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Propiedades
3) Cuarta proporcional:
Se llama cuarta proporcional de tres
cantidades a,b,c, a un valor x, que
se cumple la siguiente condición.
𝑎 𝑐
=
𝑏 𝑥
• Ejemplos:
Hallar la cuarta proporcional a
los números a,b y c.
a) a = 2 , b = 4 , c = 8
b) a = 3 , b = 6 , c = 9
• Ejercicios :
Hallar la cuarta proporcional a los
números a,b y c.
a) a = 4 , b = 8 , c = 10
b) a = 3 , b = 10 , c = 4
c) a = 3 , b = 4 , c = 9
Propiedades
4) Tercera proporcional:
Se llama tercera proporcional a dos
cantidades a y b, a un valor x, que
se cumple la siguiente condición.
𝑎 𝑏
=
𝑏 𝑥
• Ejemplos:
Hallar la tercera proporcional a
los números a y b.
a) a = 4 , b = 6
b) a = 2 , b = 12
• Ejercicios :
Hallar la tercera proporcional a los
números a y b.
a) a = 4 , b = 16
b) a = 8 , b = 18
c) a = 6 , b = 30
Propiedades
5) Media proporcional:
Se llama media proporcional a dos
cantidades a y b, a un valor x, que
se cumple la siguiente condición.
𝑎 𝑥
=
𝑥 𝑏
• Ejemplos:
Hallar la media proporcional a
los números a y b.
a) a = 9 , b = 4
b) a = 4 , b = 6
• Ejercicios :
Hallar la media proporcional a los
números a y b.
a) a = 4 , b = 16
b) a = 8 , b = 18
c) a = 6 , b = 30
Propiedades
6) “En toda proporción, la suma o
diferencia de los antecedentes, es a
la suma o diferencia de los
consecuentes como cada antecedente
es a su consecuente”
𝑎 𝑐
𝑎 ±𝑐 𝑎 𝑐
= →
= =
𝑏 𝑑
𝑏 ±𝑑 𝑏 𝑑
Propiedades
7) “En toda proporción, la suma o
diferencia del antecedente y
consecuente de la primera razón es a
su antecedente o consecuente, como
la suma o diferencia del antecedente
y consecuente de la segunda razón es
a su antecedente o consecuente”
𝑎 𝑐
𝑎 ±𝑏 𝑐 ±𝑑
= →
=
𝑏 𝑑
𝑎
𝑐
𝑎 𝑐
𝑎 ±𝑏 𝑐 ±𝑑
= →
=
𝑏 𝑑
𝑏
𝑑
• Ejemplos :
Hallar los dos números sabiendo
su suma (S) y su razón (r).
1
a) S = 6 , r =
2
3
b) S = 8 , r =
5
• Ejercicios :
Hallar los dos números sabiendo su
suma (S) y su razón (r).
1
a) S = 12 , r =
2
1
b) S = 36 , r =
3
Propiedades
𝑎
𝑏
8) Dada una serie de razones =
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
=
…, se cumple que :”La suma de todos los
antecedentes es a la suma de todos los
consecuentes como un antecedente
cualquiera es a su consecuente “
𝑎+𝑐+𝑑+⋯
𝑏+𝑑+𝑓+⋯
=
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
=
𝑒
𝑓
=…
• Ejemplos :
Es necesario cortar tres partes
de un alambre de 520 mm de
largo, de modo que la razón de
las longitudes sea 6:4:3. ¿Cuánto
debe medir cada trozo de
alambre ?
• Ejercicio:
Calcula los lados de un triángulo
sabiendo su perímetro (P) y que los
lados son proporcionales a los números
dados .
a) P = 18 y lados proporcionales a
4:6:8
Proporcionalidad directa
Dos variables están en
proporcionalidad directa si su
cociente permanece constate :
x e y están en proporcionalidad
𝑥
directa → = 𝑘
𝑦
Proporcionalidad directa
Gráfico
y
x
• Ejemplo:
Un vehículo en carretera tiene
un rendimiento de 16 km por
cada litro de bencina. ¿Cuántos
litros de bencina consumirá en un
viaje de 192 km?
Proporcionalidad inversa
Dos variables están en
proporcionalidad inversa si su
producto permanece constate :
x e y están en proporcionalidad
inversa → 𝑥 ∙ 𝑦 = 𝑘
Proporcionalidad directa
Gráfico
y
x
• Ejemplo:
Tres obreros demoran 5 días en
hacer una zanja. ¿Cuánto
demorarán 4 obreros?
Proporcionalidad
compuesta
La proporcionalidad compuesta
permite relacionar variables
mediante proporcionalidad directa
y/o proporcionalidad inversa
• Ejemplo:
Se necesitan 20 obreros para
pavimentar 2 km de camino en 5
días. ¿Cuántos obreros
pavimentarán 5 km en 10 días?
Porcentaje
El símbolo % significa tantas partes por
cada 100. En consecuencia, 6% significa “6
6
partes de 100”, es decir
= 0,06 que es
100
su equivalente decimal(tanto por uno).
Para calcular porcentajes podemos usar
la siguiente relación
𝑟∙𝑁
𝑃 =𝑟∙𝑁 ↔𝑃 =
100
• Ejemplos:
a) Hallar el 15% de 32
b) Hallar el
1
8
% de 96
• Ejercicios:
Hallar:
a) 18% de 72
b) 35% de 180
c) 4% de
1
50
Porcentaje
Hallar un número cuando se conoce
un tanto por ciento de el
𝑟∙𝑁
𝑃 ∙ 100
𝑃=
→𝑁=
100
𝑟
• Ejemplos:
a) ¿ De que número es 46 el 23%?
b) ¿Cuál es el número cuyos
es 21?
3
4
%
• Ejercicios:
¿ De que número es
a) 35 el 5% ?
b) 60 el 90% ?
c) 40 el
1
8
%?
Porcentaje
Dados dos números, averiguar que
tanto por ciento es uno del otro
𝑟∙𝑁
𝑃 ∙ 100
𝑃=
→𝑟=
100
𝑁
• Ejemplos:
a) ¿ Qué % de 8400 es 2940?
b)
2
6
5
¿Qué % es de 16?
• Ejercicios:
¿ Qué % de
a) 860 es 129 ?
b) 95 es 30,4 ?
c)
1
2
es
1
4
?