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Investigar es trabajar.
Feynman: Capitulos 39 al 46
o
El Nelson casi entero.
E(h)
La solución
n  n0  e
m g h

kT
p (para una
partícula, esto es
una probabilidad)
Compromiso salomónico:
Mas abajo que arriba, de hecho a
media que uno sube la densidad
disminuye exponencialmente. Este
decrecimiento ha de estar
ponderado por algo del estilo g/T.
T
Sedimentos, atmósferas, orbítales, potenciales,
temperatura y sueños. Una ecuación
importante.
p  C e
E

kT
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
mv
2
 kT
h+dh
h
Relación entre cinética y temperatura
M
g
Sobre el movimiento de
partículas en un baño térmico
x   t
50
x  x 
2
7
6
 2 D t
5
4
0
3
D 
2
2
2
1
-50
100
200
300
ne
E

kT
El equilibrio en presencia de
fuerzas y agitación térmica
Mas sobre fuerzas (a la newton) y
termodinámica. Arrastrando una partícula en un
baño térmico. El caso general, otra ecuación
importante de personaje celebre.
Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4)
Extra Extra:
Buscar en la web teoremas de fluctuación-disipación.
v 

F
δ
V-
V+
Un gas de juguete (en una dimensión) en el que las cuentas son
sencillas. La partícula choca a un tiempo promedio T.
Los choques térmicos se modelan sencillamente como una inversión de
la velocidad (v+ o v-). La partícula además esta sometida a una fuerza
externa F.
v 

F
δ
V-
1 2
   v  a
2
Con lo que el camino,
en promedio, recorrido
por una partícula en
un tiempo T es:
1 2
x  a
2
Y por ende,
primer resultado
importante
El camino recorrido es:
V+
1 2
   v  a
2
Que expresado
en términos de la
fuerza es:
1
x 
F 2
2m
Ergo, la velocidad
media es:
1
varrastre 
F
2m
varrastre  F
f
con
f 
2m

En un flipper, la pelota cae, en promedio con velocidad proporcional a la pendiente.
v 

F
δ
V-
varrastre  F
varrastre  F
V+
f
f 
2m

I. Lectura de la ecuación
Un modelo molecular “de juguete” de viscosidad. En un arrastre
con choques térmicos, la velocidad (y no la aceleración) es
proporcional a la fuerza.
II Pregunta:
¿Se podrá encontrar una relación termodinámica entre el
coeficiente de arrastre y variables termodinámicas como la
temperatura o la difusión? Respuesta: SI
f
v 

F
δ
V-
varrastre  F
f
2m
f 

V+
Las ecuaciones necesarias del recetario C:
v 

2m
f 

De este problema especifico.
2

v 
2
2
2
KT
2 

m
“ A traves de v” relacionar
los  y  con KT
D  KT 

2m
mv
2
 kT
2

D
2
Difusión
Cinética
2D
KT


m
Relacionar los  y  con D
KT
D
f
Llegamos a una relación simple entre
D, f y T. Ahora parar y mirar.
KT
D
f
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Einstein haciendo
la gran Laplagne
Marian Smoluchowski
D  f  kT
La relacion de Einstein - Smoluchowski
Lo que esta de un lado y otro de la ecuación (las cantidades relacionadas)
Esta ecuación establece una relación entre dos cantidades que, a priori son
independientes. “El arrastre”, f y la difusión D. Establece además que estas dos
cantidades están relacionadas por la temperatura.
Lo que NO esta NI de un lado NI del otro de la ecuación (las cantidades ausentes)
Por ejemplo la masa o el tamaño de la partícula. D y f, si dependen de estos valores,
pero su producto no. Esta ecuación indica que la relación entre D y f es independiente
de estos factores haciendo, relacionando ambos como emergentes de una física
estadística común. Partículas menores tendrán mayor difusión, pero menor arrastre.
Esta ecuación es universal (lo cual aquí no les muestro) y relaciona propiedades de
equilibrio del sistema – La temperatura, las fluctuaciones, con la disipacion (la perdida
de energia) la viscosidad, cuando se lo saca del equilibrio. A estos teoremas que hoy
siguen siendo objeto de investigacion moderna se los llama genericamente:
TEOREMAS DE FLUCTUCACION DISIPACION
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
mv
2
 kT
h+dh
h
Relación entre cinética y temperatura
M
g
Sobre el movimiento de
partículas en un baño térmico
x   t
50
x  x 
2
7
6
 2 D t
ne
El equilibrio en presencia de
fuerzas y agitación térmica
D  f  kT
5
F
4
0
E

kT
3
D 
2
2
2
V-
V+
1
-50
100
200
300
La relación entre fluctuaciones
térmicas y resistencia al arrastre
Un caso particular de todo esto, transporte y
conductividad iónica.
Feynman (Cap 43) Berg (Cap 4) Nelson (Cap 4)
Extra Extra:
Todos los otros ejemplos del capitulo 43.
Sedimentación (practica y mas)
Termo, Electro, Mecánica ¿qué mas?
E
+
varrastre  F
A
(Area)
f
f 
2m

b
Por un lado:
varrastre  F
En este caso
particular qE
f
varrastre
 qE
f
q Volt
varrastre 
f b
Puesto en términos de las variables conocidas
Por otro lado:
Q(T )  q  A  varrastre  nionesT
La cantidad de partículas que cruzan una
sección en un tiempo T
Mischiando todo:
q  niones  A Volt
I
f b
2
I  q  varrastre  niones
La coyiente
1 q 2  niones A
cond  

R
f
b
La carga al
cuadrado (mas
carga, mas
velocidad y a
igual velocidad
mas carga mas
corriente
electrica)
La densidad de
carga
La geometría,
proporcional al ancho e
inversamente
proporcional al largo.
1 q 2  niones A
cond  

R
f
b
La movilidad
¿q,f,A,b, son?
Esta ecuación no es ni fundamental ni particularmente celebre (no es de
Boltzmann, ni de Einstein, ni va al recetario del Dr Cureta) pero es útil para
medir f si se tiene q y n, o al revés... Además, todas las cantidades tienen
sentido y son fácilmente interpretables y funciona más que decentemente
para estimar ordenes de magnitud en problemas más complejos.
Transporte en presencia de fuerzas,
difusión, y gradientes de concentraciones.
Ley de (Adolf) Fick
Nelson 4.4
Berg: Pags 17Wikipedia: Fick y las lentes de contacto.
Mais: Ecuación de difusión a partir de la Ley de Fick
Berg (Pag 50), Nelson (Pag 131)
Transporte en presencia de fuerzas,
difusión, y gradientes de concentraciones.
Intuición 1: Otra manera de pensar
Boltzmann
Adolf Fick
j (h  dh)  n(h  dh)  P (h  dh)
Además de su Ley, que
aquí sigue:
Medición del bombeo del
corazón, diseño de
lentes de contacto, y
van...
j (h)  n(h)  P (h)
¿Como serán estas corrientes en equilibrio?
¿qué determina esta igualdad?
T
Transporte en presencia de fuerzas,
difusión, y gradientes de concentraciones.
Adolf Fick
Intuición 2: Temperatura – difusión- ???
Gradientes de concentraciones como motor T
j (h  dh)  n(h  dh)  P (h  dh)
Además de su Ley, que
aquí sigue:
Medición del bombeo del
corazón, diseño de
lentes de contacto, y
van...
j (h)  n(h)  P (h)
¿Como serán estas corrientes sin gravedad?
¿cuál es la “fuerza” que resulta en este desplazamiento macroscópico?
Las fuentes del movimiento: 1) Difusión – Random-Walk
( en cada  la mitad avanza  para un lado, la mitad para el otro lado)
1
n( x  dx )
2
1
n( x )
2
x
x
x+dx
dx = 
Random-Walk = Difusion
x   t
50
x  x 
2
7
6
 2 D t
5
4
0
3
D 
2
2
2
1
-50
100
200
300
Las fuentes del movimiento: 1) Difusión – Random-Walk
( en cada  la mitad avanza  para un lado, la mitad para el otro lado)
2

D
Tres definiciones:
n( x)  c( x)  dx
2
1)
2)
x
x+dx
La corriente través de esta sección
1
n( x )
2
1
n( x  dx )
2
Particulas 1  n( x) n( x  dx) 
j
 



 2
2 
2

dx   c( x)  c( x  dx) 
j

2 
D
dx


-dc/dx
(sencillamente porque c es la
concentración, o densidad)
+ Convención de cátedra
que no hace huelga. Positivo
a la derecha.
+
3) j 
dx dx
 c( x)  c( x  dx) 
2 dx
dc
j  D 
dx
Particulas

La ley de Fick
dc
j  D 
dx
Este termino establece una
velocidad por difusión –
“alimentada” por el gradiente de
concentración. Esta fuerza
“aparente” queda determinada por
las probabilidades, establece una
dirección de flujo que tiende a
disminuir las diferencias de
concentraciones y forma la base
para “fuerzas entropicas”
N(in)*p
N(out)*p
En particular, mantener un
gradiente de concentración (el
status-quo) en agitación térmica,
requiere el trabajo de una fuerza.
Gran diferencia con el mundo
macroscópico.
Las fuentes del movimiento: 2) Fuerza
( en cada  cuantas partículas cruzan debido a una fuerza)
F
F 
x
j
dU
dx
x
x+dx
Particulas
F
 v  c( x)   c( x)

f
D  f  kT
F
dU D
j   c( x)   
 c( x)
f
dX KT
F
 dU 1

j  D   
 c( x) 
 dX KT

dc
j  D 
dx
Fuerza
Difusión
V-
V+
La relación entre fluctuaciones
térmicas y resistencia al arrastre
 dU 1

j  D   
 c( x) 
 dX KT

dc
j  D 
dx
 dc dU 1

j  D   

 c( x) 
 dx dX KT

Fuerza
Difusión
En presencia de ambas:
La corriente es proporcional a la difusión. Consta de dos términos.
Uno puramente probabilístico: La corriente esta factorizada por la
concentración y por ende el transporte térmico tiende a “igualar
concentraciones”
El segundo es un termino de arrastre, determinista, de una fuerza
macroscópica que trabaja contra la resistencia térmica del medio resultando
en una velocidad constante.
El recetario del Dr Cureta (algunas ecuaciones para ir recordando)
m v 2  kT
h+dh
h
Relación entre cinética y
temperatura
M
g
x   t
ne
x  x 
 2 D t
E
kT
El equilibrio en
presencia de fuerzas y
agitación térmica
D  f  kT
2

F
F
V-
V+
50
7
D 
6
2
5
2
4
0
3
2
1
-50
100
200
300
Sobre el movimiento de
partículas en un baño térmico
La relación entre
fluctuaciones térmicas y
resistencia al arrastre
Ley de Fick
 dc dU 1

j  D   

 c( x) 
 dx dX KT

Un caso particular de todo esto, equliibrio
iónico. Ley de Nerst-Planck
Nelson Gutierrez (Pag 139-142)
Extra Extra:
Nelson, capitulo 11. Hille (la Biblia biofísica)
Todo tiempo pasado fue mejor...
Todo tiempo pasado fue mejor...
Todo tiempo pasado fue mejor...
Todo tiempo pasado fue mejor...
Ahora podemos “deducirla”
 dU 1

j  D   
 c( x) 
 dX KT

dc
j  D 
dx
 dc dU 1

j  D   

 c( x) 
 dx dX KT

Fuerza
Difusión
En presencia de ambas:
Intuición 1: Otra manera de pensar
Boltzmann
j (h  dh)  n(h  dh)  P (h  dh)
j (h)  n(h)  P (h)
 dc dU 1

j  D   

 c( x) 
 dx dX KT

LA CONDICION DE EQUILIBRIO:
CORRIENTE =0
T
Un random-walk algebraico…
 dc dU 1

j  D   

 c( x) 
 dx dX KT

(caso fuerza
electrica)
LA CONDICION DE EQUILIBRIO:
CORRIENTE =0
F  qE
ce

qV ( x ) l
KT
Exponenciando
 dc dU 1

0 

 c( x) 
 dx dX KT

dc qE

c
dx KT
dc
dU 1


 c( x)
dx
dX KT
d
ln( c)  qE
dx
KT
1 dc qE

c dx KT
Regla de
la cadena
l
l
d
qE


ln(
c
)

0 dx
0 KT
Si aumenta T, el
potencial necesario
para mantener una
diferencia de
concentraciones es
mayor.
 (ln c) 
qEl
KT
(ln c)  
q  V
KT
Ley de Nerst-Planck
(con nombre pero no
va al recetario)
Algún intento de explicar el porque de este experimento.
Un momento de pausa y oración. Los salmos de Magnasco, el
eclipse de Homero y sobre como moverse, o quedarse quieto
según uno guste, en medio de un huracán.
Nelson (Cap 10)
Marcelo O Magnasco
Forced Thermal Ratchets (primera pagina)
Molecular Combustion Motors (primera pagina)
Astumian (Brownian Motors)
La génesis del problema, en tres pasos:
Complejidad mata Tamaño
Tamaño mata Difusión
Ergo Energía y Autopistas
La contextualizacion del problema, en dos pasos:
El mundo Browniano es raro.
En el mundo intuitivo, las
cosas se quedan donde están
En el mundo Browniano
las cosas se escapan,
mantener el status-quo,
cuesta.
El marco para la solución del problema, en dos pasos
Uno, el critico, difícil y de lenta digestión:
Hacia un ciclo de Carnot
del mundo Browniano
Si en el ratchet de
Feynaman uno empuja
el molino justo cuando
abre el trinquete…
La plausibilidad del marco. ¿Están dadas las
condiciones para una revolución conceptual en el
mundo browniano?
La maquinaria biológica
cuenta con los dos
ingredientes necesarios:
asimetría y algún guardián
del orden temporal.
Completando el ciclo –
¿quien hace de caldera
en este ciclo de Carnot
molecular?
Movimiento en el mundo microscópico: Fuerza, aceleración, inercia.
T  E U  v 
mT
2
E (se conserva)