Download Energía Potencial eléctrica Recordemos que la

JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Energía Potencial eléctrica
Si movemos la carga q2 respecto a la carga q1
Recordemos que la diferencia en la energía
tenemos que:
potencial ∆U cuando una partícula se mueve
entre dos puntos a y b bajo la influencia de una
fuerza
, es igual al negativo del trabajo
realizado por la fuerza esto es:
Wab es el trabajo realizado por la fuerza
cuando la partícula se mueve desde a hasta b,
esto es valido solo si la fuerza es conservativa
La ecuación 1 se cumple ya sea que q2 se
mueva hacia q1 o se aleje de ella, en el primer
caso rb < ra, y en el segundo caso rb > ra,
Luego para poder definir la energía potencial
eléctrica,
supongamos
que
tenemos
también se cumple para cualquier combinación
dos
de los signos de q1 y q2.
cargas dispuestas como se muestran a
En forma general la energía potencial eléctrica
continuación:
es una magnitud escalar u su unidad es el
Joule (J).
q1
q2
Energía potencial de un sistema de cargas
(Figura 1)
puntuales.
La carga q2 se mueve en relación a q1, por un
desplazamiento
Supongamos que tenemos un sistema de
, cuando una partícula
cargada se mueve en un campo eléctrico
cargas puntuales las cuales se mantienen en
posiciones fijas por fuerzas no especificadas.
,
Q1
tenemos que:
b
Q2
Q1
a
a
Ya que
Q3
Q4
b
Como el campo está a lo largo del eje x
entonces tenemos
(Figura 2 arreglo de cargas )
Podemos calcular la energía potencial eléctrica
del sistema de la siguiente manera
1
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Si colocamos una carga de prueba qo en un
Observe que la energía potencial eléctrica es
punto A a una distancia infinita del conjunto de
una carga de sistema y no de alguna carga
cargas, donde el campo eléctrico sea cero.
individual.
Luego desplazamos dicha carga de prueba
Diferencia de potencial y potencial eléctrico
desde esa separación infinita hasta el punto B
Para
calcular
la
diferencia
de
potencial
eléctrico entre dos puntos A y B de un campo
eléctrico
, se mide el trabajo que debe
En este proceso la energía potencial cambia
de 0 a
realizar una fuerza externa para mover una
carga de prueba puntual qo, con rapidez
.
El potencial eléctrico
constante (sin ser acelerado) desde el punto A
en B debido a esta
distribución de cargas es:
hasta el punto B.
Entonces la diferencia de potencial se expresa
así:
Ya que asumimos arbitrariamente que el
potencial en el infinito es cero.
El potencial eléctrico es una cantidad escalar
Donde el
porque tanto la carga como el trabajo son
El trabajo realizado puede ser:
cantidades escalares.
Positivo si
Tanto el trabajo W como la diferencia de
potencial
Negativo si
son independientes de la
trayectoria seguida por la carga de prueba
Nulo si
positiva
, al ser trasladada desde A hasta B.
Unidades
En el sistema internacional (SI)
Superficies equipotenciales
Trabajo (Joule)
Una superficie equipotencial es el lugar
Carga eléctrica (Coulomb)
geométrico de todos los puntos que tienen el
Potencial eléctrico (Voltios)
mismo potencial eléctrico.
Entonces
Potencial en un punto
Según la ecuación
2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
A
(Figura 3. Superficies equipotenciales).fuente
tomada del Resnik- Holliday
B
En la figura 3, observamos que de las cuatro
trayectorias marcadas como 1,2,3 y 4 sobre
las cuatro superficies equipotenciales solo las
trayectorias 3 y 4 tienen diferencias de
El trabajo realizado o producido por la
potencial diferentes de cero ya que los puntos
fuerza externa, cuando este agente externo
que
unen
ubicados
la
trayectoria
en
superficies
marcada
están
produce un desplazamiento
sobre la
equipotenciales
carga
diferentes. Las trayectorias 1 y 2 tienen
diferencias de potencial cero, ya que sus
a lo largo de la trayectoria
punteada es:
trayectorias pertenecen a puntos ubicados en
la misma superficie equipotencial.
Entonces el trabajo total al mover la carga
de prueba desde A hasta B es:
Relación entre potencial y campo eléctrico
Supongamos que tenemos una fuerza externa
la cual mueve a una carga puntual de prueba
, desde un punto A hasta un punto B, el cual
tiene
las
siguientes
características
de
particularidad.
a) El campo eléctrico no es uniforme
b) La trayectoria es una trayectoria curva
Por otro lado tenemos que:
cualquiera
c) La carga
es trasladada con rapidez
constante ( sin ser acelerada)
3
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Si el potencial en A lo consideramos en el
infinito entonces tenemos
Pero como
tenemos que:
Potencial eléctrico debido a una carga
puntual positiva
Supongamos que tenemos una carga
positiva
aislada
la
cual
tiene
Como
esta en el infinito
las
características:
a) El campo eléctrico
es radial
En forma general
b) Las líneas de fuerza de campo eléctrico
se alejan de la carga +q
c) El valor del campo eléctrico en cualquier
Potencial debido a varias cargas puntuales
punto es
Supongamos que tenemos N cargas puntuales
en un sistema q1, q2, q3,….., Qn si queremos
hallar el potencial en un punto dado debido a
esas n cargas puntuales, se procede de la
siguiente manera:
Se calcula el potencial debido a cada una de
esas cargas de forma aislada de las demás y
luego sumamos algebraicamente cada uno de
Debido a la fuerza externa, la carga de
prueba positiva +
los potenciales individuales y obtenemos el el
se mueve desde A
potencial total.
hasta B a velocidad constante (sin ser
acelerada).
Ya que:
4
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
En forma general
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Supongamos que tenemos un punto de
coordenadas (x, y) ubicado en cualquier punto
del espacio que rodea a un dipolo eléctrico, el
potencial eléctrico en ese punto debido al
dipolo se calcula de la siguiente manera:
Potencial debido a una distribución de
cargas continúas
P
Para determinar el potencial eléctrico para una
distribución de cargas continuas se procede de
R2
igual manera que para determinar el campo
eléctrico
de
distribuciones
de
R
cargas
R1
R2-R1
continuas, se toma un pequeño diferencia de
carga y se integra de tal manera que se evalué
θ
toda la distribución
-q
Se toma la ecuación
2a
q
El potencial eléctrico en el punto P creado por
las dos cargas del dipolo es:
Como
Entonces
Como R1, R2 ≫2a
Luego
Tenemos que R1 ≅ R2≅ R
Θ≅φ
Y tenemos que
Al igual que en el calculo de campo eléctrico
Finalmente
existen tres tipos de distribuciones continuas
Distribución lineal
Distribución superficial
Ya que P= 2aq
Distribución volumétrica
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Calcular el potencial eléctrico en el eje
Potencial eléctrico en un punto fuera de un
que pasa por el centro de un anillo en
dipolo eléctrico
un punto P, situado a una distancia Z
5
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
del centro del anillo, siendo a el radio
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Sabemos que
del anillo el cual tiene una distribución
uniforme de carga λ (C/m),
Entonces
Z
Z
h
Y
Si nos piden calcular el potencial en el
dθ
θ θ
dl
centro del anillo entonces tenemos:
X
Entonces el potencial será
Tomamos un dl diferencial de longitud, en
cuyo diferencial hay un dq (diferencial de
carga), el cual origina en el punto P un dV
Donde:
O en función de λ
Entonces tenemos que:
2) Calcular la energía requerida para
agrupar el arreglo de cargas de la figura
siguiente, donde a = 0,20 cm, b = 0,40 cm y
q = 6 μC
SOLUCION
Si el anillo tiene una carga Q
6
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
q1= q
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
b
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
q2=-2q
Q
a
b
q4= 3q
a
c
La segunda integral es cero debido a que el
, por estar dentro de un conductor.
Entonces tenemos
3. Se tiene una esfera aisladora de radio a,
con una distribución de carga dada por
la función
( donde
es una
Como
constante), dentro de la cavidad de un
conductor esférico macizo y hueco de
Y el ángulo entre
radios b y c y que tiene una carga Q
a) ¿Cuál es el potencial eléctrico en la
superficie externa del aislante
Hallemos los campos E1 y E3
b) ¿Cuál es la distribución de cargas en la
superficie
externa
e
interna
del
conductor
Resolviendo
7
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Luego
Para encontrar E3
3. Un electrón de carga
y masa
se dispara con una velocidad inicial
desde el punto o en dirección vertical hasta
una
Luego
altura
máxima
H,
determinar
la
velocidad inicial con la que fue lanzado el
electrón.
Z
B
R
Z
H
-e
A
Y
b.
X
ds
d
Por gauss E2= 0
dr
8
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
Como
no
existen
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
fuerzas
JOSÉ PERAZA, FÍSICA 2
externas,
entonces se conserva la energía
=u
La energía cinética en el punto B es cero
ya que en ese punto se detiene el electrón
Integrando tenemos que
Luego
regresando
el
cambio
y
evaluando entre a y b se tiene
De donde
Ahora definamos el potencial en el
punto A(ubicado en el centro del anillo)
como:
Por otro lado tenemos que
Para ello hacemos Z= 0
Ahora definamos el potencial en el
Donde
punto B, haciendo Z = H
f
Entonces
Finalmente tenemos que la velocidad inicial
es:
Integrando la primera integral
9