos ocurren las ideas siguientes: ¿qué sucede si
trazamos triángulos con ángulos mayores o menores de 15°?, y ¿qué pasa si dividimos otro
polígono regular en vez de un cuadrado?
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 23
Números reales
23
¿Qué es un problema?
Un problema matemático es una situación que plantea una
meta a conseguir. Para llegar a esta hay que superar numerosos
obstáculos. El resolver un problema, o intentarlo, requiere una
toma de decisiones por parte de quien lo afronta, ya que no conoce ninguna receta o procedimiento para resolverlo.
recetas que te facilitarán su resolución en poco tiempo. Estas recetas son las que diferencian un problema de un ejercicio. Podemos, pues, concluir que un ejercicio es una tarea en la que de
antemano se percibe en qué consiste y cuál es el medio para resolverla.
Las principales características que debe reunir un problema son:
• Suponer un reto adecuado a las capacidades de quien intenta resolverlo.
• Atraer por sí mismo, aunque no tenga utilidad.
• No ha de plantear un bloqueo inicial a quien lo intenta resolver.
• Proporcionar, al intentar resolverlo, una satisfacción agradable.
• Hacer nacer el deseo, en quien intenta resolverlo, de proponerlo a los demás.
Puedes observar que la tarea planteada en la página anterior es
realmente un problema, pues cumple con las características que
los definen. Esta misma tarea, que en estos momentos es para
ti un problema, se convertirá en ejercicio en cuanto amplíes tus
conocimientos sobre Trigonometría. En ese estadio poseerás
BIBLIOGRAFÍA
Las ideas, textos y enunciados de los problemas que aparecen en los apartados que llevan por título Resolución de Problemas,
están tomados de los siguientes libros o revistas:
— CALLEJO, M. L. (1994). Un club matemático para la diversidad. Narcea. Madrid.
— GRUPO CERO (1984). De 12 a 16. Un proyecto de currículum de Matemáticas. Edición propia. Valencia.
— FERNÁNDEZ, S.; ALAYO, F.; BASARRATE, A.; FOUZ, F. (1991). Revista Sigma nº 10. Servicio Central de Publicaciones del Gobierno Vasco. Bilbao.
— GARDNER, M. Varios títulos. Labor y Alianza.
— GUZMÁN, M. de (1991). Para pensar mejor. Labor. Barcelona.
— MASON, J.; BURTON, L. STACEY, K. (1988). Pensar matemáticamente. Labor-MEC. Barcelona.
— WOOD, L. E. (1987). Estrategias de pensamiento. Labor. Barcelona.
A C T I V I D A D E S
Clasifica las siguientes tareas en problemas o ejercicios e intenta resolverlas:
1. Sumas. Considera la serie de números pares 2, 4, 6, 8, etc. ¿Cuánto vale la suma de los m primeros?
2. El camello sediento. El beduino Ali-kan desea transportar 100 bidones llenos de agua desde Kamal hasta Wadi, pueblos separados por 100 km de desierto. Para ello, dispone de un camello capaz de andar descargado indefinidamente,
o, de cargar con un solo bidón, siempre y cuando beba una cantidad de agua igual a la que contiene el bidón cada vez
que completa 100 km cargado.
El beduino no dispone de más agua para el camello que la contenida en los bidones. ¿Cuántos de estos 100 bidones podrán llegar a Wadi?
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 24
Unidad 1
24
NUEVAS TECNOLOGÍAS
Aritmética con Derive
Derive es un programa fácil de utilizar;
como todo programa que funciona bajo
el entorno Windows, utiliza ventanas
con barras de título, barra de menús, barras de herramientas y área de trabajo.
En la parte inferior del área de trabajo
aparecen una barra con el editor de expresiones y una serie de herramientas
para utilizar con él.
Derive es un programa informático que permite realizar todo tipo de cálculos
con números y con expresiones algebraicas, por lo que es una potente herramienta para trabajar en Aritmética y Álgebra.
A continuación, vamos a ver cómo efectuar operaciones con radicales utilizando Derive.
Antes de comenzar la sesión de trabajo con Derive conviene restablecer sus opciones
iniciales –puesto que a veces cambian– y para ello se selecciona lo siguiente en el
Menú:
Definir + Restablecer todas las preferencias
OPERACIONES CON RADICALES
3
2
Para racionalizar la expresión hemos de seguir estos pasos:
2
3–3
3
2
1. En el Editor de expresiones introducimos la expresión y, pulsando la tecla
2
3–3
INTRO aparece la expresión en el área de trabajo.
2. Si la expresión no es la correcta la corregimos en el Editor de expresiones, y si es correcta, tenemos dos opciones:
a) Pulsar la tecla
con lo que se muestra el resultado en forma decimal.
b) Pulsar la tecla
con lo que se muestra el resultado en forma de raíz.
Estas teclas están situadas a la izquierda del Editor de expresiones, como puedes
comprobar en la imagen.
1 3
3 – sin más que
Del mismo modo podemos calcular el valor de la potencia 2
3
introducir en el Editor de expresiones (23
– 1/3)^3 como vemos en la parte inferior
de la figura.
PRACTICA con Derive la resolución
de las actividades número 3, 28, 30
y 32.
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 25
Números reales
25
EN RESUMEN
se utilizan
para
REALES
Medir
magnitudes
Cantidades
se obtienen
se hacen
todos son
Números
Errores
vienen
afectadas de
Aproximaciones
clases
se representan en
Aproximaciones
decimales
Recta
real
Redondeos
Truncamientos
operaciones
subconjuntos importantes
Intervalos
Entornos
Operaciones
elementales
Radicales
equivalentes
Radicación
Operaciones
Racionalización
de los
denominadores
AMPLÍA CON…
Hans Magnus Enzensberger nos muestra en El diablo de los números (Ediciones Siruela) el mundo mágico que rodea a los números.
Los personajes son un niño, Robert, al que no le gustan las matemáticas porque
no las acaba de entender, y un diablillo que se le aparece en sueños y le conduce
por el mágico mundo de los números.
Las enseñanzas del diablillo a Robert duran doce sueños, y en ellas se van contando anécdotas, conceptos, juegos e historias que muestran cómo todo encaja
en el mundo de las Matemáticas.
Además, el diablillo le muestra situaciones misteriosas que aún están por resolver.
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 26
Unidad 1
26
ACTIVIDADES FINALES
EJERCICIOS Y PROBLEMAS
1. Ordena, de mayor a menor, los siguientes números:
0,4; 0; –0,3; 42; –2,3; –20; 428
2. Efectúa los siguientes cálculos haciendo uso de la jerarquía de las operaciones:
b) 4 · 22 – (–1)3 + [3 – (5 – 32)]
a) 7 – 2 · (– 4) + 3 – 5 · (–2 + 7)
c) (–3)2 – 32 + 2 · (–1)3
3. Efectúa las siguientes operaciones, dando el resultado lo más simplificado posible:
1
1
2
3
5
d) 2 – · 1 – : + 4 7 2 4 f) 1 – 1 : 1 – 2 3
1
3
a) – + – 2
2
4
5
b)
3
2
2
c) : · 2
5
5
1 – 2 · 3 – 2 + 3
1
1
1
2
e) 2 + 3 · 1 – · 5
3
4. Efectúa, dejando el resultado en forma de potencia de exponente natural:
2 –3
a)
b)
1
3
3
5
3
3
: 5
1
c) 2 – 3
5
3
· 5
2
–2
5
· 3
3
2
d)
–4
2
· 3
3
2
: 3
4
3
f)
6 0
2
5
e)
1
2
5
6
8
1
: –
2
5
· 6
–5
1
· 2
6
: 5
3
5. ¿Qué tipo de decimal genera cada uno de los racionales siguientes?
28
a) 126
36
b) – 225
73
c) 63
42
d) 528
2 145
e) 2 100
a) 3,1 + 5,21 + 2,8
b) (5,4 – 3,42) · 2,7
)
)
)
)
)
)
)
6. Expresa cada decimal en forma de fracción, opera y el resultado final conviértelo en número decimal:
c) 6,14 : 3,4 · 2,44
d) 12,5 + 3,78 : 1,4
7. Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales:
a) 232,25
b) 0,273454545...
c) 0,0103333...
d) 37,34 334 3334 33334...
8. Un agricultor recoge 120 000 kg de manzanas. Vende a un mayorista los
pequeños comerciantes los
e) –3,141542653589...
7
de la cosecha. De lo que le sobra vende a
8
2
3
. Del resto están estropeados los
que se lleva un ganadero para alimento del ganado. De lo
5
7
que le queda vende 20 000 kg a una fábrica de zumo y los kilogramos restantes los utiliza para el consumo familiar. ¿Cuántos kg consume la familia?
9. Un alumno tarda en pasar un trabajo a ordenador 12 horas, un segundo alumno tarda en pasar el mismo trabajo 8 h. El
primer alumno trabaja durante 4 h y deja el resto del trabajo al segundo. ¿Cuánto tiempo tardará este en finalizarlo?
3
4,23
13
0
3
–
7
– 64
)
10. Halla el menor conjunto numérico al que pertenecen los siguientes números:
1,03
12
–
3
3
–8
1
π
– 32
23
8
5
– 8
4
–
3
)
11. Representa en la recta real los siguientes números:
1,6 0,7
3
125
18
–
9
1
––
42
– 1,3
0,5
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 27
Números reales
27
12. Dibuja sobre la recta real los siguientes conjuntos:
a) Los números reales mayores o iguales que 3.
b) B = {b ∈ | b < 0 y b > –7}
c) D = {d ∈ | d > 1 ó d > –5}
d) (–1, 4] (0, 3)
13. Expresa de forma simbólica los siguientes conjuntos:
a)
d)
1
–1
b)
0
1
e) E(5, 2)
f) (–∞, –5]
2
3
e)
–2
2
c)
–3
f)
–4
–1
1
3
5
–5
4
5
7
14. Dado el número 1 724,157203... indica cuáles de las siguientes aproximaciones decimales del número anterior son redondeos. En los casos en que lo sean, anota la cota de error.
1 725
1 724,16
1 724,2
1 724,1
1 720
1 724,158
1 724,1572
221
15. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al tomar como valor aproximado de π.
71
16. Calcula, aproximadamente, el error absoluto y relativo que se comete al redondear el número de oro Φ a centésimas.
17. Expresa en notación científica las siguientes cantidades, y determina el orden de magnitud:
a) Distancia Tierra-Luna: 384 000 km
c) Virus de la gripe: 0,0000000022 m
b) Distancia Tierra-Sol: 150 000 000 km
d) Radio del protón: 0,00000000005 m
e) 623 cienmilésimas
f) 0,035 millones
18. La capacidad de memoria de un ordenador se mide en:
byte = 23 bits;
k-byte = 210 bytes;
Megabyte = 210 k-bytes;
Gigabyte = 210 Megabytes
Expresa como potencia y en notación científica la capacidad de los siguientes ordenadores y disquetes en bytes y bits:
a) Disco duro de 127 gigas
b) Disquete de 1,44 megas
c) Un CD-ROM de 650 megas
19. Calcula las siguientes raíces:
3
25a2 b4
a) 4
b) 64a6 b3
c) 81a8
20. Expresa en forma de potencia las raíces, o en forma de raíz las potencias:
3
4
1
1
a) a
b) a5
c) d) e) 22/3
f) 51/2
3 2
3
a
a
g) 3–3/2
h) a–2/3
21. Pon bajo un único radical las siguientes expresiones:
a)
8
3
b)
3
3
3
a
3
c)
3
d) a2b
5
e)
b a
3
4
a
a
4
f)
3
8
22. Extrae todos los factores posibles de los radicales siguientes:
3
000
a) 1
b) 8a
5
5 7
c) 16a
b
2
d) 4a
+4
23. Introduce los factores en el radical:
4
a) 42
3
b) 33
2
3
c) 3 a
d) 2aba2
e) a2b4
2ab3
3
f) 4a
a2b
24. Efectúa, presentando el resultado en forma de raíz y en forma de potencia:
3
3
a) 2
· 22
5
5
b) 2a
4 : 2a
3
6
6
c) 3
33
5 : d) a · a2
3
e) a–1 · a
f) a : a
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 28
Unidad 1
28
ACTIVIDADES FINALES
25. Efectúa las siguientes operaciones:
2
4
a) 32
– 2 + 52 – 2
3
5
3 4
1 4
1 4
b) 3
+ 3 – 3
3
4
2
3
4
7
e) 8
– 50
+ 18
– 98
5
2
4
3
3
1 3
c) 216
– 554
+ 250
5
3
3
3
d) 6 x7 + x2x – 3x2 27x
f) 54x
– 336x
+ 25x
– 6x
26. Reduce a índice común, y ordena de menor a mayor, las raíces de cada apartado:
5
3
a) 2
, 5
5
4
b) 10
, 100
6
4
c) 4
, 6
3
3
d) 2
, 2, 2
9
4
e) 2
, 3, 5
–1
–3
f) 3
, 5
27. Opera:
3
4
6
a) 5
· 2 · 6
5
10
8
b) a 5 · a 3 : a
6
4
c) ab3 · 2a2 b2
d) 2ab
8a3b
: f)
3 3
3
2
28. Realiza las siguientes operaciones simplificando lo más posible los resultados:
a)
2
2 – 2 b)
(27 + 3)
2
2
– 47
(7 + 3)
c)
(2 + 2 ) (2 – 2 ) – (2 + 2 )
e) (3
+ 22 ) (2 – 3 ) 3
d)
(418
– 212
+ 32
) · 22
f)
29. Racionaliza las siguientes fracciones:
3
2
2
a) b) c) 3
2
3
5
2
2
3
d) 4
2
3
7
e) 3
7 · 3
(72
– 20
– 2 ) (2 + 28 + 25 )
3
f) 2 + 2
3
g) 2 – 3
7 + 1
h) 2
7+5
30. Realiza las operaciones, racionalizando previamente:
5
3
a) 96
–
189
2
7
b)
3
35 – 5
3 + 2
2
1
c) – 3 – 2
2
2
2
6
e) + 6 – 2
6
2
2
d) – 1 + 3
1 – 3
f)
2
18 – 5
8
2
31. Efectúa y simplifica:
a)
49
72
9
3
b)
+ 7
– 8
1
14
c) (250
– 16
) · 4
3
4
3
3
d)
5 5
5
5
5
e)
3–1
3+1
32. Calcula, simplificando al máximo el valor de:
a)
4
· 245 + 580 – 5 125
5
3
4
75
2
b) – + 8
27
8
c) (7
– 2)2 – (7 – 2) (7 + 2)
33. Racionaliza, efectúa y simplifica la expresión:
2
2
3
a) – (6
+ 2)
3 – 2
2
3–3
1
b) – 2
3+3
2
3
5 + 2
c) 5 – 2
2
1
de su peso; la naranja pelada pierde al exprimirla para hacer zumo un 30% de su peso.
5
¿Cuántos kg de naranjas hemos de comprar para obtener 2 400 kg de zumo?
34. La naranja al pelarla pierde
12
35. La cantidad de azúcar morena que se obtiene de la caña es de su peso. La cantidad de azúcar blanca que se ob19
4
tiene de refinar el azúcar morena es de su peso. ¿Cuánta caña de azúcar se necesita para obtener 10 toneladas de
3
azúcar blanca?
Y
UNIDAD 01 11/12/07 12:10 Página 29
Números reales
29
AUTOEVALUACIÓN
1. El resultado de la operación 6 – [5 – 4 + 2 · 6 + 5] + [(3 – 6)2 · (7 – 8)3]2 es:
a) –69
b) 69
c) 6,9
5
5
4
4
2. El resultado de operar + : 1 – · expresado como fracción irreducible es:
8
8 11
11
68
87
8
a) – b) c) 87
68
11
)
)
3–2 · 93 · 16 · 45
3. Si operamos y simplificamos obtenemos como fracción irreducible:
3–4 · 95 · 46
9
4
3
a) b) c) 4
9
16
)
)
4. Expresamos cada decimal en forma de fracción y operamos 2,4 – 3,42 + 1,7; el resultado en forma decimal es:
a) 0,72
b) 0,72
c) 0,72
5. El intervalo resultante de la intersección (– ∞, 5] [2, 6) es:
a) [2, 5]
b) [5, 6)
c) (2, 6]
6. El resultado en notación científica con tres cifras significativas de la siguiente expresión es:
[(2,45 · 10–8) · (3,01 · 109)] + [(4,5 · 10–3) · (2,8 · 105 )]
a) 1,33 · 10–3
b) 1,33 · 103
c) 3,31 · 106
5–1/2 · 53/4
7. Si expresamos el resultado de como una única potencia obtenemos:
3
52
5 · a) 511/12
b) 5–12/11
c) 5–11/12
8. El resultado de operar 158
– 527
– 572
+ 375
es:
b) 23
a) 0
c) 32
2
9. Al operar (5
– 3 ) + 215
, obtenemos:
a) 15
b) –215
c) 8
3
10. Si racionalizamos el denominador de la fracción obtenemos:
12 – 3
a) 3 + 23
b) 2 + 33
3
3 + c) 12
Y