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Semana 15
Tema: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales
Competencias:
 Describe el concepto de E. D.
 Demuestra cuando una función es solución de la E. D.
 Identifica cuando una solución es general o particular. Interpretación
geométrica.
 Resuelve EDO de primer orden: Variables separables y lineales de primer
orden.
 Resolución de problemas geométricos y físicos que conducen a EDO de
primer orden:
o Trayectorias octogonalesdX
 dP

o Crecimiento de poblaciones 
 kP;
 kX P  X 
dt
 dt

o Desintegración radiactiva.
1. Demostrar que las funciones y = 4ex, y = 135x y y = Ax + Bex son soluciones
de la EDO
(1  x) y  xy  y  0 .
2. Demostrar que y  2  C 1  x2 es la solución general de (1  x 2 ) y  xy  2 x
3. Hallar la EDO que tiene por solución general.
a. y = Cx2 - x
4. Resolver las siguientes EDO
2
a. 2 xydy  (1  y )dx  0
dy
xy  3x  y  3
b.

dx xy  2 x  4 y  8
Problemas de modelación
1. Crecimiento de una población
Experimentalmente puede comprobarse que:
La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es
proporcional a la población presente en dicho instante.
dP
 kP donde k > 0 es una constante de
Inmediatamente podemos escribir
dt
proporcionalidad.
1
2. Desintegración radiactiva
Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo
entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de
sustancia que se desintegra.
dP
La EDO que rige este fenómeno físico es
 kP donde k<0 es la constante
dt
de desintegración que varia de una sustancia a otra.
Ejemplo 1
Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t  1 h , la
3
P0 . Si la rapidez de crecimiento es
cantidad medida de bacterias es
2
proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t,
calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial.
Ejemplo 2
Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable,
en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se
ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A0, de una muestra de
plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de
desintegración es proporcional a la cantidad restante.
Ejemplo 3
Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima
parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. (La vida
media del C-14 es 5600 años.)
3. Trayectorias ortogonales.
DEFINICION
Dada una familia uniparamétrica de curvas del plano F(x,y,C) = 0 se dice que la
familia G(x,y,C) = 0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas
las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra.
Ejemplo 4
Halla la familia de trayectorias octogonales de las siguientes curvas:
a) y 
c
x
b) y 
cx
c) y 2  cx3
x 1
d) y 
x
1  cx
2