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La potenciación es el producto de varios factores
iguales. Para abreviar la escritura, se escribe el
factor que se repite y en la parte superior derecha
del mismo se coloca el número de veces que se
multiplica.
Definición
Potenciar es multiplicar un número por si mismo una cantidad de
veces.
La potenciación es un caso particular de la multiplicación
con varios factores.
Propiedades:
Primera
Potencia de exponente 0
si se cumple que
00
Es una forma indeterminada
Segunda:
Potencia de exponente 1
ejemplo
Tercera:
Producto de potencias de igual base
ejemplo
Cuarta:
División de potencias de igual base
ejemplo
76
4

7
72
Quinta:
ejemplo
Sexta:
ejemplo
Séptima:
Potencia de una potencia
(95 )4  920
Potencia de un producto
(10)  5 2
4
4
4
Producto de potencias de base distinta
Octava:
Propiedad distributiva
Es distributiva respecto a la multiplicación y la división
No es distributiva respecto a la adición y a la sustracción
Novena:
Potencia de exponente negativo
a
n
1
 n
a
Ejercicios
En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique y elimine cualquier
exponente negativo:
4 5
4
10
1)
106
2)
2 3
2637
(a 4b6 )7
3)
(a 11b8 )9
  (a 4b 6 )7 
  11 8 9 

11
 (a 4b 6 ) 7 
  (a b ) 
4)  11 8 9  5) 
4 6 12 15
 (a b ) 
  (b a ) 
  (b 11a8 ) 7 


11







13
Problema
La pregunta inoportuna:
En una visita al santuario del Señor de los Milagros en Buga, cinco amigos
compraron cinco medallas de precios diferentes: $5, $25, $125, $625 y
$3125. Al salir del establecimiento observaron que sólo les quedaron:
$1 a Juan, $2 a Pablo, $3 a Pedro, $4 a Jaime y $5 a Claudio.
Jaime (el matemático) exclamó: “Si multiplicamos cada cantidad gastada
por la cantidad restante y sumamos los cinco productos resulta 9615”.
Sandra (la esposa de Pablo) preguntó:
“Qué precio han pagado cada uno
de ustedes por su medalla?”.
Pablo, como siempre tan comprensivo,
le dijo: “Deje de hacer preguntas
Inoportunas y dedúzcalo usted misma”.
¿Pudo determinar Sandra cuál es el precio de cada medalla?.
Solución:
Observe que:
52  25, 53  125, 54  625, 55  3125
Sean:
X= la cantidad restante del que pagó $5 por su medalla.
y = la cantidad restante del que pagó $25 por su medalla.
z= la cantidad restante del que pagó $125 por su medalla.
w= la cantidad restante del que pagó $625 por su medalla.
r= la cantidad restante del que pagó $3125 por su medalla.
Entonces:
x5  y52  z53  w54  r 55  9615
Cancelando 5 obtenemos:
x  y5  z52  w53  r 54  1923
Luego:
5( y  z5  w52  r 53 )  1923  x
(1)
Como por hipótesis se tiene que x  {1, 2, 3, 4, 5} , entonces x=3 ya que éste
es el único de estos números tal que 1923-x es divisible por 5. Por lo tanto:
Pedro pagó $5 por su medalla
Además de (1) se deduce que:
5( z  w5  r 52 )  384  y
(2)
Como por hipótesis se tiene que y  {1, 2, 3, 4, 5}, entonces y=4 ya que éste
es el único de estos números tal que 384-y es divisible por 5. Por lo tanto:
Jaime pagó $25 por su medalla
de (2) se deduce que:
5( w  r 5 )  76  z
(3)
Como por hipótesis se tiene que z  {1, 2, 3, 4, 5}, entonces z=1 ya que éste
es el único de estos números tal que 76-z es divisible por 5. Por lo tanto:
Juan pagó $125 por su medalla
de (3) se deduce que:
5 r  15  w
Como por hipótesis se tiene que w {1, 2, 3, 4, 5}, entonces w=5 ya que éste
es el único de estos números tal que 15-w es divisible por 5. Por lo tanto:
Claudio pagó $625 por su medalla
Finalmente se tiene que:
Pablo pagó $3125 por su medalla
Observación:
S  1  a  a 2  a 3  ...  a n
aS  a  a 2  a 3  ...  a n 1
al restar se obtiene :
S  aS  1  a n 1
luego
1  a n 1
S
1 a
Ejemplos:
1)
n 1
1

2
1  2  22  23  ...  2n 
 2n1  1
1 2
1
1
2
2
3
1 2
4
22
5
1  22
6
2  22
7
1  2  22
8
23
9
1  23
1)
n 1
n 1
1

10
10
1
2
3
n
1  10  10  10  ...  10 

1  10
9
Problema
Una interesante suma:
Observa que:
1=1
1+11=12
1+11+111=123
1+11+111+1111=1234
1+11+111+1111+11111=12345
¿Puedes encontrar en general, el valor
de la suma:
1+11+111+1111+ … +111 … 1 ?
(¿Quién es?)
Solución:
10n  1
11...1  1  10  10  10  ...  10 
Como
9
10  1 102  1 103  1
10n  1
1  11  111  ...  11...1 


 ... 
9
9
9
9
2
3
n1
luego
1
1  11  111  ...  11...1  (10  102  103  ...  10 n  n)
9
1

10 1  10  102  ...  10n 1   n
9

1    10n  1   
  10 
   n 

9   9  

1
10n 1  10  9n 

81
 
La operación inversa de la potenciación se denomina radicación.
Si x y r son números reales no negativos y n es un entero positivo,
o x y r son números reales negativos y n es un número entero positivo
Impar, se define:
n
x r
si y sólo si
r x
n
Propiedades:
Sean m y n enteros positivos y x e y números reales. Entonces:
1) ( n x ) n  x
2) ( x )  
n
n
n
3) x
n
4)
n
5)
n
x si n es impar
| x| si n es par
y  n xy
x
x
n
y
y
m n
x  mn x
Siempre y cuando los radicales representen números reales
Ejercicios
En cada uno de los siguientes ejercicios simplifique las respectivas expresiones:
4
1)
4
10
1012
2)
 (a b )
3 8
 (a 11b8 )9

4 6 7
4)
3




315 b9
26 a 12
4
5)
3)
5
(a 4b6 )7
(a 11b4 )8
  4 4 6 
 3  (a b ) 
  2 12 8 
  (a b ) 

4 6 
2

(
b
a )

 6  4 11 8 
  (b a ) 








POLINOMIOS
La palabra ecuación viene del latín aequatio que
significa igualdad. Los primeros vestigios que
existen de ellas, se remontan alrededor del año
2000 a.c. periodo en el cual aparece el Libro de
Cálculo de Axmés en donde se presentan las
ecuaciones de primer grado, a los Babilónicos se
debe la resolución de ecuaciones de segundo
grado, los griegos se limitaron a redescubrir las
fórmulas babilónicas en términos geométricos,
pero fueron Herón (alrededor del año 100) y
Diofanto de Alejandríıa (siglo III) quienes lo
hicieron en forma algebraica.
Herón el Viejo
de Alejandría
Un polinomio de grado n en la variable x , es cualquier
expresión de la forma
En donde n es un entero no negativo, an  0 y
i=1,2, … ,n son números reales.
Ejemplos:
ai
Ejemplos:
1) El polinomio p( x)  ao con a0  0
es un
polinomio de grado cero y se denomina polinomio
constante.
2) El polinomio p( x)  a1 x  ao con a1  0 es un
polinomio de primer grado y se denomina
polinomio lineal.
3) El polinomio p ( x)  a2 x  a1 x  ao con a2  0
es un polinomio de tercer grado y se denomina
polinomio cúbico.
2
Ejemplos:
Las siguientes funciones no son polinomios:
1) p ( x)  a2 x 2  a1 x  ao con a1  0
2) p ( x)  a4 x  a3 x  a2 x
4
3
1
3
 a1 x  ao con a2  0
3) p ( x)  a4 x 4  a3 x 3  a2 x 3  a1 x  ao con a2  0
a1
4) p ( x)  a4 x  a3 x  a2 x   ao con a1  0
x
5) p ( x)  a4 x 4  a3 x  a2 x 3  a1 x  ao con a3  0
4
6) p ( x)  a4 x
3
2
2
 a3 x 3  a2 x 3  a1 x  ao con a4  0
COMBINACIÓN Y PERMUTACION.
COMBINACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde no nos interesa el lugar
o posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen
dicho arreglo.
PERMUTACIÓN:
Es todo arreglo de elementos en donde nos interesa el lugar o
posición que ocupa cada uno de los elementos que constituyen
dicho arreglo.
Combinaciones y permutaciones
¿Qué diferencia hay?
Normalmente usamos la palabra "combinación" descuidadamente, sin pensar
en si el orden de las cosas es importante. En otras palabras:
"Mi ensalada de frutas es una combinación de manzanas, uvas y bananas":
no importa en qué orden pusimos las frutas, podría ser "bananas, uvas y
manzanas " o "uvas, manzanas y bananas", es la misma ensalada.
"La combinación de la cerradura es 472": ahora sí importa el orden. "724“
no funcionaría, ni "247". Tiene que ser exactamente 4-7-2.
Si el orden no importa, es una combinación.
Si el orden sí importa es una permutación.
En otras palabras:
Una permutación es una combinación ordenada.
Definición: El número de permutaciones de n objetos es el número
de formas en los que pueden acomodarse esos objetos en términos de
orden.
Definición:
0!  1
n !  1 2  3 
 n si n  0
El número de permutaciones de 3 objetos es igual a: 6=3!.
abc
acb
bac
bca
cab
cba
El número de permutaciones de n objetos es igual a: n!
1) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos subconjuntos con un elemento puedo escoger de él?.
Respuesta: n.
2) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos parejas ordenadas con dos elementos diferentes puedo escoger
de él?.
Respuesta:
Por cada escogencia de la primera componente hay n-1 opciones para escoger la
segunda, por lo tanto, el número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes
es
n (n-1).
3) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos subconjuntos con dos elementos diferentes puedo escoger de
él?.
Respuesta:
El número de parejas ordenadas con dos elementos diferentes es n (n-1), pero
la pareja (a, b) es distinta de la pareja (b, a) aunque el conjunto {a, b}={b, a},
luego el número de conjuntos con tres elementos diferentes es:
n ( n  1)
2
4) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes puedo
escoger de él?.
Respuesta:
Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) opciones para
escoger la pareja integrada las otras dos coordenadas diferentes, por lo tanto,
el número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es:
n (n-1 )(n-2).
5) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos subconjuntos con tres elementos diferentes puedo escoger de
él?.
Respuesta:
El número de triplas ordenadas con todos sus elementos diferentes es n (n-1) (n-2),
pero las triplas (a, b, c), (a, c, b), (b, a, c), (b, c, a), (c, a, b) y (c, b, a) son
todas distintas aunque los conjuntos {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a},
{c, a, b} y {c, b, a} son iguales luego el número de conjuntos con tres
elementos diferentes que podemos escoger de un conjunto con n elementos
es:
n (n  1)(n  2) n(n  1)(n  2)

6
3!
6) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos r-uplas ordenadas de elementos diferentes puedo escoger de él?.
Respuesta:
Por cada escogencia de la primera coordenada hay (n-1) (n-2) … (n-r+1)
opciones para escoger la r-1-upla integrada las otras r-1 coordenadas
diferentes, por lo tanto, el número de r-uplas ordenadas con todos los
elementos diferentes que se puede escoger de un conjunto con n elementos es:
n (n-1) (n-2) … (n-r+1).
pero:
n(n  1)(n  2)
(n  r  1) 
n!
(n  r )!
Este número se acostumbra notar
n!
P(n, r ) 
(n  r )!
7) Si un conjunto tiene n elementos:
¿Cuántos subconjuntos con r elementos diferentes puedo escoger de
él?.
Respuesta:
El número de r-uplas ordenadas con todas sus coordenadas diferentes es
n!
(n  r )!
, a r } se pueden obtener r! triplas
pero de cada conjunto {a1 , a 2 ,
Distintas, luego el número de conjuntos con r elementos diferentes que
podemos escoger de un conjunto con n elementos es:
n!
r !(n  r )!
Definición:
n!
El término
se denomina combinatoria de n, r y se nota:
r !(n  r )!
n!
c(n, r ) 
r !(n  r )!
Ejemplo:
¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?.
Desarrollo:
c(n, 0)  c(n,1)  c(n, 2) 
n
 c(n, n)   c(n, k )
k 0
Propiedades de la combinatoria
TRIÁNGULO DE PASCAL
1
1
1
1
1
1
1
1
1
8
3
5
7
6
15
1
4
10
20
35
56
1
3
10
21
28
2
4
6
1
5
15
35
70
1
1
6
21
56
1
7
28
1
8
1
Ejercicios