Download Presentación de PowerPoint

Tema: Ecuaciones Lineales
Objetivo General:
 Comprender el concepto de ecuación como una igualdad en la
que hay que hallar el valor de la incógnita que la hace verdadera
Objetivos específicos:
 Reconocer una ecuación de primer grado.
 Reconocer y comprobar mediante ejercicios simples si un número es
solución de una ecuación lineal.
 Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana mediante una
ecuación de primer grado con una variable.
Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones matemáticas en la que al
menos esté presente una variable, que ahora recibirá el nombre de
incógnita.
Conjunto solución de una ecuación (C. S.): Es aquel conjunto formado por
todas las soluciones de dicha ecuación. Si la ecuación no tiene solución,
entonces su conjunto solución es el conjunto vacío ∅ .
CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES: A las ecuaciones de acuerdo al
número de soluciones podemos clasificarlas en:
Ecuaciones compatibles: Son aquellas que poseen al menos una solución.
Estas pueden ser:
a) Determinadas: Una ecuación es compatible determinada si es posible
determinar la cantidad de sus soluciones.
b) Indeterminadas: Una ecuación es compatible indeterminada si no es
posible determinar la cantidad de sus soluciones.
Ecuaciones incompatibles (Inconsistentes): Son aquellas ecuaciones que
no poseen soluciones, su conjunto solución 𝑪𝑺 = 𝝓.
Ecuación Lineal: Una ecuación lineal es una igualdad que puede escribirse de la
𝒃
forma 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 con raíz 𝒙 = − donde 𝒂, 𝒃 𝝐 ℝ , si 𝒂 ≠ 𝟎 es determinada,
𝒂
Si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 = 𝟎 indeterminada, y si 𝒂 = 𝟎, 𝒃 ≠ 𝟎 incompatible.
Valor absoluto: El valor absoluto de un número real x, se define como aquel
número real no negativo que se denota por 𝒙 , donde:
𝒙 =
𝒙 𝒔𝒊 𝒆𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒊𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒐 𝒄𝒆𝒓𝒐.
−𝒙 𝒔𝒊 𝒙 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐.
El resultado de aplicar valor absoluto a una expresión matemática nos dará
como resultado siempre una expresión positiva. En tal sentido, revisar los
siguientes teoremas en el formulario.
Enunciados abiertos para problemas aplicados
Forma Verbal
FORMA SIMBÓLICA
𝒙+𝟒
𝒙−𝟗
𝟐𝒙
𝟓𝒙
𝒙
𝟐
𝒙
𝟒
2 𝒙+𝟑
𝟐𝒙 + 𝟑
𝒙−𝟖
𝒙+𝟓
𝒙 + 𝒙 + 𝟏 + 𝒙 + 𝟐 = 𝟏𝟖
𝒙 + 𝒙 + 𝟐 = 𝟐𝟔
𝟐𝒙 + 𝟓 = 𝟏𝟓
𝒙 − 𝟔𝟎 = 𝟏𝟗𝟎
1) Un número aumentado en 4
2) Un número disminuido en 9
3) El doble de un número
4) El quíntuplo de un número
5) La mitad de un número
6) La cuarta parte de un número
7) El doble de un número aumentado en 3
8) El doble de un número, aumentado en tres
9) La edad de Juan hace 8 años
10) La edad de Doris dentro de 5 años
11) La suma de tres números consecutivos es 18
12) La suma de dos números pares consecutivos es 26
13) El doble de la edad de David aumentado en 5 años es 15
14) El dinero que tiene Julio disminuido en $ 60 es igual a $190
FORMA SIMBÓLICA
FORMA VERBAL
1) 𝟑𝒙
2) 𝒙𝟐 + 𝟕
3) 𝒙 + 𝟕 𝟐
4) 𝒙 𝒙 + 𝟐
5) 𝟐𝒙 𝟑
6) 𝒙 + 𝒚 + 𝒛
El triple de un número o tres veces un número
El cuadrado de un número aumentado en siete
El cuadrado de un número aumentado en siete
El producto de dos números pares consecutivos
El cubo del doble de un número
La suma de tres números
Las tres quintas partes de un número
7)
𝟑𝒙
𝟓
8) 𝟒𝒙𝟑
9) 𝟑𝒙 + 𝟒
10) 𝟑 𝒙 + 𝟒
El cuádruplo del cubo de un número
El triple de un número, aumentado en cuatro
El triple de un número aumentado en cuatro
𝟏) 𝒂𝒃 = 𝟏𝟎𝒂 + 𝒃
Descomposición de unidades: 𝟐) 𝒂𝒃𝒄 = 𝟏𝟎𝟎𝒂 + 𝟏𝟎𝒃 + 𝒄
𝟑) 𝒂𝒃𝒄𝒅 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝒂 + 𝟏𝟎𝟎𝒃 + 𝟏𝟎𝒄 + 𝒅
PROBLEMAS DE EDADES
Los problemas de edades son un tipo particular de planteo de ecuaciones las cuales
están relacionados con años de existencia y tiempo en pasado, presente y futuro.
Casos I.
Cuando se tiene una sola persona:
Pasado hace "𝒂" años
𝑥−𝑎
Presentes
𝑥
Futuro dentro de "𝒂" años
𝑥+𝑎
Casos II.
Cuando se tiene dos personas:
Pasado hace "𝒂´´ años.
presente
Futuro dentro de
"𝒂" años
Yo
𝑦−𝑎
𝑦
𝑦+𝑎
Tu
𝑥−𝑎
𝑥
𝑥+𝑎
Para este cuadro se cumple lo siguiente:
1) La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo; es decir:
𝑦 − 𝑎 − 𝑥 − 𝑎 = 𝑦 − 𝑥 = 𝑦 + 𝑎 − 𝑥 + 𝑎 = 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 .
2) La suma en aspa de los valores extremos simétricos son iguales, es decir:
a) 𝑦 − 𝑎 + 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 + 𝑦
b) 𝑦 + 𝑥 + 𝑎 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑎
I. Realizaremos los ejercicios de la página #116 del texto sugerido en el curso:
11) 7 𝑦 + 1 − 2 = 5 𝑦 + 1 + 2
29) 2𝑡 − 1
2
3
1
= 4𝑡 2 + 1
7
41) 𝑥 + 5 − 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 10
𝑞
6
43) 𝑞 − 3 − 𝑞2 − 2𝑞 − 3 = 1
II. Resolveremos los problemas aplicados de la página #124 del texto.
3) Encuentre tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48.
5) En 5 años Bryan tendrá tres veces la edad que tenía hace 7 años.
¿ Cuántos años tiene?
Algebra, Trigonometría y geometría Analítica
Dennis G.Zill y Jacqueline
M.Dewar.3ra. Edición.2012
Desigualdades
*Definición
*Propiedades
*Solución de una desigualdad lineal con una variable.
Desigualdades: Es la relación de orden que existen entre dos cantidades, éste se
representa con los símbolos menor que < , mayor que > , 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑜 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 ≤
Y mayor o igual ≥ .
Propiedades de las desigualdades:
Sean 𝑎, 𝑏, 𝑐𝜖ℝ
1) Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑏 > 𝑐, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎 > 𝑐
2) Si 𝑎 > 𝑏, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎 + 𝑐 > 𝑏 + 𝑐 𝑦 𝑎 − 𝑐 > 𝑏 − 𝑐
𝑎
𝑏
3) Si 𝑎 > 𝑏 𝑦 𝑐 > 0, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑎 ∗ 𝑐 > 𝑏 ∗ 𝑐 𝑦 >
4) Si a> 𝑏 𝑦 𝑐 < 0, entonces 𝑎 ∗ 𝑐 < 𝑏 ∗ 𝑐 𝑦
𝑎
𝑐
𝑐
<
𝑏
𝑐
𝑐
Solución de una desigualdad lineal con una variable:
Para determinar el conjunto solución de una desigualdad, se procede de la
misma manera como en una ecuación lineal, despejando la variable y tomando
en consideración las propiedades de las desigualdades.
Resolveremos los ejercicios del libro página 149
Encontrar el conjunto solución de los siguientes ejercicios:
3
31) 7 < 3 − 2 𝑥 ≤ 8
3
33) −1 ≤
21) 2 𝑥 + 4 ≤ 10
23) 2 − 𝑥 > 𝑥
25) 2 + 𝑥 ≥ 3 𝑥 − 1
1
𝑥−4
4
1
<2
Resolución de ecuaciones lineales con valor Absoluto:
1) 𝑥 = 𝑐 ⇒ 𝑥 = ± 𝑐 ⇒ 𝑐𝑠: −𝑐, 𝑐
Recordar:
2) 𝑥 − 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑥 − 𝑎 = 𝑏
𝑥 − 𝑎 = −𝑏 ⇒ 𝑐𝑠: 𝑥1 , 𝑥2
𝑎=
𝑏=
𝑥1 + 𝑥2
2
𝑥2 − 𝑥1
2
Resolvamos ejercicios del texto página # 149
Encontrar la solución de las siguientes ecuaciones:
1) 4𝑥 − 1 = 2
3)
1
4
3
− 2𝑦 = 1
Ejercicios de competencia:
1
1) El producto de las soluciones de 𝑥 − 2 = 2 es:
5
4
7
15
4
b) 4
c) 2
2) El solución de la ecuación 𝑥 − 2 = 8 es:
d)
a) −6,10
d) −6
a)
b) −10,6
c) −8,8
e)
22
4
e) 10
Desigualdades con valor Absoluto:
Propiedades:
1) 𝑆𝑖
2) 𝑆𝑖
3) 𝑆𝑖
4) 𝑆𝑖
𝑥 < 𝑐 ⇒ −𝑐 < 𝑥 < 𝑐 ⇒ 𝑐𝑠 = −𝑐, 𝑐
𝑥 > 𝑐 ⇒ 𝑥 > 𝑐 ∪ 𝑥 < −𝑐 ⇒ 𝑐𝑠 = −∞, −𝑐 ∪ 𝑐, +∞
𝑥 − 𝑎 < 𝑏 ⇒ −𝑏 < 𝑥 − 𝑎 < 𝑏
𝑥 − 𝑎 > 𝑏 ⇒ 𝑥 − 𝑎 > 𝑏 ∪ 𝑥 − 𝑎 < −𝑏
Resolveremos ejercicios de la página #153 del texto:
Hallar el conjunto solución de los siguientes ejercicios:
13) 3 + 𝑥 > 7
15) 2𝑥 − 7 ≤ 1
19)
Ejercicios de competencia:
1) El conjunto solución de la desigualdad 2𝑥 − 1 < 5 es:
a) 𝑥 < −2
b) 𝑥 > 3
c) −2 < 𝑥 < 3
d) 𝑥 < −2
3𝑥 − 1
−4
<2
𝑥>3
e) 𝜙
2) El conjunto solución de la desigualdad 𝑥 + 1 ≥ 3 es:
a) −∞, −4
b) 2, +∞)
c) −4,2
d) −∞, −4 ∪ 2, +∞)
e) ∅