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Semana 15 Tema: Introducción a las Ecuaciones Diferenciales Competencias: Describe el concepto de E. D. Demuestra cuando una función es solución de la E. D. Identifica cuando una solución es general o particular. Interpretación geométrica. Resuelve EDO de primer orden: Variables separables y lineales de primer orden. Resolución de problemas geométricos y físicos que conducen a EDO de primer orden: o Trayectorias octogonalesdX dP o Crecimiento de poblaciones kP; kX P X dt dt o Desintegración radiactiva. 1. Demostrar que las funciones y = 4ex, y = 135x y y = Ax + Bex son soluciones de la EDO (1 x) y xy y 0 . 2. Demostrar que y 2 C 1 x2 es la solución general de (1 x 2 ) y xy 2 x 3. Hallar la EDO que tiene por solución general. a. y = Cx2 - x 4. Resolver las siguientes EDO 2 a. 2 xydy (1 y )dx 0 dy xy 3x y 3 b. dx xy 2 x 4 y 8 Problemas de modelación 1. Crecimiento de una población Experimentalmente puede comprobarse que: La rapidez con que una población P crece, en un instante t cualquiera, es proporcional a la población presente en dicho instante. dP kP donde k > 0 es una constante de Inmediatamente podemos escribir dt proporcionalidad. 1 2. Desintegración radiactiva Si x es la cantidad de sustancia no desintegrada en el instante t de tiempo entonces la velocidad de desintegración es proporcional a la cantidad de sustancia que se desintegra. dP La EDO que rige este fenómeno físico es kP donde k<0 es la constante dt de desintegración que varia de una sustancia a otra. Ejemplo 1 Un cultivo tiene una cantidad inicial P0 de bacterias. Cuando t 1 h , la 3 P0 . Si la rapidez de crecimiento es cantidad medida de bacterias es 2 proporcional a la cantidad de bacterias presentes P(t) en el momento t, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial. Ejemplo 2 Un reactor de reproducción convierte el uranio 238, relativamente estable, en plutonio 239, un isótopo radiactivo. Al cabo de 15 años, se tiene que se ha desintegrado 0.043% de la cantidad inicial, A0, de una muestra de plutonio. Calcule la vida media de ese isótopo, si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. Ejemplo 3 Se analizó un hueso fosificado y se encontró que contenía la milésima parte de la cantidad original de C-14. Determine la edad del fósil. (La vida media del C-14 es 5600 años.) 3. Trayectorias ortogonales. DEFINICION Dada una familia uniparamétrica de curvas del plano F(x,y,C) = 0 se dice que la familia G(x,y,C) = 0 es una familia de trayectorias ortogonales de la otra si todas las curvas de una se cortan ortogonalmente con todas las curvas de la otra. Ejemplo 4 Halla la familia de trayectorias octogonales de las siguientes curvas: a) y c x b) y cx c) y 2 cx3 x 1 d) y x 1 cx 2