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NOTAS DEL CURSO DE ALGEBRA
PROFESOR: ING. LUIS CÉSAR VÁZQUEZ SEGOVIA.
TEMARIO:
NÚMEROS REALES
NÚMEROS COMPLEJOS C
POLINOMIOS
SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
NÚMEROS REALES (+, •)
1.
2.
3.
4.
IRRACIONALES Q’
RACIONALES
Q
ENTEROS
Z
NATURALES
N
NÚMEROS COMPLEJOS (+, •)
DIAGRAMA DE ARGAND
POLINOMIOS P (DIVISIÓN SINTETICA, +, • ).
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MODELADO)
(METODO DE GAUSS
MATRICES Y DETERMINANTES (ARREGLO RECTANGULAR DE
NÚMEROS, CALCULAR AREAS).
ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS (NOMBRES DE OPERACIONES)
x²+1=0
( +, • )
ALGEBRA
Q’
Q
Z
C (+, •)
Z=a+bi
N
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
“N” ECUACIONES
“N” INCOGNITAS
POLINOMIOS
(P, +, •)
MATRICES Y
DETERMINANTES
METODO
DE GAUSS
MODELADO
TEMA I: NÚMEROS REALES
Contar: comparar contra un patrón de referencia
Numeral: símbolo con el que se representa un número (constructo mental, 1, 2, I,
II).
Números naturales: aquellos que nos sirve para contar
Postulado: es una verdad evidente que no necesita demostración.
Definición
El conjunto de los números naturales (N) tal que:
a) 1 є N
b) Para cada n Є N existe n* Є N, llamado el siguiente de n
c) Para cada n Є N se tiene n*, n* es diferente de uno.
d) Si m, n Є N y m* = n*, entonces m = n
e) Todo subconjunto S de los N que tenga propiedades:
1. 1 Є S
2. K Є S implica que k* Є S, entonces S es el mismo conjunto de los N
Subconjunto impropio: Cuando se contienen todos los elementos del conjunto.
N
1, 2,3,....., n
Adición en N
1) n 1 n
2) m n
(m n)
siempre y cuando m n este definido
Ejemplo:
2 2 4
2 2
(2 1)
2 1
2 2
(2 1)
(2 )
4
((1 ) )
Diferencia
Definición
Sea la ecuación n + x = m; con m y n Є N, su solución, es decir al número x que sumado
a n nos da como resultado m, lo llamaremos diferencia m-n.
n+x=m
x=m-n
Orden en N
Definición
Dados dos números naturales n y m, decimos que n es menor que m, lo que representamos
mediante n
m , si existe x
tal que:
n+x=m
n<m
Gráfica
n
<
m
Números enteros ( )
x <= m - n
a
a
m n,
donde
m, n
n x m
n
m
x
m n( postulado)( positivo)
Algoritmo de la división en
a
b
c
a bc n
b 0
r
b
a dividendo
b divisor
r
resultado
NÚMEROS RACIONALES
={
p
p
a
b
,donde a, b Z y b 0 }
El cociente de dos números enteros.
ORDEN EN
p, q
p
<
q
si
x
m
n
si m
m n(negativos) si
x
n
0
AXIOMAS DE ORDEN EN
p q, p, q
p c q c, c
1. .- Cancelación:
2. Tricotomía: p, q
Si p
q
p q
Si c 0
p c
p
p
q
q
q
p
c
q c
*El sentido de la igualdad cambia si se multiplica por un número negativo.
3.-Transitividad: si a b y b c entonces a b c por lo tanto a c .
Teorema de densidad en los racionales
Entre cualquier par de números racionales existe otro número racional.
, con x
x, y
x z
y , existe z
tal que:
y
Demostración:
Sea x
y,
Cancelación
x, y
Transitividad
x x
1
x
x
( y x)( 1 )
2
2x
2
x
x y
y
2
y x
1
2
Números irracionales Q
Q=
ALGEBRAICAS
TRASCENDENTES
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1,3,5,7,9,...
{x
x
2n 1, n N }
1 3 4 22
1 3 5 9 32
1 3 5 7 16 42
x
y
2
y
y y
2y 1
y x
y x
2
x
y
y
2
z
y x
2
x z
y
1 3 5 7 9 25 52
1 3 5 7 9 ........2n ...... n2
dada una proposición
S = {n
n
N , p(n) verdadera}
n 1
n
Hipótesis de verdad.
k
Para n k 1 k
Demostrar.
Ejemplo:
Determinar utilizando inducción matemática que 1 3 5 2n 1 n 2 , n
verdadera,
n
:
Solución:
Para n 1
2(1) 1 1
2 1 1
1 1
Para n 22
1 3 22
4 4
Para n
k
2k 1 k 2 ........( I ) Hipótesis verdadera.
Para n k 1 k
1 3 5 ... 2(k 1) 1 (k 1)2 ........( II ) Demostrar
es
a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (II)
k2
1 3 5 ... 2k 1
1 3 5 ...2k 1 2k 1 k 2
2k 1
Se factoriza y se compara con (II)
1 3 5 ... 2k 1 ( k 1) 2 ........( III ) y como (I) y (II) son iguales la proposición
p(n) es verdadera V n Є N.
Ejemplo:
Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición.
1 2 4 ... 2n
2n
1
1 para n
2k
1
0
Solución:
Para n 0
20
20
1
1
1 1 se cumple.
Para n 1
20 21
21 1 1
3 3 se cumple
Para n
k
1 2 4 ... 2k
1 .............. (I) Hipótesis verdadera.
Para n k 1
2k
1 2 4 ... 2k
1
1 ............ (II) Demostrar
a la expresión (I) le sumamos el término siguiente para obtener (III)
1 2 4 ... 2k
2k
1
1 2k
1
1 2 4 ... 2k
1
2k
2
1 ............... (III)
Comparando (II) y (III), como son iguales se dice que la proposición en valida para
toda n 0 .
Ejemplo:
Determinar por inducción matemática la validez de la siguiente proposición:
n2 n es un número par para toda n N
Solución:
n2
n
par
Para n 1
12 1 2 es par
Para n
k2
k
k
par .................... (I) Hipótesis verdadera
Para n k 1
(k 1) 2 (k 1)
par .......................... (II) Demostrar
(k 1) 2 (k 1)
(k 2
k2
2k 1 k 1
k ) 2k 2 (k 1) 2 (k 1)
por lo tanto p(n) es verdadera
Expresión de números racionales
Cociente de un número entero:
1 1 5 1
, , ,
4 3 2 25
Como expresión periódica:
:
k ) 2(k 1)
hipótesis
es par
verdadera
demostrado
.
n
(k 2
.33333
.66666
4.1243567
15.00
Ejemplo:
Determinar la expresión como cociente de dos números enteros de los siguientes
números racionales:
n .33333
p 4.124
1000,000 p
100n 33.33
1,000 p
10n 3.33
999,000 p
90n 30.00
n
30
90
1
3
4,123756.756
0.9999
p
4124.756756
4120632.000
4120632
999, 000
Igualdad en Q:
Definición
Sea
a c
a
y números racionales, se dice que
b d
b
Conjunto de los números reales
Adición
( , , )
c
si y solo si ad
d
bc
Sean a, b, c
1.- Cerradura.- Aplicar una operación binaria y que el resultado dé un número del
mismo conjunto.
a b c R
2.- Asociatividad.- Lleva implícita la cerradura.
(a b) c
a (b c)
3. Conmutatividad.-
a b b a
4.- Existencia de elemento idéntico:
a e a
e a a 0
5.- Existencia de elementos inversos.
b b 0
b 0 b
b
b
b ( b) 0
Multiplicación:
1.- Cerradura.- a b c
2.- Asociatividad.- (a b) c
a (b c)
3.- Conmutatividad.- a b b a
4.- Existencia de elemento idéntico.- a i
a
5.- Existencia de elementos inversos.- a a 1
i 1
a
a 1 a
1
a
a
0
Distributividad:
a (b c) (a b) (a c)
(b c) a
(b a) (c a)
a (b c) (b c) a
( , , ) Son un campo ó cuerpo porque se cumplen todas las reglas en adición y
multiplicación y tiene distributividad.
Axioma de orden en
a
<
b
a, b, c
1.- Cancelación si a b
a c b c
a
b
2.- Tricotomía a, b a b
b a
3.- Producto
a b
i) c 0 (positivo)
ac bc (se conserva)
ii) c 0 (negativo)
ac bc (se invierte)
4.- Transitividad.- relaciona dos desigualdades
a
b
b
c
a
b
c
a
c
Desigualdades
7 5
3x 2 5
si x
0
2 5
si x
2
14 56
si x
1
5 6
x = # de playeras
y = ganancia
40x 200 70x
200 70x 40x
200 30x
200
30
x
x
6.66 Aproximadamente 7
Solución: vender 7 playeras ó más.
Ejemplo:
Determinar los valores de x
a)
3x 2
4
3x 2 2
x
2
4 2
tal que satisfaga la desigualdad.
o
2
Intervalo solución ( -
b) –5< 4-3x < 1
2
1ª.- 5< 4-3x
1b.- 4-3x < 1
2
2
10 4 3x
14
4 3x
3x
2
3x
2
x
2
3
x
14
3
Intervalo solución:
(-
Intervalo solución:
]
(2/3 ,
Interpretación
2/3
14/3
Intervalo solución final:
(-
] n (2/3 ,
]
Ejemplo:
x 2
x 1
5
Solución.-
1ª.- denominador positivo
x+1>0 ; x> -1
2ª.- denominador negativo:
(-1,
x+1<0; x< -1
(- -1)
x+2<5(x+1)
x+2>5(x+1)
x+2<5x+5
x+2>5x+5
2<4x+5
-3/4>x;
(-
, -3/4)
-3<4x
x> -3/4 ;
(-3/4,
Solución primer caso:
(-3/4 ,
Solución final:
)
(-
Valor absoluto
a
a
|x|= +
|-x|=+
x
-a
x, x
0
x, x
0
0
a
, -1) U (-3/4 ,
Solución segundo caso:
(-
, -1)
Propiedades
Sea x, y
1) x
0
2) xy
3) x
x
4)
x
0
y
0
x y
y
x
y
x
y
y
;
Explicación de la tercera propiedad:
x
y
x
1.- si x
3 4
3, y
3
7
3 4
7
7
2, y
2 ( 5)
7
4
4
2.- si x
7
y
5
1 2
5
2 5
7
Resolver la siguiente ecuación:
a)
2 4x
6
6
2 4x
6
1er caso.-
2 4x -
6
8
2 4x
6
4x
4
4x
x
b)
2do caso.-
2
x
147 4x
1
3
Solución: Ø; es vacío porque siendo valor absoluto no hay resultado negativo.
Ejemplos:
Determinar los valores de x
a)
x 2
.5
x 2 .5
, que satisfacen la siguiente desigualdad:
.5
Gráficamente
1er.-
2do.-
.5 x 2
1.5 x
1.5,
x 2 .5
x 2.5
,2.5
Intervalo solución final:
b) x 1
,2.5
x
3
3
x 1 4
4 x 1 4
5
x
-5
2.5
(1.5,2.5)
2do.-
x 1 4
4 x 1 4
-5
1.5,
4
1er .-
5
1.5
3
3
Intervalo solución: ( 5,3)
Solución:
7 ,7
c) |x|<7
–7<x<7
-7
7
d) |x|>7
solución: (-
-7>x>7
-7
7
INDUCCIÓN MATEMÁTICA
1.- Determinar si
n 2n
Solución:
para n 1
(1 2)1 5(1) 2
3 3 , cumple
5n 2 es valida
n
, -7) U ( 7 ,
para n
k
2k
k
2 ..................... (I) Hipótesis verdadera
5k
para n
k 1
(k 1 2)k 1 5(k 1) 2
(k 3)(k 1)
k2
5k 5 2
4k 3 5k 3 ...................... (II) Demostrar
De (I)
(k
2)k
5k 2
a (I) le sumamos 5
(k
2)(k ) 5
k2
2k 5
5k 3
5k 3 ........................ (III)
por lo tanto p(n) no es V n Є N
2.- Determinar utilizando inducción matemática la validez de la siguiente
proposición:
n
2;
n
N
Solución:
para n 1
1 2 se cumple
para n
k
k
2 ...................... (I) Hipótesis verdadera
para n
k 1
k 1 2 ........................... (II) Demostrar
de (I)
k
2 (por transitividad) multiplicar por 2
k 2
2k
2 2
2
Comparando con (II)
k 1 2
k 1 2k
2
Resolviendo por desigualdad
k 1 2k
k k 1 2k k
Por lo tanto p(n) es valida
1 k
.
n
3.- Demostrar que:
22 5 es divisible entre 3 ;
n
N
Solución:
para n 1
22
5
4 5
para n
22
9 si cumple
k
5 ............................ (I) Hipótesis verdadera
para n
22
k 1
5 ........................ (II) Demostrar
de (II) crear un sumando con la hipótesis y sea evidente.
22
22 22
5
5
22 4 5
2 2 (1 3) 5
22 1 22 3 5
22
5 22 3
hipótesis
divisible entre 3
por lo tanto p(n) es valida
TEMA II : NÚMEROS COMPLEJOS
x2
2
0
x
2
x2 1 0
x
1
i
imaginario
C
/
i
a bi,
a bi
Parte
Parte
Real
Imaginaria
donde
1
a, b
y
i
1
n
N
Ejemplos:
1
3 3i
4 7i
2
3
3i
4
4 i
Diagrama de Argand
IIm
b
(0,0i)
•z=a+bi
a
Igualdad de números complejos:
Sean
1
a bi y
2
c di se dice que
es igual a la parte del segundo a
Ejemplo:
c
y
1
b
2
d.
, si y solo si la parte del primero
Sean
1
3 4i y
3 bi , determinar el valor de b
2
, para que
1
2
Solución:
3 3
4
b
ó
b
4
Operaciones
Adición en C ( )
Sean
1
1
a bi y
c di ; se define la suma de
2
1
2
como:
(a c) (b d )i
2
Ejemplo:
Sean;
1
3 4i y
2
3 2i
1
2
(3 3) (4 ( 2))i
1
2
6 2i
Sustracción en C ( )
Sean
1
1
2
a bi y
2
(a c) (b d )i
c di ; se define la diferencia de
1
menos
2
como:
Ejemplo:
Sean
4 2i y
1
1
3 5i
2
(4 3) ( 2 5)i 1 7i
2
Multiplicación en C ( )
Sean
1
a bi y
1
2
(ac bd ) (ad
2
c di ; se define el producto de
bc)i
Ejemplo:
Sean
3 5i y
1
2
4 2i
1
2
(3 4) (3)( 2i) (5i)( 4) (5) 2i
1
2
12 14i 10
1
2
22 14 i
(C , , )
Sean
1
,
2
a bi ,
1
,
3
C
Propiedades
Adición ( )
-
Cerradura
2
c di y
3
f
ei
1
2
como:
1
C
2
-
Asociatividad
(
1
-
2
)
3
(
1
2
3
)
Conmutatividad
1
-
2
2
1
Existencia de elemento idéntico
1
e1
1
a bi
(e1 e2)
a bi
por igualdad de C
a e1
a;
e1 0
b e2
b;
e2
-
0
Existencia de elementos inversos
1
1
0 0i
1
1
Multiplicación (•)
-
Cerradura.
-
Asociatividad.- (
-
Conmutatividad.-
-
Existencia de elemento idéntico.- Z1• (I+I21)= Z1
-
Existencia de elementos inversos.-
1
Distributividad
C
2
1
2
1
)
2
3
(
1
2
2
3
)
1
1
1
1
1
1
(
2
2
3
3
)
1
1
2
2
1
1
3
3
1
1
2
1
3
Conjugado de un número complejo
Se define el conjugado del número complejo
a bi como
Ejemplos:
Determinar el conjugado de los siguientes números complejos:
4 2i
1
1
3 7i
2
3
Propiedades:
1.
1
2.
1
1
2a
3.
1
1
a2
4.
1
5.
2
1
;
b2
1
2
;
3 7i
2
7
3
4 2i
2
m
División en complejos C
7
a bi
1
2
a bi
;
c di
2
0 0i
(ac bd )
(bc ad )
c2
c2
d2
d2
i
Potenciación en complejos C
Sea
a bi
2
(a
bi)( a
bi)
*NO HAY ORDEN EN COMPLEJOS C
Forma binómica de un número complejo:
a bi
adición
sustracción
multiplicación
división
potenciación
Forma Cis ó trigonométrica de un número complejo:
rCis
en grados
a bi
r
Forma binómica
a+bi
rCis
Forma cis
rCis
Ecuaciones de transformación:
r
a2
b2
arctan(b )
a
Forma cis
Forma binómica
rCis
Ecuaciones de transformación:
b
rsen
a
r cos
Argumento principal de un número complejo:
a+bi
360o
0
Igualdad de números complejos en forma cis
Sean
1
r1cis
1
2
y
1
2
r2 cis
2
, se dice que
1
2
si y solo si r1
n(360 ) .
La adición y la sustracción solo se realizaran en forma binómica
Multiplicación en forma cis:
Sean
1
r1cis
1
2
y
1
r1 r2 cis(
1
2
2
r2 cis
2
)
División:
1
2
r1
cis(
r2
1
2
)
Potencia en forma cis:
Sea
rCis
2
(rcis
rcis )
r2 ,
Forma exponencial o de Euler:
rcis
re
Ejemplos:
1
3e
3cis45
2
2e
2cis360
3
7e
7cis270
4
8e
8cis315
Igualdad de complejos en forma exponencial ó de Euler:
Sea
1
1
r1e y
es igual a
r1
r2 e
2
2
si y solo si:
r2
1
k
2
Logaritmo natural de un número complejo:
Sea
C , el logaritmo natural de
como:
L( z )
w
si
e
Logaritmo principal:
k
0
L(z)=L(r) +
i
z
que representaremos con L( ) , se define
TEMA III: POLINOMIOS
Área
x
3
2x
3
A b h
A
(2 x 6)(x 6)
A
2 x 2 18x 36
Definición:
Un polinomio en x es una expresión de la forma:
f ( x)
a0
a1 x
a2 x 2
........
Ejemplos:
p( x)
x 2x3
2x 2
x i
an xn ;
donde a 0 , a1 , a 2 ,...., a n
C
Igualdad en P
Sean
p ( x)
a0
a1 x
a2 x 2
.....
an x n
y q( x)
b0
b1 x b2 x 2
.....
bn x n
se dice que p(x) es igual a q(x) si y solo si
a0
b0
a1
b1
a2
b2
an
bn
Grado de un polinomio
Sea el polinomio en x con coeficientes en C , p ( x)
a0
a1 x
a2 x 2
.....
a n x n si
0 el entero no negativo “n” es el grado del polinomio, lo que representamos
an
con:
gr ( p)
n
Ejemplo:
Sea el polinomio f ( x)
gr ( f )
7
Operaciones (P,+ ),
Adición en P
p(x)= akx, y q(x)= bkx
7 x 12 x 3x 2
x
p ( x)
a0
a2 x 2
a1 x
an x n ,
.....
se define la suma p(x) más q(x) de la siguiente manera:
p( x) q( x)
(ak
bk ) x
Ejemplo:
Sean los polinomios:
f ( x)
x 6 x 2 x (4 2i)
g ( x)
2ix 3x (5 2i) x ( 3 i)
f ( x)
g ( x)
x ( 6 2i) x 5x (5 2i) x (1 i)
Multiplicación de un polinomio por un escalar:
p(x)= Є P ;
q(x)= Є P
Sea el polinomio en x con coeficientes en C f ( x)
a0
a1 x
a2 x 2
.....
an x n , y
Є C, se define la multiplicación de un polinomio por un escalar de la siguiente
manera:
p(x)=
ao+ a1x+ a2x²+................. anx
Multiplicación de polinomios
Sean
p( x)
x3
2x i
y
q ( x)
Calcular
p ( x)q ( x)
p ( x) q ( q )
x 2 x 2 x (4 i) x 2i
x 2
( x 2 x i)( x 2)
x 2x 3
2x 2
4 x ix 2i
Diferencia entre polinomios:
Definición.- Sean f (x) y g (x) dos polinomios en x con coeficientes en C , el
polinomio f ( x) g ( x) se define como:
f ( x) g ( x)
f ( x)
g ( x)
Propiedades (P, +,•)
Sean p( x), q( x), f ( x)
P:
Adición (+):
1.- Cerradura.-
p ( x) q ( x)
2.- Asociatividad.-
P
p ( x) q( x)
f ( x)
p( x)
3.-Conmutatividad.- p( x) q( x)
q ( x)
p ( x)
4.- Existencia de elemento idéntico.5.- Existencia de elementos inversos.-
q( x)
p( x) 0( x)
p( x)
f ( x)
p ( x)
p ( x)
0( x)
Multiplicación: (•)
1.- Cerradura.-
p ( x) q( x)
2.- Asociatividad.3.- Conmutatividad.-
p ( x)
P
q( x) f ( x)
p ( x) q ( x)
p ( x) q ( x)
q ( x ) p ( x)
f ( x)
4.- Existencia de elemento idéntico.5.- Existencia de elementos inversos.-
p ( x) 1
p ( x)
p ( x)
(1 / p( x))
Divisibilidad
Algoritmo de la división en P
p( x)
q( x)
c( x)
r ( x)
;
q( x)
p ( x)
q( x)c( x) r ( x)
q( x)
0( x)
Definición.- sean f (x) y g (x) dos polinomios en x con coeficientes en C y
g ( x)
0( x) , g (x) es un factor de f (x) , si existe un polinomio c(x) con
coeficientes en C tal que f ( x)
g ( x)c( x) se dice entonces que f (x) es divisible
entre g (x) .
Teorema del residuo:
Sean p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y c C , el residuo de dividir
p(x) entre x c es igual a p(c) .
Teorema del factor:
Sean
p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y c C , p(x) es divisible
entre x c si y solo si p(c)
0.
Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx
Del algoritmo de la división en P
P(x)=c(x)(x-c)+r(x) ; si p(c)=0=r
P(x)=c(x)(x-c) por lo tanto (x-c) es un factor de p(x).
Raíz de un polinomio
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C y sea
es una raíz de p(x) si p(x)
P( x) / x
c( x) 0;
p ( x)
un número complejo,
0
c( x)( x
)
Teorema fundamental del álgebra
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en C de grado mayor ó igual a uno.
Entonces p(x) tiene al menos una raíz en C.
P(x)/(x- )=c(x)+0; p(x)=c(x)(x- ) p( ).
Raíces complejas
enteras
reales racionales
irracionales
imaginarias a
complejas a
Raíces Racionales
0, bi
0, bi
x/x=p/q ; p ,q Є Z, q=0
0
0
Ejemplo:
Determinar las raíces del polinomio:
g(x)=4x+32x²+64
solución:
cambio de variable:
w²=w
w =w²
4w²+32w+64 ÷4
w²+8w+16
(w+4)(w+4)
w1=-4
w2=-4
regresando
w1=x²
x²= -4
x= ± 2i
Resumen de raíces:
X1= 2i de multiplicidad 2
X2=-2i de multiplicidad 2
Cambio de signo en el residuo
Teorema:
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes en
, si a y b son dos números reales
tales que a<b; y además p(a) y p(b) tiene signos contrarios entonces p(x) tiene al
menos una raíz real
en el intervalo a< <b
Cotas de las raices reales
Teorema:
Sea p(x)=anx + an-1x +.............+ax+ao un polinomio en x con coeficientes reales
y an>0:
1.- si s Є
, s>0, y no existen números negativos en el tercer renglón de la división
sintética de p(x) entre (x-s), entonces, para toda raíz real
de p(x) se tiene que
<s.
2.- Si t Є
, t<0, y los números del tercer renglón en la división sintética de p(x)
entre (x-t) son alternadamente positivos y negativos, entonces, para toda raíz real
de p(x) se tiene que t< , los ceros en el tercer renglón podrán considerarse
positivos ó negativos a efecto de lograr los signos alternados.
Raíces irracionales de un polinomio con coeficientes racionales
Teorema:
Sea p(x) un polinomio en x con coeficientes racionales de grado n>1, si un número
irracional de la forma =u+ w, con u, w Є Q; es raíz de p(x) entonces, un número
b=u- w también es raíz de p(x).
Regla de signos de Descartes:
Sea p(x)=ao+a1x+a2x²+.................anx un polinomio en x con coeficientes reales
y ao=0;
1.- El número de raíces reales positivas de p(x) es igual al número de cambios de
signo en la secuencia de coeficientes del polinomio p(x) ó menor que éste en un
número par.
2.- El número de raíces reales negativas de p(x) es igual al número de cambios de
signo en la secuencia de coeficientes del polinomio en x que se obtiene al sustituir
x por –x en p(x) ó menor que éste en un número par.
Ejemplo:
Obtener las raíces del polinomio:
f(x)=2x + 3x +3x³ –5x² –3
f(x)=x(2x + 3x³ +3x² –5x –3 )=0
Aplicando la regla de Descartes;
1.- # de raíces reales positivas
f(x)=2x +3x³ +3x² –5x –3
2.- # de raíces reales negativas
f(-x)= 2x -3x³ +3x² +5x –3
+
1
1
3
1
C
0
2
T
4
4
TEMA IV: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Definición:
Una ecuación lineal es una expresión de la forma a1x+a2x+.............anxn=b,
donde a1,a2,...........an , b Є C
Ejemplo: Determinar si las siguientes son ecuaciones lineales ó no:
a.) x+3y²=7 ; no
b.) y-seny=0 ; no
c.) 4x-2y=1; si
d.) x1-4x2+7x3=5 ; si
e.) 3x+4=2 ; si
Ejemplo de un sistema de ecuaciones lineales:
x1+2+2-x3=7
S1 =
-2x1+3x2-7x3 = 5
-x1+x2+6x3=14
Definición: Un sistema de “m” ecuaciones lineales con “n” incógnitas es una
expresión de la forma;
anx1+ a12x2+.................a1nxn=b1
.
.
am1x1+am2x2+.................amnxn=bm
donde a11, a12, a13...................amn, b1,b2 bm Є C
determinado
(una solución)
compatible
(tiene solución) indeterminado
Sistemas
(varias soluciones)
De ecuaciones
lineales
incompatible
(no tiene solución)
Método de Gauss:
Transformación de elementos:
1.- multiplicar, intercambiar (renglones)
2.- multiplicar una ecuación (renglón) por un escalar diferente a cero
3.- -multiplicar una ecuación (renglón)por un escalar y sumarlo a otra ecuación
(renglón), reemplazando esta ultima por el resultado obtenido.
Un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a otro si tienen la misma
solución
Matriz
Una matriz es una expresión de la forma:
a11 a12..........a1n
A.-
a21 a22..........a2n
am1 am2.........amn
donde a11, a12............amn Є C
Ejemplos:
2x1+ 3x2=7
-3x1 –7x2=-8
Ejemplo:
Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales determinar los
valores de k para que el sistema sea:
1)incompatible
2)compatible determinado
3)compatible indeterminado
b)kx+y+z=1
x+kyy+z=1
x+y+kz=1
k 1 -1
1
1 k 1
1
1 1
1
R2(-1)+R3
k
1
R3
R1
1 1 k
1
1 k 1
1
k 1 1 1
1
k
0 k-1 -k+1
0 0
1
0
2-k-k² 1-k
R1(-1)+R2 1
1
k
1
0 k-1 -k+1 0
R1(-k)+R3
0 -k+1- k²+1 1-k
1)Si k=-2, el sistema es incompatible
2)Si k=1 y k=-2, el sistema es compatible determinado
3) Si k=1, el sistema es compatible indeterminado.
TEMA V: MATRICES Y DETERMINANTES
Igualdad de matrices m x n
Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n , se dice que A es igual a B si y solo si;
a11=b11
a31=b31
Matriz nula
00
00
Operaciones con Matrices:
Adición;
Sean A=[aij] y B=[bij] con elementos en C de orden m x n, se define la suma de
A+B como la matriz S=[Sij] de orden m x n, donde Sij= aij+ bij.
Multiplicación de una matriz por un escalar
La operación se define como:
=
[aij]= [ aij]
Sustracción
Sean A=[aij] y B=[bij] de orden m x n con elementos en C, se define la diferencia
de A-B como:
A-B=A+[-B]
Propiedades de la adición:
Sean A,B,C ,matrices de orden m x n con elementos en C, donde :
1.- Asociatividad.-(A+B)+C=A+(B+C)
2.- Conmutatividad.- A+B=B+A
3.- Existencia de elemento idéntico.- A+E=A
4,. Existencia de elementos inversos.- -A+A=0
Multiplicación de dos matrices:
Sean A=[aij] y B=[bij] dos matrices con elementos en C de m x n y n x q
respectivamente. El producto AB es una matriz P=[pij] de m x q.
Pij=
aikbkj.
Matriz identidad
1 0
I=
0 1
Inversa de una matriz
Sea A una matriz de m x n con elementos en C, una matriz x se dice que es
inversa de A si:
XA=In=ax y se representa con A
A A=AA =I
Si una matriz tiene inversa se dice que es no singular
Si una matriz no tiene inversa se dice que es singular
Propiedades de las matrices inversas:
Si A y B dos matrices no singulares del mismo orden y
1.- A es única
Є C entonces:
2.-(A ) =A
3.-(AB) =B A
4.-( A) = 1/
A;
=0
Ecuaciones matriciales:
Sea la ecuacion matricial:
AX-B=C-X
0 -2
4 -1
A= -2 4
B= 2 -2
-4 -1
C= 1 8
A) despejar a la matriz x de la ecuación matricial
B) obtener la matriz x que satisface la ecuación
Ax-B=C-X
AX+X=C+B
AX+IX=C+B
(A+I)X=C+B
IX=(A+I) (C+B)
X=(A+I) (C+B)
(A+I)X(A+I)=(C+B)(A+I)
Por lo tanto no se puede despejar x.
*Casos especiales de matrices
Traza de una matriz
Es la suma de los elementos de la diagonal principal, sea A=[aij] de orden n xn
con elementos en C, se defina la traza de la matriz como:
TrA= aii
*Su resultado es un número.
Propiedades:
Si A y B son dos matrices de n x n con elementos en C y
ЄC
1.-Tr (A+B)=(TrA)+(TrB)
2.-Tr( A)= (TrA)
3.-Tr(AB)=Tr(BA)
Matriz diagonal
Sea A=[aij] una matriz n xn con elementos en C se dice que A es una matriz
diagonal si aij=0 para i=j, y se representa con DiagA=(a12,a22,..............ann)
Propiedades de matrices diagonales:
1.- A+B=diag(a11+b11, a22+b22.,................ann+bnn)
2.- A=diag ( a11, a22,....... ann)
3.- AB=diag (a11b11, a22b22,........annbnn)
4.- A=diag (1/a11, 1/a22,.............1/ann)
Transpuesta de una matriz
Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C, se llama transpuesta de A a
la matriz de n x m:
A =[cij] tal que Cij=Aij
Propiedades
1.- (A ) =A
2.-( A)= A
3.- (A+B) =A + B ; si A+B puede obtenerse
4.-(AB) =B A ; si (AB) puede obtenerse
A es simétrica si A =A
A es antisimétrica si A = -A
Conjugación
Sea A=[aij] una matriz de m x n con elementos en C se llama conjugado de A a la
matriz m x n donde:
A=[cij] donde cij=aij
Propiedades:
Si A y B son dos matrices con elementos en los complejos y
1.-(A)=A
2.-( A)= A
3.-(A+B)=A+B; si A+B puede obtenerse
4.- (AB)=AB; si AB puede obtenerse
Matrices Hermitiana y Antihermitiana
Sea A una matriz n x n con elementos en C se dice que:
1) A es Hermitiana si A*=a
2) A es Antihermitiana si A*=-A
Propiedades:
Є C entonces:
1.-AA*, es Hermitiana
2.- A*A es Hermitiana
3.-A+A* es Hermitiana si A es cuadrada
4.- A-A* es Hermitiana , si A es cuadrada
Potencia de una matriz
Sea A una matriz de m x n con elementos en C y sea n Є N se llama potencia
enésima de A si y solo si A a la matriz definida por:
1.-A =I
2.-A =AA
, para n>1
Propiedades
1)A• A = A
2)(A ) =A
TEMA VI: ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS
Operación binaria:
Es una regla que se aplica a dos elementos de un conjunto s y que da como
resultado un elemento unívoco.
1.- cerradura
ejemplos:
(A , *) 2.-asociatividad
3.- Existencia de elemento idéntico
( R , +)
Grupo
4.- Existencia de elemento inverso
Sistema algebraico
(C, +)
(A , *)
( P , +)
grupo
Estructura algebraica
Sistema algebraico
(A , *)
1.- cerradura
2.- asociatividad
grupo abeliano
3.-existencia de elemento identico
(A, * , ¤ ) . 4- existencia de elementos inversos
5.- conmutatividad
(A, * , ¤)
Anillo
(A, ¤)
6.- cerradura para ¤
7.- asociatividad para ¤
8.- distributividad
Ejemplo: sea el conjunto
a 0
M= 0 b
a, b E Z
Y la operación binaria ¤ definida por:
A ¤ B=A+I+B
Determinar si ( A , ¤ )es un grupo abeliano:
Solución:
1.- Cerradura
A ¤ B = A +I +B Є M se cumple
2.- Asociatividad
(A ¤ B) ¤ (I + A¤ + I¤B)
A+B+¤+2I=A+B+¤+2I se cumple
3.- Existencia de elemento idéntico para ¤
A¤E=A
A¤-I=A
A+I-I=A
A=A existe
4.- Existencia de elementos inversos
A¤(-2I-A)
A+I-2I-A=-I
-I=I existen
5.- Conmutatividad
A¤B=B¤A
A+I+B=B+I+A se cumple
Por lo tanto (M, ¤ ) es un grupo abeliano.
Homomorfismo e Isomorfismo
Sea (A , ) y (S , ¤ ) dos grupos y P.A
S una funcion si f(a*b)=f(a) ¤ f(b); V a, b
E A, entonces F establece un homomorfismo entre (A * ) y (S, ¤).
Si además f es biyectiva entonces se establece un Isomorfismo entre (A,*) y (S, ¤).
Ejemplo:
Sean (Z,*) y (Z, ¤) dos grupos, donde las operaciones x y ¤ estan definidas por
a*b=a+b+1
V a,b E Z
a¤b=a+b
A) determinar si la función biyectiva f que va de Z
Z definida por f(a)=a+1, V a E
Z es un isomorfismo entre los grupos (Z,*) y (Z, ¤)
Solución:
F(a*b)=f(a) ¤ f(b)
F(a+b+1)=(a+1) ¤ (b+1)
(a+b+1+1)=? (a+1+b+1)
a+b+2=a+b+2
por lo tanto establece un homomorfismo, se cumple f.