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Universidad Católica Los Ángeles
de Chimbote
Matemática y Lógica
LOGARITMOS
1.13 Concepto. El logaritmo de un número en una base dada, es el
exponente al cual se debe elevar la base para obtener el número.
=
Es la función inversa de la base
↔
=
a la potencia , por ejemplo:
100 = 2 ↔ 100 = 10
64 = 3 ↔ 64 = 4
0,001 = −3 ↔ 0,001 = 10
32 = 5 ↔ 32 = 2
La base debe ser positiva y diferente de1,
donde puede ser cualquier número real.
debe ser un número positivo y
1.13.1 Propiedades. Los logaritmos cumplen un conjunto de propiedades de
forma general para cualquier base.
 El logaritmo de su base es siempre 1.
=1 ↔
 El logaritmo de 1 es cero.
1=0
=
↔
1=
 El logaritmo de valores reales menores de 1 son negativos.
 Los números negativos no tienen logaritmos.
1.13.2 Identidades. Para realizar operaciones son importantes las identidades
de los logaritmos.
 El logaritmo de un producto, es igual a la suma de los logaritmos de sus
factores.
( )( ) =
+
Su demostración se realiza de la siguiente manera:
Suponer que:
=
=
↔
↔
=
=
… (1)
… (2)
Multiplicando las igualdades (1) y (2) miembro a miembro se tiene:
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=
=
… (3)
Aplicando logaritmos a la potencia en (3):
( )( ) =
+
Reemplazando , por sus respectivos valores supuestos anteriormente:
( )( ) =
+
 El logaritmo de un cociente, es igual al logaritmo del numerador menos
el logaritmo del denominador.
=
−
De forma similar se puede lograr la demostración, en lugar de multiplicar se
divide miembro a miembro las igualdades (1) y (2) .
 El logaritmo de una potencia, es igual al producto entre el exponente y el
logaritmo del número.
=
Es fácil comprender que
=
es igual a . . . …
. . . …=
+
veces y que:
+
Por la identidad anterior del producto de un logaritmo.
+
=
=
 El logaritmo de una raíz, es igual al logaritmo del radicando entre el
índice de la raíz.
√
=
1.13.3 Base de los Logaritmos. Las bases usadas son los decimales, los
naturales o neperianos de base = 2,718 …y la base 2.
En los logaritmos decimales sólo se escribe: log sin indicar la base, igualmente
los logaritmos naturales o neperianos se indica ln.
Por ejemplo:
log 57 = 1,756
ln 57 = 4,04
1.14 pH de Soluciones. Representa la concentración molar de los iones
hidrógeno [H ] contenidas en una solución.
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Se define como el logaritmo del inverso de la concentración molar de los iones
de hidrógeno de una solución.
pH = log
Por ser log 1 = 0 resulta
1
[H ]
pH = log 1 − log [H ]
pH = −log[H ]
El pH es el logaritmo negativo de la concentración molar de los iones de
hidrógeno.
El pH determina el grado de basicidad o de acidez de las soluciones.
Escala del pH
0
14
7
Ácido
Básico
Neutro
a. Hallar el pH de una solución de HCl 0,01 M molar
pH = − log 0,01
pH = 2
La solución es ácida.
b. Si el pH = 1,35 hallar su concentración de iones de hidrógeno.
pH = − log[H ]
Cambiando de signo:
c. Hallar
en :
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1,35 = − log[H ]
−1,35 = log[H ]
[
[
]=
− 1,35
] = 0,045 Moles/litro
log( − 4) + log( + 4) = log 9
1
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Por la identidad de la suma de logaritmos, se transforma en un producto:
log( − 4)( + 4) = log 9
Eliminando
en ambos miembros de la igualdad queda:
log( − 4)( + 4) = log 9
Resolviendo la ecuación:
( − 4)( + 4) = 9
− 16 = 9
= 25
=5
d. Hallar
en :
= −5
log(2 + 4) − log( − 6) = log 8
Por la identidad de la diferencia de logaritmos, se transforma en un cociente:
(2 + 4)
= log 8
( − 6)
Eliminando log en ambos miembros de la ecuación:
(
(
De donde
= 8,67
)
)
= log 8
(2 + 4)
=8
( − 6)
AUTOEVALUACIÓN
1. Hallar el pH de una solución cuya concentración de [H ] = 0,025 M.
Solución: pH = 1,602
2. Si el pH de una solución es pH = 0,015 . ¿Cuál es la concentración de [H ]?
Solución: [H ] = 0,97 M
3. Hallar en log ( + 3 + 12) = 2.
Solución: = 8
4. Hallar en
√ 32 = .
Solución: = 10
5. Hallar en 2 log = log(6 + 7).
Solución: = 7
= −1
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6. Hallar el valor de
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en:
log( + 10) − log(2 + 5) = log( − 4)
Solución: = 5. La solución = −1 no se toma en cuenta, pues no hay
logaritmo de números negativos
7. Hallar el valor de en: =
2√2
Solución: =
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