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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL ( 1 ) AZCAPOTZALCO UNIDAD III:CONGRUENCIA Y SEMEJANZA 102 PROPÓSITOS DE LA UNIDAD: Ilustrar el papel de la Trabajar la congruencia y semejanza de demostración en los resultados de triángulos, así como el teorema de la geometría, e iniciar al alumno en Pitágoras el método deductivo. APRENDIZAJES QUE ADQUIRIRÁ EL ALUMNO CON EL DESARROLLO DE LA UNIDAD DOS. Al finalizar la unidad el alumno debe: Reconocer la importancia de la Utilizar correctamente la nomenclatura demostración para aceptar o utilizada por el profesor. rechazar conjeturas. Explicar la diferencia igualdad y congruencia. entre Conocer los tipos de ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal ó secante e identificará aquellos que son congruentes. 103 Justificar la suma de los ángulos Justificar la expresión para encontrar el interiores y exteriores de cualquier ángulo exterior de un triángulo como suma triángulo. de los ángulos interiores no adyacentes a él. Aplicar los de Identificar criterios el ángulo central congruencia de triángulos para correspondiente a un ángulo inscrito en una justificar congruencia entre circunferencia. segmentos, ángulos y triángulos. Utilizar los Aplicar los criterios de semejanza para conocimientos justificar la semejanza entre triángulos y la adquiridos en esta unidad, en la proporcionalidad resolución de algunos problemas. respectivos entre sus lados 104 TEMÁTICA DE LA TERCERA UNIDAD CONGRUENCIA Y SEMEJANZA 3.1).Congruencia 3.1.1).Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes. 3.1.2).Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación. 3.1.3).Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado. 3.1.3.1).Postulado de las rectas paralelas. 3.1.4).Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante. 3.1.5).Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo. 3.1.5.1).Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación. 3.1.5.2).Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación. 3.1.5.3).Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular. 105 3.1.6).Congruencia de triángulos. 3.1.6.1).Criterios de congruencia de triángulos. 3.1.7).Justificación de las construcciones de: 3.1.7.1).Bisectriz de un ángulo 3.1.7.2).Mediatriz de un segmento. 3.1.7.3).Perpendicular a una recta 3.1.8).Teorema del triángulo isósceles y su recíproco.Justificación. 3.1.9).Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia. Justificación. 3.2).-Semejanza y teorema de Pitágoras 3.2.1).-División de un segmento en n partes iguales. Construcciones. 3.2.2).-Teorema de Thales y su recíproco 3.2.3).-Criterios de semejanza de triángulos. 3.2.4).-Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación. 3.2.5).-Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación 106 3.1).Traza dos rectas paralelas L1 y L2, cortadas por una secante L3, simboliza los ángulos correspondientes e indica sus características. L3 L1 L2 107 3.2).Traza dos rectas paralelas L1 y L2 cortadas por una secante L3, simboliza los ángulos alternos internos e indica sus características. L3 L1 L2 108 3.3).Traza dos rectas paralelas L1 y L2 cortadas por una secante L3, simboliza los ángulos alternos externos e indica sus características. L3 a L1 c e f L2 g h d b 109 3.4).En un triángulo acutángulo, probar que la suma de los ángulos interiores del triángulo, es igual a 180°. Probar que: < n + < m + < k = 180° fm n Prueba que: < n + <f <m = < n = < < g =< k < m+< k = 180° por ser alternos internos m por identidad por ser alternos internos Por lo que: < n + < m+< k = 180° k 110 3.5). Probar que todo ángulo exterior de un triángulo, siempre es igual a la suma de los interiores a el. b d c Probar que: < a = < b + < c Prueba: Se toma uno de los ángulos exteriores del triángulo, prolongando cualquiera de sus lados. b a c d 111 Prueba: a + d = 180°; por formar ángulo llano b + c + d = 180°; Porque la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°. a + d = b + c + d; Si dos cantidades son iguales a una tercera, esas dos cantidades son iguales entre si (Propiedad transitiva). a = b + c; Si en una igualdad hay un término común en ambos miembros, ese término común se elimina. Por lo tanto, todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes a él. 112 3.6).En un triángulo acutángulo, probar que la suma de los ángulos exteriores es igual a 360°.. Probar que: < a + < b+ < c = 360° 3.7).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 132° y uno de los ángulos interiores con medida 65°. Determina la medida de los ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores. 113 3.8).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 144° y uno de los ángulos interiores con medida 56°. Determina la medida de los ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores. 3.9).Si se tiene uno de los ángulos exteriores de un triángulo con medida de 128° 24’32”y uno de los ángulos interiores con medida 62°28’46”. Determina la medida de los ángulos faltantes, tanto interiores como exteriores. 3.10).En un triángulo se tiene que uno de los ángulos exteriores es 118°24’16”, determina las medidas de los otros exteriores si uno de los interiores mide 78°20’12” 114 SEMEJANZA DE FIGURAS Y TEOREMA DE PITÁGORAS ¿Cuál crees que sea la forma más sencilla para plantear ejemplos de semejanzas entre figuras? 115 ¡Efectivamente pensaste bien!. Es cuando se obtienen amplificaciones de dichas figuras, como en los ejemplos anteriores. Las pantallas mismas en la exhibición de películas en los cines, las pantallas de las computadoras, las imágenes de fotografías, etc. ¡TODO ESTÁ HECHO A ESCALA! ¿ Estás de acuerdo? Bueno sigamos adelante. La geometría se ha encargado de hacer el estudio de todas las características y condiciones que se necesitan para reproducir las figuras, haciendo variar únicamente su tamaño, pero conservando su forma. 116 SEMEJANZA DE FIGURAS Uno de los conceptos fundamentales de la geometría es la semejanza de figuras y habiendo investigado sobre el tema debes de estar de acuerdo que: El concepto de semejanza, está apoyado en las razones o relaciones que es posible establecer entre los ángulos correspondientes u homólogos, y los segmentos que representan sus lados. Por ejemplo: Si consideramos el par de triángulos que se ve en los extremos y si tenemos como objetivo escribir sus correspondencias, tenemos: B c A a b C A A'; B B'; a b c aґ bґ cґ B' a' c' CC'; A' b' C' 117 Las expresiones que se escribieron anteriormente nos permiten indicar que: Los ángulos correspondientes de figuras semejantes son iguales. Los lados homólogos de figuras semejantes son proporcionales. Razones o relaciones: Son utilizadas en la comparación de cantidades apoyadas por la división. Razón de dos cantidades es el cociente de la primera por la segunda. Por ejemplo: En la figura que sigue, se tiene la representación de una recámara mediante escala. ¿Qué significado tendrá que dicha figura esté hecha a una escala de (de uno a cien)?. 1 100 118 Al medir el ancho y el largo del dibujo, se encontró que podemos escribir las proporciones que a continuación se indican: 1 4 100 x 1 100 7 x de donde: 1(x) = 4 (100) También: 1(x) = 100(7) x = 400 X = 700 Las medidas reales de la recámara son: Ancho: 400 Cm = 4 metros y para el largo: Largo: 700 Cm = 7 metros En los planos para la construcción, se acostumbra utilizar escalas como 1 a 50 y 1 a 100 para las plantas o las fachadas. Esto significa que 1 Cm del dibujo es igual a 50 cm. de la realidad y que 1 Cm del dibujo representa 100 Cm de lo que se quiere construir respectivamente. 119 LA ESCALA ADECUADA PARA UNA REPRODUCCIÓN La relación que existe entre un objeto real y su representación o modelo a escala que se haga de él, determina la escala que se debe de emplear. Si por ejemplo: 3.11).Lee cuidadosamente los enunciados de los problemas que siguen y considerando los conceptos comentados resuelve correctamente. 3.11.1).Si en tu cuaderno en borrador quisieras representar un libro de la bibliografía que utilizas para investigar lo indicado en los trabajos y se sugiere utilizar una escala de 1 a 5 y consideramos la relación en centímetros, 1 Cm en el dibujo debe representar 5 Cm en lo real. Ver figura que sigue y escribe las medidas reales 120 3.11.2).Una persona observa un mapa de carreteras y mide sobre él con una regla la distancia entre dos poblaciones encontrando 6 Cm. Si la escala a la que está dibujado el mapa es 1 a 10000000. ¿Cuál es la distancia real en kilómetros entre las dos poblaciones? 3.12).Utilizando el concepto que tienes de semejanza, forma las proporciones que correspondan, determina lo que se pide y verifica los resultados. 3.12.1).La escala de un plano, para la construcción de una casa, es de 1 a 100, ¿Qué medidas reales tendrá una recámara cuyas medidas en el plano, son de 5.3 Cm por 5.75 cm? 3.12.2).La sombra de una casa es de 16 metros. Si a la misma hora la sombra de un poste cercano a la casa con 1 metro de altura, hace una sombra de 3.5 metros. ¿Cuál es la altura de la casa? Véase la figura que sigue: 121 1 m 3.5 m 16 m 122 3.13).Dos triángulos isósceles son semejantes. Si la base de uno de los triángulos mide 3 Cm y la del otro mide 12 Cm. ¿Cuánto medirán los lados del segundo triángulo, si un lado del primero es de 4 Cm? o 3.14).Dos ángulos están en la razón de 4 a 5 y cuya suma es 54 . Determine la magnitud de cada uno de los ángulos. Procedamos a resolver: Llamemos 4 x al primer ángulo Llamemos 5 x al segundo ángulo Entonces: 4 x + 5 x = 54 o Ahora síguele y determina: 3.14.1). El valor de x 3.14.2). El valor de cada ángulo 3.14.3).Verifica la razón del primero al segundo de los ángulos 3.14.4).Haga el trazo de los ángulos. 123 3.15).Dos ángulos están en la razón de 3 a 2 y son coplementarios. 3.15.1).Determina la magnitud de cada uno de los ángulos. 3.15.2).Verifica la razón 3.15.3).Construya la gráfica 3.16).Los ángulos de un triángulo están en la razón de 3 a 4 a 5. 3.16.1).Calcular los grados de cada ángulo. 3.16.2).Verificar las razones de los ángulos. 3.17).Tres ángulos están en la razón de 4 a 3 a 2. 3.17.1).Encuentra sus valores si el primero y el tercero son suplementarios. 3.17.2).Verifica las razones. 3.17.3).Haz la gráfica correspondiente. 124 3.18).Los tres lados de un triángulo miden 3, 5 y 8 centímetros. Un segundo triángulo que es semejante al primero tiene como lado menor midiendo 2 centímetros. 3.18.1).Escribe las razones que se forman al considerar la semejanza del primero al segundo triángulo. 3.18.2).-Determina las medidas de los lados de los triángulos. 3.18.3).-Haz el trazo de los triángulos. Sabiendo que si una recta es paralela a uno de los lados de un triángulo, entonces los otros dos lados quedan divididos en segmentos proporcionales. Por ejemplo: En el triángulo ABC: A D E si DE BC, entonces: B C AD AE = DB EC 125 3.19).Considera las figura que se indican y los datos que se dan en cada caso y determina lo que te pide. 3.19.1).Toma en cuenta la figura y los datos que siguen, resuelve determinando el valor de x, si DE BC y verifica el resultado. A x D 12 B 28 E 14 C 126 3.19.2).-Toma en cuenta la figura que sigue y los datos que se indican, resuelve determinando el valor de x, si DE BC y verifica el resultado. A x D 5 12 E X + 4 B C 3.20).Si los lados de un triángulo miden 5, 7 y 10 cm y el perímetro de otro triángulo semejante al primero es de 16 Cm. ¿Cuánto miden los lados del segundo triángulo? 127 3.21).Para determinar lo que se pide en los siguientes enunciados, se trazan las figuras que se indican abajo. Considera lo que se da y determina lo que se pide. 3.21.1).Para medir una laguna, se trazan los triángulos semejantes ABC y DEA.¿Cuál es su longitud? A B Teniendo AB = 200 m C BC = 140 m AD = 420 m 128 3.21.2).Para medir la longitud de un cerro, se han trazado los triángulos semejantes que siguen. ¿Cuál es la longitud del cerro? A 9 0 m D x B 1 6 0 m C 129 TEOREMA DE PITÁGORAS La semejanza entre triángulos que hemos visto hasta ahora, es de gran ayuda para demostrar el teorema de Pitágoras que a la letra indica: El cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, siempre es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos. Veamos la demostración: Primero tracemos la figura que necesitamos: C b a B x D y c A 130 Esta es la figura que al descomponerla salen tres triángulos rectángulos. b a b h 1 a 2 3 y c x Que al realizar la semejanza tenemos las proporciones que siguen: 1 ~ 2 a b c h y b 1 ~ 3 a b c x h a 2 ~ 3 h y b x h a h 131 Ya que los lados de triángulos semejantes son proporcionales. De las anteriores proporciones, escribimos las que siguen: a c ; de donde a2 = cx x a b c ; de donde b2 = cy y b El producto de extremos es igual al producto de los medios. Ahora: a2 + b2 = cx + cy; Sumando los primeros miembros y los segundos miembros a2 + b2 = c(x + y); Factorizando el segundo miembro de la igualdad anterior Fijándose en la figura completa de arriba, tenemos: x+y=c Entonces: a2 + b2 = c(c) y a2 + b2 = c2 132 Por lo tanto: En todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Al tener la expresión que representa al teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 Podemos escribir a 2 b2 C= c2 a 2 b2 También a2 = c2- b2 Entonces: a= c 2 b2 Y también: b2= c2- a2 b = c 2 b2 133 Las tres últimas expresiones las bautizaremos como corolarios que se pueden escribir como: Si la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, entonces: La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos Cualquiera de los catetos es igual a la raíz cuadrada de la diferencia del cuadrado de la hipotenusa y el cuadrado del cateto conocido. En los casos que siguen toma lo que se da y determina lo que se pide C b a A B c 134 3.22).Haciendo el dibujo que corresponde y considerando el triángulo anterior, resuelve los casos que siguen: 3.22.1).Si b = 21 Cm y c= 28 Cm; determina el lado a 3.22.2).Si c = 84 Cm y a = 13 Cm; determina el lado b 3.22.3).Si a = 25 cm. y b = 20 Cm determina el la hipotenusa. 3.22.4).Si la hipotenusa del triángulo mide 9 Cm y uno de los catetos mide 7 Cm. Determina el cateto faltante. 3.22.5).Si los catetos del triángulo miden 2 y 12 Cm. Determina el valor de la hipotenusa. 3.23).En el triángulo rectángulo que se presenta enseguida, toma los datos que dan, utiliza el teorema de Pitágoras y calcula el valor de x y de h. 135 3.24).Prueba que las medidas de los lados de un triángulo rectángulo son 36, 48 y 60 Cm. Si la respuesta es positiva, hacer su trazo. 3.25).Dos Personas parten del mismo punto y al mismo tiempo, por dos caminos que son perpendiculares. Una de las personas camina a 3 Km. por hora y la otra lo hace a 4 Km. por hora. Si caminan durante 10 horas. 3.25.1). Haciendo los trazos de los triángulos rectángulos cada hora caminada y midiendo con la escala ¿Cuál es la distancia que los separa?. 3.25.2). Ocupando el teorema de Pitágoras verifica las mediciones realizadas y el resultado final. 136 “P.D. RECUERDA: LA DIFERENCIA ENTRE UN BUEN ESTUDIANTE Y UN MAGNÍFICO ESTUDIANTE, ES EL PEQUEÑO ESFUERZO EXTRA QUE ESTE HACE” ¡HAGÁMOSLO JUNTOS!