Download SYLLABUS DE ÁLGEBRA LINEAL Y TEORIA

FACULTAD DE INGENIERIA
RED NACIONAL UNIVERSITARIA
SYLLABUSDE ALGEBRA LINEAL Y TEORIA MATRICIAL
Facultad de Ingeniería
Ingeniería de Gas y Petróleo
SEGUNDO SEMESTRE
Gestión Académica I/2006
1
FACULTAD DE INGENIERIA
UDABOL
UNIVERSIDAD DE AQUINO BOLIVIA
Acreditada como PLENA mediante R.M. 288/01
VISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Ser la Universidad líder en calidad educativa.
MISIÓN DE LA UNIVERSIDAD
Desarrollar la Educación Superior Universitaria con calidad y competitividad al
servicio de la sociedad.
2
FACULTAD DE INGENIERIA
SYLLABUS
Asignatura:
Código:
Requisito:
Carga Horaria:
Créditos:
I.
Álgebra LIneal
MAT 111 A
MAT 101 A
80
8
OBJETIVOS GENERALES DE LA ASIGNATURA.




Resolver problemas cuya estructura se presente en forma matricial.
Aplicar el álgebra lineal en la solución de problemas matriciales:
Fundamentar la terminología y los conocimientos del álgebra lineal.
Estructurar las herramientas básicas para la aplicación del álgebra lineal.
II. PROGRAMA ANALÍTICO DE LA ASIGNATURA.
UNIDAD I: MATRICES DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES
TEMA 1: Matrices
1.1 Definiciones básicas
1.2 Operaciones algebraicas y propiedades de matrices,
1.3 Matrices especiales: Matriz nula, matriz transpuesta, matriz identidad, matriz diagonal, matriz triangular
superior e inferior, matriz simétrica y antisimétrica, ídem potente .
1.4 Operaciones elementales de fila y columna, matriz escalón y matriz escalón reducida
1.5 Matriz inversa rango de una matriz.
TEMA 2: Sistema de ecuaciones lineales
2.1
2.2
2.3
2.4
Introducción a los sistemas de ecuaciones lineales.
Sistemas lineales compatibles e incompatibles,
Representación matricial de sistemas de ecuaciones lineales.
Matriz aumentada, solución de un sistema de ecuaciones lineales:
Método de Gauss-Método de Gauss-Jordán.
TEMA 3: Determinantes
3.1
3.2
3.3
3.4
Definiciones,
Propiedades de los determinantes,
Desarrollo por cofactor de un determinante
Regla de Cramer: Inversa de una matriz utilizando
determinantes
3
FACULTAD DE INGENIERIA
UNIDAD II: ESPACIOS VECTORIALES
TEMA 4: Espacios Vectoriales
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Definiciones, componentes de un vector, operaciones con vectores
Espacios vectoriales
Definición y propiedades básicas
Subespacios,
Combinación lineal y espacio generado
Independencia lineal,
Bases y dimensión
TEMA 5: Espacios Con producto interno
5.1 Espacios con producto interno
5.2 Bases ortonormales
5.3 Diagonalización de Matrices
UNIDAD TEMÁTICA III: TRANSFORMACIONES LINEALES
TEMA 6 Transformaciones Lineales
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
Definicion: Transformación lineal
Núcleo de una transformación lineal
Imagen de una transformación lineal
Dimensión del núcleo y de la imagen
Transformaciones lineales inversas
Representación matricial de una transformación lineal.
UNIDAD TEMÁTICA IV: VALORES Y VECTORES PROPIOS
TEMA 7: Valores y vectores propios
7.1
7.2
7.3
7.4
Valores, vectores y espacios propio
Polinomio característico de una matriz
Matrices semejantes: diagonalización de matrices
Matrices simétricas: diagonalización de matrices.
III. BIBLIOGRAFÍA.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Grossman StanLey, “ Algebra Lineal con Aplicaciones”, Mc Graw. Hill, 4ta edición 1999.
Howard anton “Introducción al Álgebra Lineal” . Editorial Noriega Limusa 1998.
Kolman, “Algebra Lineal”.
Serge Lang, “Algebra Lineal”
Hoffman y Kunze, “ Álgebra Lineal”. Editorial prentice-Hall.
Armando rojo, “Álgebra II”.
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IV. CONTROL DE EVALUACIONES
1° evaluación parcial
Fecha Martes 25 abril Hrs: 14:00-16:30
Nota
2° evaluación parcial
Fecha Martes 13 junio Hrs:14:00-16:00
Nota
Examen final
Fecha Mart4es 4 julio Hrs: 14:00-16:30
Nota
APUNTES
5
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WORK PAPER # 1
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS tres
ELABORÓ:.
CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: ARIITMÉTICA: NÚMEROS RACIONALES
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A: Los alumnos de telecomunicaciones
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 25 de abril 2006
6
FACULTAD DE INGENIERIA
1.- NÚMEROS RACIONALES, Q
Los números racionales son todos los números posibles de ser expresado como fracción.
La forma de un número racional es
en el cual a es un número entero y b de igual forma pero distinto de cero.
Q={
}
Estos números pueden ser positivos o negativos.
Ejemplos de números racionales:
Se incluyen además los números infinitos periódicos y semiperiódicos.
2.- FRACCIONES
Numerador
menor
que
el
· Fracción Propia
denominador
· Fracción Unitaria
Numerador igual que el denominador
· Fracción Impropia
Numerador mayor que el denominador
7
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· Fracción Equivalente
Son equivalente si después de amplificar o
simplificar las fracciones se obtienen dos
fracciones iguales.
· Fracción Irreductible
Fracción que
simplificándose
no
puede
seguir
· Fracción Decimal
Es aquella fracción cuyo denominador es
una potencia de 10.
3.- OPERACIONES CON SIGNOS
4.- OPERACIONES DE FRACCIONES CON SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
CUESTIONARIO
1. Defina un número raciona
2. Clasifique los números racionales
3. Resuelva los siguientes ejercicio
8
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WORK PAPER # 2
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS dos
ELABORÓ:
CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: NOCIONES PRELIMINARES DE MATRICES
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 25 de abril 2006
10
FACULTAD DE INGENIERIA
Reseña histórica: Arthur Cayley
Arthur Cayley nació el 16 de agosto de 1821 en Richmond, Surrey, Inglaterra. Murió el 26 de enero de 1895 en
Cambridge. Es uno de los más prolíficos escritores de matemática, sólo es superado por Euler y Cauchy. Hizo
importantes aportes en la Teoría de Curvas y Superficies, en Geometría Analítica, en Teoría de los Determinantes y
el desarrollo de la Teoría de los Invariantes.
Las matrices surgieron con Cayley al trabajar con transformaciones lineales del tipo:
x'  ax  by

y'  cx  dy
donde a, b, c, d son números reales. Estas transformaciones lineales transforman el vector (x,y) en el vector (x',y'),
dicha transformación queda definida por los coeficientes a, b, c, d que pueden representarse mediante la siguiente
matriz de orden 2:
a b


c d
Como dos transformaciones lineales son iguales si, y sólo si, tienen los mismos coeficientes, Cayley definió que dos
matrices:
a b
e f 

 y 

c d
g h
Eran iguales si, y sólo si, a = e, b = f, c = g y d = h.
Si tenemos dos transformaciones:
x' ' 
ex 'fy '
y' '  gx ' hy '
y
x '  ax  by
y'  cx  dy
la compuesta de las transformaciones queda definida por:
x' ' 
ex 'fy '

e(ax  by)  f (cx  dy)
 (ea  fc ) x  (eb  fd ) y
y' '  gx ' hy '  g(ax  by)  h (cx  dy)  (ga  hc ) x  (gb  hd )
Esto último sugirió a Cayley la siguiente definición del producto de dos matrices:
 e f  a b 
 ea  fc eb  fd 


  

 g h  c d 
 ga  hc gb  hd 
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la cual es un caso particular de la definición general de producto de dos matrices
CUESTIONARIO
1.
2.
3.
4.
Plantee seis sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
Realice la representación matricial de los sistemas del ejercico 1
Realice el producto de dos en dos de todas las matrices representadas en el ejercicio 2 .
Halle una fórmula para el producto de dos matrices tres por tres utilizando la idea del presente paper.
12
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WORK PAPER # 3
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS uno
ELABORÓ:
CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: MATRICES ESPECIALES
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 25 de Abril 2006
13
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CUESTIONARIO
Defina y ejemplifique las siguientes matrices especiales
1. Matricz idempotemte
2. Matriz involutiva
3. Matriz ortogonal
4. Matriz hermitiana
5. Matriz conjugada
6. Matriz inversa
7. Matriz diagonal
8. Matriz nilpotente
9. Matriz simètrica
10. Matriz antisimètrica
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WORK PAPER # 4
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS
ELABORÓ:
CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: :
MATRICES PARTICIONADAS
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo2006
FECHA DE ENTREGA: Abril 2006
15
FACULTAD DE INGENIERIA
PARTICION DE UNA MATRIZ
Sea A  M nxm , n = v1+ v2
m = u1+ u2, y consideremos las submatrices
A11 = A[1,2,...,v1〡1,2,...,u1 ]
A12 = A[1,2,...,v1〡u1+ 1, u1+ 2,...,m]
A21 = A[v1+ 1, v1+2,...,n〡1,2,...,u1]
A22 = A [v1+ 1, v1+2,...,n〡u1+ 1, u1+ 2,...,m]
 A11
 A21
Luego escribimos A = 
A12 
 y diremos que A está particionada en 4 submatrices o bloques.
A22 
Las disposiciones n =v1+ v2 y m = u1+ u2 se denominan esquemas de la partición por filas y columnas
respectivamente.
Ejemplo: La partición de la siguiente matriz está dada por:
1
2

A= 4

3
0
1 8 1 8 8 5
0 7 4 5 5 2
4 6 5 4 4 7

9 9 9 7 7 8
8 3 9 0 3 9
El cuál corresponde al siguiente esquema:
Luego se tiene:
n = v1+ v2 = 2 + 3
m = u 1 + u2 = 2 + 3 + 2
 A11
 A21
A= 
A12
A22
A13 
A23 
Las diferentes Aij son las submatrices o bloques.
OPERACIONES CON MATRICES:
ADICIÓN.- Sea A y B dos matrices dentro del conjunto de matrices de orden nxm y los esquemas de partición n =
v1 + v2+,...,vr , m = u1+ u2,...,us. Si A = (Aij) y B = (Bij) representaciones de las matrices particionadas, entonces:
A + B = ((Aij) + B = (Bij))
Con i =1,2,...,r y j = 1,2,..., s.
MULTIPLICACIÓN.- Sean las matrices A  Mnxp y B  Mpxm y los esquemas de partición n = v1 + v2+,...,vr , p = w1 +
w2,...,wt y m = u1 + u2,.. . . ,us
donde:
16
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A = (Aik) y B = (Bkj) i =1, 2, …., r, j =1, 2,…, s, k =1, 2,…, t.
Y la multiplicación será:
t
A*B =

Aik Bkj
k 1
CUESTIONARIO
1.
2.
3.
4.
Defina y ejemplifique submatrices
Plantee dos matriz cualesquiera de orden 6x6 y particioneras de diferente forma
Realice con las matrices anteriores la suma de las mismas
Realice la multiplicación de las mismas
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WORK PAPER # 5
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS
ELABORÓ: :
CÓDIGO:
GROSSMAN, ALGEBRA LINEAL
TÍTULO DEL WORK PAPER: :
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 25 de Abril 2006
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FACULTAD DE INGENIERIA
ELIMACIÓN DE GAUSS-JORDAN
Se plantea un método para encontrar todas las soluciones de un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas.
Mostraremos el método con ejemplos muy sencillos de sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas.
Considerando simultáneamente la matriz ampliada; efectuaremos el mismo tipo de operaciones tanto en el sistema
como en la matriz ampliada.
Ejemplo 1
 3 x  7 y  29
 x  3 y  11
Resolver el sistema 
Sistema de ecuaciones lineales
Matriz ampliada correspondiente
 3 x  7 y  29

 x  3 y  11
 3 7 29 


1
3
11


Permutaremos las dos ecuaciones (filas), F12:
 x  3 y  11

 3 x  7 y  29
 1 3 11 


 3 7 29 
Eliminaremos la variable x de la segunda ecuación, para ello el producto de la primera ecuación (fila) por (-3) se lo
sumamos a la segunda, F12(-3):
 x  3 y  11

 2y  4

 1 3 11 


 0  2  4
Para obtener el valor de y multiplicamos la segunda ecuación (fila) por -½, F2(-½):
 x  3 y  11

y  2

 1 3 11


0 1 2 
Para obtener el valor de x, necesitamos eliminar la variable y de la primera ecuación, para ello le sumamos a la
primera ecuación (fila) la segunda multiplicada por (-3), F21(-3)
x  5
y  2
1 0 5


 0 1 2
Nuestro sistema de ecuaciones lineales tiene como única solución: x = 5, y = 2.
Si graficamos las ecuaciones de nuestro sistema se tiene:
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Y
Unica solución
2
5
X
x+3y=11
3x+7y=29
Ejemplo 2

Resuelve el siguiente sistema: 
x  3y  5
  2 x  6 y   10
Sistema de ecuaciones lineales
Matriz ampliada correspondiente
 1 3 5 


  2 6  10 

x  3y  5

  2 x  6 y   10
Tenemos que eliminar la variable x de la segunda ecuación, para ello le sumamos a la segunda ecuación (fila) la
primera multiplicada por 2, F12(2)

1  3 5


 0 0 0
x  3y  5
Vemos que sólo nos queda la primera ecuación y que el valor de la variable x depende del valor de y:

x - 3y = 5

x = 5 + 3y
x = 5 + 3t, y = t, t  ℝ
Observa que nuestro sistema de ecuaciones lineales tiene un número infinito de soluciones.
El gráfico resultante:
Y
Número infinito de
soluciones
x-3y=5
-2x+6y=-10
X
Ejemplo 3

Resuelve el siguiente sistema: 
x  3y  5
  2 x  6 y  20
20
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Sistema de ecuaciones lineales
Matriz ampliada correspondiente
 1 3 5 


  2 6 20 
x  3y  5


  2 x  6 y  20
Queremos eliminar la variable x de la segunda ecuación, para ello el producto de la primera
ecuación (fila) por dos se lo sumamos a la segunda: F12(2):
1  3 5 


 0 0 30 
x  3y  5
0
 30
Obtenemos una contradicción: 0 = 30. Esto significa que nuestro sistema de ecuaciones lineales ¡no tiene solución!
El gráfico que resulta para este sistema de ecuaciones es:
Y
Ninguna solución
-2x+6y=20
x-3y=5
X
Verás que un sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas, tal como en nuestro ejemplo, siempre tiene una de
estas tres alternativas: ninguna solución, única solución o un número infinito de soluciones.
En nuestro desarrollo hemos ocupado dos resultados importantes del álgebra:
Si a = b y c= d, entonces a + c = b + d
Si a = b y c es un número real cualquiera, entonces ac = bc
Según el primer resultado si se suman dos ecuaciones, lo que se obtiene es una tercera ecuación válida. Mientras
que el segundo resultado nos garantiza que si multiplicamos una ecuación por una constante no nula c, obtenemos
una segunda ecuación válida (suponemos c  0, ya que la ecuación 0 = 0, si bien es correcta no es muy útil). En
otras palabras, cuando sumamos a una ecuación el múltiplo de otra, o cuando multiplicamos una ecuación por una
constante no nula o cuando permutamos dos ecuaciones, obtenemos un sistema de ecuaciones equivalentes (es
decir un sistema que tiene las mismas soluciones que el sistema original). Recuerda que este tipo de operaciones
efectuadas en las filas de una matriz, reciben el nombre de operaciones elementales de fila.
CUESTIONARIO
En cada uno de los siguientes ejercicios halle la soluciòn de los sistemas dados planteando todos los pasos que
requiere el método :
21
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1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
























4 x  3 y 5
 2x  6 y 2
 3 x  3 y 0
 2x  6 y 2
2 x  3 y  8
 2x  4 y  2
4 x  3 y 5
8 x  6 y 2
12 x  6 y  10
6 x  3y  5
3 x  6 y  3
5x  6 y  2
7 x  3 y  3
 2x  5y  2
4 x  8y  5
 2 x  6 y 1
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FACULTAD DE INGENIERIA
WORK PAPER # 6
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS
ELABORÓ:
CÓDIGO:
TÍTULO DEL WORK PAPER: NÚMEROS COMPLEJOS
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 13 de junio 2006
23
FACULTAD DE INGENIERIA
NÚMEROS COMPLEJOS
Un número complejo tiene la forma a+ib o a+bi, donde a y b son números reales y la “unidad imaginaria” i es un
nuevo número tal que i2 =-1. Por eso a veces se escribe i =  1 . Los números complejos surgieron en
matemática a fin de hacer posible la raíz cuadrada de un número negativo. Por ejemplo:
 9 =3i. En
2
consecuencia, toda ecuación de segundo grado pasó a tener raíces. Por ejemplo x -2x+5 = 0 posee raíces
complejas 1+2i, 1-2i.
Más notable ( e inesperado) es que, se agregó a los números reales el número i, de modo que pasasen a existir las
raíces  i de la ecuación x2 + 1 = 0, ya no fue necesario inventar nuevos números para que tuviesen raíces todas
las demás ecuaciones algebraicas, sean cuales sean sus grados.
En efecto, el llamado “Teorema Fundamental del Álgebra”, cuya demostración se debe inicialmente a Euler y
d’Alembert y posteriormente, en forma definitiva a Gauus, dice que, dado cualquier polinomio p(z) = a0 +a1x+...anxn,
existen números complejos r1,r2, ... , rn tales que p(z) = a0 (z- r1) +a1(z- r2) +...an(z- rn).
De allí se sigue que p(r1) = 0, p(r2) = 0, ..., p(rn) = 0, esto es, los números complejos r1, r2, ..., rn son raíces de la
ecuación algebraica p(z) = 0.
Así los números complejos, introducidos en matemática para que tuviesen raíces las ecuaciones de segundo grado,
son suficientes para dotar de raíces a las ecuaciones de tercero, cuarto, quinto y rodos los demás grados.
Sólo este hecho es responsable de buena parte de la importancia matemática de los números complejos,
indispensables en el álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y en varias situaciones en las cuales, aunque se desee
estudiar solamente cuestiones relativas a los números reales, es indispensable considerar números complejos para
obtener la solución real deseada.
Un ejemplo de éste fenómeno, ya había ocurrido en le Renacimiento, en los trabajos de los algebristas italianos
Ferro, Tartaglia, Cardano y Ferrari, que culminaron con el descubrimiento de las fórmulas de resolución de las
ecuaciones de tercero y cuarto grado.
La fórmula de la ecuación de tercer grado incluye raices cuadradas y cúbicas. Cardano notó que algunas ecuaciones
de tercer grado tienen las 3 raíces reales pero en la fórmula que las proporciona aparecen raíces cuadradas de
números negativos. Así, para llegar a esas rices reales , es preciso pasar primero por los números complejos. Hoy en
día ya se sabe ( es un Teorema) que si los coeficientes de una ecuación de tercer grado son números enteros y las
tres raíces son números reales irracionales entonces es imposible expresar esas raíces por medio de fórmulas en
las cuales los coeficientes estén sometidos a operaciones algebraicas y radicales, sin que en algún lugar aparezca la
raíz cuadrada de un número negativo.
CUESTIONARIO
1. Defina las operaciones de adición y multiplicación de números complejos
2. Demuestre que el conjunto de los números complejos, con las operaciones de adición y multiplicación
definidas en el ejercicio 1, constituye un espacio vectorial
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FACULTAD DE INGENIERIA
WORK PAPER # 7
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS
ELABORÓ: :
CÓDIGO:
SERGE LANG, ALGEBRA LINEAL
TÍTULO DEL WORK PAPER: :
VECTORES
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 13 de Junio 2006
25
FACULTAD DE INGENIERIA
VECTORES
El concepto de vector es básico para todo el curso de álgebra lineal, suministra una base de tipo geométrico par toda
la materia, por tanto es importante estudiar las propiedades de los vectores, tato algebraicas como geométricas.
Definición de puntos en un espacio de n dimensiones
Sabemos que se puede emplear un número para representar un punto sobre una recta, una vez que se ha
seleccionado la unidad de longitud.
Se puede usar un par de números, esto es, una pareja de números, (x, y), para representar un punto en el plano.
Se puede usar una terna de números (x, y, z) para representar un punto en el espacio, esto es, en el espacio
tridimensional o espacio de tres dimensiones. Simplemente se introduce un eje más.
La recta se podría designar como el espacio de dimensión 1 y el plano como el espacio de dimensión 2.
Así, pues, se puede decir que un solo número representa un punto en el espacio de una dimensión. Una pareja
representa un punto en el espacio bidimensional. Una terna representa un punto en el espacio tridimensional.
Aunque no se puede continuar dibujando diagramas, nada impide considerar una cuádrupla de números:
(x1, x2, x3, x4)
y afirmar que éste es un punto en el espacio de 4 dimensiones. Una quíntupla sería un punto en el espacio de 5
dimensiones, luego vendría una séxtupla, séptupla, óctupla,...
Se puede ir más allá y definir un punto en el espacio de n dimensiones como una n-upla de números
(x1, x2 ..., xn),
Si n es un entero positivo. Se denotará con un X mayúscula dicha n-upla; procuraremos reservar las letras
minúsculas para representar puntos. Se designan los números x1, . . . , xn como las coordenadas del punto X, por
ejemplo en el espacio de 3 dimensiones, 2 es la primera coordenada del punto (2, 3, -4) y –4 es su tercera
coordenada.
La mayor parte de los ejemplos ilustran el caso en que n = 2 o bién n = 3. Así, el estudiante podrá visualizar
cualquiera de estos dos casos a lo largo de todo el tema. Sin embargo, es necesario hacer antes dos comentarios:
primero, prácticamente ninguna fórmula o teorema es más sencillo al considerar tales casos para n; segundo, el caso
n = 4 sí aparece en física y el caso n = n aparece con mucha frecuencia en la práctica o en la teoría, como para
justificar su tratamiento aquí. Más aún, parte de nuestro propósito es, de hecho, demostrar que el caso general
siempre es semejente a los casos en que n = 2 ó n = 3.
Ejemplos. Un ejemplo clásico del espacio tridimensional es, desde luego, el espacio en el que vivimos. Luego de
haber seleccionado un origen y un sistema de coordenadas se puede describir la posición de un punto (cuerpo,
partícula, etc) mediante tres coordenadas. Además como ya se sabe desde hace mucho resulta conveniente
extender este espacio a otro de 4 dimensiones, en donde la cuarta coordenada es el tiempo, seleccionado el origen
del tiempo en, por ejemplo, el nacimiento de Cristo, aunque esto es puramente arbitrario (quiza sería más
conveniente seleccionar como origen el nacimiento del sistema solar o el nacimiento de la tierra, si se pudiera
determinar con precisión). Así, un punto con coordenada negativa de tiempo es un punto A. C. Y un punto con
coordenada positiva de tiempo es un punto D.C.
No obstante, no se crea que “el tiempo es la cuarta dimensión”. El espacio de 4 dimensiones antes mencionado es
solamente un ejemplo posible. En economía, por ejemplo, se usa un espacio muy diferente, tomando como
coordenadas, por ejemplo, el número de dólares gastados en la industria. Por ejemplo, se podría trabajar como
modelo con el espacio de 7 dimensiones en el que las coordenadas corresponderían a las siguientes industrias:
Acero
Automóviles
Productos Agrícolas
Pesca
Productos químicos
Ropa
Transporte
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FACULTAD DE INGENIERIA
Supóngase que la unidad de medida es un megadólar por año. Entonces el punto
(100, 800, 550, 300, 700, 200, 900)
en este espacio de 7 dimensiones significaría que la industria del acero gastó mil millones de dólares en un año
determinado y que la industria química gastó 700 millones de dólares en ese año.
Ahora vamos a definir cómo sumar puntos. Si A, B son puntos, por ejemplo,
A = (a1, a2, . . . ,an), B = (b1, b2, . . . ,bn),
Se define entonces A + B como el punto cuyas coordenadas son
(a1+ b1, a2+ b2, . . ., an+ bn )
Por ejemplo , en el plano, si A = (1,2) y B = (-3,5), entonces A + B = (-2,7)
Más aún, si c es cualquier número, se define cA como el punto cuyas coordenadas son
(ca1, ca2, . . . ,can),
Si A = (2, -1, 5) y c = 7, entonces cA = (14, -7, 35).
Nótese que se satisfacen las siguientes reglas:
(1) (A + B) + C = A + (B +C)
(2) A + B = B + A
(3) c(A + B) = cA + CB
(4) Si c1 , c2 son números, entonces
(c1 + c2 )A = c1A + c2 A y (c1 c2 )A = c1 (c2 A)
(5) Si se supone que 0 = (0, 0, . . . , 0) es el punto cuyas coordenadas son todas 0, entonces 0 + A = A + 0
para todo A.
(6) 1.A = A, y si se denota por –A a la n-upla (-1)A, entonces
A + (-A) = 0
(En lugar de escribir A + (-B), se escribirá frecuentemente A - B . Todas estas propiedades son muy fáciles de probar
y sugerimos al estudiante que las verifique mediante algunos ejemplos
Daremos con detalle la prueba de la propiedad (3).
Sea A = (a1, a2, . . . ,an), B = (b1, b2, . . . ,bn). Entonces
A + B = (a1+ b1, a2+ b2, . . ., an+ bn )
Y
c(A + B) = (c (a1+ b1 ), c(a2+ b2), . . . , c(an+ bn))
= (ca1 + cb1 , . . . , can + cbn)
= cA + cB
este ultimo paso es cierto por la definición de adición de n-uplas.
CUESTIONARIO
1. Verificar las 6 propiedades con ejemplos
2. Demostrar las demás propiedades en forma general
3. En cada uno de los siguientes casos, determinar A + B, A – B, 3A, -2B.
A = (2, -1), B = (-1,
A = (-1,3), B = (0,4)
A = (2,-1), B = (3,5)
A = (-1,-2,3), B = (-1,3,-4)
A = (4,-2,0), B = (0,0,4)
A = (15, -2,-4), B = (1, 4, 0)
4. En una hoja de papel milimetrado, marcar los puntos indicados en el ejercicio (3)
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FACULTAD DE INGENIERIA
WORK PAPER # 8
PROGRAMA DE CONTROL DE CALIDAD
No. DE PROCEDIMIENTO:
No. DE HOJAS
ELABORÓ: :
CÓDIGO:
: EMILIO LLUIS PUEBLA
TÍTULO DEL WORK PAPER: :
POLINOMIO MÍNIMO
DPTO.: Facultad de Ingeniería
DESTINADO A:
DOCENTES
ALUMNOS
X
ADMINIST.
OTROS
OBSERVACIONES:
FECHA DE DIFUSIÓN: Marzo 2006
FECHA DE ENTREGA: 13 de junio 2006
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EL POLINOMIO MINIMO
Definición.- Sea a una matriz cuadrada. El polinomio mínimo de A es el polinomio mónico (con coeficiente inicial 1)
de menor grado tal que mA(A)=0.
Por el teorema de Cayley-Hamilton, A es raíz de un polinomio pA(  ) diferente de cero. Supongamos que tiene
grado n y que es el más pequeño de los grados tal que pA(A)=0. Si dividimos pA(  ) entre su coeficiente inicial
obtendremos un polinomio mónico mA(  ) de grado n con A como raíz. Si m`A(  ) es otro monomio mónico
De grado n para el cuál m`A(A) =0 entonces mA(  )-m`A(  ) es un polinomio diferente de cero de grado menor que n
con raíz A. Esto contradice el que n sea el más pequeño de los grados talque pA(A)=0. Por lo tanto mA(  ) es único.
Aún más, por el algoritmo de la división, si f(  ) es un polinomio tal que f(A)=0 entonces f(  )= mA(  )g(  )+r(  )
con r(  )=0 o gr r(  )<gr m(  ).Como f(A)=0 y mA(A)=0 tenemos que r(A)=0. Si r(  )  0,entonces r(  ) es un
polinomio de grado menor que el de mA(  ) sea mínimo. Luego r(  )=0 y f(  ) = mA(  )g(  ). Podemos resumir lo
anterior en la siguiente
PROPOSICION.- El polinomio mínimo de una matriz A existe, es único y divide a cualquier otro polinomio que tenga
a A como raíz, en particular, divide al polinomio característico de A.
PROPOSICION.- El polinomio mínimo y el polinomio caracteristico de una matriz A poseen los mismos factores
irreducibles.
COROLARIO.- Un elemento   K es valor característico de A si, sólo si,  es raís del polinomio mínimo de A.
EJEMPLO:
3 0 1 0
0 3 0 0 
 . El polinomio característico de A es:
Sea A= 
0 0 3 0 


0 0 0 8 
pA(  )=  I  A  (  3) 3 (  8) . Por los resultados precedentes mA(  )/pA(  ) y además posee mA(  )
posee los mismos factores irreducibles, entonces mA(  ) puede ser uno de los siguientes:
(  3)(  8),
(  3) 2 (  8), o
(  3) 3 (  8).
Por el teorema (de Cayley-Hamilton) mA(A)=0.Luego calculamos mA(  ) debe ser
(  3) 3 (  8) .
CUESTIONARIO
2

0
1.- Encuentre eL polinomio de la matriz A = 
0

0

0 0 4

4 2 0
.
0 2 4

0 0 9 
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8

4
2.- Encuentre los valores característicos de la matriz A = 
0

0

0 3 1

2 3 2
0 8 0

0 0 2 
3.- Pruebe que una matriz cuadrada A es diagonalizable si,y sólo si,
mA(  )=(  -  1)(  -  2) (  -  3)...(  -  r) donde  1,  2,  3...  r son los valores característicos distintos de A.
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FACULTAD DE INGENIERIA
PROGRAMA DE CALIDAD UDABOL
DIF – 001 010/02/2005
HISTORIA DE LOS NÚMEROS
Parece ser que la Numerología, ya era usada en Mesopotamia. Se asignaban valores numéricos a las letras del
alfabeto, y se calculaban los valores de los
nombres, lo cual concuerda con la reverencia que existía en Mesopotamia hacia los números, ya que pensaban que
todos los dioses tenían números.
Como ejemplo, Sargón en el 705 a.C. afirma que el perímetro de su palacio en Khorsabad era igual a su nombre.
Del mismo modo en la Biblia existen algunas partes en la que la explicación a hechos ocurridos tienen una base
numerológica.
Cabe citar algunos párrafos de los textos del Génesis, en el Capitulo17, donde, nos encontramos esta curiosa
conversación entre Dios y Abram, éste asombrado recibe la noticia de que va a tener un hijo a la edad de 100 años,
con su mujer Sarai de 90.
Dijo Dios: “He aquí mi pacto contigo, serás padre de una muchedumbre de pueblos y ya no te llamaras Abram, sino
Abraham....”
Dijo también Yahvé a Abraham: “Sarai tu mujer, no se llamara ya Sarai, sino Sara, pues la bendeciré y te daré de ella
un hijo...”
Cayó Abraham sobre su rostro, y se reía, diciéndose en su corazón: “Con que a un centenario le va a nacer un hijo, y
Sara, ya nonagenaria, va a parir...”
El hecho de que a partir de ese cambio de nombre tanto Abraham como Sara pudieran engendrar un hijo, se basa en
que en la Biblia, la equivalencia numérica no es accidental, ya que el mundo fue creado por Dios a través de la
palabra, donde cada letra representa una fuerza creativa. De esta forma la equivalencia numérica entre dos palabras
revela una conexión interna entre los potenciales creativos de cada una.
Pitágoras
La Numerología actual, se basa en los principios esbozados por Pitágoras (570 a.C.) en sus enseñanzas recogidas a
lo largo de su vida a través de sus viajes por los principales centros de cultura de la época por todo el litoral
Mediterráneo.
Según Theon de Smyrna, los pitagóricos veían los números como
la fuente de la forma y la energía del mundo...dinámicos y activos incluso entre ellos...casi humanos en su capacidad
de influencia mutua. Tienen sus atracciones y repulsiones, familias, amigos...”
Si bien los primeros teóricos atribuyeron una serie de cualidades a cada uno de los números, el cuerpo de la
Numerología ha sido desarrollado a lo largo del tiempo a través del estudio empírico de los ciclos de la vida de los
seres humanos.
La Numerología tal y como la entendemos nace a principios de siglo, con la publicación de los trabajos de Sarah
Joanna Dennis, estudiosa de la Biblia y de las ideas de Pitágoras, a la que con su libro “El sistema Balliet de la
vibración numérica” se la puede considerar como la madre de la Numerología moderna.
Su trabajo fue continuado por el Instituto de Investigación Numérica de California. Teniendo como resultado una gran
ampliación del cuerpo de la Numerología.
Tipos de Numerología
Principalmente existen dos tipos de Numerología, la de raíces
Pitagóricas y la de raíces Hebraicas, llamada Gematria. Aunque se piensa que esta última tiene un origen Griego.
Si bien la Gematria se ha usado para otras funciones y aunque tienen puntos de partida comunes con la
Numerología, como es el de dar un valor numérico a las letras del alfabeto y la comparación de estos números
obtenidos, sus usos y aplicaciones son distintas.
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FACULTAD DE INGENIERIA
En la Gematria, cada una de las 22 letras del alfabeto hebreo representa tres cosas distintas:
Una letra, es decir un jeroglífico.
Un número de acuerdo al lugar que ocupa en la serie.
Una idea.
Se usaba fundamentalmente para el estudio de la Biblia, donde las palabras de un valor similar son aplicadas para
explicar otras; siendo esta teoría extensible a las frases.
De esta forma el nombre del Arcángel MTTRVN, Metatrón y el nombre de la Deidad ShDI, Shaddai, ambos suman
314. Por lo tanto, uno se toma como símbolo del otro.
También a través de las 22 letras del alfabeto hebreo, se establece una correspondencia con los Arcanos Mayores
del Tarot y de la misma forma con los 22 senderos del Árbol de la Vida Cabalístico.
En cambio, en la Numerología Pitagórica las letras del alfabeto se numeran del 1 al 9, dando tres series principales:
El hacer una clasificación de 1 a 9, no quiere decir que los números más altos sean mejores que los más bajos, o
que los números pares sean mejor que los impares.
Simplemente no hay números mejores que otros, lo que si existe son combinaciones que favorecerán la armonía
interior o la tensión. Al igual que en el juego del dominó no existe una combinación que nos garantice el triunfo. Lo
importante es cómo juguemos nuestras fichas.
Aunque diversos autores han atribuido un significado específico a cada una de las letras del alfabeto, nos vamos a
centrar en su valor numérico expresado del 1 al 9 y en su diferenciación entre vocales y consonantes.
Como un leve esbozo de lo que puede significar cada uno de los números de la serie primaria, podríamos decir:
El 0 es la situación previa a la idea
El 1 tiene la idea y hace un primer diseño a mano alzada
El 2 lo encuentra, y confidencialmente lo entrega al
3 que empieza a imaginarlo y lo comenta con
El 4 lo dibuja a escala y desde diversas perspectivas
El 5 le busca una aplicación practica y lo distribuye
El 6 recoge toda la información y la entrega al
7 que profundiza sobre el diseño y lo desarrolla
El 8 lo produce a gran escala
El 9 coordina todo el proceso.
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