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UNIDAD N° 2
TEORÍA DE
CONJUNTOS
ÁLGEBRA I. UNIDAD Nº 2: TEORÍA DE CONJUNTOS – PROF. MARÍA EUGENIA RIVERO
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TEORÍA DE CONJUNTOS
El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemática
pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las
matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología
de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y
precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.
El concepto de conjunto está presente, aunque de manera informal, desde los
primeros años de formación del hombre, desde el momento en que el ser humano
tomó entre sus manos un puñado de piedras u observó un grupo de animales, tomó
también conocimiento del "conjunto".
La Teoría de Conjuntos es un sistema matemático que relaciona conceptos
básicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas.
¿POR QUÉ ESTUDIAR TEORÍA DE CONJUNTOS?
Estudiaremos Teoría de Conjuntos porque el razonamiento deductivo es su
base metodológica, lo que permite sistematizar el razonamiento y contribuye al
desarrollo de la capacidad de análisis.
Además su aprendizaje facilita notablemente el estudio de temas matemáticos
más avanzados, tales como funciones, probabilidad, muestreo y optimización, entre
otros.
Por ello, es que estudiaremos los principales conceptos de la Teoría de
Conjuntos, de las relaciones y operaciones entre ellos y su representación gráfica
para, finalmente, abordar el producto cartesiano y las técnicas de conteo.
Al estudiar las relaciones y operaciones entre conjuntos utilizaremos la
terminología y simbología aprendidas en la unidad de Lógica Simbólica.
CONJUNTOS: DEFINICIÓN Y NOTACIÓN
Sabemos que la palabra conjunto implica la idea de una colección de objetos
que se caracterizan por algo común.
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En matemática tiene el mismo significado, sólo que a estos objetos se les llama
elementos o miembros del conjunto.
La colección de elementos debe estar bien definida: esto es, la pertenencia al
conjunto de un elemento no debe ofrecer dudas.
Ningún elemento del conjunto se debe contar más de una vez, es decir, los
elementos deben ser distintos.
El orden en que se enumeren esos elementos, carece de importancia.
Los conjuntos se simbolizan por medio de una letra mayúscula y los elementos
que forman el conjunto se encierran entre llaves. Por ejemplo, la letra A puede
representar al conjunto formado por las tres primeras letras del alfabeto.
La notación que se adoptaría sería entonces:
A = {x / x es una de las tres primeras letras del alfabeto}
A cada elemento que forma parte de un conjunto se lo simboliza con letra
minúscula y se separan esos elementos utilizando punto y coma (;), entonces,
siguiendo con el ejemplo anterior, tenemos que A = {a;b;c} .
Si queremos simbolizar que un elemento es integrante de un conjunto,
usaremos el símbolo de pertenencia, ∈ , y diremos, por ejemplo, b ∈ A .
Si no pertenece a él, utilizamos el símbolo ∉ para indicarlo. Así, por ejemplo,
m∉A .
Para verificar si se comprendió lo referente a la
relación de pertenencia, completa con V o F según lo
afirmado sea verdadero o falso.
a) 6 ∈ {2; 4; 5; 6; 9}
( )
b) y ∈ {o; p; q; x}
( )
c) x ∉ {o; p; q; y}
( )
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d) Perú ∈ {x / x es un país de Europa}
( )
e) 11∈ {x / x es un número primo menor que 15}
( )
RTA: a) V
b) F
c) V
d) F
e) V
DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Hay dos formas de definir conjuntos: por comprensión y por extensión (o
enumeración).
DEFINICIÓN POR COMPRENSIÓN
DEFINICIÓN Nº 1:
Se dice que un conjunto está definido por comprensión, cuando se da una
propiedad inherente a todos los elementos del conjunto, de forma tal que todo
objeto que cumpla dicha propiedad pertenece al conjunto y recíprocamente.
Los siguientes conjuntos están definidos por
comprensión:
A = {x / x es una vocal}
B = {x / x es un número natural par menor que 10}
C = {x / x es una letra de la palabra conjuntos}
D = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 8}
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DEFINICIÓN POR EXTENSIÓN
DEFINICIÓN Nº 2:
Se dice que un conjunto está definido por extensión (o enumeración),
cuando se mencionan a todos los elementos del conjunto y sólo a ellos, sin repetir
ningún elemento.
Definiremos por extensión los conjuntos
especificados anteriormente por comprensión:
A = {a; e; i; o; u}
B = {2; 4; 6; 8}
C = {c; o; n; j; u; t; s}
D = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}
Simbolizamos mediante # A el número de elementos del conjunto A.
Para los ejemplos analizados:
# A=5
# B=4
# C=7
# D=7
Obviamente, cuando el conjunto tiene infinitos elementos, es imposible definirlo
por extensión; de todos modos es usual simbolizar algunos de estos conjuntos, los
naturales por ejemplo, de la siguiente forma:
ℕ = {1;2;3;4;...}
donde los puntos suspensivos significan “y así sucesivamente” y con ellos
representamos todos los números naturales omitidos:.
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Teniendo en cuenta las dos formas de definir un conjunto,
resuelve los siguientes ejercicios
1) Define por extensión los siguientes conjuntos:
a) A = {x / x es un mes del primer cuatrimestre del año}
b) B = {x ∈ ℕ / x < 11}
c) C = {x / x es par y 15 < x < 25}
d) D = {x ∈ ℕ / x < 5}
e) E = {x ∈ ℤ / x es impar y − 5 ≤ x < 3}
f) F = {x ∈ ℕ / x < 8 y x es el doble de un número natural primo}
g) G = {2x / 2 < x < 10 ∧ x ∈ ℕ}
h) H = {3x / x ∈ ℤ ∧
− 2 ≤ x < 4}
i) I = {2x − 3 / x ∈ ℕ ∧ x < 5}
j) J = {x 2 − x / x ∈ ℤ ∧
}
−3 ≤ x < 0
RTA : a) A = {enero, febrero, marzo, abril}
b) B = {1;2;3; 4;5;6;7;8;9;10}
c) C = {16; 18; 20; 22; 24}
d) D = {1; 2; 3; 4}
e) E = {−5; − 3; − 1; 1}
f) F = {4; 6}
g) G = {6; 8; 10; 12; 14; 16; 18}
h) H = {−6; − 3; 0; 3; 6; 9}
i) I = {−1; 1; 3; 5}
j) J = {2; 6; 12}
2) Definir por comprensión los siguientes conjuntos:
a) A = {4; 8; 12; 16; 20; 24}
b) B = {8; 10; 12; 14;16; 18; 20}
c) C = {5; 7; 11; 13}
d) D = {−8; − 7; − 6; − 5; − 4}
e) E = {2; 5; 8; 11}
f) F = {−8; − 1; 0; 1; 8; 27}
RTA: a) A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 4 y 4 ≤ x ≤ 24}
b) B = {2x / x ∈ ℕ ∧ 4 ≤ x ≤ 10}
c) C = {x ∈ ℕ / x es un número primo y 5 ≤ x ≤ 13}
d) D = {x ∈ Z / −8 ≤ x ≤ −4}
e) E = {3x − 1/ x ∈ ℕ ∧ x ≤ 4}
f) F = x 3 / x ∈ ℤ ∧ − 2 ≤ x ≤ 3
{
}
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CONJUNTO UNIVERSAL Y CONJUNTO VACÍO
Cuando definimos un conjunto, en el sentido de precisar a cuál aludimos,
tenemos un marco referencial o conjunto universal de donde elegimos los elementos
que conformarán el conjunto definido.
Así por ejemplo, si definimos el conjunto de alumnos que cursan Álgebra I, en
él se incluirán sólo algunos alumnos del Instituto: los que se han inscripto para
cursar esta materia y lo están haciendo.
El Universal o referencial será todos los alumnos del I.S.F.D Joaquín V.
González, aunque podríamos restringir el conjunto universal a los alumnos del
Profesorado en Matemática del Instituto ya que es materia de su plan de estudios y
no del plan de otras carreras.
DEFINICIÓN Nº 3:
Definimos el CONJUNTO UNIVERSAL, como aquel conjunto constituido
por todos los elementos dentro de una aplicación particular. Lo simbolizamos
con la letra U.
DEFINICIONES Nº 4:
Un CONJUNTO es FINITO si consta de un cierto número de elementos
distintos, es decir si al contar los diferentes elementos del conjunto el proceso
de contar puede acabar. En caso contrario, el CONJUNTO es INFINITO.
Entre los conjuntos finitos, destacamos aquellos conjuntos que están
formados por un único elemento. Estos reciben el nombre de CONJUNTOS
UNITARIOS.
Existen también conjuntos que no tienen elemento alguno. Estos conjuntos
se denominan CONJUNTOS VACÍOS y se simbolizan ∅ o { }.
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Veremos algunos ejemplos que nos permitirán clarificar los
conceptos anteriores.
1) Sean los conjuntos:
• A = {x / x es un ave}
• B = {x / x es un pez}
• C = {x / x es un conejo}
• D = {x / x es un mono}
Existe otro conjunto que incluye o contiene a los conjuntos A, B, C y D. Este es
el conjunto U = {x / x es un animal}
2) Sean los conjuntos:
• E = {x / x es director del ISFD "Joaquín V. González"}
• F = {x / x es docente del ISFD "Joaquín V. González"}
Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos E y F. Este es
U = {x / x es personal del ISFD "Joaquín V. González"} .
Además, podemos afirmar que el conjunto E es un conjunto unitario, puesto
que una sola persona ejerce el cargo de Directora del Instituto.
3) G = {x / x ∈ ℕ ∧ x < −2} es un conjunto vacío pues no hay ningún número
natural negativo.
Podemos indicar entonces que G = ∅
o que G = { } .
Establece si los siguientes conjuntos son finitos o
infinitos.
a) A = {Las rectas paralelas a una dada}
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b) B = {x / x es una letra del alfabeto}
c) C = {x / x es un país del Mercosur}
d) D = {x / x es una materia que integra el plan de estudios del Profesorado en Matemática}
e) E = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 10}
f) F = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 10 y x < 50}
g) G = {x ∈ R / 1 < x < 2}
h) H = {x / x es un día de la semana}
i) J = {x ∈ ℤ / x es un número impar}
j) L = {x ∈ ℕ / x > 15}
RTA: Finitos: b, c, d, f, h, i
Infinitos: a, e, g, j
RELACIONES ENTRE CONJUNTOS
Cuando dos conjuntos se comparan entre sí, pueden definirse distintas
relaciones, entre las cuales consideraremos las relaciones de igualdad y de
inclusión, en sentido amplio y estricto.
IGUALDAD DE CONJUNTOS
DEFINICIÓN Nº 5:
Dos CONJUNTOS son IGUALES si y sólo si todos los elementos de A son
elementos de B y todos los elementos de B son elementos de A (no importa el
orden de aparición de los elementos).
Simbólicamente, A = B ⇔ ∀ a ∈ A ⇒ a ∈ B ∧ ∀ b ∈ B ⇒ b ∈ A .
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Por ejemplo
igual a
{−1;1}
{x ∈ ℝ / x
2
}
{
}
= 1 es igual a x ∈ ℝ / x 4 = 1 , e
aunque aparezcan expresados en diferentes
formas.
INCLUSIÓN DE CONJUNTOS – SUBCONJUNTOS
DEFINICIÓN Nº 6:
Un conjunto A se dice SUBCONJUNTO de otro B, si todo elemento de A
es también elemento de B.
Simbólicamente, A ⊂ B ⇔ ∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B .
A partir de esta definición, podemos señalar que todo conjunto es subconjunto
de sí mismo: A está incluido en A.
Si se contempla esta posibilidad, la inclusión se dice que es amplia y la
denotamos A ⊆ B y por el contrario, si B contiene elementos que no pertenecen a A,
se dice que A está INCLUIDO ESTRICTAMENTE en B y se simboliza A ⊂ B . En este
caso, decimos que A es un SUBCONJUNTO PROPIO de B.
Por ejemplo…
a)
ℕ ⊂ ℤ; ℤ ⊂ ℚ; ℚ ⊂ ℝ; ℝ ⊂ ℂ
o lo que es lo mismo
ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
b) {x / x ∈ ℝ ∧ x > 1} ⊂ {x / x ∈ ℝ ∧ x ≥ 1} ⊂ {x / x ∈ ℝ ∧ x > 0}
A través de los siguientes ejercicios, trabajaremos las
relaciones de inclusión e igualdad de conjuntos.
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1) Determinar si los siguientes conjuntos son iguales:
a) A = {x / x ∈ ℕ ∧ x 2 < 10}
b) A = {x / x ∈ ℕ ∧ 2x < 16}
B = {1;2;3}
B = {1;2;3;4;5;6;7;8}
C = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 4}
b) A ≠ B
RTA: a) A = B = C
2) Dados los conjuntos A = {1,2,3} , B = {1,3,5} , C = {2,4,6} , D = {1,2,3,4,5} y
E = {1,2,3,4,5,6,7} , determinar cuáles de los enunciados siguientes son verdaderos y
cuáles son falsos. Justificar aquellos que sean falsos.
a) A ⊂ B
b) A ⊂ D
c) B ⊂ B
d) A ⊂ E
e) B ⊄ D
RTA: VERDADEROS: b, c, d
3) Sea el conjunto
f) ∅ ⊄ C
FALSOS: a, e, f
A = {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} ⊂ ℤ . Determinar los siguientes
subconjuntos de A:
a)
{x : x
2
}
∈A
b) {x : 1 + x ∈ A}
c) {x : x es cuadrado perfecto en A}
d) {x : x es impar}
e) {x : x es primo}
f) {x : 3x = 1}
g) {x : x 2 < 16}
h) {x : x es divisible por 4}
i) {x : x es producto de primos distintos}
j) {x : 1 − x es múltiplo de 4}
k) {x : x es divisible por 2 ó por 3}
l) {x : 3x < 3}
m) {x : 1 + x + x 2 ∈ A}
n) x : ( x + 1) = x 2 + 2x + 1
o) {x : x = 2k ,k ∈ ℕ}
p) {x : x 3 < 100}
 1

q)  x : ⋅ x ⋅ ( x + 1) ∈ A 
 2

r) {x : x 2 = 0}
s) {x : x − 1∉ A}
t) {x : 10 ≤ x 2 ≤ 20}
u) {x : 2x < x}
v) {x : x 2 + 3x + 2 = 0}
{
2
}
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w) {x : x 2 − 3x − 10 = 0}
x) {x : x 2 − 3x − 10 < 0}
 1

y)  x : ⋅ x ∈ ℤ 
 2

z) x : ( −1) ∈ ℕ
{
RTA: a) {0;1;2;3}
}
x
b) {0;1;2;3; 4;5;6;7;8}
c) {0;1;4;9}
d) {1;3;5;7;9}
e) {2;3;5;7}
f) ∅
g) {0;1;2;3}
h) {0; 4;8}
i) {6}
j) {1;5;9}
k) {0;2;3; 4;6;8;9}
l) {0}
m) {0;1;2}
n) A
o) {1;2;4;8}
p) {0;1;2;3;4}
q) {0;1;2;3}
r) {0}
s) {0}
t) {4}
u) ∅
v) ∅
w) {5}
x) {0;1;2;3;4}
y) {0;2; 4;6;8}
z) {0;2; 4;6;8}
La inclusión amplia nos permite definir la igualdad de conjuntos de una forma
aparentemente distinta a la dada:
A =B⇔ A ⊆B ∧ B⊆ A
ya que si todo elemento de A lo es de B, y todo elemento de B lo es de A,
necesariamente estos conjuntos poseen los mismos elementos.
Esta equivalencia es usada con frecuencia como técnica de demostración para
probar que dos conjuntos son iguales.
PROPOSICIÓN Nº 1:
Dados los conjuntos A, B y C, se verifica:
a) A ⊂ A .
b) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B .
c) Si A ⊂ B ∧ B ⊂ C ⇒ A ⊂ C .
DEMOSTRACIÓN:
a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e
=
c) Se debe demostrar que A ⊂ C , es decir, que ∀ x ∈ A, x ∈ C .
Sea x ∈ A . Como A ⊂ B , entonces x ∈ B . Luego, como B ⊂ C , entonces
x ∈ C . Por lo tanto, A ⊂ C .
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COROLARIO Nº 1:
Dados los conjuntos A, B y C, se verifica:
a) A = A .
b) Si A = B ⇒ B = A .
c) Si A = B ∧ B = C ⇒ A = C .
DEMOSTRACIÓN:
a) y b) son consecuencias triviales de las definiciones de ⊂ e
=
c) Se debe demostrar que A = C , es decir, que A ⊂ C ∧ C ⊂ A (por b de la
proposición nº 1)
Por hipótesis, A = B , entonces, A ⊂ B y B ⊂ A .
También por hipótesis, B = C , entonces B ⊂ C y C ⊂ B .
Luego, por c) de la proposición anterior, A ⊂ B y B ⊂ C implica A ⊂ C .
Por su parte, C ⊂ B y B ⊂ A implica C ⊂ A .
Como A ⊂ C ∧ C ⊂ A , entonces A = C .
DIAGRAMAS DE VENN
Para visualizar las relaciones entre conjuntos, es útil el uso de los diagramas
de Venn. Los diagramas son empleados para representar tanto a los conjuntos
como a sus operaciones, y constituyen una poderosa herramienta geométrica.
Los conjuntos se representan por medio de recintos planos cerrados, en cuyo
interior se ubican los elementos de cada conjunto simbolizados por puntos.
Si A ⊂ B se podría representar así:
B
A
o también:
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U
A
B
donde B ⊂ U y A ⊂ B ( A ⊂ U ).
ÁLGEBRA DE CONJUNTOS
Ya hemos aprendido a definir conjuntos y a compararlos. Trataremos ahora de
operar con ellos, así como operamos con los números reales, mediante la suma y el
producto.
En efecto, las operaciones que definiremos para conjuntos tendrán ciertas
propiedades formales, algunas de las cuales (leyes conmutativa, asociativa y
distributiva) serán las ya conocidas para la suma y el producto de números reales.
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
Supongamos en todos los casos, fijado un conjunto universal U.
INTERSECCIÓN
DEFINICIÓN Nº 7:
Se denomina INTERSECCIÓN de A con B al conjunto A ∩ B formado por
los elementos que pertenecen a A y que pertenecen a B, es decir, que ambos
conjuntos tienen en común.
En símbolos, A ∩ B = {x / x ∈ A ∧ x ∈ B}
Es decir que x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ B .
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En el diagrama de Venn, la intersección queda representada por medio del área
sombreada:
Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica conjunción y
la operación intersección entre conjuntos.
DEFINICIÓN Nº 8:
Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común, es decir, si
A ∩ B = ∅ entonces se dice que A y B son CONJUNTOS DISJUNTOS.
Veamos los siguientes ejemplos a través de los cuales
clarificaremos las dos definiciones anteriores.
a) Los conjuntos A = {2;4;6} y B = {1;3;5} son disjuntos pues no tienen ningún
elemento en común, es decir, A ∩ B = ∅ .
U
B
A
•2
•1
•4
•3
•6
•5
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b) Si consideramos los conjuntos A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 2 y x < 9} y
B = {x ∈ ℤ / x es múltiplo de 3 y − 2 ≤ x < 8} y buscamos su intersección, para ello
deberemos previamente tener en claro cuáles son sus elementos. Para esto,
definiremos los conjuntos por extensión.
A = {x ∈ ℕ / x es múltiplo de 2 y x < 9} = {2;4;6;8}
B = {x ∈ ℤ / x es múltiplo de 3 y − 2 ≤ x < 8} = {0;3;6}
U
A
B
•2
•4
•6
•8
•0
•3
UNIÓN
DEFINICIÓN Nº 9:
Se denomina UNIÓN de A con B al conjunto
A ∪ B formado por los
elementos que pertenecen a A, a B o a ambos.
En símbolos, A ∪ B = {x / x ∈ A ∨ x ∈ B}
Es decir que x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B
En el diagrama de Venn, la unión queda representada por medio del área
sombreada:
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Hay, como vemos, una correspondencia entre la operación lógica disyunción y
la operación unión entre conjuntos.
Por ejemplo, si A = {2;4;6} y B = {1;3;5} , entonces
A ∪ B = {1;2;3;4;5;6} .
COMPLEMENTACIÓN
DEFINICIÓN Nº 10:
Se denomina COMPLEMENTO del conjunto A al conjunto A formado por
todos aquellos elementos de U que no pertenecen a A. Se denota también
A' o A C .
En símbolos, A = {x ∈ U / x ∉ A}
Es decir que x ∈ A ⇔ x ∉ A .
En el diagrama de Venn, el complemento del conjunto A queda representado
por medio del área sombreada:
En los siguientes ejemplos veremos cómo calcular los
complementos de algunos conjuntos.
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1) Si U = {1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} y A = {x ∈ ℕ / 4 ≤ x < 7} entonces el complemento de
A, formado por todos los elementos de U que no pertenecen a A, es el conjunto
A = {1,2,3,7,8,9,10} .
U
A
•7
•1
•4
•2
•5
•3
•6
•8
•9
• 10
2) Si U = ℤ y A = {x ∈ ℤ / x es par} , entonces A = {x ∈ ℤ / x es impar}
Determina, en cada caso, el complemento del
conjunto A, respecto del universal U
a) U = ℤ ∧ A = ℕ
b) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ 2x < 16}
c) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ x 2 = 5}
d) U = ℕ ∧ A = {x / x ∈ ℕ ∧ x es múltiplo de 5}
RTA: a) A = ℕ − ∪ {0}
c) A = ℕ
b) A = {x ∈ ℕ / 8 ≤ x}
d) A = {x / x ∈ ℕ ∧ x no es múltiplo de 5}
DIFERENCIA
DEFINICIÓN Nº 11:
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Se denomina DIFERENCIA de A con B al conjunto A − B formado por los
elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.
En símbolos, A − B = {x / x ∈ A ∧ x ∉ B}
Es decir que x ∈ A − B ⇔ x ∈ A ∧ x ∉ B .
En el diagrama de Venn, la diferencia queda representada por medio del área
sombreada:
Veamos los siguientes ejemplos…
1) Si A = {x ∈ ℕ / 4 ≤ x < 7} y B = {2,4,6,8,10} , entonces la diferencia entre A y
B, es decir, el conjunto que resulta de quitarle a A aquellos elementos que tiene y
que también pertenecen a B es A − B = {5} .
Por su parte, B − A = {2,8,10}
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2) Si A = {x ∈ℕ / x es par} y B = {2,4,6,8,10} , entonces la diferencia entre A y B es
el conjunto A − B = {x ∈ ℕ / x es par ∧ 12 ≤ x} y B − A = ∅ .
¿Cómo podríamos completar los siguientes enunciados
de tal manera que resulten verdaderos?
a) La diferencia U − A es igual a ______________________
b) La diferencia A − U es igual a ______________________
c) La diferencia A − B ________igual a la diferencia B − A .
DIFERENCIA SIMÉTRICA
DEFINICIÓN Nº 12:
Se denomina DIFERENCIA SIMÉTRICA de A con B al conjunto
A∆B
formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B o por
los elementos de B que no pertenecen a A.
.
En símbolos:
A∆B = ( A − B ) ∪ (B − A )
= {x / ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨
(x ∈B
Es decir que x ∈ A∆B ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B ) ∨
∧ x ∉ A )}
(x ∈B
∧ x ∉ A)
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En el diagrama de Venn, la diferencia simétrica queda representada por medio
del área sombreada:
Si bien para fijar las ideas es útil hacer uso de los
diagramas de Venn, es importante tener en cuenta que
estos diagramas tienen, por única utilidad ayudar a la
intuición y en modo alguno pueden ser empleados como
métodos de demostración de proposiciones matemáticas
concernientes a conjuntos.
En los siguientes ejemplos analizaremos como aplicar las
operaciones para algunos conjuntos dados.
1) Sea U = {a;b;c;d} , A = {a;c;d} y B = {b;c} . Entonces:
i A ∩ B = B ∩ A = {c}
i A ∪ B = B ∪ A = {a;b;c;d} = U
i A ' = {b} y B ' = {a;d}
i A − B = {a;d} y B − A = {b}
U
A
B
•a
•d
•c
•b
i A∆B = B∆A = {a;b;d}
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2) Sea U como en el ejemplo anterior, A = {b;c} y B = {a} . Entonces:
i A ∩B = B ∩ A = ∅
U
i A ∪ B = B ∪ A = {a;b;c}
A
B
i A ' = {a;d} y B' = {b;c;d}
•b
i A − B = {b;c} y B − A = {a}
•c
i A∆B = B∆A = {a;b;c}
•a
•d
3) Si U = ℕ , A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 2} y B = {x ∈ ℕ / x es divisible por 3} ,
entonces:
i A ∩ B = B ∩ A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 6}
i A ∪ B = B ∪ A = {x ∈ ℕ / x es divisible por 2 o por 3}
i A ' = {x ∈ ℕ / x es impar} y B' = {x ∈ ℕ / x no es divisible por 3}
i A − B = {x ∈ ℕ / x es un número par no divisible por 3}
i B − A = {x ∈ ℕ / x es un núm ero divisible por 3 impar}
4) Si U = R , A = {x ∈ R / x > −1} y B = {x ∈ R / x ≤ 1} , entonces:
i A ∩ B = B ∩ A = {x ∈ ℝ / −1 < x ≤ 1}
i A ∪B = B ∪ A = R
i A ' = {x ∈ ℝ / x ≤ −1} y B ' = {x ∈ ℝ / x > 1}
i A − B = {x ∈ ℝ / x > 1}
i B − A = {x ∈ ℝ / x ≤ −1}
Resuelve los siguientes ejercicios.
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1) Sean A y B dos conjuntos. Responde las siguientes preguntas justificando la
respuesta.
a) si a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de A ∪ B ?
b) si a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de A ∩ B ?
c) si a ∈ A ∩ B , ¿debe ser entonces a elemento de B?
d) si a ∈ A ∩ B , ¿debe ser entonces a elemento de A ∪ B ?
e) si A ⊄ B y a ∈ A , ¿debe ser entonces a elemento de B?
RTA: a) Sí
b) No
c) Sí
d) Sí
e) No
2) Dados los conjuntos:
• A = {x / x ∈ ℕ ∧ 0 < x < 6}
• B = {z / z ∈ ℕ ∧ z = 2x + 1 ∧ x ∈ A}
a) Define por extensión cada uno de ellos.
b) Halla A ∪ B .
RTA: a) A = {1;2;3; 4;5} , B = {3;5;7;9;11}
b) A ∪ B = {1;2;3;4;5;7;9;11}
3) Dados los siguientes conjuntos:
i A = {1;2;3;4;5}
i B = {3;5;7;9;11}
i C = {2;5;8;11;12}
i U = {x ∈ ℕ / x ≤ 12}
a) Representa los conjuntos mediante un diagrama y ubica en él sus elementos.
b) Efectúa las siguientes operaciones y representa gráficamente el sector
correspondiente a cada una de ellas en diferentes gráficos:
RTA: a)
b1) A ∪ B ∪ C
b2) B − ( A ∪ B )
b3) A ∩ B ∩ C
b4) ( A ∩ B ) ∪ C
b5) ( A ∩ C ) − B  ∪ A ∪ B ∪ C
b6) ( A∆B ) ∩ C
b) b1) {1;2;3;4;5;7;8;9;11;12}
b4) {2;3;5;8;11;12}
b2) ∅
b3) {5}
b5) {2;6;10}
b6) {2;11}
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3) Señalar en un diagrama de Venn de tres conjuntos A, B y C los conjuntos
resultantes de aplicar las siguientes operaciones:
a) A ∩ (B ∪ C )
b) ( A ∩ B ) ∪ C
(
c) A ∩ B ∪ C
)
(
)
d) A ∩ B ∩ C
4) Indicar qué operación entre los conjuntos A, B y C representan las áreas
sombreadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
RTA: a) B ∩ C
d) C ∪ ( A ∩ B )
b) ( A ∪ B ) − C
c) A ∪ B ∪ C ∪ ( A ∩ B ∩ C)
e) ( A ∪ B ∪ C) − (B ∩ C)
f) ( A ∪B∪C) − (B∩C) − A
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PROPIEDADES DE LA UNIÓN, LA INTERSECCIÓN
Y
LA COMPLEMENTACIÓN
En el siguiente teorema aparecen enunciadas todas las propiedades relativas a
la unión, la intersección y la complementación entre conjuntos.
TEOREMA Nº 1:
Para todo subconjunto A, B, C y D de U son válidas las
siguientes propiedades:
a) Conmutativa de la intersección: A ∩ B = B ∩ A
Conmutativa de la unión: A ∪ B = B ∪ A
b) Asociativa de la intersección: A ∩ (B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C
Asociativa de la unión: A ∪ (B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C
c) Idempotencia de la intersección: A ∩ A = A
Idempotencia de la unión: A ∪ A = A
d) Distributiva
de
la
intersección
con
respecto
a
la
unión:
A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
Distributiva
de
la
unión
con
respecto
a
la
intersección:
A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
e) Leyes cónicas:
A∪A =U
A∩A =∅
f) U es el elemento neutro de la ∩ : A ∩ U = A
∅ es el elemento neutro de la ∪ : A ∪ ∅ = A
g) Involutividad del complemento: A = A
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h) U = ∅ ; ∅ = U
i) Leyes de De Morgan:
A ∩B = A ∪B
A ∪B = A ∩B
DEMOSTRACIÓN:
En todos los casos en que debamos demostrar igualdades entre conjuntos
utilizaremos lo ya demostrado en la proposición 1, ítem b, es decir que si
A ⊂ B ∧ B ⊂ A ⇒ A = B.
Las demostraciones de las propiedades a, b, c, e, f, g y h son triviales, por lo
tanto, quedan como ejercicio para el lector.
A continuación, demostraremos las propiedades d e i.
d) Distributiva de la intersección con respecto a la unión: debemos
demostrar que A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) .
A ∩ (B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
⊂
Sea
y que
Por lo tanto, probaremos que
( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ) .
x ∈ A ∩ (B ∪ C ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C ) , es decir,
x ∈B ∨ x ∈C .
x ∈B ,
Si
como
también
x∈A,
entonces
x ∈ ( A ∩ B) .
Luego,
también
x∈A,
entonces
x ∈ ( A ∩ C) .
Luego,
x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) .
x ∈C ,
Si
como
x ∈ ( A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) .
Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ A ∩ (B ∪ C ) se termina
verificando que x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) .
∴ A ∩ (B ∪ C ) ⊂ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C )
⊃
Sea x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) , entonces x ∈ ( A ∩ B ) ∨ x ∈ ( A ∩ C ) .
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Si x ∈ ( A ∩ B ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ B , con lo cual x ∈ (B ∪ C ) . Luego,
x ∈ A ∩ (B ∪ C ) .
Si x ∈ ( A ∩ C ) , entonces x ∈ A ∧ x ∈ C , con lo cual x ∈ (B ∪ C ) . Luego,
x ∈ A ∩ (B ∪ C ) .
Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) se
termina verificando que x ∈ A ∩ (B ∪ C ) .
∴ ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ⊂ A ∩ (B ∪ C ) .
Por lo demostrado anteriormente, A ∩ (B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) .
Distributiva de la unión con respecto a la intersección: debemos
demostrar que A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .
Por lo tanto, probaremos que
A ∪ (B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) y que ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ (B ∩ C ) .
⊂
Sea x ∈ A ∪ (B ∩ C ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ (B ∩ C ) .
x∈A,
Si
se
verifica
que
x ∈ ( A ∪ B) ∧ x ∈ ( A ∪ C) .
Luego,
x ∈ ( A ∪ B) ∩ ( A ∪ C) .
x ∈ (B ∩ C ) ,
Si
entonces
x ∈B ∧ x ∈C ,
con
lo
cual
x ∈ ( A ∪ B ) ∧ x ∈ ( A ∪ C ) . Luego, x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .
Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ A ∪ (B ∩ C ) se termina
verificando que x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .
∴ A ∪ (B ∩ C ) ⊂ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C )
⊃
Sea x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) , entonces x ∈ ( A ∪ B ) ∧ x ∈ ( A ∪ C ) .
Como x ∈ ( A ∪ B ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ B . (∗)
Como x ∈ ( A ∪ C ) , entonces x ∈ A ∨ x ∈ C . (∗)
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Hay dos posibilidades: que x pertenezca a A o que no pertenezca a A.
Si x ∈ A , entonces x ∈ A ∪ (B ∩ C ) y si x ∉ A , por (∗)
se tiene que
x ∈ B ∧ x ∈ C . Luego, x ∈ (B ∩ C ) , lo cual implica que x ∈ A ∪ (B ∩ C ) .
Como podemos observar, en cualquier caso dado x ∈ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) se
termina verificando que x ∈ A ∪ (B ∩ C ) .
∴ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) ⊂ A ∪ (B ∩ C ) .
Por lo demostrado anteriormente, A ∪ (B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) .
i) Leyes de De Morgan.
Demostraremos primero que A ∩ B = A ∪ B .
Para ello deberemos probar que A ∩ B ⊂ A ∪ B y que A ∪ B ⊂ A ∩ B .
⊂
Sea x ∈ A ∩ B , entonces por definición de complemento de un conjunto
se tiene que x ∉ A ∩ B . Esto nos indica que x ∉ A ∨ x ∉ B
Consideramos las dos posibilidades:
• Si x ∉ A, entonces x ∈ A . Esto implica que x ∈ A ∪ B .
• Si x ∉ B, entonces x ∈ B . Esto implica que x ∈ A ∪ B .
Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∩ B , puede
verificarse finalmente que x ∈ A ∪ B .
∴A ∩B ⊂ A ∪B
⊃
Sea x ∈ A ∪ B , entonces x ∈ A ∨ x ∈ B .
Si x ∈ A entonces x ∉ A . Por lo tanto x ∉ A ∩ B , lo cual implica que x ∈ A ∩ B .
Si x ∈ B, entonces x ∉ B . Por lo tanto x ∉ A ∩ B, lo que implica que x ∈ A ∩ B .
Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∪ B , puede
verificarse finalmente que x ∈ A ∩ B .
∴A ∪B ⊂ A ∩B .
Queda entonces demostrado que A ∩ B = A ∪ B .
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Demostraremos ahora que A ∪ B = A ∩ B .
Para ello deberemos probar que A ∪ B ⊂ A ∩ B y que A ∩ B ⊂ A ∪ B .
⊂
Sea
x ∈ A ∪ B . Por definición de complemento de un conjunto
x ∉ A ∪ B . Esto implica que x ∉ A ∧ x ∉ B (pues si perteneciera a alguno de los
dos conjuntos estaría en la unión de ambos).
Como x ∉ A ∧ x ∉ B , x ∈ A ∧ x ∈ B . Por lo tanto x ∈ A ∩ B .
Podemos observar que en cualquiera de los casos, dado x ∈ A ∪ B , puede
verificarse finalmente que x ∈ A ∩ B .
∴A ∪B ⊂ A ∩B
⊃
Sea x ∈ A ∩ B . Entonces x ∈ A ∧ x ∈ B .
Por definición de complemento de un conjunto, esto último indica que
x ∉ A ∧ x ∉ B . Por lo tanto x ∉ A ∪ B , entonces x ∈ A ∪ B .
Podemos observar que dado x ∈ A ∩ B , hemos logrado probar finalmente que
x ∈ A ∪B.
∴A ∩B ⊂ A ∪B
Queda entonces demostrado que A ∪ B = A ∩ B .
No olvides probar los ítems que faltaron del teorema 1.
Además, demuestra las siguientes proposiciones:
A ∩ B ⊂ A
a) 
A ∩ B ⊂ B
b) Si C ⊂ A ∧ C ⊂ B ⇒ C ⊂ A ∩ B
A ⊂ A ∪ B
c) 
B ⊂ A ∪ B
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d) Si A ⊂ C ∧ B ⊂ C ⇒ A ∪ B ⊂ C
e) A − B = A − ( A ∩ B )
f) A = ( A ∩ B ) ∪ ( A − B )
APLICACIÓN: RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
A continuación trabajaremos con una situación
problemática para cuya resolución nos será muy útil
trabajar con diagramas de Venn.
Una cátedra universitaria realiza anualmente una encuesta a los alumnos, al
comienzo de las clases.
Desean comparar los resultados recogidos en la actualidad con aquellos
obtenidos en el año 1992.
De la encuesta correspondiente a 1992, realizada a 744 alumnos, se extrajeron
los siguientes datos referidos a sexo, título secundario y áreas de interés:
• 334 alumnos son mujeres (M)
• 269 alumnos son Peritos Mercantiles (P)
• 320 alumnos se interesan por el área de Economía (E)
• 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles (M y P)
• 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía (M y E)
• 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía (P y E)
• 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el área de
Economía (M, P y E)
En primer lugar disponen organizar la información en un diagrama de Venn,
colocando en cada sector del gráfico los valores correspondientes a la cantidad de
personas que integran ese sector.
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Iremos mostrando paso por paso la manera en la que efectúan esta
construcción.
• Como 13 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles que se interesan por el
área de Economía, entonces # (M ∩ P ∩ E ) = 13
• Como 123 alumnos son mujeres Peritos Mercantiles, si restamos a esa
cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de Economía
que ya habíamos colocado, resulta que # (M ∩ P ) − E  = 123 − 13 = 110 .
• Como 44 alumnos son mujeres que se interesan por el área de Economía, si
restamos a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área
de Economía que ya habíamos colocado, resulta que # (M ∩ E ) − P  = 44 − 13 = 31 .
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• Como 98 alumnos son Peritos que se interesan por Economía, si restamos
a esa cantidad las 13 mujeres Perito Mercantiles e interesadas en el área de
Economía que ya habíamos colocado, resulta que # (P ∩ E ) − M = 98 − 13 = 85 .
• Como 334 alumnos son mujeres, si restamos a esa cantidad los valores ya
colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que tiene M con P
y con E, obtenemos que # M − (P ∪ E )  = 334 − 110 − 13 − 31 = 180 .
• Como 269 alumnos son Peritos Mercantiles, si restamos a esa cantidad los
valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en común que
tiene P con M y con E, obtenemos que # P − (M ∪ E )  = 269 − 110 − 13 − 85 = 61.
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• Como 320 alumnos se interesan por el área de Economía, si restamos a esa
cantidad los valores ya colocados correspondientes a la cantidad de personas en
común que tiene E con M y con P, obtenemos que # E − (M∪P) = 320 − 31−13 − 85 = 191
• Teniendo en cuenta que la cantidad total de alumnos de la cátedra es 744,
entonces # U − (M ∪ P ∪ E )  = 744 − (180 + 110 + 61 + 31 + 13 + 85 + 191) = 73 , resultando
el gráfico final de la siguiente manera:
A partir de este último gráfico es más sencillo poder responder algunas
preguntas referentes a los datos que nos brinda la encuesta. Veamos algunas de
ellas…
1) ¿A cuántas mujeres no les interesa Economía?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M − E .
No les interesa Economía a 290 = 180 + 110 mujeres.
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2) ¿Cuántos alumnos son Peritos Mercantiles o les interesa Economía?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto P ∪ E .
Son Perito Mercantiles o les interesa Economía a 491= 110 + 61+ 31+13 + 85 +191
personas.
3) ¿Cuántos alumnos son varones?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M .
Son varones 410 = 61 + 85 + 191 + 73 de los 744 estudiantes de la cátedra.
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4) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles y les interesa
Economía?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto (P ∩ E ) − M .
Son varones Perito Mercantiles e interesados por Economía 85 alumnos.
5) ¿Cuántos alumnos varones son Perito Mercantiles o les interesa
Economía?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto (P ∪ E ) − M .
Son varones Perito Mercantiles o interesados por Economía 337 = 61 + 85 + 191
alumnos.
6) ¿Cuántos alumnos varones no son Perito Mercantiles ni les interesa
Economía?
La respuesta corresponde a la cantidad de elementos del conjunto M ∪ P ∪ E .
No son Perito Mercantiles ni les interesa la Economía a 73 alumnos varones.
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Pondremos en práctica lo aprendido resolviendo los
siguientes problemas…
1) En una escuela con 100 alumnos, el número total de ellos estudiando varios
idiomas es el siguiente:
• Español: 28
• Alemán: 30
• Francés: 42
• Alemán y español: 8
• Español y francés: 10
• Alemán y francés: 5
• Los tres idiomas: 3
Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el
sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad:
a) ¿Cuántos alumnos de la escuela no estudian ningún idioma?
b) ¿Cuántos estudian solamente francés?
c) ¿Cuántos estudian español y alemán?
d) ¿Cuántos no estudian español?
e) ¿Cuántos no estudian alemán y francés?
f) ¿Cuántos estudian español o francés?
g) ¿Cuántos estudian sólo dos idiomas?
RTA: a) # A ∪ E ∪ F = 20
e) # A ∩ F = 95
b) # F − ( A ∪ E ) = 30
c) # A ∩ E = 8
f) # E ∪ F = 60
g) # F − ( A ∪ E )  ∪  A − (F ∪ E )  ∪ E − ( A ∪ F )  = 14
d) # E = 72
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2) En un reconocimiento de bases matemáticas de 50 alumnos inscriptos en
Estadística, se encontró que el número de estudiantes que habían hecho distintas
materias del área era como sigue:
• Álgebra: 23
• Análisis Matemático: 13
• Geometría: 18
• Álgebra y Análisis Matemático: 6
• Álgebra y Geometría: 3
• Geometría y Análisis Matemático: 3
• Las tres materias: 1
Responde las siguientes preguntas indicando la cantidad que se solicita y el
sector del gráfico en el cual se haya representada esa cantidad:
a) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra?
b) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Análisis Matemático?
c) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría?
d) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo una de las tres materias?
e) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Análisis Matemático?
f) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Álgebra y Geometría?
g) ¿Cuántos alumnos cursaron sólo Geometría y Análisis Matemático?
h) ¿Cuántos alumnos cursaron Álgebra, Análisis Matemático o ambas?
i) ¿Cuántos alumnos no cursaron Análisis Matemático?
j) ¿Cuántos alumnos no cursaron ninguna materia?
RTA: a) # A − ( G ∪ M) = 15
b) # M − ( G ∪ A ) = 5
e) # ( A ∩ M) − G = 5
d) #  A − ( G ∪ M)  ∪ G − ( A ∪ M)  ∪ M − ( G ∪ A )  = 33
f) # ( A ∩ G ) − M = 2 2
g) # ( G ∩ M) − A = 2 2
h) # A ∪ M = 30
i) # M = 37
j) # A ∪ M ∪ G = 7
c) # G − ( A ∪ M) = 13
3) Una encuesta realizada a 200 personas acerca del consumo de 3 productos
A, B y C reveló los siguientes datos:
•
76 personas consumían A.
•
144 personas consumían B.
•
126 personas consumían C.
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•
nadie consumía sólo el producto A.
•
100 consumían B y C.
•
56 consumían A y B.
•
40 consumían los tres productos simultáneamente.
Responde indicando la cantidad de elementos de qué conjunto hay que tener
en cuenta para dar la respuesta:
a) ¿Cuántas personas no consumen ninguno de los tres productos?
b) ¿Cuántas personas consumen A y C, pero no B?
c) ¿Cuántas personas consumen A o C?
d) ¿Cuántas personas consumen sólo B?
e) ¿Cuántas personas no consumen B?
RTA: a) # A ∪ B ∪ C = 30
b) # ( A ∩ C ) − B = 20
c) # A ∪ C = 142
d) # B − ( A ∪ C ) = 28
e) # B = 56
PRODUCTO CARTESIANO
DEFINICIONES Nº 13:
Un PAR ORDENADO consiste en dos elementos que se denominan
PRIMERA COMPONENTE o primer elemento y SEGUNDA COMPONENTE o
. segundo elemento. Los elementos del par ordenado se colocan entre
paréntesis, separados por punto y coma.
Para que dos PARES ORDENADOS sean IGUALES es condición
necesaria y suficiente que los componentes homólogos sean iguales entre sí.
( a;b ) = ( c;d) ⇔ a = c
∧
b=d
Si en los pares se cambia el orden de las componentes, se obtienen pares
ordenados diferentes, salvo que los dos elementos del par sean iguales. Con esto
queremos decir que ( x;y ) ≠ ( y;x ) ⇔ x ≠ y .
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DEFINICIÓN Nº 14:
El PRODUCTO CARTESIANO es una operación entre
conjuntos que
arroja un nuevo conjunto cuyos elementos son pares ordenados.
El producto cartesiano entre los conjuntos A y B se simboliza A × B y es el
. conjunto formado por todos los pares ordenados cuya primera componente
pertenece al conjunto A y cuya segunda componente pertenece al conjunto B.
En símbolos: A × B = {( x;y ) / x ∈ A e y ∈ B}
Como resultado de la definición de producto cartesiano, podemos decir que si
el conjunto A tiene “m” elementos y el conjunto B tiene “n” elementos, el producto
cartesiano entre ellos tendrá mxn elementos.
De acuerdo a la definición, si A = {1;2;3} y
B = {a;b} ,
entonces:
• AxB = {(1;a ) ; (1;b ) ; ( 2;a ) ; ( 2;b ) ; ( 3;a ) ; ( 3;b )} ⇒ # ( AxB ) = 6 = 3 ⋅ 2
• BxA = {( a;1) ; ( a;2 ) ; ( a;3 ) ; ( b;1) ; ( b;2 ) ; ( b;3 )} ⇒ # (BxA ) = 6 = 2 ⋅ 3
• AxA = {(1;1) ; (1;2 ) ; (1;3 ) ; ( 2;1) ; ( 2;2 ) ; ( 2;3 ) ; ( 3;1) ; ( 3;2 ) ; ( 3;3 )} ⇒ # ( AxA ) = 9 = 3 ⋅ 3
• BxB = {( a;a ) ; ( a;b ) ; ( b;a ) ; ( b;b )} ⇒ # (BxB ) = 4 = 2 ⋅ 2
Halla el producto cartesiano A × B , A × A , B × A y B × B
siendo:
• A = {x / x ∈ ℕ ∧ x < 3}
• B = {x / x ∈ ℕ ∧ x es un número impar ∧ 3 < x ≤ 7}
RTA: A × B = {(1;5 ) ; (1;7 ) ; ( 2;5 ) ; ( 2;7 )}
B × A = {( 5;1) ; ( 5;2 ) ; ( 7;1) ; ( 7;2 )}
A × A = {(1;1) ; (1;2 ) ; ( 2;1) ; ( 2;2)}
B × B = {( 5;5 ) ; ( 5;7 ) ; ( 7;5 ) ; ( 7;7 )}
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ANÁLISIS COMBINATORIO
El hecho de incluir la Combinatoria en esta unidad se debe principalmente a
dos razones.
En primer lugar, es un tema que casi no requiere de conocimientos
matemáticos previos. El bagaje técnico exigido no va mucho más allá de saber
sumar y multiplicar. En ese sentido es un tema elemental, aunque no por ello menos
rico y estimulante.
Por otro lado, en el análisis de los problemas combinatorios está presente la
esencia misma de la Matemática: su función ordenadora del pensamiento, su misión
de enseñar a abstraer y generalizar, de encontrar lo común en lo aparentemente
distinto, su finalidad primordial de desarrollar métodos y estrategias para resolver
problemas. El objetivo será entonces, no tanto presentar una lista de fórmulas y
teoremas, sino más bien tratar de lograr una familiaridad con algunas ideas y formas
de razonar.
Nos preguntamos entonces… ¿qué es la Combinatoria? Sin entrar en
encuadrarla en una definición rígida, podríamos describirla brevemente como una
técnica, habilidad o arte de contar sin enumerar. Esto implica el desarrollo de
aptitudes que nos permitan conocer, por ejemplo, el número de elementos de un
conjunto, el número de casos posibles de una situación, el número total de
resultados que puede arrojar una experiencia, etc., sin la exposición detallada de los
mismos
En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio se observa que una
operación o actividad aparece en forma repetitiva y es necesario conocer la cantidad
de formas o maneras en que se puede realizar dicha operación. Para dichos casos
es útil conocer determinadas técnicas o estrategias de conteo que facilitarán el
cálculo señalado.
En primer lugar veremos una técnica de carácter general: es sencilla y se la
conoce como el principio multiplicativo. Derivadas de este principio luego
consideraremos las permutaciones, que son ordenaciones de todos los elementos
de un conjunto y son un caso particular de las variaciones, que también
estudiaremos. Por último analizaremos las combinaciones.
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PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Un turista debe trasladarse de una ciudad a otra.
Para hacerlo puede optar por viajar en avión,
ómnibus o tren, y en cada uno de estos medios puede
elegir viajar en primera o en clase turista.
¿De cuántas maneras distintas
puede realizar el viaje?
¿Cómo haces para contarlas?
Después de que hayas hecho tus propios intentos por resolver el problema,
ahora sí… lo pensemos juntos!
Por cada posible elección del medio de transporte, las opciones del turista son
siempre dos: primera clase o clase turista.
Puesto que son tres los medios de transporte disponibles, la cantidad de formas
en que puede viajar de una ciudad a otra será igual a 3 ⋅ 2 = 6 .
Situaciones como las planteadas en el problema anterior pueden representarse
mediante “árboles” o “diagramas de árbol”, que facilitan el análisis brindando una
visualización del problema que apoya nuestros razonamientos.
Por ejemplo, en este caso, el diagrama de árbol sería el siguiente:
Avión
OPCIONES DE VIAJE
Ómnibus
Tren
Primera
Clase turista
Primera
Clase turista
Primera
Clase turista
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Sigamos resolviendo problemas…
¿Cuántos números de tres cifras distintas pueden
formarse con los dígitos impares?
¿Cómo haces para contarlos? Registra
el procedimiento.
Una solución rudimentaria sería escribirlos todos, es decir, enumerarlos y luego
contarlos. Para hacerlo, es necesario tener algún método, una forma sistemática de
enumeración, pues de otra manera nos quedaría al final la incertidumbre de haber
olvidado alguno.
Aún si lográramos escribir todos los números esta forma de trabajo no sería útil
para otros problemas en los que la cantidad de elementos a contar sea demasiado
grande como para poder efectuar una enumeración en un tiempo razonable.
¿Cómo podemos hacer entonces?
Sabemos que el número que buscamos tiene tres cifras, es decir, es de la
forma “abc” en donde a representa la cifra de las centenas, b la de las decenas y c la
de las unidades.
Cada uno de estos dígitos debe ser impar, o sea, tomará los valores 1, 3, 5, 7 o
9.
Además no puede haber dígitos repetidos, es decir, no se permite que a sea
igual a b o que b sea igual a c o que a sea igual a c.
Hechas estas aclaraciones pensemos cómo hallar la cantidad solicitada.
Para elegir la cifra a tenemos las cinco posibilidades mencionadas (1, 3, 5, 7 o
9). Para cualquier elección de ésta, tenemos ahora cuatro formas de elegir b, puesto
que los dígitos no pueden repetirse y entonces b no podría tomar el mismo valor que
a.
Por lo tanto, habrá 5 ⋅ 4 = 20 maneras de ubicar las dos primeras cifras.
Para determinar la última, disponemos aún de tres dígitos. Razonando en forma
idéntica a la anterior, concluimos que hay 20 ⋅ 3 = 60 números de tres cifras distintas
que emplean los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9.
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Si para hallar la cantidad solicitada hiciste un listado de los números, es posible
que los hayas encontrado a todos o que no hayas logrado tu cometido. Esto
dependerá, seguramente, de la utilización de alguna forma sistemática para
generarlos.
Una
buena
manera
sería,
5
por
3
ejemplo, pensar en que la cifra de las
9
centenas sea 1. En ese caso, la cifra de
5
las decenas podría ser 3, 5, 7 o 9.
Una vez seleccionada la decena, en
7
9
1
cada caso quedarían 3 opciones para las
3
7
7
unidades.
3
5
9
Esto podría organizarse mediante un
árbol como el que se muestra a la
9
3
5
7
derecha.
Podemos observar que hay 12 números que comienzan con 1 y tienen todos
sus dígitos impares y diferentes. Estos son: 135, 137, 139, 153, 157, 159, 173, 175,
179,193, 195 y 197.
Razonando de la misma manera, podemos decir que habrá otros 12 que
comiencen con 3, 12 más que empiecen con 5, 12 que tengan a 7 como cifra de las
centenas y 12 que se inicien en 9.
Podríamos escribirlos o no, pero de cualquier manera, esto nos llevaría a
contabilizar un total de 12 ⋅ 5 = 60 números en total, cifra que habíamos obtenido
inicialmente sin necesidad de enumerarlos.
Nos detenemos un instante a reflexionar…
Si resolvemos los problemas sin enumerar, ¿cuál es la
operación que usamos en ambos?
Está claro, que la operación utilizada es la multiplicación.
La clave consiste en observar que, en todos los casos, cada vez que se elige
una opción se abre el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente.
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Resulta claro entonces que el número de elecciones conjuntas es el producto de los
números de opciones disponibles en cada etapa.
En el primer problema…
MEDIO DE
TRANSPORTE
CLASE
↓
↓
3
⋅2
=6
posibilidades
posibilidades
posibilidades
En el segundo…
CENTENA
DECENA
UNIDAD
↓
↓
↓
5
⋅4
⋅3
= 60
posibilidades
posibilidades
posibilidades
posibilidades
A partir de lo anterior podemos llegar a la siguiente definición:
DEFINICIÓN Nº 15:
Supongamos que una experiencia E1 puede arrojar m resultados y, por
cada uno de estos, una experiencia E2 puede arrojar n resultados. Entonces la
. realización conjunta de E1 y E2 puede arrojar m ⋅ n resultados.
El principio anterior puede extenderse, por aplicación reiterada, al caso de
tres o más experiencias, siempre que el número de resultados que puede arrojar
cada experiencia sea el mismo para cada realización conjunta de las anteriores.
Este principio se conoce con el nombre de PRINCIPIO MULTIPLICATIVO.
Es importante tener en cuenta que, para poder aplicar
el principio, cada vez que se elija una opción, se debe abrir
el mismo número de posibilidades para elegir la siguiente.
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¿Qué queremos decir con esto?
Por ejemplo, en el segundo problema, para cada cifra que yo elija para las
centenas, habrá 4 posibilidades para las decenas y 3 para las unidades,
independientemente de que la cifra de las centenas haya sido 1, 3, 5, 7 o 9.
Distinta sería la situación si en el ejercicio se impusiera la condición de que la
segunda cifra sea mayor que la primera. En este caso, si la primera cifra fuese 1,
para la segunda habría 4 posibilidades (3, 5, 7 o 9); si fuese 3, habría 3 posibilidades
(5, 7 o 9); si fuese 5 habría 2 opciones (7 o 9), si fuese 7 habría una (9) y, por otro
lado, ningún número podría comenzar con 9, puesto que todos los dígitos impares
son menores que él y, entonces, no habría ninguna cifra para ocupar el lugar de las
decenas. Esto nos muestra que la elección de una cifra hace que varíen las
posibilidades para las restantes.
Practicamos lo aprendido respecto del principio
multiplicativo.
Resuelve los siguientes problemas.
1) Un menú turístico permite seleccionar una entrada entre cuatro, una comida
caliente entre tres, y un postre entre cinco.
a) ¿De cuántas formas puede elegir su menú un turista?
b) ¿De cuántas formas podrá hacerlo si desea que el salpicón de ave y la
suprema de pollo no aparezcan en el mismo menú?
RTA: a) 60
b) 55
2) Responde:
a) ¿Cuántos números de tres cifras pueden formarse a partir de 0, 1, 2, 3?
b) ¿Cuántos números menores que 100 pueden formarse a partir de los dígitos 1, 3,
9?
c) ¿Cuántos números de tres dígitos pueden formarse a partir de 1, 2, 3, 4, todos
terminados en 3?
d) ¿Cuántos números capicúas de 5 cifras hay (no pueden comenzar con cero)?
RTA: a) 48
b) 12
c) 16
d) 900
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3) ¿Cuántas parejas de baile pueden formarse a partir de un conjunto de 10
hombres y un conjunto de 8 mujeres?
RTA: 1.814.400
4) ¿Cuántos pares (presidente; vicepresidente) pueden formarse en un club
con 70 socios si ninguna persona puede desempeñar ambos cargos?
RTA: 4.830
5) Justifica la respuesta:
a) ¿Cuántos números de cinco dígitos pares hay?
b) ¿Cuántos números impares de cinco dígitos hay?
c) ¿Cuántos números terminados en 8 de cinco dígitos hay?
RTA: a) 2.500
b) 45.000
c) 9.000
6) Se envían señales mediante banderas izadas en un mástil en un
determinado orden.
a) Si se dispone de 5 banderas de colores diferentes, ¿cuántas señales pueden
emitirse izando 4 de ellas?
b) ¿En cuántas de ellas la bandera azul estará por encima de la roja?
RTA: a) 120
b) 36
7) El Dr. Arístides Pistado olvidó, como de costumbre, el número de código de
la tarjeta magnética que utiliza en el cajero automático. Sabe que se trata de un
número de cinco cifras formado por 2, 3, 4, 5 y 6, pero no recuerda el orden en que
figuran esos dígitos.
a) ¿Con cuántos números debe a lo sumo probar para dar con el correcto?
b) Más tarde recuerda que el número es impar, ¿con cuántos números debe probar
ahora?
c) Su esposa le avisa que el código comienza con un número primo impar. ¿Cuántos
intentos debe hacer con esta nueva información?
d) Encuentra en el cajón un papel en el que alguna vez quiso dejar pistas para
recordar el número: “El número de código de la tarjeta magnética es múltiplo de 5 y
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la cifra que ocupa el lugar de las centenas es primo”. ¿Cuántas pruebas debe
realizar?
e) ¿Cuál es el número de código si finalmente recuerda que la cifra que ocupa el
lugar de las decenas es mayor que la que ocupa el de las unidades?
RTA: a) 120
b) 48
c) 12
d) 2
e) 34265
8) Un mensaje telegráfico consiste en una sucesión de puntos y rayas.
¿Cuántos mensajes de longitud a lo sumo 10 pueden enviarse?
RTA: 2.046
PERMUTACIONES
Camila compró 5 libros para leer
durante las vacaciones y quiere establecer
un orden de lectura.
¿De cuántas maneras puede hacerlo?
Si tenemos en cuenta la forma en que veníamos resolviendo los problemas
anteriores, habremos podido argumentar que para seleccionar el primer libro que
leerá, Camila tiene 5 opciones. Cualquiera haya sido su elección, tiene 4
posibilidades para seleccionar el segundo libro, y así sucesivamente.
Por lo tanto, y nuevamente de acuerdo con el principio multiplicativo, la
cantidad de formas en que puede organizar su lectura es igual a 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120 .
Un grupo musical grabó 11 canciones con las que
editará un nuevo disco.
¿De cuántas maneras pueden elegir
la secuencia de temas?
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En este caso, debemos hallar la cantidad de formas en que pueden ser
ordenadas las 11 canciones.
Siguiendo el mismo razonamiento anterior, obtenemos que el número de
maneras es igual a 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 39.916.800 .
¿Cómo podemos generalizar lo anterior?
¿De cuántas formas podrá ordenarse un conjunto de n
elementos u objetos distintos?
Si observamos los problemas anteriores, en el primer caso, n = 5 y en el
segundo, n = 11. Esto nos induce a tratar de resolver esta situación general
mediante un razonamiento análogo al utilizado en los casos particulares.
Si tenemos n objetos, para seleccionar el primero de ellos hay, evidentemente,
n opciones, y cualquiera sea nuestra elección tendremos n − 1 formas de elegir el
segundo. Luego, hay n ⋅ ( n − 1) maneras de elegir primero un objeto y luego otro.
Por cada elección de los dos primeros tendremos n − 2 posibilidades para el
próximo y así sucesivamente.
Entonces, por aplicación reiterada del principio multiplicativo, concluimos en
que la cantidad de maneras de ordenar n objetos es n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1, es
decir que la cantidad buscada es el producto de los n primeros números naturales.
Este último número recibe el nombre de factorial de n y, para abreviar la
escritura, se lo indica con el símbolo n!.
Así, al resolver los problemas anteriores, hemos calculado 5! = 120
y
11! = 39.916.800 .
También utilizamos un término especial para designar a las formas de ordenar
una colección de n objetos distintos. Cada una de ellas se llamará una permutación
de los mismos.
Podemos resumir lo anterior en la siguiente definición:
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DEFINICIÓN Nº 16:
A la cantidad de maneras distintas de ordenar un conjunto de n elementos
se las llama PERMUTACIONES de orden n y se las indica por Pn donde
Pn = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 )⋯ 2 ⋅ 1 = n!
que se lee factorial de n.
.
Se define 0! = 1
Es importante tener en cuenta que en una permutación:
Se ordena la totalidad de los elementos.
Interesa el orden en que se ubican los elementos,
es decir que una permutación difiere de otra únicamente en
el orden de sus elementos.
¿Qué significa esto último?
Significa que, por ejemplo, si se me pide que indique cuántos números de tres
cifras diferentes pueden formarse con 4, 6 y 8, deberé utilizar todos estos dígitos y
los números que armaré, que serán 468, 486, 648, 684, 846 y 864, si bien todos
están compuestos por los mismos dígitos son diferentes entre sí por el orden en el
que éstos se encuentran.
A continuación veremos un ejemplo en el que se aplican
las
permutaciones
combinadas
con
el
principio
multiplicativo.
Para confeccionar un examen se dispone de 3 problemas de Geometría, 4 de
Estadística y 2 de Álgebra.
¿De cuántas maneras pueden ordenarse los problemas si los que
corresponden a un mismo tema deben aparecer en forma consecutiva?
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En este caso, debemos tener en cuenta dos cosas: cómo ordenar los bloques
de problemas según el área de la Matemática a la que pertenezcan y cómo
ordenarlos dentro de cada uno de esos bloques de acuerdo a su cantidad.
Si denominamos con la letra G a Geometría, con la E a Estadística y con la A a
Álgebra, para determinar el orden de los bloques, debemos calcular la cantidad de
permutaciones de estas tres letras. Estas son 3! = 6 formas de disponer los temas
(AEG, AGE, EAG, EGA, GAE, GEA).
Debemos ahora elegir, dentro de cada tema, la secuencia de problemas.
Lo podemos hacer de 3! maneras para los de Geometría, de 4! maneras para
los de Estadística y de 2! formas para los de Álgebra.
Aplicando el principio multiplicativo tenemos que, para cada ordenamiento de
temas, habrá 3!⋅ 4!⋅ 2! = 288 secuencias distintas de problemas.
En definitiva, se cuenta con un total de 6 ⋅ 288 = 1728 maneras de armar el
examen.
SECUENCIA
TEMA
POR TEMA
↓
↓
3! = 6
3!⋅ 4!⋅ 2! = 288
TOTAL = 1728
posibilidades
posibilidades
posibilidades
Resuelve los siguientes problemas.
1) Se desea organizar una gira presidencial a Chile, Perú, Bolivia, Paraguay y
Brasil. ¿Cuántos itinerarios posibles hay sin repetir países?
RTA: 120
2) ¿De cuántas maneras se pueden colorear con 9 colores los casilleros de la
grilla si todos deben quedar pintados de diferente color?
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RTA: a) 362.880
3) Durante un día de visita a una ciudad, un turista decide recorrer tres museos,
dos parques y un teatro.
a) ¿De cuántas maneras puede organizar su itinerario?
b) ¿De cuántas maneras puede hacerlo, pero debiendo comenzar por un museo y
seguir por un parque?
c) ¿De cuántas formas si el día debe concluir en el teatro?
RTA: a) 720
b) 144
c) 120
4) ¿Cuántos números impares de cinco cifras se obtienen permutando los
dígitos de 17.283?
RTA: a) 72
5) Seis excursionistas deben atravesar, en fila india, un puente angosto.
a) ¿De cuántas maneras pueden hacerlo?
b) ¿En cuántas de ellas Daniel cruzará inmediatamente después de Juan?
RTA: a) 720
b) 120
6) ¿De cuántas maneras pueden sentarse 6 chicas y 4 chicos en el cine, en 10
asientos consecutivos, si:
a) Todas las chicas desean sentarse juntas y lo mismo sucede con los varones.
b) Las chicas quieren estar juntas y a los varones les da igual.
c) Micaela y Joaquín no quieren estar juntos.
RTA: a) 34.560
b) 86.400
c) 2.903.040
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PERMUTACIÓN CIRCULAR
¿De cuántas formas diferentes
pueden sentarse alrededor de una
mesa circular un padre y sus dos
hijos?
¿Por qué este problema es de naturaleza diferente a los anteriores?
¿No se trata acaso de contar todas las formas posibles de ordenar a las 3
personas, en cuyo caso, el número de tales formas sería igual a 3!?
Examinemos un poco mejor el problema…
Supongamos que hemos enumerado las sillas y que los comensales se han
sentado aleatoriamente en ellas como se muestra en la figura.
Padre
Hijo 1
Hijo 2
Les pedimos ahora a todos que se corran hacia la derecha un lugar.
Hijo 1
Hijo 2
Padre
Esta nueva disposición, ¿es distinta de la anterior?
El sentido común nos dice que no, pues cada uno de los tres integrantes de la
mesa tiene a su derecha y a su izquierda a las mismas personas que antes.
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Sin embargo, como permutaciones son distintas, si pensamos a éstas como
todas las formas posibles de hacer corresponder a cada persona un número entre 1
y 3.
Ahora, si en vez de hacerlos correr un lugar, los hubiéramos desplazado
cualquier número de lugares entre 1 y 3, la conclusión hubiera sido exactamente la
misma.
Esto significa que si contamos las permutaciones de 3 elementos, estamos
contando 3 veces cada una de las disposiciones que nos interesan.
Debemos entonces dividir el resultado por 3, y, por lo tanto, el número de
formas de sentarse será igual a
3! 3 ⋅ 2 ⋅ 1
=
= 2! = 2 .
3
3
Estas dos únicas formas serán las siguientes:
Padre
Hijo 1
Padre
Hijo 2
Hijo 2
Hijo 1
DEFINICIÓN Nº 17:
Dados n objetos distintos, cada ordenamiento de los mismos alrededor de
un círculo se denomina PERMUTACIÓN CIRCULAR.
El número de permutaciones circulares que se pueden formar con n
elementos diferentes de un conjunto es PCn = ( n − 1) !
.
¿De
cuántas
maneras
pueden
10
chicas formar una ronda, si 3 de ellas
deben estar juntas y 2 de las 7 restantes
no quieren ocupar posiciones contiguas?
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En este caso tenemos dos requerimientos:
•
3 de las 10 chicas deben estar juntas sí o sí
•
2 de las 7 restantes no quieren ocupar posiciones contiguas.
Si pensáramos en conjuntos, como lo hemos venido haciendo en esta unidad,
podríamos definir:
U = {x / x es una ronda conformada por 10 chicas}
A = {x / x es una ronda en donde 3 de las 10 chicas están juntas}
B = {x / x es una ronda en donde 2 de las 7 restantes chicas no están juntas}
U
A
B
Comenzaremos calculando la cantidad de rondas que satisfacen el primer
requerimiento, es decir la cantidad de elementos del conjunto A.
Para ello podemos pensar a las 3 chicas que no se separarán como un bloque
y contar la cantidad de rondas que pueden formarse con él y las 7 chicas restantes.
Por lo tanto, debemos considerar permutaciones circulares de 8 objetos distintos,
cuyo número total es 7! = 5040 .
Ahora bien, en cada una de esas rondas, las 3 niñas que fueron consideradas
como un solo bloque pueden también intercambiar sus posiciones de 3! maneras
distintas, de donde se concluye que el número de rondas que satisfacen la primera
condición es igual a 7!⋅ 3! = 30.240 , es decir # A = 30.240 .
Para completar la resolución del problema, debemos dilucidar en cuántas de
estas rondas las otras dos chicas no ocupan posiciones contiguas, es decir la
cantidad de elementos de A ∩ B .
Ahora, si nosotros logramos contar la cantidad de elementos de A − B , es
decir, la cantidad de rondas en las que estas dos chicas están juntas, por descarte,
sabremos restando del total, en cuántas están separadas.
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Para ello, contamos las permutaciones circulares de 7 personas, puesto que
consideramos un bloque de 3, otro de 2 y las 5 chicas restantes. La cantidad de ellas
es 6! . Luego multiplicamos sucesivamente por el número de permutaciones internas
de cada bloque. Obtenemos entonces el resultado 6!⋅ 3!⋅ 2! = 8.640 . Esta sería la
cantidad de elementos de A − B .
Por lo tanto, el número buscado ( # A ∩ B ) es 30.240 − 8.640 = 21.600 .
Resuelve los siguientes problemas.
1) Ocho amigos se reúnen periódicamente a cenar. Lo hacen siempre en el
mismo restaurante, en la misma mesa redonda. En una oportunidad, Gabriel, gran
memorioso, advierte sorprendido que es anoche cada comensal tiene a su derecha
la misma persona que la vez anterior. Comenta que es una gran casualidad, pues
siempre se sientan al azar y son muchas las formas que tienen de ubicarse.
¿Cuántas son?
RTA: 5.040
2) Cuatro bailarines y cuatro bailarinas interpretan una danza que consiste en
formar una ronda tomados de la mano.
¿De cuántas formas pueden ubicarse si en la figura deben aparecer
alternativamente hombres y mujeres?
RTA: 144
3) En un coloquio sobre enseñanza de la ciencia, se sientan alrededor de una
mesa circular 3 matemáticos, 3 físicos, 3 químicos y 2 biólogos.
¿De cuántas maneras pueden hacerlo si los miembros de una misma disciplina
deben estar juntos?
RTA: 2.592
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PERMUTACIÓN CON REPETICIÓN
¿Cuántos
números
de
cinco
dígitos podemos formar reordenando
las cifras del número 73.313?
Si se nos hubiese planteado un problema similar, pero con cinco cifras distintas,
entonces la cantidad de números que podríamos formar sería 5! = 120 , pues, en ese
caso, permutaciones distintas determinarían números distintos.
La diferencia entre las dos situaciones radica, obviamente, en que en nuestro
problema tres de las cifras son iguales entre sí.
A efectos de estudiar convenientemente la cuestión, por un
momento las
supondremos diferentes y les asignaremos símbolos distintos, por ejemplo 3a , 3b y
3c .
Si consideramos ahora los cinco símbolos 7, 3a , 3b , 1 y 3c sabemos que hay
120 formas de permutarlos. Sin embargo, habrá ordenaciones diferentes que
estaremos considerando que determinan el mismo número, por ejemplo 13a73b3c y
13c 73b3a corresponden ambas al número 13.733.
Luego, lo que debemos averiguar es cuántas veces repetimos un mismo
número en las 120 permutaciones. Para ello, observemos que cada número lo
contamos tantas veces como formas tenemos de permutar los símbolos 3a , 3b y 3c ,
es decir, 3! = 6 veces.
En consecuencia, la cantidad de números que podemos formar es
5!
= 20 .
3!
Si quieres convencerte de este resultado, escribe los 20 números diferentes
que puedes formar:
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¿Cuántas palabras diferentes,
aunque sin sentido, pueden formarse
con
las
letras
de
la
palabra
LAVARROPA?
Si, como antes lo hicimos con los números, distinguimos ahora las letras
repetidas llamando A1, A 2 y A 3 a las tres letras A, y R1 y R2 a las dos letras R,
tendremos 9 símbolos distintos ( A1, A 2 , A 3 , L, O, P, R1, R2
y V) que podremos
permutar de 9! maneras.
Nuevamente, lo que debemos determinar es cuántas veces contamos así una
misma palabra. Para ello, observemos que, fijada una ordenación de los nueve
símbolos, si permutamos arbitrariamente entre sí los símbolos A1, A 2 y A 3 , lo
mismo hacemos con R1 y R2 , y no movemos los cuatro símbolos restantes,
obtenemos una ordenación que determina la misma palabra que la anterior. Por lo
tanto, cada palabra es contada es contada 3!⋅ 2! = 12 veces.
En consecuencia, para saber cuántas palabras diferentes podemos formar, es
preciso dividir el total, 9!, por 12.
De esta manera, la cantidad de palabras diferentes, aunque sin sentido, que
pueden formarse con las letras de la palabra LAVARROPA, es
9!
= 30.240 .
3!⋅ 2!
A ordenaciones como las descriptas en los dos problemas anteriores se las
llama PERMUTACIONES CON REPETICIÓN. La generalización de esta situación
puede enunciarse de la siguiente manera:
DEFINICIÓN Nº 18:
Se
denomina
PERMUTACIONES
CON
REPETICIÓN
DE
n
ELEMENTOS, no todos distintos, a todas las agrupaciones de n elementos,
formadas por aquellos, dispuestos linealmente y sin que ninguno falte.
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.
Dados n objetos, de los cuales n1 son idénticos entre sí, otros n2 son
idénticos entre sí, …, y finalmente nk son idénticos entre sí, la cantidad de
ordenaciones de ellos es PRn =
n!
n1 !⋅ n2 !⋅ … ⋅ nk !
Practicamos lo aprendido…
Resuelve los siguientes problemas.
1) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras de la
palabra CASUALIDADES?
RTA: 19.958.400
2) Dada la palabra REPETIDAMENTE…
a) ¿Cuántas palabras, aunque sin sentido, pueden formarse con las letras que la
componen?
b) ¿En cuántas de ellas no aparecen consecutivamente las dos letras T?
RTA: a) 129.729.600
b) 109.771.200
3) Dado el número 23.814.425…
a) ¿Cuántos números diferentes pueden formarse con sus dígitos?
b) ¿En cuántos de ellos los dos números 4 van uno junto a otro?
RTA: a) 10.080
b) 2.520
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VARIACIÓN SIN REPETICIÓN
En una carrera de 400 metros participan 12 atletas.
¿De cuántas formas distintas
podrán ser premiados los tres
primeros lugares con medalla de
oro, plata y bronce?
Para la medalla de oro hay 12 posibilidades. Una vez entregada ésta, hay 11
atletas que podrían recibir la de plata. Por último, la medalla de bronce puede ser
obtenida por 10 atletas.
Aplicando
el
principio
multiplicativo
podemos
observar
que
hay
12 ⋅ 11⋅ 10 = 1.320 formas de premiar a los participantes de la carrera.
MEDALLAS
Oro
Plata
Bronce
↓
↓
↓
12
⋅ 11
⋅ 10
= 1.320
posibilidades
posibilidades
posibilidades
posibilidades
En este caso se han seleccionado todos los subconjuntos posibles de 3
elementos del conjunto de 12 elementos disponibles y se han formado todas las
permutaciones posibles de ellos.
Para intervenir en un torneo de tenis de dobles
mixtos, es necesario formar un equipo de tres parejas,
debiéndose elegir los jugadores entre los integrantes de
un grupo constituido por 6 hombres y 3 mujeres.
¿De
cuántas
maneras
puede
seleccionarse el equipo?
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Designaremos a las tres mujeres con las letras A, B y C. Puesto que ellas
deben formar parte del equipo, lo que hay que determinar es quiénes serán sus
respectivos compañeros de juego.
Para elegir quién jugará con A se tienen 6 opciones. Una vez hecha esta
elección, hay 5 posibilidades para el compañero de B y, finalmente, 4 para elegir
quién jugará con C.
Por lo tanto, puede armarse el equipo de 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120 maneras posibles.
En ambos problemas tenemos situaciones similares: debemos elegir
subconjuntos de un conjunto dado.
Vayamos ahora al planteo y resolución del caso más general posible…
Dado un conjunto de n objetos y un número m, menor o
igual que n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse
ordenadamente m objetos entre los n del conjunto dado?
Para elegir el primer objeto tenemos n opciones; una vez elegido éste,
tenemos n − 1 opciones para el segundo, luego n − 2 para el tercero, y así
sucesivamente.
Al disponernos a elegir el último, observamos que ya fueron seleccionados
m − 1 objetos y, por lo tanto, el número de elecciones posibles para el mismo es
igual a n − ( m − 1) = n − m + 1.
Por simple aplicación reiterada del ya conocido principio multiplicativo
concluimos que el número total de elecciones ordenadas es:
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1)
Al sólo efecto de tener una notación más cómoda, expresaremos este último
número en forma más compacta. Para ello, observemos que podemos obtenerlo a
partir del factorial de n, suprimiendo una parte del producto.
n! = n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1) ⋅ ( n − m ) ⋅ ( n − m − 1) ⋅ … ⋅ 2 ⋅ 1
es lo que deberíamos suprimir
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Observamos que lo que debemos suprimir no es ni más ni menos que ( n − m ) !
Tenemos entonces:
n ⋅ ( n − 1) ⋅ ( n − 2 ) ⋅ … ⋅ ( n − m + 1) =
n!
( n − m )!
Podemos llegar entonces a la siguiente definición:
DEFINICIÓN Nº 19:
Cada una de las formas distintas en que se pueden seleccionar m
elementos (sin repetirlos) de una colección que tiene n elementos es
denominada VARIACIÓN SIN REPETICIÓN de n elementos, tomados de a m
de ellos y se denota por Vn,m o por Vmn en donde:
.
Vn,m =
n!
= n ⋅ ( n − 1)⋯ ( n − m + 1)
(n − m )!
Es importante tener en cuenta que en una variación sin
repetición:
No se utilizan necesariamente todos los elementos.
Interesa el orden en que se ubican los elementos,
es decir que una variación difiere de otra aún cuando
teniendo los mismos elementos, éstos se encuentren en
distinto orden.
¿Qué ocurre en la situación estudiada cuando
m es igual a n?
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En tal caso, las variaciones de n tomadas de a n no son otra cosa que las
permutaciones de n elementos, y ya sabemos que el número de las mismas es n! .
Esto también encaja en la fórmula general de acuerdo a lo convenido en definir
0! = 1. En este caso particular, en vez de la notación V nn emplearemos el símbolo
Pn .
V nn =
n!
n! n!
= = = n! = Pn
( n − n )! 0! 1
Es importante tener en cuenta que conocer una
fórmula y una determinada terminología puede ser útil,
pero no es imprescindible.
Un error frecuente es, frente a un problema, buscar la
fórmula que se le acomode, sin efectuar previamente un
análisis que nos permita entender perfectamente sus
características particulares.
Sigamos practicando…
Resuelve los siguientes problemas.
1) Tres personas suben a un colectivo en el cual hay seis asientos libres. ¿De
cuántas maneras pueden ocuparlos?
RTA: 120
2) Mauro, Santiago, Pedro, Joaquín y Andrés fueron preseleccionadas para
cubrir un puesto de vendedor y otro de cadete, y se presentan a una entrevista, en la
cual sólo se elegirá a dos de ellos.
¿De cuántas maneras se puede hacer la elección y cuáles son esas
maneras?
RTA: 20
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3) Para representar una tragedia griega, se requiere un actor principal, un
segundo actor masculino, y 30 integrantes del coro, cuyos roles, distinguibles,
pueden ser desempeñados por hombres o mujeres.
Para una prueba de selección, se presentan 12 hombres para los roles
protagónicos, y 50 hombres y 45 mujeres para el coro.
a) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco?
b) ¿De cuántas, si el papel masculino principal está reservado al postulante X?
c) ¿De cuántas maneras puede integrarse el elenco con la condición de que todos
los miembros del coro sean del mismo sexo?
RTA: a)
12!⋅ 95!
10!⋅ 65!
b) 11⋅
95!
65!
c)
12!  50! 45! 
+


10!  20! 15! 
4) Con los dígitos 1, 2, …, 9, ¿cuántos números de tres cifras distintas
podemos formar, con la condición de que la suma de sus cifras sea par?
RTA: 264
VARIACIÓN CON REPETICIÓN
¿Cuántos números de dos dígitos
podemos
formar
reordenando
las
cifras del número 2.379?
En este caso, se nos pide armar números de dos cifras utilizando los dígitos 2,
3, 7 y 9. No se menciona que el número a construir tenga sus dígitos diferentes. Por
lo tanto, pueden contarse aquellos casos de números con dígitos repetidos.
Para la cifra de las decenas se tienen 4 posibilidades. Igual cantidad de
opciones hay para las unidades.
Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que hay 4 ⋅ 4 = 16 números
posibles.
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NÚMERO
Decenas
Unidades
↓
↓
4
⋅4
= 42 = 16
posibilidades
posibilidades
posibilidades
DEFINICIÓN Nº 20:
Al número de selecciones ordenadas de un conjunto de n elementos
tomados de a m de ellos, pudiendo repetirlos, se lo denomina VARIACIÓN CON
REPETICIÓN y se denota por VRn,m o por VRnm donde
VRn,m = nm
.
Es importante tener en cuenta que en una variación con
repetición:
No necesariamente se efectúan ordenaciones de la
totalidad de los elementos disponibles.
Interesa el orden en que se ubican los elementos.
Los elementos pueden repetirse dentro de una
misma ordenación.
En el ejemplo, la cantidad total de números de dos cifras que se pueden formar
con los dígitos 2, 3, 7 y 9 se obtiene calculando:
VR 24 = 42 = 16
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COMBINACIONES
Una
señora
tiene
4
frutas:
manzana, banana, durazno y naranja.
¿Cuántos sabores diferentes de
jugo podrá preparar con dos de estas
frutas?
En este caso estamos interesados en el número de subconjuntos de 2
elementos que podemos formar con los 4 elementos de los que disponemos.
Sabemos que la cantidad de elecciones ordenadas de los mismos que
podemos realizar es V4,2 .
Sin embargo, obtendremos el mismo jugo colocando las frutas en un orden o en
otro. Por ejemplo, el jugo de naranja – durazno, es exactamente igual al de durazno
– naranja.
Por lo tanto, si consideramos V4,2 jugos, estamos contando 2! = 2 veces cada
uno.
Luego, la cantidad total de jugos que pueden elaborarse con las cuatro frutas
es
V4,2
2!
=
4!
= 6.
2!⋅ 2!
¿Podrías enumerar los 6 posibles jugos que preparará la señora?
Observemos que lo que realmente se ha hecho en este problema es contar la
cantidad de formas posibles de elegir 2 elementos entre un conjunto de 4 elementos,
sin que nos importe el orden de la elección.
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Pensemos en la situación general…
Dado un conjunto de n objetos, y siendo m un número menor o
igual a n, ¿de cuántas maneras pueden elegirse m objetos
entre los n del conjunto dado?
La respuesta la obtendremos argumentando como en la resolución del
problema anterior. La totalidad de formas de elegir ordenadamente m elementos,
tomados entre los n del conjunto dado es Vn,m .
Ahora bien, fijados m elementos, la cantidad de elecciones ordenadas distintas
que podemos hacer de los mismos es m! . Luego, al considerar variaciones, estamos
contando m! veces cada selección de m elementos. Debemos entonces dividir por
este último número, y obtenemos que la cantidad buscada es;
Vn,m
m!
=
n!
(n − m )!⋅ m!
Esto nos permite llegar a la siguiente definición:
DEFINICIÓN Nº 21:
Al número de selecciones no ordenadas de un conjunto de n elementos
tomados de a m de ellos se las denomina COMBINACIONES de n elementos
n
tomados de a m y se indican por Cn,m , por Cnm o por   donde
m
.
Cn,m =
n!
(n − m )!⋅ m!
En una combinación no nos interesa el orden de los
elementos, es decir que dos combinaciones que tengan los
mismos elementos pero en distinto orden, son iguales.
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Es fundamental entender perfectamente la diferencia entre variaciones y
combinaciones.
Una variación es una elección ORDENADA de m elementos entre n, mientras
que en una combinación sólo elegimos m elementos, sin que nos interese el orden
de dicha elección.
Dicho de otro modo, Cmn es exactamente la cantidad de subconjuntos de m
elementos que hay en un conjunto de n elementos.
Para integrar una comisión se deben elegir 4 personas
entre un grupo formado por 8 hombres y 5 mujeres.
a) ¿De cuántas maneras puede hacerse la elección?
b) Y si imponemos la condición de que por lo menos dos
de los miembros deben ser mujeres, ¿de cuántas maneras
puede elegirse la comisión?
a) Puesto que no se especifica nada sobre los cargos a ocupar, es decir, no se
establece un orden en los mismos, se trata evidentemente de un problema de
combinaciones.
Se deben elegir 4 personas entre 13 y esto podrá hacerse de C13,4 = 715
maneras.
b) En este caso se impone la condición de que la comisión esté conformada por
lo menos por 2 mujeres. Esto significa que tenemos tres diferentes tipos de
composiciones para las comisiones. Estos son:
dos mujeres – dos hombres
tres mujeres – 1 hombre
cuatro mujeres
Analizamos cada uno de los casos:
dos mujeres – dos hombres
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Las dos mujeres pueden ser elegidas entre 5, es decir, de C5,2 = 10 maneras.
Los dos hombres pueden ser elegidos entre 8 y, por tanto, habrá C8,2 = 28 formas
de seleccionarlos.
Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones
posibles compuestas por dos hombres y dos mujeres será 10 ⋅ 28 = 280 .
tres mujeres – 1 hombre
Argumentando como en la situación anterior, las tres mujeres pueden ser
elegidas de C5,3 = 10 maneras. El único hombre que participará puede ser
seleccionado de C8,1 = 8 formas.
Aplicando el principio multiplicativo obtenemos que el número de comisiones
posibles compuestas por un hombre y tres mujeres será 10 ⋅ 8 = 80 .
cuatro mujeres
Aquí, sencillamente debemos elegir 4 mujeres entre 5. Lo podemos hacer de
C5,4 = 5 maneras.
Puesto que los tres casos anteriores se excluyen mutuamente, el número total
de formas de armar la comisión será la suma de las cantidades halladas, es decir,
280 + 80 + 5 = 365 .
Vamos llegando a las últimas actividades…
Resuelve los siguientes problemas...
1) Un estudiante quiere rendir tres de las seis materias que tiene pendientes.
¿De cuántas formas puede elegir el grupo de materias a rendir?
RTA: 20
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2) Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar sólo quedan 4 entradas. ¿De
cuántas formas podrían repartirse estas entradas para ver la película?
RTA: 35
3) Dados 10 puntos en una circunferencia:
a) ¿cuántas rectas se pueden formar con ellos?
b) ¿cuántos triángulos con vértices en esos puntos se pueden formar?
RTA: a) 45
b) 120
4) Un estudiante tiene que contestar ocho de diez preguntas en un examen.
a) ¿Cuántas maneras tiene de elegir las preguntas a contestar?
b) ¿Cuántas si tiene que contestar sí o sí las tres primeras preguntas?
c) Si no sabe responder a la pregunta número 10, ¿cuántas maneras tiene de elegir
para contestar las ocho preguntas que se le solicita?
RTA: a) 45
b) 21
c) 9
5) ¿Cuántos grupos de 7 miembros se pueden formar con 6 químicos y 5
biólogos, de manera que en cada uno se encuentren 4 químicos?
RTA: 150
6) Un equipo científico consta de 25 miembros, de los cuales 4 son doctores.
Hallar el número de grupos de 3 miembros que se puede formar, de manera
que en cada grupo haya por lo menos un doctor.
RTA: 970
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