Download b - IES Aricel

MULTIPLOS Y DIVISORES
DIVISIBILIDAD.
Un número es múltiplo de otro si se puede obtener multiplicando el
segundo por otro número entero.
Ejemplos:
NÚMEROS ENTEROS.
18 es múltiplo de 2 porque 18 = 2 • 9
2º E.S.O.
90 es múltiplo de 3 porque 90 = 3 • 30
75 es múltiplo de 5 porque 75 = 5 • 15
44 es múltiplo de 11 porque 44 = 11 • 4
MULTIPLOS Y DIVISORES
Un número es divisor o factor de otro si este se puede dividir entre
el primero de forma exacta.
MULTIPLOS Y DIVISORES
Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:
a) 8 es un múltiplo de 16
NO
b) 8 es un múltiplo de 4
SI
2 es divisor de 18 porque 18 : 2 = 9
c) 16 es un múltiplo de 8
SI
5 es divisor de 75 porque 75 : 5 = 15
d) 16 es un divisor de 8
NO
7 es divisor de 63 porque 63 : 7 = 9
e) 8 es un divisor de 16
SI
f ) 16 es un múltiplo de 4
SI
g) 8 es un múltiplo de 16
NO
Ejemplos:
11 es divisor de 44 porque 44 : 11 = 4
MULTIPLOS Y DIVISORES
MULTIPLOS Y DIVISORES
1) Hallar cinco múltiplos del número 9:
Indica si son verdaderas o falsas las afirmaciones:
a) 3 es un múltiplo de 12
NO
9
b) 8 es un múltiplo de 24
NO
2) Hallar todos los divisores del número 18
c) 16 es un múltiplo de 32
NO
d) 12 es un divisor de 24
SI
e) 8 es un divisor de 32
SI
f ) 16 es un múltiplo de 64
NO
g) 8 es un múltiplo de 24
NO
1
Ejemplos:
12 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.
1564 es divisible por 2 porque acaba en cifra par.
27
3
36
6
45
9
18
3) Hallar todos los divisores del número 36
1
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
2
18
2
3
4
6
9
12
18
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 4 si termina en 00 o lo es el número
formado por sus dos últimas cifras.
Ejemplos:
1500 es divisible por 4 porque acaba en 00.
1524 es divisible por 4 porque 24 es divisible por 4.
Un número es divisible por 3 si la suma de todas sus cifras es
divisible por 3.
Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5.
Ejemplos:
Ejemplos:
12 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 3.
1563 es divisible por 3 porque la suma de sus cifras es 15.
36
125 es divisible por 5 porque acaba en 5.
1560 es divisible por 5 porque acaba en 0.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 9 si la suma de todas sus cifras es
divisible por 9.
Ejemplos:
1521 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 9.
684 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es 18.
Un número es divisible por 10 si termina en 0.
Ejemplos:
100 es divisible por 10 porque acaba en 0.
1560 es divisible por 10 porque acaba en 0.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
Un número es divisible por 11 si la suma de todas las cifras que
ocupan los lugares impares menos la suma de todas las cifras que
ocupan los lugares pares es 0 o múltiplo de 11.
Ejemplo:
El número 80729 es divisible por 11:
Suma de cifras impares de 80729:
8 + 7 + 9 = 24
Suma de cifras pares de 80729:
0+2=2
Diferencia:
24 − 2 = 22
22 es múltiplo de 11
NÚMEROS PRIMOS Y COMPUESTOS
Un número es primo si solo tiene dos divisores: él mismo y la
unidad.
Un número es compuesto si tiene más de dos divisores.
Ejemplos:
El número 19 es primo porque sólo se puede dividir entre 1 y 19.
El número 45 es compuesto porque se puede dividir entre 1 y 45,
y aparte se puede dividir entre 3, 5, 9 y 15.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factorizar el número 64 en factores primos:
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factorizar el número 56 en factores primos:
Factores primos.
64
32
16
8
4
2
1
2
2
2
2
2
2
Factores primos.
56 2
64 = 26
28 2
14 2
7 7
1
56 = 23 · 7
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Factorizar el número 792 en factores primos:
Factores primos.
792
396
198
99
33
11
1
2
2
2
3
3
11
792 = 23 · 32 · 11
Ejercicio: Descompón en factores primos:
a) 91
b) 432
c) 525
91 7
13 13
1
432
216
108
54
27
9
3
1
525
175
35
7
1
a) 91 = 7 · 13
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(4 , 6)
Comunes: 2
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
40 2
60 2
20 2
30 2
40 = 23 · 5
60 = 22 · 3 · 5
10 2
15 3
5 5
5 5
1
1
Paso 2: Elegir los factores comunes.
y 5
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Comunes: 22 y 5
m.c.d.(4 , 6) = 2
c) 525 = 3 · 52 · 7
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Comunes: 2
Paso 4: Multiplicar los factores:
3
5
5
7
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(40 , 60)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
4 2
6 2
2
6=2·3
4
=
2
2 2
3 3
1
1
Comunes: 2
2
2
2
2
3
3
3
b) 432 = 24 · 33
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Paso 2: Elegir los factores comunes.
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.d.(40 , 60) = 22 · 5 = 20
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
Ejemplo: Hallar el m.c.d.(150 , 225)
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(4 , 6)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
150 2
225 3
75 3 150 = 2 · 3 · 52
75 3
225 = 32 · 52
25 5
25 5
5 5
5 5
1
1
Paso 2: Elegir los factores comunes.
Comunes: 3
y 5
y 52
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(20 , 30)
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
No comunes: 3
m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
Ejemplo: Hallar el m.c.m.(75 , 90)
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
30 2
20 2
10 2 20 = 22 · 5
15 3
30 = 2 · 3 · 5
5 5
5 5
1
1
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
No comunes: 3
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
Comunes: 22 y 5
No comunes: 3
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.d.(150 , 225) = 3 · 52 = 75
y 5
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
Comunes: 22
Paso 4: Multiplicar los factores:
Comunes: 2
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
4 2
6 2
2
6=2·3
4
=
2
2 2
3 3
1
1
Comunes: 2
Paso 3: Elevarlos al menor exponente que aparezca.
Comunes: 3
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
No comunes: 3
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.m.(20 , 30) = 22 · 3 · 5 = 60
Paso 1: Descomponer en factores primos los dos números.
90 2
75 3
45 3
25 5 75 = 3 · 52
90 = 2 · 32 · 5
15
3
5 5
5 5
1
1
Paso 2: Elegir los factores comunes y no comunes.
Comunes: 3
y 5
No comunes: 2
Paso 3: Elevarlos al mayor exponente que aparezca.
Comunes: 32 y 52
No comunes: 2
Paso 4: Multiplicar los factores:
m.c.m.(75 , 90) = 2 · 32 · 52 = 450
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
M.C.D. Y M.C.M.
El producto del máximo común divisor por el mínimo común
múltiplo de dos números coincide con el producto de los dos
números.
a)
m.c.d. (A , B) · m.c.m. (A , B) = A · B
m.c.d.(4 , 6) = 2
b)
m.c.m.(4 , 6) = 22 · 3 = 12
m.c.d. (4 , 6) · m.c.m. (4 , 6) = 2 · 12 = 24 = 4 · 6
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
MÁXIMO COMÚN DIVISOR M.C.D.
a)
b)
c)
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO M.C.M.
SUMAS Y RESTAS CON PARÉNTESIS
a) 7 − ﴾ − 5 ﴿ = 7 + 5 = 12
f ) 7 · ﴾ − 5 ﴿ = − 35
b) 3 + ﴾ − 5 ﴿ = 3 − 5 = − 2
g) − 3 · ﴾ −5 ﴿ = 15
c) − 7 − ﴾ −5 ﴿ = − 7 + 5 = − 2
h) − 15 : ﴾ − 5 ﴿ = 3
d) −3 + ﴾ −5 ﴿ = − 3 − 5 = − 8
i) −25 : 5 = − 5
e) − 7 − 5 = − 12
j) − 7 · 5 = − 35
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
SACAR FACTOR COMÚN
a ⋅ ( b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
a ⋅ b + a ⋅ c = a ⋅ ( b + c)
Ejemplos:
Ejemplos:
a ) 3 ⋅ ( 2 + 5 ) = 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 6 + 15 = 21
a ) 3 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 = 3 ⋅ ( 2 + 5 ) = 3 ⋅ 7 = 21
b ) 5 ⋅ ( 7 − 3) = 5 ⋅ 7 − 5 ⋅ 3 = 35 − 15 = 20
b ) 5 ⋅ 7 − 5 ⋅ 3 = 5 ⋅ ( 7 − 3) = 5 ⋅ 4 = 20
OPERACIONES COMBINADAS
a ) 52 − ( 25 − 13) = 52 − 12 = 40
b ) 40 − ( 32 − 16 ) = 40 − 16 = 24
c ) 28 + (11 − 6 ) = 28 + 5 = 33
d ) 37 + (15 − 12 ) = 37 + 3 = 40
OPERACIONES COMBINADAS
a ) ( −30 ) : ( −2 ) ⋅ 5 = 15 ⋅ 5 = 75
b ) 75 : ( −25 ) : 3 = ( −3) : 3 = −1
c ) 60 :10 : ( −2 ) = 6 : ( −2 ) = −3
d ) 8 ⋅ ( −9 )  : 6 ⋅ ( −12 )  = ( −72 ) : ( −72 ) = 1
OPERACIONES COMBINADAS
a ) 11 − ( 3 − 2 + 4 − 6 ) = 11 − ( −1) = 11 + 1 = 12
b ) ( 6 − 5 + 7 ) − ( 3 − 2 − 8 ) = 8 − ( −7 ) = 8 + 7 = 15
c ) 5 − ( 3 − 10 ) + ( 4 − 8 + 2 ) − ( 7 − 5 + 1) =
= 5 − ( −7 ) + ( −2 ) − 3 = 5 + 7 − 2 − 3 = 7
d ) ( 6 − 10 ) − ( 5 − 3) − ( 4 − 6 )  = −4 −  2 − ( −2 )  = −4 − 4 = −8
OPERACIONES COMBINADAS
a ) 5 ⋅ ( 3 − 7 ) + 4 ⋅ ( 8 : 2 ) − 5 ⋅ ( 2 − 10 ) =
= 5 ⋅ ( −4 ) + 4 ⋅ 4 − 5 ⋅ ( −8 ) = −20 + 16 + 40 = 36
b ) 3 − 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ ( 7 − 3 ⋅ 2 )  = 3 − 2 ⋅ 5 − 4 ⋅ ( 7 − 6 )  =
= 3 − 2 ⋅ [5 − 4 ⋅1] = 3 − 2 ⋅ [5 − 4] = 3 − 2 ⋅1 = 3 − 2 = 1
PROBLEMAS
PROBLEMAS
Nuria lleva los papeles al contenedor de reciclaje cada 5 días, y Pedro lo hace
cada 3. El día 20 de mayo se encontraron allí. ¿Cuándo volverán a coincidir?
Tres autobuses de tres líneas distintas salen de una estación: el primero cada
10 minutos, el segundo cada 12 minutos y el tercero cada 15 minutos. Si a las
8 de la mañana salió un autobús de cada línea, ¿a qué hora volverán a salir los
tres a la vez?
Tenemos que calcular el m.c.m.(3, 5) = 3 · 5 = 15. Tienen que pasar 15 días.
SOLUCIÓN: Vuelven a coincidir el 4 de junio.
Se calcula el m.c.m.(10, 12, 15) = 22 · 3 · 5 = 60.
SOLUCIÓN: Los tres vuelven a coincidir a las nueve.
En un terreno rectangular de 240 por 360 metros, se proyecta colocar placas
cuadradas del mayor tamaño posible, para recoger energía solar. ¿Qué
longitud tienen que tener los lados de las placas?
240 = 24 · 3 · 5
360 = 23 · 32 · 5
Se calcula el m.c.d.(240, 360) = 23 · 3 · 5 = 120
SOLUCIÓN: 120 m de lado deben tener las placas.
PROBLEMAS
En la biblioteca de mi centro hay entre 150 y 200 libros. Averigua cuántos
son exactamente si pueden agruparse en cajas de 5, de 9, de 15 y de 18
unidades.
5=5
9 = 32
15 = 3 · 5
18 = 2 · 32
Deseamos partir dos cuerdas de 20 m y 30 m en trozos iguales lo más
grandes que sea posible y sin desperdiciar ningún cabo. ¿Cuánto medirá
cada trozo?
20 = 22 · 5
30 = 2 · 3 ·
5
M.C.D. (20, 30) = 2 · 5 = 10
SOLUCIÓN: Han de partirse en trozos de 10 metros cada una.
MÍNIMOS EXIGIBLES
- Reconocer la divisibilidad entre números usando varios criterios de
divisibilidad.
- Obtener el MCD y MCM de varios números por factorización.
m.c.m. (5, 9, 15, 18) = 2 · 32 · 5 = 90
El número de libros ha de ser múltiplo de 5, de 9, de 15 y de 18, y el
menor de ellos es 90. Los siguientes múltiplos de 90 son 180, 270…
SOLUCIÓN: Por tanto hay 180 libros.
- Resolver problemas usando el MCD o MCM.
-Realizar operaciones combinadas con números enteros en casos muy
simples.
- Aplicar la propiedad distributiva y sacar factor común en las
operaciones con números naturales.