Download M.C M y .M.C D 5º

SISTEMA DE
NUMEROS
NÚMEROS ENTEROS
DIVISIBILIDAD
NÚMEROS PRIMOS
MÍNIMO COMÚN MULTIPLO
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
1
Z = Conjunto de los Números Enteros
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
2
PRODUCTO EN Z

La regla que se utiliza es la misma para
multiplicar que para dividir.¿ CÓMO SE HACE?.
Multiplico números y luego multiplico los signos
de acuerdo a la siguiente ley de los signos :
(+) · (+) = +
(-) · (-) = +
(+) · (-) = (-) · (+) = 3
DIVISIBILIDAD

Un número entero A es divisible entre otro
número entero positivo B, si al dividir A
entre B la división resulta exacta.
A B
A Є Ζ , BЄΖ+
0 K
KЄΖ

Se dice :
“ A es divisible entre B ”
“ B es un divisor de A ”
ó
4
MULTIPLICIDAD

Un número entero A es múltiplo de un número
entero positivo B, si A es el resultado de
multiplicar a B por un número entero K.
A Є Ζ , BЄΖ+
KЄΖ
Se dice : “ A es múltiplo de B “ ó
“ B es un factor de A “
A = B.K
5
DIVISIBILIDAD < > MULTIPLICIDAD
Indicar que: un número entero A es divisible
entre ó múltiplo de otro número positivo B, se
considerará equivalente, y se denotará:
o
o
A=B
ó
A = B ó A=nB, n  Z
B: Módulo
Ejemplos:
o
o
o
o
21= 7 , - 45 = 9 , 5 = 5 , 0 = 3

6
OBSERVACIONES

Todo número entero positivo es divisible
por si mismo y por la unidad.

La unidad es divisor de todo número
entero .

El cero es múltiplo de todo número entero.
7
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Es un conjunto de reglas que , aplicadas a
las cifras de un número , nos permite
anticipar entre qué cantidades es divisible
dicho número. En caso contrario , nos
permite calcular el residuo en forma
directa.
8
Número
Criterio
2
* El número acaba en cifra par
3
* La suma de sus cifras es
múltiplo de 3
4
* El número formado por las dos
últimas cifras es múltiplo de 4
5
* La última cifra es 0 ó 5
9
* La suma de sus cifras es multiplo
de 9
9
REPRESENTACION LITERAL DE
UN NUMERO
 Cuando no se conocen las cifras de
un número éstas se representan
mediante la notación:
N = abcdef
EJEMPLO:
Si el número se escribe como :
N  abcdef
o
o
abcd e f 3 ó 9
10
NUMEROS PRIMOS

Llamados también primos absolutos, son
aquellos números que poseen únicamente
dos divisores: a la unidad y el mismo
número.
Ejemplos:
2 , 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,…
Todos los números primos son
impares, a excepción del 2.
11
Números Simples: Son aquellos números
enteros positivos que poseen a lo más
dos divisores, y están formados por la
unidad y los números primos.
Ejms: 1, 2, 3, 5, 7,11, 13.17,19, 23, 29, 37,
89, 187, 193,..
 Números Compuestos: Son aquellos
números enteros positivos que poseen
más de dos divisores.
Ejemplos:
4 , 6, 12, 35, 80, 100, 118, 258, …

12
NUMEROS PRIMOS ENTRE SI
(P.E.S.I.)

Se les denomina también primos relativos o
coprimos, y son aquellos números que tienen
como único divisor común a la unidad.

Ejm. 6, 14, 21 son números P.E.S.I porque
DIVISORES
6 : 1, 2, 3, 6
14 : 1, 2, 7, 14
21 : 1, 3, 7, 21
,el único divisor común es 1
13
PROPIEDADES
Dos o más números consecutivos son
siempre números P.E.S.I.
 Dos o más números impares consecutivos
son siempre números P.E.S.I.
 Si dos números A y B son P.E.S.I.
entonces:
a) A, B y A + B son P.E.S.I.
b) A, B y A – B son P.E.S.I.

14
TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA
ARITMÉTICA.

Todo número entero positivo mayor que la
unidad
se
puede
expresar
como
la
multiplicación indicada de sus divisores primos
diferentes , elevados cada uno de ellos a
exponentes
enteros
positivos.
Esta
representación es única, salvo el orden de sus
factores. A esta representación se le denomina:
Descomposición Canónica del Número.
15
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.)



Dado un conjunto de números naturales, el
M.C.M(Mínimo Común múltiplo) de dichos
números es un entero que cumple las
siguientes condiciones:
1. Es un múltiplo común de los números.
2. Es el menor de estos múltiplos
comunes.
16
Ejm. Halle el MCM de 4, 6 y 8
o
M
M
4o:
6:
4,8,12,16, 20,24, 28, 32, 36, 40,44,48…
6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …
o
M 8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, …
Múltiplos comunes: M.C: 24, 48, …
El menor de estos múltiplos comunes es 24
M.C.M.(4, 6, 8) = 24
17
Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180


40
78
180
2
20
39
90
2
10
39
45
2
5
39
45
3
5
13
15
3
5
13
5
5
1
13
1
13
1
1
1
MCM(40, 78, 85)=2.2.2.3.3.5.13 = 4680
18
Ejm. Halle el MCM de 40, 78 y 180
3
40 = 2 .5
78 = 2 .3.13
2 2
180 = 2 .3 .5

3
2
MCM(40,78,180) = 2 .3 .5 .13 = 4 680
19
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)
Dado un conjunto de números, el MCD(
Máximo Común Divisor) de dichos
números es un número que cumple las
siguientes condiciones:
 1. Es un divisor común de los números.


2. Es el mayor de los divisores
comunes.
20
Ejm. Halle el MCD de 12, 16 y 20
D12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
D16 : 1, 2, 4, 8, 16
D20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Divisores comunes: D.C: 1, 2, 4
El mayor de estos divisores comunes es 4
M.C.D.(12, 16, 20) = 4
21
MÉTODOS PARA CALCULAR EL M.C.D.
Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800


400
800
1800
2
200
400
900
2
100
200
450
2
50
100
225
5
10
20
45
5
2
4
9
MCD(400,800,1800)= 2.2.2.5.5 = 200
22
Ejm. Halle el MCD de 400, 800 y 1800
4 2
400 = 2 .5
5 2
800 = 2 . 5
3 2 2
1800 = 2 .3 .5

3
2
MCD(400,800,1800) = 2 . 5 = 200
23
PROPIEDADES FUNDAMENTALES

Con respecto a las operaciones con
números múltiplos de un mismo módulo:
o o o
a) n + n = n
o o o
b) n - n = n
o
o
c) Si A = n ∧K ∈Ζ ⇒K.A = n
o
o
+
m
=n
d) Si A = n ∧m ∈Ζ ⇒A
24
Si un número es múltiplo de varios
módulos, entonces es múltiplo del MCM
de dichos módulos:
i) Si

A=
o
a
,A=
o
b ∧A
=
o
c ⇒A
=
o
MCM (a , b, c)
ii) Si
o
o
o
N = a±r , N = b±r ∧ N = c ±r
o
⇒N = MCM (a , b, c) ± r
25

Dado un número N donde:
CD ( N ) : Cantidad de divisores de N
CDS( N ) : Cantidad de divisores simples de N
CDP( N ) : Cantidad de divisores primos de N
CDC ( N ) : Cantidad de divisores compuestos de N
Se cumple:
CD ( N ) = CDS( N ) + CDC ( N )
CDS( N ) = 1 + CDP( N )
26

Si un número
canónicamente:
α
N
β
se
descompone
γ
N = a .b .c .......
Entonces:
CD N = (α + 1).(β + 1).(γ + 1)...
27