Download Capítulo 4 decimales

CAPÍTULO N° 4: NÚMEROS DECIMALES
Fracciones decimales: expresiones decimales exactas. Expresiones decimales periódicas.
1)
Resolvemos juntos:
Encontrar las expresiones equivalentes de
3 6 −12 15 75
= =
= =
=.....
4 8 −16 20 100
2)
a)
¿Se puede expresar
b)
¿Se puede expresar
3
y4 :
4
Recuerda que:
Una fracción decimal tiene
como denominador la
unidad seguida de cero
4
como fracción decimal?
25
2
como fracción decimal?
3
Para convertir una
fracción decimal se
resuelve la división
que indica la fracción.
Todo número racional
tiene una expresión
decimal que puede ser
exacta o periódica
Para realizar cálculos donde aparezca alguna expresión decimal periódica, es necesaria transformarla
previamente en una fracción irreducible y luego operar.
1) Números periódicos puros:
a) 0, 2̂ =
2
9
b) 1, 2̂ =
12 − 1
9
2) Números periódicos mixtos:
a) 0,1 3̂ =
3)
13 − 1 12
2
=
=
90
90
15
b) 1,1 6̂ =
̂ =
c) 0, 36
36
99
̂ =
d) 2, 45
116 − 11
105 7
=
=
90
90
6
̂ =
c) 0,1 46
245− 2
243 27
=
=
99
99
11
146 − 14
132
11
=
=
900
900
75
Dividir las siguientes expresiones y analizar las diferentes situaciones:
a)
90
=
25
b)
5
=
3
c)
29
=
22
4)
Clasifica estos números según sean decimales exactos, periódicos puros o periódicos mixtos:
1,52929...
0,89555....
-7,5555....
120,8
-5,12333....
5)
-5, 12121.....
-1,732
1,0340340.....
¿Cuál o cuáles de los tres está equivocado y por qué?
o
nter
ro e resar
e
m
xp
nú
Un uede e cción
se p una fra
o
com
Cualquier fracción
se puede expresar
como un número
decimal exacto
En
perió un númer
dico
o
hay
de
repite cimales q cifras
u
n ind
efinid e se
amen
te
6)
Expresa las fracciones como número decimal y viceversa:
9
=
8
̂ =
d) 1, 274
9
=
11
e) 8,9 1̂ =
a)
7)
b) −
c) 7,35 =
̂ =
f) −18, 57
Expresa como fracción y después escribí tus conclusiones:
7, 9̂ =
12, 9̂ =
3, 9̂ =
8)
Piensa y escribe ejemplos de fracciones con denominadores menores o iguales a 10. Escribí
las correspondientes expresiones decimales. ¿ Con qué denominadores se obtienen siempre
expresiones decimales exactas?
9) ¿ Cuántas cifras decimales esconde la calculadora? Comprueba con la fracción
1
13
¿Cuántos términos tiene el período?
10)
Hallen con la calculadora la expresión decimal de :
2 3 4 5 6
; ; ; ;
7 7 7 7 7
¿Observas algo curioso?
11)
Ordena de mayor a menor las siguientes expresiones decimales:
0,12 ; 0,112 ; 0,2 ; 1,7 ; 1,17 ; 1,07 ; 0,1 2̂ ; 1,0 7̂
12)
Indica los números que señalan las flechas:
a)
b)
6,4
6,5
6,7
13)
Con las 5/7 partes de una barra de aluminio hice las puertas, y con el resto, 1,25 metros, una
ventana.¿Cuál era la longitud de la barra?
14)
Primero vendí los 5/9 de un terreno. Después los 3/8 y me quedé con solo 565,34 m 2.¿Cuánto
medía el terreno original?
15)
a)
b)
c)
d)
e)
¿Por qué son válidos los métodos?
Calcular el 75% de un número es lo mismo que multiplicarlo por 3 y dividirlo por 4.
Multiplicar por 0, 3̂ es lo mismo que dividir por 3.
Dividir un número por 2 equivale a calcular el 50% de él.
Dividir por 9 equivale a multiplicar por 0, 1̂ .
Dividir un número por 0, 6̂ es lo mismo que sumarle su mitad.
Operaciones con decimales
Suma y resta
Ejemplo 1:
3,42 + 2,7 =
342
100
+
27
10
=
612
100
= 6,12
Ejemplo 2 :
9,7 − 2,43 = 97
− 243
= 727
= 7,27
10
100
100
Para sumar y restar expresiones decimales, se colocan de modo que queden encolumnadas
las unidades del mismo orden y luego se operan.
Recuerda que:
La equivalencia entre las
Expresiones decimales las
Fracciones decimales
Permite realizar adición y
Sustracción de decimales
por medio de fraccione
16)
Observa el siguiente cuadro publicado por la Cooperativa “ Tomates y algo más”:
“Tomates y algo más”
Costos y precios de un cajón de 20 kg
a)
b)
$
Costo de producción (siembra, riego,
cosecha, etc)
7,5
Precio de venta
65,0
Transporte
3,5
Descarga
0,85
Consignatario (15% del precio de venta)
9,75
IVA ( 10,5 % del precio de venta)
6,83
Calcula el dinero que tiene que invertir el productor por cada cajón de tomates.
Calcula la ganancia que recibe el productor por cada cajón de tomates vendido.
Multiplicación
Ejemplo 1:
7348 . 100
7348
7,348 . 100= 7348
1000 . 100 = 1000 = 10 = 734,8
En la práctica , multilpicar por la unidad seguida de ceros implica correr la coma hacia la derecha tantos lugares como ceros sigan
a la unidad
75
4875
Ejemplo 2: 6,5 . 0,75= 65
10 . 100 = 1000 = 4,875
En la práctica:
6,5
1 cifra decimal
x 0,75
2 cifras decimales
325
455
4,875
3 cifras decimales
Se multiplican los números como si fueran enteros y luego en el producto, se coloca la coma contando desde la derecha, tantos lugares
como indica la suma de las cifras de los dos factores.
División
Ejemplo 1:
567,23 : 100= 56723
100 .
1
100
= 56723
10000 = 5,6723
En la práctica , dividir por la unidad seguida de ceros implica correr la coma hacia la izquierda tantos lugares como ceros sigan
a la unidad
1347
1
1347
Ejemplo 2: 13,47 : 2,3= 134,7 : 23= 1347
10 : 23= 10 . 23 = 230 ≈ 5,85
17)
Calcula y reflexiona
18)
Calcula y reflexiona
19)
a)
b)
c)
d)
Aproximación y truncamiento
Las cifras de una expresión decimal se pueden acortar por razones prácticas aproximando o truncando a la cifra de los
décimos , centésimos, milésimos, etc
Para aproximar primero se debe determinar hasta que cifra decimal se va a considerar y luego, observar la cifra que se
encuentra a su derecha .
· Si la cifra de la derecha es 0 ; 1 ; 2 : 3 o 4 , la cifra considerada se deja igual (por defecto)
· Si la cifra de la derecha es 5 ; 6 ;7 : 8 o 9 , a la cifra considerada se le suma 1 (por exceso)
1)
a los décimos
a) 1,4 3≡1,4
b) 2,6 8≡2,7
1)
a los centécimos
a) 4,58 4 ≡4,58
b) 7,13 5≡7,14
1)
a los milécimos
a) 5,806 2≡5,806
b) 8,0109≡8,011
Al realizar una aproximación se obtiene un nuevo número decimal distinto del original y se genera un error .
El error absoluto ( ε ) es el módulo de la diferencia entre el número original y el nuevo valor.
Ejemplo: ε =∣2,68−2,7∣=0,002
Truncar : es cortar el número en una determinada cifra decimal y eliminar las restantes.
20)
a)
Aproximar los siguientes números racionales:
A los décimos (ε<0,1)
2,7623
d)
A los décimos (ε<0,1)
b)
A los centésimos (ε<0,01)
8,2319
e)
A los centésimos (ε<0,01)
6
13
c)
A los milésimos (ε<0,001)
6,48972
f)
A los milésimos (ε<0,001)
5
7
2
11
21) Analizar y responder:
a)
¿En qué tipo de expresiones decimales aproximar y truncar es lo mismo?
b)
¿Y en que tipo de expresiones se comete mayor error al truncar?
22)
Resolver las siguientes operaciones:
1
̂
̂
̂ 2 =
a) 0, 8−(1,
9+2,3
+ )−0,7 5+
10
5
̂
̂
b) 3,2 . 0,625 . 0, 2+0,4
. 2,5+1, 1−2,
4̂ =
̂
̂
̂
̂ =
c) 2+0, 75−1,
4̂ +0, 9−(1,
36+0,
93)
58
15
1
R=
9
1
R=
99
R=−
Para practicar
23)
A qué números le corresponden los puntos M, N, P, Q y R de esta recta?
24)
Encuentren un número racional ”a” tal que:
a)
b)
c)
d)
1
sea igual a 2
a
3. a sea racional negativo
1
. a sea igual a 8.
4
4
sea un número comprendido entre 0 y 1
−
a
25)
̂
̂
̂
̂ =
a) 2+0, 75−1,
4̂ +0, 9−(1,
36+0,
93)
1 1
1
2
b) 22,5 . 0,0 2̂ .( − +0, 4)−[−(−0,5+ )− ] =
2 10
4 10
R= −
58
15
R=
7
20
CAPÍTULO N° 5: POTENCIAS. NOTACIÓN CIENTÍFICA. RAÍCES
POTENCIAS
Resolvemos juntos:
1)
2)
2
a la tercera potencia ¿ que debo hacer con su
3
Si elevo el numerador de la fracción
denominador para obtener una fracción equivalente?
3)
Ailén le pidió un préstamo a su hermana Analía. Para pagar su deuda Graciela
se organizó de la siguiente manera: la primera semana le pagará la mitad de su
deuda, y en las semana siguientes le abonará la mitad de lo pagado en la
semana anterior. ¿ Qué parte de la deuda pagó luego de cuatro semanas?
¿ Qué parte de la deuda deberá abonar la octava semana?
¿ Qué opinan del arreglo?
Veamos como pagó Ailén su deuda:
1
2
La primera semana Ailén abonó
1
2
La segunda semana pagó
La tercera semana
1
2
La cuarta semana pagó
de
1
2
1
2
de
1
4
de
de su deuda
de su deuda es decir:
de su deuda =
1
8
=
1
16
En la octava semana deberá pagar entonces
=
1
8
=
1
2
.
1
2
=
1
4
=
2
1
( )
2
3
1
( )
2
4
1
( )
2
8
1
( )
2
de la deuda
Mi opinión sobre el sistema:
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Si el préstamo de Ailén fue de 1860 $. En cuánto tiempo logrará saldar su deuda?
Potencia enésima de un número racional con n ∈ ℕ∧
a
∈ℚ
b
n factores
Si n > ℕ ,
a
a⏞
a a
a a
( ) = . . ....... = n
b
b b b
b b
Si n =1,
a
a
( ) =
b
b
n
n
n
2
2
4
Ejemplo: ( ) =
7
49
1
2
2
Ejemplo: ( ) =
7
7
n
Si n =0 ∧ a ≠ 0 ,
a
( ) =1
b
3
1
1
; (− ) =−
3
27
2
1
1
; (− ) =
3
9
1
1
1
; (− ) =−
3
3
0
Ejemplo : (−
12
) =1
5
Si el exponente es negativo:
−n
a
b
( ) =( )
b
a
n
−4
2
Ejemplo: ( )
3
4
3
= ( ) =
2
81
16
4)
Teniendo en cuenta lo visto en el punto anterior completen la siguiente tabla y respondan a las
preguntas:
5)
Completar las potencias que faltan, utilizando lo aprendido en la tabla anterior:
Propiedades de la Potenciación
Si a y c son números racionales distintos de cero, y n un número entero
b
d
entonces se cumplen las siguientes propiedades:
a nm
a n.m
[( ) ] = ( )
b
b
132
16
1
Ejemplos : [( ) ] = ( ) =
2
2
64
n
n
n
2
a
c
a
c
3
.
) = ( ) . ( )
Ejemplos : ( ) .
b
d
b
d
2
n
n
n
n
n
n
n
a
c
a
c
a
c
a
d
a
d
12
(
:
) = ( ) : ( )
o (
:
) = (
.
) = ( ) . ( )
Ejemplos : ( )
b
d
b
d
b
d
b
c
b
c
2
Si las bases son iguales y n y m dos números enteros, entonces :
(
n
m
a
.
b
an
:
b
6)
a)
7)
2
a
a
= ( )
b
b
am
a n−m
= ( )
b
b
2
2
1 +2
3
1
1
1
1
1
Ejemplos : ( ) . ( )= ( ) = ( ) =
3
3
3
3
27
1 4 1 2
1 4−2
1 2 1
Ejemplos: ( ) . ( ) = ( ) = ( ) =
3
3
3
3
9
Resolver las siguientes potencias:
1 4 1
:
2
2
2
( ) ( )
=
1 1
1
:−
3
3
9
( )( )
b) −
=
c)
1 8 1
:
5
5
5
( ) ( )
=
e)
3
2
−2
3
2
8
( ) ( )
:
=
3 7
3
:−
4
4
5
( ) ( )
f) −
=
Completar:
5
1
a ) (− ) .(
4
8)
n+m
2
2
3. 2
6
36
( ) =(
) =( ) =
5
2 .5
10
100
22
1. 3 2
3 2 9
: ( ) =(
) =( ) =
3
2.2
4
16
10
1
) = (− )
4
12
3
b ) (− ) : (
2
Encuentren los exponentes que faltan:
2
3
) = (− )
2
0
c) (
3
1
1
) :( ) = ( )
3
3
NOTACIÓN CIENTÍFICA
Una de las ventajas del sistema decimal es que las cantidades muy grandes o muy pequeñas se
pueden expresar utilizando potencias de 10.
9)
Calcula:
a)
5,32 . 10 =
b)
3,6 . 1000=
c)
0,245 . 100 =
d)
2,7 : 100 =
e)
13,9 : 100=
f)
31 : 1000=
a) 390.000 .000 = 39 . 10 000 000 = 3,9 . 10. 10 000 000 = 3,9 . 100 000 000 = 3,9 . 108 escribimos el número
en potencias de 10 para expresarlo en notación científica
6
b) 2 370
000
=
2,37
.
10
⏟
6 cifras
a)
b)
27
2,7 . 10
=
= 2,7 . 10 . 10−7 =2,7 . 10−6 expresamos como potencia de 10
10.000 .000
10.000 .000
0, 00000004
⏟ 15 = 4,15 . 10−8
0,0000027 =
8 cifras
10)
Completen el siguiente cuadro:
Operaciones con Notación Científica:
11)
Resolver aplicando propiedades de potencias y utilizando notación científica:
2
5
7
a)
6,2 . 10 +4,5 .10 + 1,8 . 10 =
d)
g)
6
2
b)
12,48 . 10 −7, 3 . 10 =
10 .10 . 10 =
e)
10 . 10 : 10
0,0000006 : 2000 =
h)
360 000 000 . 0,000005
=
0,006 . 200
2
−5
7
6
−2
−5
=
c)
0,0000006+0,0000012 =
f)
10
=
4
2
10 .10
i)
0,0000024 1200000
:
=
80000
0,0003
11
12)
El período de revolución de la Tierra ( tiempo que tarda en dar una vuelta completa alrededor
del Sol ) es de 365 días. Calcula este tiempo en segundos y exprésalo en segundos.
13)
El profesor de biología dió los siguientes datos, exprésalos en notación científica:
Tamaño de algunos virus:
influenza o gripe : 0,00012 mm =
fiebre aftosa : 0,000023 mm =
mosaico del tabaco: 0,0002 mm =
Poder de resolución del microscopio óptico: 0,0001 mm =
Poder de resolución del microscopio electrónico: 0,000001 mm =
14)
RADICACIÓN
La profesora de actividades prácticas nos pidió que lleváramos a
la escuela un trozo de madera cuadrado de 144 cm2 de superficie.
En mi casa encontré dos trozos de madera: uno tiene 10cm de largo por
25cm de ancho y otro tiene 15cm de largo por 16cm de ancho.
¿ Cualquiera de los dos me sirve para cortar el cuadrado que necesito?
Vamos a ayudar a Manuelito:
Necesitamos conocer la longitud del lado del cuadrado. Para ello recurrimos a calcular la superficie del
cuadrado es:
superficie □ = L2
144 cm2= L2
¿Qué longitud tiene que tener cada lado del cuadrado?
¿ Le sirve a Manuelito cualquiera de los dos trozos de madera?
15)
Calcula las siguientes raíces:
3
4
a) √ 27 =
3
b) √ 16 =
8
c) √ −125 =
d) √ 1 =
16)
Piensa como harías para calcular
√ 841 que no sea exacta sin calculadora y haciendo la
menor cantidad de cuentas posibles.( ayuda: 202= 400 y 302= 900 )
17)
Calcula sin usar la calculadora
a) √ 289 =
b) √ 784 =
c) √ 529 =
d) √ 1296
No existe ningún número natural cuyo cuadrado sea 50. Decimos entonces que 50 no es un cuadrado perfecto.
Si :
72 = 49 y 82 = 64 entonces 7 2 < 50 < 82
7 es el mayor número natural cuyo cuadrado es menor que 50
Decimos entonces que 7 es la raíz cuadrada entera de 50 y a la diferencia entre 50 y 49 la llamamos resto (r) .
Lo escribimos como :
√ 50 =7 , r = 1
18)
Usando lo visto anteriormente calcula:
a) √ 29 =
r=
b) √ 42 =
r =
⇨ Para calcular la raíz de una fracción :
√
n
c) √ 95 =
r=
n
a
√a
= n donde n , a y b ∈ ℕ
b
√b
⇨ Para calcular la raíz de una expresión decimal existe una regla práctica : la cantidad de lugares decimales
de la raíz es igual a la cantidad de lugares decimales de la base divida el índice :
2
a. √ 0,09 = 0,3 ; porque 0,3 = 0,09
3
b. √3 0,008 = 0,2 ; porque 0,2 = 0,008
⇨ Si la cantidad de lugares decimales de la base no se puede dividir exactamente por el índice,
3
entonces la raíz no es exacta Ejemplos : √ 0,4 ; √ 0,64
19)
Calcular las siguientes raíces:
a)
√
25
=
49
20)
a) 0,02< √ 0,0007<0,03
d) √ 2, 7̂ =
3
e) √ 0,000064 =
□
□
b) 0,1 < √ 0,05< 0,2
d) 0,006 <√ 0,000045 <0,07
Resolver las siguientes operaciones aplicando propiedades cuando sea posible:
√ √
√
4 3
.
. √5 =
3 5
d) 1−
22)
√
Colocar V o F según corresponda:
21)
a)
8
c) 3 −
=
125
b) √ 0,36 =
3
=
4
b)
e)
√√
3
64
=
729
√ √
32 2
:
=
5
5
2
1. ( +1,2⋅0, ̄
3 ): 4 −2,2=
5
3 ̄ 1
3. − ⋅0, 8
−( +1)÷2=
4
3
2
5. (3, ̄
6 −1, ̄
2 )÷1,1−0, ̄
4 ÷2−2⋅(1+ )=
3
2
1
5
7. (3−2 +0, ̄
6 )÷ −(1,5− ) −2, ̄
3=
7
6
5
−2
9. √ 1−0, ̄
5−(1,5) +( −0, ̄
7 )⋅2, ̄
4=
18
√
c)
√√ √
√
5
1 1
:
=
3 3
−2
3
f) ( ) −1 =
5
8
5
2. ( −1)⋅ +(0, ̄
5 −1, ̄
3 )÷7=
5
27
12
7
4. (0,04⋅6+1,2)÷ −0,02÷0,4+ =
5
4
̄ −0,8 3
̄ )3 +2−2 − 3 −0,5=
6. (1, 3
4
−1
2
1
8. ( −1) +(0, ̄
4 −1, ̄2)÷ +2, ̄
2=
5
2
3 −2
2
10. (− ) −1, ̄
5 ÷√ 1,1 6̄⋅10,5+(−1+0, ̄
6) =
4
√
□
PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN
23)
El tren de las nubes, en Salta recorre 434 km (ida y vuelta) en casi 15 hs. Juan recorre con
cada paso las
3
4
partes de un metro. ¿ Cuántos pasos tendría que dar Juan para hacer el mismo
recorrido que el tren de las nubes? (Usa la notación más conveniente)
24)
Esteban es artista plástico y quiere armar una obra sobre un cuadrado de madera de
9,4 dm de lado. El 45% del cuadrado lo quiere cubrir con materiales de textura suave: un tercio con
terciopelo blanco y lo demás, con algodón coloreado. En la mitad del resto usará cortezas de
árboles y sólo cubrirá con piedras la onceava parte de lo que queda. Aún no decidió que otros
materiales rugosos utilizará.
a)
¿ Qué fracción del total asignó a cada material ?
b)
¿ Qué área cubrirá con cada material ?
c)
¿ Es cierto que aún le falta decidir que material usará en la cuarta parte de la obra ?
25)
En las computadoras el tamaño de la letra se mide en puntos. Un punto equivale a
3
en
8
milímetro. Según las reglas de edición, la distancia entre dos líneas de texto o interlineado debe ser 2
puntos mayor que el tamaño de la letra, salvo que corresponda a un punto y aparte en cuyo caso debe
ser 6 puntos mayor. Si se quiere escribir en cuerpo 10 un texto de 55 líneas con 5 puntos y aparte,
¿ entra en una hoja A4? ¿ por qué?
Considera que una hoja A4 mide 29,7 cm de largo, y hay que dejar un margen superior de 3cm y otro
inferior de 2,5 cm.
26)
Escribí en un solo cálculo todas las operaciones que hiciste para resolver la actividad anterior
27)
Expresa todos los números como fracción y resuelve:
√
0
3
4
2
̂ 3] =
a) (− ) −[ +(0, 3)
7
3
28)
29)
b) [
(−3 )2 4
̂ . 0,36 . 0,9 9̂ =
+ ] . √ 0, 36
2
3
Efectúa las siguientes operaciones :
√
4
5
̂ − 1 . 0,25− 5 −( 1 ) +( 1 ) =
d) (0, 1)
2
2
√
30)