Download Guía Nº3. Potencial Eléctrico

Liceo Nº1“Javiera Carrera”
Departamento de Física
L. Lastra, M. Ramos. 4ºM P.C.
Guía Nº3. Potencial Eléctrico
Un concepto muy importante en las aplicaciones prácticas de la
electricidad es el de corriente eléctrica. Una corriente eléctrica es en esencia un movimiento organizado de grandes cantidades de cargas microscópica, ya sean electrones o iones. Esto es lo que ocurre cuando
usted conecta un dispositivo eléctrico a la red domiciliaria: se genera
una corriente eléctrica a través de los circuitos de este que hace este
funcione. Clásicamente, para que esto ocurra se necesita que una fuerza
sea ejercida sobre los portadores de carga, por ejemplo dentro de un
conductor. El problema de describir y comprender está situación parece
en un principio difícil al involucrar millones de partículas.
Un problema similar al anterior ya había aparecido cuando estudió
la mecánica. Por ejemplo, el choque entre dos cuerpos, o el movimiento
de un carrito en una montaña rusa, parecían situaciones difíciles de
abordar mediante el uso de los principios fundamentales (leyes de
Newton). Pero en mecánica existen magnitudes físicas, asociadas a
principios “globales”, que permiten conocer ciertos parámetros del movimiento de un sistema de partículas, sin tener que conocer el detalle
del movimiento de cada una de ellas. Magnitudes de este tipo son la
energía mecánica del sistema o su momentum, y los principios asociados
con ellas, la ley de la conservación de la energía mecánica y el momentum, resultaron útiles al momento de describir las situaciones como las
planteadas.
En esta guía es el concepto de energía el que nos interesa. La energía
en el contexto de los fenómenos eléctricos es un tema común: muchos
dispositivos de uso cotidiano funcionan a base de energía eléctrica, en los
noticieros o periódicos se habla acerca de la generación de energía
eléctrica, a menudo se dice que una nueva central eléctrica en
construcción generara tantos MW (megawatt)1, etc.
El potencial eléctrico es un concepto relacionado con el concepto de
energía eléctrica, que será útil para comprender el movimiento de carga
en términos simples, así como las ideas básicas acerca de circuitos
eléctricos.
1. Trabajo y Energía (Repaso)
Será útil repasar primero los conceptos de trabajo y energía potencial
gravitacional. Primero, por que la energía potencial en general se define
en términos del trabajo hecho por una fuerza conservativa, sea esta gravitacional o eléctrica. Y segundo, por que el potencial eléctrico se define
en términos de la energía potencial eléctrica, y debido a las similitudes
entre fuerzas eléctricas y gravitacionales, es conveniente desarrollar este
concepto recordando lo que ya conoce acerca de la energía potencial
gravitacional.
1 El watt es una unidad de potencia “mecánica”, como recordará de 3º medio. El concepto de potencia puede
generalizarse para incluir la energía eléctrica. Por ejemplo, una ampolleta rotulada como de 100 W, consume 100 J
de “energía eléctrica” por segundo.
Potencial Eléctrico
2
Concepto General de Trabajo
Supongamos que una fuerza constante F actúa sobre una partícula
que se desplaza, a lo largo de una camino recto, desde un punto inicial i
a uno final f. Consideramos que el punto de aplicación de la fuerza se
mueve con el cuerpo. El vector desplazamiento, que denotaremos por
Δ r , es un vector que va de la posición i hasta la f. Todo esto se muestra
en la figura 1.1.
f
F
θ
r
i
Figura 1.1
Se define el trabajo hecho por la fuerza como:
W = F · r ·cos(θ) .
En la ecuación anterior F representa la magnitud de la fuerza,  r y θ
la magnitud del desplazamiento y ángulo entre desplazamiento y fuerza
respectivamente. El trabajo es una magnitud escalar (representada por
un número real) cuya unidad es el N·m (Newton·metro), que por definición corresponde a un Joule o Julio (J). En símbolos
1 N·m= 1 J
Un caso especial es cuando la fuerza y el desplazamiento de la partícula están en la misma dirección (θ = y cos(θ)= 1) , cuando esto ocurre
W = F ·Δ r .
(1)
Cuando la fuerza y el desplazamiento van en direcciones contrarias
(θ = 180º y cos(θ)=−1) el trabajo es
W =−F · Δ r .
(2)
Por último si la fuerza y el desplazamiento son perpendiculares, es decir
θ =90º , entonces cos(90º)=0 y el trabajo hecho por la fuerza es cero.
Si la fuerza varía, a medida que la partícula se mueve a través de una
trayectoria o la trayectoria no es rectilínea, el trabajo tiene una definición mas compleja. En este caso la idea básica de la definición es aproximar el trabajo hecho de tal manera que podamos usar la definición
para el caso “fácil”. Veamos como se hace esto.
Imaginemos que en cada punto de una trayectoria curva, llamada α
en la figura 1.2, actúa una fuerza sobre una partícula que se desplaza a
través de ella, que puede variar tanto en dirección como en magnitud.
Potencial Eléctrico
3
En la figura 1.2 se ilustra esta idea con vectores fuerza F1 ,... F5 dibujados en distintos puntos de la trayectoria.
F3
α
F2
F1
F5
f
F4
i
Figura 1.2
Para definir el trabajo en este caso, podríamos considerar cierto número de puntos sobre la curva α y “aproximarla” por desplazamientos
rectos entre los puntos. Por ejemplo, suponga que tomamos seis puntos
sobre la curva, relativamente equiespaciados. Nombramos al punto inicial como 1, al final como punto 6, y ahora el camino es aproximado por
5 desplazamientos en el sentido que se aprecia en la figura 1.3. Es decir
la curva queda “aproximada” por un “polígono”. A través de cada uno
de los desplazamientos rectos podemos considerar que la fuerza es
aproximadamente constaste e igual al valor que tiene al inicio del
desplazamiento correspondiente.
F3
3
F1
2
θ1
Δ r 21
θ2
Δ r 32
F2
θ3
Δ r 43
F4
4
θ4
F5
Δ r 54
θ5
5
f=6
Δ r 56
i=1
Figura 1.3
Las aproximaciones hechas pueden parecer bastante burdas, pero si
aumentásemos el número de divisiones, los caminos o desplazamientos
rectos en que se divide la curva serían relativamente “cortos”, en
conjunto se parecerían mejor a la curva y la aproximación hecha para la
fuerza en los tramos sería también razonablemente buena.
Un vector tal como Δ r21 representa un desplazamiento entre el punto 1 y 2 y θ1 es el ángulo entre la fuerza y el desplazamiento en este
tramo. De cualquier manera que se defina el trabajo para el caso de una
fuerza no constante y/o trayectoria curva, este debe coincidir con la de-
Potencial Eléctrico
4
finición que dimos para el caso de una fuerza constante y trayectoria
recta. Por lo tanto el trabajo hecho por la fuerza a través de la trayectoria (curva) que va de 1 a 2, que llamamos W 1 , debe ser aproximadamente igual a F 1 Δ r 21 cos(θ1 ) , que es el trabajo que se haría a través de
la trayectoria aproximada y recta que va de 1 a 2, puesto en símbolos
W 1≈ F 1 Δ r 21 cos(θ1 ) .
Lo mismo es cierto para los otros tramos. El trabajo total W hecho por
la fuerza sobre una partícula que se mueve de i a f es
W =W 1 +W 2 +W 3+W 4 +W 5 .
De acuerdo a la discusión anterior, este se aproxima como
W ≈ F 1 Δ r 21 cos(θ1 )+F 2 Δ r 32 cos(θ2 )+F 3 Δ r 43 cos(θ 3 )+
F 4 Δ r 54 cos(θ4 )+F 5 Δ r 56 cos(θ5 ) .
Si tomamos muchas mas divisiones, digamos unas N =100 , la aproximación será mucho mejor. En realidad la única forma en que se puede
definir el trabajo en este caso es mediante este proceso de división del
camino en un número N cada vez mayor de partes, y estudiando a que
valor “tiende” la suma de “aproximaciones” obtenida cuando N se hace
muy grande. Este proceso de aproximación define un número llamado
límite y se dice que el trabajo es el “límite” de estas aproximaciones
cuando N se hace muy grande
W = lim ( F 1 Δ r 21 cos(θ1 )+⋯+F N Δ r N , N +1 cos(θ N ) ) .
N →∞
No debe asustarse por la ecuación anterior. Jamas calcularemos tales
límites. Solo debe quedarse con la idea de que, en este caso, se define el
trabajo usando un método cuya esencia es aproximar la trayectoria por
segmentos rectos en un número cada vez mayor.
El concepto de trabajo está muy relacionado con el de energía. Recuerde que el año pasado definimos, informalmente, la energía de un
cuerpo como una medida de su capacidad para realizar trabajo. En
particular exploramos el concepto de energía cinética como aquella que
posee este en virtud de su movimiento. Esta depende tanto de la masa
como de la rapidez2, de tal manera que, por ejemplo, un auto a gran velocidad tiene mayor energía cinética que una mariposa. Piense en el trabajo que estos harían si chocasen con un objeto, ¿quién hará mas trabajo?, ¿quién posee mas energía cinética?
Matemáticamente, si el sistema bajo estudio consiste de una sola
partícula de masa m, o un cuerpo que se comporte como partícula, y rapidez3 v, definimos la energía cinética de la partícula como
2 También del sistema de referencia elegido.
3 Siempre que hablemos de rapidez o velocidad nos referiremos a las cantidades instantáneas, a menos que se
indique lo contrario. En este caso la rapidez (escalar) siempre es el módulo o magnitud de la velocidad (vector).
Esto no es cierto para las cantidades promedio.
Potencial Eléctrico
5
1
K = mv² .
2
Si el sistema consiste de muchas partículas 1, 2,..., N, la energía cinética
del sistema se define como la suma de las energías cinéticas de cada
una de sus partículas.
Energía Potencial Gravitacional
Vamos ahora al concepto de energía potencial gravitacional. Consideremos primero un objeto de masa m cerca de la superficie terrestre.
Supongamos que la masa se mueve en una trayectoria recta desde los
puntos i a f como se muestra en la figura 1.4. Como el punto f está a
y
f
yf
mg
yi
i
x
Figura 1.4
una altura mayor que el i, a medida que el objeto se desplaza no solo
puede actuar la gravedad, si no que eventualmente una fuerza externa
podría ser la responsable de que la masa gane altura (imagínese levantando un libro). Existen muchas maneras en que una fuerza externa
puede ser ejercida para llevar el objeto a través de esta trayectoria, por
lo tanto el trabajo que hace la fuerza externa depende de los detalles del
movimiento. Como la fuerza de gravedad en este caso es siempre de
magnitud mg, apuntando hacia abajo, y el desplazamiento es en dirección contraria a la fuerza de gravedad, el trabajo que esta hace, de
acuerdo a la ecuación 2, es independiente de los detalles del movimiento y con un valor de
g
Wi → f =−F ·Δ r =−mg ( y f −y i ) .
Si la masa baja en vez se subir, el punto final estaría a una altura menor que el inicial. En este caso la magnitud del desplazamiento sería
Δ r = y i−y f . Como fuerza y desplazamiento tienen la misma dirección,
Potencial Eléctrico
6
usando la ecuación 1, determinamos que el trabajo hecho por la gravedad es
g
Wi → f = F ·Δ r =mg (y i −y f )=−mg ( y f −y i ) ,
es decir obtenemos el mismo resultado que antes, salvo que ahora el
trabajo es positivo. En cualquier caso siempre es cierta la expresión
g
W i → f =−mg (y f −y i) .
(3)
Ahora si elegimos el camino mostrado en la figura 1.5, el trabajo hecho por la gravedad de nuevo es el mismo, pues el punto f se encuentra
a la misma altura del suelo que el punto f de la figura 1.4. Para mostrar
esto último supongamos que el camino se aproxima por un camino hecho de desplazamientos verticales y horizontales. El trabajo hecho por
la gravedad a lo largo del camino será aproximadamente el trabajo hecho por la gravedad a lo largo del camino segmentado. Note que la
fuerza de gravedad apunta hacia abajo, por lo tanto no hace trabajo
cuando la masa se mueve a través de los segmentos horizontales. Las
partes verticales del camino aproximado son las únicas que contribuyen
al trabajo y han sido numerados del 1 al 10. Por lo tanto si llamamos
W 1 al trabajo hecho durante el desplazamiento a lo largo del segmento
1, W 2 al hecho durante el segmento 2, etc, obtenemos
g
W i → f ≈W 1 +W 2 +W 3 +W 4 +W 5+W 6 +W 7 +W 8 +W 9 +W 10 . (4)
y
yf
f
10
9
4
3
5
8
6
7
2
yi
1
mg
i
x
Figura 1.5
Si los segmentos verticales tienen longitud l 1 ,⋯ ,l10 , el trabajo que
hace la gravedad cuando la masa parte de i a través del segmento 1 es
Potencial Eléctrico
7
W 1 =−mgl 1 , para el segmento 2 es W 2 =−mgl 2 , etc. Note que para el
segmento 3 el trabajo es W 3 =−mgl 3 y para el segmento 6 W 6 = mgl 6 ,
como los segmentos 3 y 6 tienen la misma longitud W 3 =−W 6 , lo
mismo ocurre con los segmentos 4 y 5, por lo que estas contribuciones
se cancelan en la suma. Fijándonos en la figura determinamos los signos del trabajo en los segmentos verticales, hacemos las cancelaciones
adecuadas y obtenemos para el trabajo
W ≈W 1 +W 2 +W 7 +W 8+W 9 +W 10
=−mgl 1 −mgl 2 −mgl 7 −mgl 8 −mgl 9−mgl 10
=−mgl(l1 +l 2+l 7 +l8 +l 9+l 10 )
=−mg (y 2 −y 1 ).
Si dividimos el camino en segmentos cada vez mas pequeños, el resultado no es solo aproximado si no exacto (se requiere un “proceso al
límite” como el descrito anteriormente). Concluimos que para cualquier
trayectoria que unos dos puntos a alturas y i e y f el trabajo hecho por
la gravedad sobre la masa está dado por la ecuación 3, justamente lo
que queríamos mostrar.
Una fuerza para la cual el trabajo que hace sobre un cuerpo, cuando
este se mueve de un punto i a f, es independiente de la trayectoria se
llama una fuerza conservativa. Cada vez que una fuerza es conservativa
se puede definir el concepto de energía potencial de un sistema.
Por razones matemáticas solo puede definirse en un principio la diferencia de energía potencial gravitacional entre los puntos i y f,
Δ U =U f −U i , como
g
Δ U =−W i → f =mg (y f −y i) .
(5)
Es decir la diferencia de energía potencial que experimenta la masa
cuando va de los puntos i a f se define como el negativo del trabajo que
hace la gravedad cuando esta se mueve a través de cualquier trayectoria
que une estos puntos. Esta cantidad está bien definida, pues este trabajo es independiente de la trayectoria a través de la cual se mueve la
masa.
Casi siempre en física clásica se desea trabajar con funciones de la
posición o el tiempo. Veremos que será útil definir una función energía
potencial de la masa, que nos entregue información mas detallada del
sistema que el simple valor de una diferencia en particular. El procedimiento anterior solo define la diferencia entre dos valores de esta función, que llamaremos U. Consideraremos que U ( y) representa el valor
de la energía potencial de una masa a una altura y. Obtener una función U, quiere decir en encontrar U ( y) para una posición y arbitraria.
Para esto elegimos primero un valor arbitrario para U i = U ( y i ) , que es
la energía potencial de la masa en una posición arbitrariamente elegida
y i , siendo esta última, también arbitrariamente elegida, como la posición del suelo, y i=0 en el sistema de coordenadas mostrado en la figura 1.4. Segundo, consideramos un valor cualquiera de y f , que llamare-
Potencial Eléctrico
8
mos en forma mas general y, al que le corresponde el valor de la
energía potencial U ( y) . De acuerdo a lo anterior, la ecuación 5 queda
U ( y)=U i +mgy .
(6)
Si bien las elecciones anteriores son arbitrarias, lo que es físicamente
medible es el trabajo que hacen las fuerzas conservativas, y esto matemáticamente siempre se asocia a una diferencia de energía potencial. Si
se elige cualquier valor para U i se obtiene siempre el mismo valor que
antes para la diferencias. Por ejemplo la energía potencial de la masa
una altura y 1 sería U ( y 1 )=U i+mgy 1 y a una altura y 2 sería
U ( y 2 )=U i+mgy 2 . Si calculamos la diferencia de energía potencial
obtenemos Δ U =U (y 2 )−U (y 1 )= mg ( y 2− y 1) . O sea recuperamos la
ecuación 5, independiente del valor de U i .
Recuerde que cuando uso el concepto de energía potencial para resolver problemas en mecánica, siempre hacia uso de la ecuación de
conservación de la energía Δ E = Δ U +Δ K =0 , es decir siempre uso en
el fondo la diferencia de energía potencial. Según vimos U i no afecta el
resultado al momento de calcular las diferencias mediante la ecuación
6, por lo que podemos considerar que esta 0. O sea si la masa está en el
suelo consideramos que la energía potencial es 0. Esta elección no altera la física y simplifica las ecuaciones. Por lo tanto la energía potencial
de una masa m a una altura y es:
U ( y)=mgy .
(7)
En resumen, la energía potencial de una masa m, puesta en un punto
P del espacio, es igual al negativo del trabajo que hace la fuerza conservativa cuando el objeto se mueve de un punto inicial de referencia, el
cual puede considerarse como un punto de energía potencial 0, hasta el
punto P. La diferencia de energía es independiente de la elección de
este “punto cero”.
Conservación de la Energía
Es importante recordar el principio de conservación de la energía mecánica. La energía mecánica se un sistema o una partícula, E, se define
como
E =U +K ,
(8)
donde K y U representan las energías cinética y potencial del sistema o
partícula.
En el caso de una partícula de masa m, en el campo gravitacional de
la tierra, U representa la energía gravitacional de esta4. Como dijimos la
fuerza de gravedad es conservativa y en este caso se define la diferencia
de energía potencial de la partícula cuando se mueve entre dos puntos i
g
y f como Δ U =U f −U i =−W i → f . Si solamente las fuerza de gravedad
4 En realidad es correcto decir que se trata de la energía potencial del sistema masa-tierra
Potencial Eléctrico
9
hace trabajo sobre la partícula, entonces de acuerdo con el teorema del
g
trabajo-energía5, (vea el texto de 3º medio) Δ K = K f −K i =W i → f . Resultando que
Δ E = E f −Ei
=(U f +K f )−(U i+K i )
=(U f −U i )+(K f −K i )
= Δ U +Δ K
=−W ig→ f +W ig→ f
= 0.
La energía mecánica de la partícula se conserva 6. Cada vez que la partícula pierde una cierta cantidad de energía cinética, gana una cantidad
equivalente de energía potencial y viceversa.
Como veremos, al igual que las fuerzas gravitacionales, las fuerzas
eléctricas también son conservativas. Cada vez que esto sucede y
siempre que un sistema de partículas en movimiento en un campo
eléctrico o gravitacional pueda considerarse como una partícula, tal
como la tierra moviéndose alrededor del sol, o una carga dentro de un
condensador, la energía mecánica del sistema se conserva.
No todas las fuerza son conservativas, y no siempre se conserva la
energía mecánica. Por ejemplo cuando un automóvil se desliza frenando en una calle la energía cinética se pierde. En este caso la fuerza
de roce actúa sobre los neumáticos del automóvil y es la que permite
que el auto frene quitándole energía cinética, esta energía no se
transforma en enérgica potencial gravitacional, si no que se transfiere a
la calzada y los neumáticos aumentando su temperatura. El trabajo hecho por la fuerza de roce en este caso es complejo y depende en general
de los detalles del proceso de frenado.
2. Energía Potencial Eléctrica
Ahora estudiaremos sistemas de cargas desde el punto de vista de la
energía. La situación que nos preocupa es electrostática, es decir, existe
un sistema de cargas fuente que genera un campo en el espacio y que se
mantienen inmóviles en un sistema de referencia inercial. Por lo tanto,
en una situación electrostática el campo eléctrico es constante (no
cambia en el tiempo). Puesta en este campo tenemos una carga q en
movimiento y cuyo comportamiento nos interesa estudiar. Las fuerzas
eléctricas solo hacen trabajo sobre la carga q, pues es la única que se
mueve.
Las fuerzas eléctricas son conservativas, por lo tanto puede definirse
el concepto de energía potencial tal como en el caso gravitacional en
términos del trabajo hecho por ellas. Antes de enunciar una definición
general, veamos algunos casos donde pueda calcularse el trabajo en
forma relativamente sencilla.
5 Puede no ser cierto para un sistema de partículas. Piense en un gas que se comprime, sobre el gas se hace un
trabajo, W ≠0 , pero el sistema no se mueve como un “todo”, por lo tanto Δ K =0 . En decir Δ K≠W .
6 Se conserva la energía del sistema masa-tierra. Cuando una masa cae, esta también atrae a la tierra y esta
aumenta su energía cinética, aunque este efecto es totalmente despreciable.
Potencial Eléctrico
10
Energía de una Carga en un Condensador
Comenzaremos analizando un caso análogo al de la masa moviéndose cerca de la superficie terrestre: un condensador de placas paralelas, y
el campo uniforme y constante que existe en la región entre placas. Tenemos una situación en que las placas poseen cargas inmóviles y uniformemente distribuidas, es decir ellas son las cargas fuentes del
campo, de acuerdo con el esquema general discutido al inicio de esta
sección.
Supongamos que una carga q es puesta en este campo, como se
muestra en la figura 2.1. La fuerza sobre una carga moviéndose en este
campo eléctrico uniforme será siempre la misma. De acuerdo con el
sistema de coordenadas mostrado en la figura, la fuerza estará dirigida
en la dirección y positiva o negativa dependiendo del signo de la carga.
Calculemos el trabajo que hace la fuerza eléctrica sobre la carga cuando
va de i a f a través de los caminos mostrados en la figura (es costumbre
hablar del trabajo hecho por el campo eléctrico para referirse al trabajo
hechas por la fuerza eléctrica, así que usaremos está expresión a menudo).
y
++++++++++++++++++++++++
f
yf
E
yi
q
i
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
Figura 2.1
Por analogía a lo discutido para el caso de la gravedad el trabajo hecho por la fuerza eléctrica a medida que la carga se mueve de i a f no
depende del camino. Ya sea que la carga se mueva por el camino curvo
o el camino hecho por un segmento vertical y horizontal, el trabajo hecho por el campo eléctrico, E , es el mismo. El razonamiento que nos
permitiría concluir esto es análogo al de la página 6 y 7 de esta guía, por
lo tanto en este caso las fuerzas eléctricas son conservativas.
Asumamos para simplificar que q es positiva y calculemos. Es más
fácil evaluar el trabajo a través del camino “horizontal-vertical”.
Cuando la carga se mueve por el tramo horizontal del camino el trabajo
hecho por el campo eléctrico es cero, pues la fuerza sobre la carga, que
apunta hacia abajo, es perpendicular al desplazamiento. Cuando la
carga se mueve a través del camino vertical, la magnitud de la fuerza
sobre ella es qE y está dirigida hacia abajo, mientras que la magnitud
del desplazamiento es y f −y i y se dirige hacia arriba. Fuerza y desplazamiento tienen direcciones contrarias y, de acuerdo con la ecuación 2,
el trabajo hecho por el campo eléctrico es igual a:
Potencial Eléctrico
11
e
W i → f =−qE (y f −y i) .
(9)
La diferencia de energía potencial eléctrica de la carga cuando se mueve
entre estos dos puntos se define, tal como en el caso de la gravedad,
como el negativo del trabajo hecho por la fuerza conservativa, es decir
e
Δ U =U f −U i =−W i → f = qE(y f −y i) .
(10)
En el contexto de la electricidad, usaremos U para la energía potencial
eléctrica de una carga o sistema de cargas. Igual que el caso de la gravedad solo es posible definir, en términos del trabajo, una diferencia de
energía potencial. Si queremos hablar de la energía potencial de la
carga en una posición y determinada, debemos elegir un punto
cualquiera en el espacio y asignarle un valor arbitrario a la energía poy
++++++++++++++++++++++++
y
q
E
Ui = 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x
Figura 2.2
tencial de la carga puesta allí. Es conveniente en este caso elegir U i =0
cuando y i =0 , es decir en la placa negativa del condensador tomamos
el cero de energía potencial, tal como se muestra en la figura 2.2. Como
queremos definir la energía potencial de la carga en un punto y
cualquiera, cambiamos en la ecuación 10 y f por y , y U f por U ( y) .
De la ecuación 10
U (y)= U i +qE (y−y i)
= 0+qE (y+0)
= qEy .
(11)
De acuerdo con la ecuación anterior, la energía potencial de una
carga positiva es cero cuando se encuentra sobre la placa negativa y aumenta a medida que aumenta “su altura”, es decir cuando se acerca a la
positiva. El comportamiento es análogo al de las masas. Si soltásemos la
carga q (positiva) desde el reposo esta se moverá en la dirección del
campo. Usando la analogía gravitacional, diríamos que “cae” a la placa
negativa, perdiendo energía potencial. La ecuación 11 es cierta también
cuando es q negativa. La energía potencial es negativa cuando q es negativa, salvo si se encuentra sobre la placa negativa, donde es cero. Una
Potencial Eléctrico
12
carga negativa tiene más energía potencial, cercana a cero, cuando se
encuentra más cerca de la placa negativa y disminuye si se aleja de esta
tomando valores cada vez mas negativos. Una carga negativa inicialmente en reposo se moverá en dirección contraria al campo eléctrico, es decir perderá energía potencial acercándose a la placa positiva.
Como la fuerza eléctrica es conservativa, la energía mecánica de una
carga se conserva. Si una carga pierde energía potencial debe ganar
energía cinética y viceversa.
Ejemplo 2.1. Movimiento de Cargas Usando la Conservación de E
Entre las placas de un condensador el
campo eléctrico es uniforme y de magnitud
E = 4×10 5 N/C . Un protón es lanzado con
una velocidad horizontal inicial de
v= 8×10 5 m/s y parte de la placa negativa
(ver figura). La separación entre las placas es
d =1 cm . ¿Alcanzará el electrón a la placa
positiva?, si no es así, ¿cuál debe ser la mínima velocidad horizontal que debe darse al
protón para que alcance la placa positiva?
inicio
final
O
U i= 0
2
eEx =½ mp v ,
donde m p =1,67×10−27 kg es la masa del
protón. Si resolvemos para x obtenemos
x=
m p v2
.
2 eE
Como e = 1,6×10−19 C , calculamos que
+++++++++++
- - - - - - - - - -
E
U f +K f =U i +K i
U f +0=0+K i
x = 8,35×10−3 m≈8,4 mm ,
x
U f = eEx
Solución: De acuerdo a la ecuación 11, la
energía potencial del protón que se encuentra a una distancia x de la placa es
U ( x)= eEx . Note que la energía potencial es
cada vez mayor a medida que se aleja, es decir el protón pierde energía cinética y gana
potencial. Dicho de otra forma el electrón es
frenado por el campo eléctrico.
La energía mecánica de la carga se conserva. El inicio del movimiento es en la placa
negativa y tomamos el final del movimiento
en la posición x donde el protón quedará en
reposo. Con la notación obvia
U f +K f = U i +K i ,
y de acuerdo con lo explicado K f =0 y
U i = 0 . La ecuación anterior queda
y por lo tanto protón no llega a la placa positiva. Debe aumentarse la velocidad inicial.
La mínima velocidad horizontal que debe
darse al protón es tal que este llega justo a la
placa positiva con velocidad cero, o equivalentemente, con energía cinética cero. Luego
para resolver el problema debemos escoger
como punto final del movimiento la placa
positiva y exigir que K f =0 , y la energía potencial del protón en este punto será
U f = eEd . El punto inicial es el mismo que
antes, por lo que U i = 0 y K i = ½ m p v 2 , solo
que ahora v es una cantidad desconocida.
Usando la conservación de la energía
U f +K f =U i +K i
U f +0=0+K i
2
eEd=½ mp v .
Resolviendo para v, obtenemos
v=
√
2 eEd
5
= 8,8×10 m/s .
mp
Potencial Eléctrico
13
Energía Potencial de Dos Cargas
Consideremos ahora una carga fuente puntual Q en reposo, que por
simplicidad consideraremos positiva, y una carga q positiva que se encuentra en el campo de esta. Esta situación se muestra en la figura 2.3.
Nos preguntamos ¿cuál es el trabajo que hacen las fuerzas eléctricas
cuando la carga q se mueve desde un punto i hasta el punto f?.
q
f
i
Q
Figura 2.3
En este caso no podemos calcular el trabajo tan fácilmente pues la
fuerza varía a medida que la carga q va desde i hasta f. Justamente la
fuerza entre cargas está dada por la ley de Coulomb, que predice una
variación con la distancia como 1/r 2 . Puede demostrarse que el trabajo
hecho por la fuerza eléctrica es independiente del camino entre i y f,
pero es algo difícil de hacer.
Un caso particular es cuando la carga q se mueve en dirección radial,
es decir cuando los puntos i y f se encuentra sobre una recta que pasa
por la posición ocupada por la carga Q, como se muestra en la figura
2.4. Puede mostrase con algo de matemática que el trabajo hecho por la
fuerza eléctrica sobre q es
q
ri
Q
rf
i
F
f
Figura 2.4
W ei → f = k e qQ
(
1 1
−
.
ri r f
)
(12)
Note que si la carga se acerca, es decir si r f es menor
que r i entonces 1/ r i−1/ r f es negativo. Como el producto Qqke es
positivos (ambas cargas son positivas) entonces el trabajo es negativo,
Potencial Eléctrico
14
como debe ser, pues la fuerza es repulsiva y el desplazamiento es en dirección contraria a esta. En general esta expresión es valida para cargas
de cualquier signo.
Ahora si la carga se mueve a través de un camino curvo como el
mostrado en la figura, pero con los mismos puntos inicial y final, podemos mostrar que el trabajo hecho por la fuerza eléctrica sobre la carga q
es el mismo que por el camino radial anterior. Para esto aproximemos
q
i
Q
f
Figura 2.5
el camino curvo por un camino hecho de segmentos curvos circulares y
radiales, como el mostrado en la figura 2.5. La fuerza eléctrica solo tiene
componente radial, por lo tanto el trabajo solo es distinto de cero
cuando la carga se mueve a través de los segmentos radiales. En los
segmentos circulares del camino la fuerza eléctrica siempre es
perpendicular al desplazamiento a lo largo del camino, el campo generado por Q no hace trabajo cuando la carga q se mueve a través de ellos.
Si gira los segmentos radiales alrededor de la carga Q (en circulo,
respetando las lineas punteadas de la figura) y los pega obtiene un camino recto de i a f, tal como en el caso anterior. Por lo tanto el trabajo a
lo largo del camino curvo será igual al trabajo hecho sobre la carga
cuando se mueve por el camino recto, nuevamente el trabajo estará
dado por la ecuación 12.
En general cuando la carga q se mueve entre una posición i cualquiera, alegada r i de la carga Q, hasta una posición f arbitraria, alejada r f ,
como se muestra en la figura 2.6, el trabajo hecho por las fuerzas
eléctricas sobre q está nuevamente dado por la ecuación 12.
q
f
i
rf
ri
Q
Figura 2.6
Potencial Eléctrico
15
En resumen, el trabajo solo depende de las distancia final e inicial entre q y Q, y no del camino que va de i a f. Esto permite, igual que en el
caso anterior, definir la diferencia de energía potencial entre dos puntos. Definimos la diferencia de energía potencial eléctrica de la carga q, entre los dos puntos i y f como
U f −U i =−W ei → f =−k e qQ
(
1 1
−
.
ri r f
)
(13)
También podemos asignar una energía potencial a la carga q, a partir
de la ecuación 13, en forma análoga a lo que hicimos en los casos anteriores. Esta ecuación muestra que la energía potencial de la carga q,
será solo función de la distancia entre la carga Q y la q, que llamaremos
r. Para encontrar esta función llevamos a cabo el procedimiento usual,
primero elegimos un punto en el que consideraremos que la energía
potencial es cero. Es habitual asignar el cero “en infinito”, es decir consideramos que la energía potencial de la carga q a una distancia muy
grande de Q es cero. Dicho de otra forma consideramos que la carga se
mueve desde “infinito” como punto inicial a una distancia r i muy
grande, hasta un punto final a una distancia cualquiera r =r f de Q. Por
lo tanto ponemos en la ecuación 13 U i = 0 , y U f = U (r) que es la
energía potencial de q cuando está ubicada a una distancia r de Q. Debemos notar que cuando r i es muy grande 1/r i es esencialmente cero.
La energía potencial de la carga q queda
U (r )= U i −k e qQ
1 1
−
ri r
( )
( 1r )
= 0−k e qQ 0−
= ke
.
(14)
qQ
.
r
Note que, de acuerdo con la ecuación 13, U ( r ) es el negativo del
trabajo que hace el campo cuando la carga q se mueve desde muy lejos
(“infinito”) hasta una distancia r de Q.
Podemos decir, de acuerdo a la ecuación 14, que la carga q tiene cero
energía potencial cuando se encuentra “infinitamente alejada” de Q, y
va aumentando a medida que las cargas se acercan, pues ambas son
positivas. En la practica “infinitamente alejadas” significa “muy alejadas”. Note que las fuerzas son repulsivas, por lo que el campo eléctrico
hace un trabajo negativo. Si la cargas parten del reposo, entonces un
agente externo tuvo que hacer un trabajo positivo para acercarlas.
La ecuación 14 es totalmente general, es decir es cierta para cualquier
combinación de cargas de cualquier signo, aunque fue explicada en el
caso de dos cargas positivas. Para dos cargas negativas la conclusión
anterior también es válida: la energía potencial de la carga q seria positiva y disminuye a medida que esta se ubica en regiones cada vez mas
alejadas de Q.
Potencial Eléctrico
16
Si las cargas son distintas, la energía potencial de la carga q es cero en
infinito y se va haciendo cada vez menor, mas negativa, a medida que la
distancia a la carga Q disminuye. La fuerza entre cargas distintas es de
atracción, por lo que el campo eléctrico hace un trabajo positivo a medida que las cargas se acercan. Un agente externo debe hacer trabajo positivo para separar las cargas desde el reposo.
Definición General
Debe remarcase que en los ejemplos anteriores, la energía potencial
se refiere al sistema de dos cargas, o de la carga y el condensador, aunque hemos hablado como si la energía perteneciese solo a la carga q. Es
evidente que si no existen las cargas fuentes, no podríamos hablar del
trabajo hecho por el campo, energía, etc. Una carga aislada no posee
energía potencial, al menos clásicamente. Imagine una carga alejada de
toda influencia, ¿tendría capacidad de realizar trabajo si esta se encuentra en reposo?, por lo tanto ¿tendría energía potencial?
Dijimos al comienzo de esta sección que las cargas fuentes se mantienen fijas en la situación que estamos estudiando, las fuerzas eléctricas solo hacen trabajo sobre la carga q. Si hacemos una definición general del concepto de diferencia de energía potencial entre dos puntos,
debemos justamente asociar este trabajo con esta diferencia. Esta es la
razón de por que habitualmente nos referimos a la energía potencial de
una carga determinada y no del sistema.
Para hacer una definición general necesitamos, tal como en los
ejemplos mostrados anteriormente, que el campo eléctrico generado
por cualquier distribución de cargas fuentes sea conservativo. Esto es
cierto, aunque es mas difícil de mostrar que en los casos simples discutidos antes, así que asumiremos sin mas que cualquier campo
electrostático es conservativo.
Según lo anterior estamos en condiciones de definir la diferencia de
energía potencial de una carga q, entre una posición i y una f, como el
negativo del trabajo que hacen las fuerzas eléctricas cuando la carga q
se mueve a través de cualquier camino de i a f. Matemáticamente
e
Δ U =U f −U i =−W i → f .
(15)
Igual que antes podemos definir la energía potencial de la carga q, y
esta cantidad en general dependerá de la posición de la carga. Dicho de
otro modo la energía potencial es una función de la posición.
Se define la energía potencial de la carga q en el punto P, U P , como
el trabajo que hace el campo sobre q cuando esta se mueve desde “infinito”, el punto inicial y donde elegimos U i = 0 , hasta el punto final P.
Usando la ecuación 5 esto se escribe
e
U P =−W ∞ → P .
(16)
El cero de energía potencial ha sido escogido en forma arbitraria en “infinito”, pero esto dependerá de la situación de interés. Por ejemplo, en
el caso del condensador este fue elegido en la placa negativa.
Potencial Eléctrico
17
3. Potencial Eléctrico
¿Donde reside la energía potencial de una carga puesta en un campo
eléctrico?. Si tenemos una masa unida a un resorte, podemos ver que la
energía está almacenada en el resorte, ya sea que este se halle estirado
o comprimido, pero nuestro escenario ahora es el espacio vacío. Tenemos el mismo tipo de dificultades que surgieron al intentar explicar la
acción a distancia. La solución a este problema es similar: así como el
campo es una propiedad del espacio, la energía potencial se encuentra
almacenada en el campo. Para entender esto se introduce el concepto
de potencial eléctrico.
Se define el potencial eléctrico V en un punto P del espacio,
como la energía potencial que tendría una carga de prueba q, puesta en
ese punto divida por la carga de prueba, es decir
V=
UP
q
(17)
El valor del potencial eléctrico es independiente de la carga q, que solo
ha sido usada para definirlo. Es decir el potencial eléctrico es una propiedad del espacio que rodea a las cargas que generan el campo (fuentes) y solo depende de estas.
Es inmediato de la ecuación 17 que la relación entre potencial eléctrico de la carga q y el potencial es
U P = qV .
(18)
Si conocemos el potencial en un punto P, es simple determinar la
energía potencial que tendrá una carga q cualquiera cuando es puesta
en este punto.
La diferencia de potencial entre dos puntos i y f del espacio es simplemente Δ V = V f −V i . La relación entre diferencia de potencial y diferencia energía potencial de una carga que se mueve entre i y f es, de
acuerdo a la ecuación 18
ΔU =qΔV .
(19)
La unidad de potencial eléctrico tiene dimensiones de energía divida
por carga. En el SI esto corresponde a Joule sobre Coulomb, unidad que
es llamada volt7 (V), equivalencia que podemos escribir
1 volt = 1 V≡1 J /C .
(20)
Usaremos la letra V para denotar al potencial eléctrico, en itálica, y la letra V, no itálica, para la unidad volt. A menudo la diferencia de potencial o el potencial es llamado voltaje. Otro nombre común para esta
magnitud es tensión eléctrica.
7 El nombre castellano es voltio.
Potencial Eléctrico
18
Podemos también pensar el potencial eléctrico de la siguiente manera: la energía potencial de la carga en P es el negativo del trabajo que
hace el campo eléctrico cuando esta se mueve desde el punto de
energía potencial de referencia cero, usualmente infinito, hasta P, por lo
tanto el potencial es el negativo de este trabajo por unidad de carga.
Como el potencial eléctrico fue definido en términos de la energía
potencial eléctrica, este tampoco es una cantidad “absoluta”: solo las
diferencias de potencial son medibles y físicamente significativas. Al definir el potencial a partir de la energía potencial, asumimos el mismo
punto de referencia o punto de potencial cero.
Potencial en el Condensador de Placas Paralelas
De acuerdo con la situación mostrada en la figura 2.2, la energía potencial de una carga q en una posición y, medida desde la placa negativa, está dada por la ecuación U (y)= qEy . Según la definición, el potencial eléctrico en todos los puntos situados en la posición y será:
V (y)=
U
= Ey .
q
(21)
De acuerdo a lo anterior el potencial solo depende de y, de tal manera
que todos los puntos situados en y=0 , es decir sobre la placa negativa
están al mismo potencial. A este número le llamaremos el potencial de
la placa negativa V − = 0 . Análogamente todos los puntos sobre la placa
positiva tienen el mismo potencial, que llamaremos V + . Si llamamos d
a la separación entre las placas, la ecuación 21 implica que V + = Ed . La
diferencia de potencial entre la placa negativa y la positiva es:
Δ V C = V +−V − = Ed −0= Ed .
(22)
Esta cantidad es llamada el voltaje del condensador o voltaje a través de
las placas y es una cantidad positiva. La ecuación 22 además enseña la
relación entre la magnitud del campo eléctrico dentro del condensador
y el voltaje de este. Escrita de otra forma
E=
ΔVC
.
d
(23)
La ecuación 23 nos indica que el campo eléctrico puede medirse en
volt/m. Recuerde de la guía 2 que el campo tiene como unidades del S.I.
al N/C, por lo tanto
1 V/m = 1 N/C .
De acuerdo con la ecuación 21, el potencial eléctrico varía linealmente desde la placa negativa, donde es cero, y va creciendo hasta llegar a
la placa positiva donde es Ed , situación que se muestra en la figura 3.1.
El campo eléctrico se dirige desde la placa positiva a la negativa, por lo
Potencial Eléctrico
19
que podemos decir que el campo se dirige desde una zona de potencial
“alto” (la placa positiva) a una zona de potencial “bajo” (la placa negativa). Este resultado es bastante mas general y se cumple para cualquier
campo electrostático.
V−= 0
E
++++++++++++++++++++++++
V+= 0
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
V
y
y =d
y =0
Figura 3.1
El movimiento de cargas en reposo puestas en el condensador de
placas paralelas dependerá del signo de la carga. Ya analizamos esto
desde el punto de vista del campo eléctrico. En términos del potencial
eléctrico, una carga positiva se moverá a zonas de bajo potencial eléctrico (en la dirección del campo). En cambio una carga negativa se mueve
hacia a zonas de alto potencial (en dirección contraria al campo).
Conservación la Energía Mecánica
La conservación de la energía mecánica de una carga moviéndose a
través de un campo eléctrico generado por una distribución estática de
carga es un hecho general, no importa que tan complejo sea el campo
eléctrico.
La energía potencial de una partícula se relaciona con el potencial
por la ecuación U = qV . Luego cuando una carga se mueve a través de
una región donde el potencial cambia, también cambia su energía potencial. Como la energía mecánica se conserva, la energía potencial se
transforma en cinética, de tal manera que la carga puede aumentar o
disminuir su velocidad. Diremos que una carga se mueve a través de
una diferencia de potencial Δ V = V f −V i , cuando parte de un punto i y
llega hasta el punto f. En los ejemplos 3.1 y 3.2 se muestra como puede
Potencial Eléctrico
20
usarse el concepto de potencial y la conservación de la energía para
analizar el movimiento de carga.
El Electrón Volt
De acuerdo a nuestra definición general si una carga q se mueve a
través de una diferencia de potencial, su energía potencial cambia según la ecuación 19, por Δ U = q Δ V . Note que la combinación q Δ V
tiene unidades de energía. Esto permite definir una unidad de energía
que esta bien adapta para el uso a nivel microscópico: el electrón-volt.
Supongamos que un electrón se mueve de un punto inicial i de mayor potencial a un punto f de menor potencial, es decir a través de una
diferencia de potencial Δ V =<0 . La diferencia de energía potencial correspondiente es Δ U = q Δ V , como q=−e el electrón ganará energía
potencial a medida que se mueve a través de esta diferencia de potencial. Si Δ V =−1 V Δ U sera positiva, y diremos que la cantidad de
energía potencial ganada por el electrón es, por definición 1 electrónvolt, unidad que simboliza por eV. La equivalencia entre eV y J es
−19
Δ U = qΔ V =(−e)(−1 V)=1 eV =1,6×10
−19
C⋅1 J/C = 1,6
J.
Ejemplo 3.1. Movimiento a Través de una Diferencia de Potencial
Para generar rayos x es necesario acelerar
electrones a través de un campo eléctrico, o
equivalentemente a través de una diferencia
de potencial. Típicamente esta diferencia es
de unos 50 kV.¿Cual será la energía cinética,
en keV (kiloelectrón-volt), que ganará un
electrón acelerado, desde el reposo, a través
de esa diferencia de potencial?. Convierta su
respuesta a Joule.
Como U = qV , la ecuación de conservación
energía mecánica toma la forma
Solución: Que el electrón se mueva a través
de una diferencia de potencial de 50 kV significa que el electrón se mueve desde un
punto i a un punto f y que
Δ V =V f −V i = 50 kV . No importa cual sea la
trayectoria del electrón, entre los puntos i y f,
disminuirá su energía potencial pues
Δ U =−e Δ V , y ganará energía cinética de tal
manera que su energía mecánica se conserva.
Representamos la situación en la figura siguiente
K f −e V f =−eV i ,
final
K f =¿?
inicio
Ki = 0
e-
eΔ V = 50 kV
Vi
Vf
K f +U f = K i +Ui
K f −eV f = K i −eV i .
Como K i =0 (el electrón parte desde el reposo) y q =−e , la ecuación anterior queda:
por lo tanto
K f = eV f −eV i
=eΔV
= e⋅50 kV
= 50 keV .
Para convertir a Joule debemos usar la
equivalencia 1eV =1,6×10−19 J . Usando el
factor de conversión adecuado, obtenemos
50 keV = 50×103 eV ·
1,6×10−19
= 8×10−15 J .
1eV
Potencial Eléctrico
21
Ejemplo 3.2.
Las placas de un condensador tienen un
área de A = 25cm2 y la separación entre las
placas es de d =1 cm . El condensador es
cargado con 4 nC (esto quiere decir que una
placa se carga con +4 nC y la otra con
−4 nC ).
a) ¿Cuál es el voltaje entre las placas?
b) Si un electrón es puesto en reposo a mitad de camino entre la placa positiva y la placa negativa. ¿Hacia que placa se dirigirá y
con que rapidez alcanzara la placa?
Solución: De acuerdo con la guía 2, la magnitud del campo entre las placas es
E=
Q
ϵ0 A
−9
4×10 C
−12
(8,85×10 C/Nm2 )(2,5×10−5 m2 )
7
=1,81×10 N/C .
=
De acuerdo con la ecuación 22
Δ V C = Ed
=(1,81×10 7 N/C)(10−2 m)
en vez de dibujar el condensador solo se hubiese indicado la dirección en que crece el
potencial?. No debe confiar que en las pruebas siempre se dibujen las cargas fuentes del
campo8
Para encontrar la rapidez del electrón,
cuando llega a la placa positiva hacemos uso
de la conservación de la energía. El punto
inicial del movimiento es el punto medio entre las placas, el final en la placa positiva.
Como el electrón parte del reposo K i =0 , y
en la placa positiva la energía cinética es
K f = ½ me v² , siendo v la rapidez que queremos calcular y m e = 1,67×10−27 kg es la masa
del electrón.
La energía potencial del electrón está dada
por U = qV =−eV , por lo tanto la ecuación
de conservación de la energía queda
U f +K f =U i +K i
−eV f +K f =−eV i +K i
2
−eV f +1/2 m e V =−eV i +0.
Despejando para la rapidez, y recordando
que e = 1,6×10−19 C obtenemos
=1,81×105 V .
E
final
inicio
O
v=
d
U i =−eE
2
√
++++++++++++++++++++
8 Nota de Lorena Lastra ;-)
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
Para resolver la parte b, consideremos la figura a final de este ejemplo.
Como el electrón parte del reposo y el
campo es uniforme en dirección hacia la izquierda, la fuerza será constante y será ejercida hacia la derecha, según F =−e E , por lo
tanto el electrón se moverá hacia la placa positiva. O alternativamente podríamos decir
que se mueve de una zona de potencial bajo
a una zona de potencial alto. Considerando
el movimiento desde el punto de vista de
conservación de la energía mecánica el
electrón se moverá perdiendo energía potencial, pues si parte del punto medio y llega al
aplaca positiva Δ V >0 y Δ U =−e Δ V <0 ,
ganando energía cinética en el proceso. El
electrón es acelerado a través de Δ V
En análisis anterior puede parecer demás.
Es obvio que por atracción de cargas
opuestas el electrón, negativo, se moverá hacia la placa positiva. ¿que hubiese pasado si
Dirección de aumento
del potencial eléctrico
x
U f =−eE d
e ΔV C
6
= 4,2×10 m/s .
m
Potencial Eléctrico
22
Potencial de una Carga Puntual
La energía potencial de una carga q, puesta en un punto P, a una
distancia r de una carga Q está dada por la ecuación 14. Por lo tanto el
potencial eléctrico en P generado por la carga Q es:
V (r )=
U (r )
Q
= ke .
q
r
(24)
La ecuación anterior ilustra una de las características del potencial
eléctrico: solo depende de la carga fuente Q, no de la carga de prueba q.
El potencial eléctrico se extiende en todo el espacio que rodea a la carga
y decrece con la distancia como 1/r. Note que en la expresión usada
para la energía potencial se ha asumido un una carga de prueba q
tendrá 0 energía potencial en el infinito, consecuentemente V =0 en
“infinito”. Para una carga positiva el potencial es siempre positivo y decrece con la distancia hasta hacerse cero en infinito. Para una carga negativa el potencial es negativo en cualquier punto del espacio y aumenta a medida que la distancia crece hasta hacerse cero en “infinito”. En el
gráfico 3.3 se muestra como varia V con la r, para una carga positiva.
V
V 0 = ke Q / r0
V0/ 2
V0/ 3
V0/ 4
r0
2 r0
3 r0
4 r0
r
Figura 3.2: Relación de proporcionalidad inversa entre V y
r para una carga puntual positiva.
En términos imprecisos, si el potencial mide la influencia que tiene
una carga o sistema de cargas, es natural elegir el cero de potencial en
infinito, pues la “influencia” de la carga decrece con la distancia. Esto se
ve claramente en la figura 3.3, el potencial disminuye acercándose a
cero con el aumento de la distancia a la carga fuente. Cuando r tiende a
cero 1/r crece y potencial se hace muy grande, la gráfica se acerca al eje
V, la “influencia” de la carga es grande.
Potencial Eléctrico
23
Cuando se habla de la diferencia de potencial entre un punto ubicado
a una distancia r i y uno a una distancia r f se habla de simplemente de
V f −V i . De la ecuación 24
Δ V = V f −V i = k e Q
(
1 1
−
.
r f ri
)
(25)
Ejemplo 3.3.
Si una pequeña esfera de poliestireno, digamos de 0,5 cm de diámetro es cargada por
frotamiento, esta adquiere una carga del
orden de +10−9 C (nanocoulomb).
a) ¿Cual será el potencial eléctrico a una
distancia de unos 20 cm de la esfera?
b) ¿Cuál será la diferencia de potencial entre un punto (inicial) ubicado a 20 cm y uno
ubicado a 40 cm (final).
Solución: Como las dimensiones de la esfera (diámetro) son pequeñas comparadas con
la distancia donde se observa el potencial,
puede ser considerada como una carga puntual. El potencial eléctrico a una distancia de
20 cm se calcula usando la ecuación 24
V (20 cm)=(9×109 Nm²/C 2)
(10−9 C)
= 45 V .
(0,2 m)
(10−9 C)
V (40cm)=(9×10 Nm²/C )
= 22,5 V .
(0,4 m)
9
2
También podríamos haber razonado de la siguiente forma: en el caso de la carga puntual
positiva el potencial es inversamente proporcional a la distancia, si esta se duplica, el
potencial se divide en dos, por lo tanto
V (40cm)=
V (20 cm)
= 22,5 V .
2
La diferencia de potencial es
Δ V =V (40cm)−V (20cm)=−22,5 V .
También puede usarse la ecuación 25 para
calcular la diferencia de potencial
Para calcular lo pedido en la parte b) podemos calcular el potencial a 40 cm de la carga
y calcular la diferencia de potencial
Δ V =9×109 · 10−9
1
( 401cm − 20cm
)=−22,5 V .
Potencial de un Sistema de Cargas Puntuales
Para encontrar el potencial eléctrico en un punto P del espacio que
rodea a varias cargas puntuales, debemos considerar la definición general dada por la ecuación 17. Para simplificar, supongamos que tenemos
tres cargas, como las mostradas en la figura 3.3.
q1
r1
q
r2
q2
La carga es
traída de
“infinito”
P
r3
q3
Figura 3.3
Potencial Eléctrico
24
Según la definición general de potencial eléctrico, considerando el
cero de energía potencial en “infinito”, el potencial P es la energía potencial que tendría una carga de prueba q puesta el punto divida por la
carga de prueba: V P =U P / q . Pero U P es igual al negativo del trabajo
que hacen las fuerzas eléctricas sobre la carga q cuando es traída de “ine
finito” hasta P, o sea U P =−W ∞ → P . El trabajo total hecho sobre q es
e
igual a la suma del trabajo hecho por la carga 1, W 1 , el hecho por la
e
e
carga 2, W 2 y el trabajo hecho por la carga 3, W 3 , cuando la carga es
traída desde “infinito” a P. O sea
e
e
e
e
e
e
e
U P −W ∞ → P
W 1 +W 2 +W 3
W1 W2 W3
.
VP=
=
=−
=−
−
−
q
q
q
q
q
q
(26)
e
Pero −W 1 es igual a la energía potencial eléctrica que tendría la carga
q si solamente la carga q1 estuviese presente. Llamaremos U 1 a esta
energía. De acuerdo a la ecuación 14
q q1
.
r1
(27)
q q2
r2
q q3
−W e3 =U 3= k e
,
r3
(28)
−W e1 = U 1 = k e
Por razones análogas
e
−W 2 =U 2= k e
Reemplazando las ecuaciones 27 y 28 en la 26 obtenemos
V P = ke
q1
q2
q3
+k e +k e .
r1
r2
r3
(29)
De acuerdo a la ecuación anterior, podemos pensar que cada carga
contribuye al potencial eléctrico en P en forma independiente de las demás, pues cada uno de los términos de la suma es el potencial eléctrico
que se generaría si solo la carga correspondiente estuviese presente.
La generalización a un sistema de N cargas es obvia: la suma solo tiene mas términos
V P = ke
q1
qN
+⋯+k e
.
r1
rN
(30)
En la ecuación 30 r 1 ,..., r N representan las distancias entre las N cargas
y el punto P.
Potencial Eléctrico
25
Ejemplo 3.4. Un Problema Típico
Una carga −q y otra de 2 q , se encuentran separadas por una distancia a. Las
cargas se encuentran dispuestas sobre una
recta que coincide con el eje x, tal como se
muestra en la figura. ¿En qué punto de la linea que une las cargas el potencial es cero?
2q
-q
V (x )= k e
Igualando el potencial a cero, obtenemos una
ecuación para la posición x en la recta, y entre las cargas, donde el potencial es cero
0=k e
x
O
a
Solución: Llamemos x a la posición de un
punto cualquiera entre cargas. Como el punto se encuentra a la izquierda de la carga 2 q ,
la distancia entre la carga y el punto es
simplemente x. La distancia entre el punto y
la carga −q es a−x . Luego el potencial en
el punto es
2q
q
−k e
.
x
a−x
2q
q
−k e
.
x
a−x
Simplificada la ecuación queda
x = 2(a−x ) ,
que al ser resuelta nos da
x=
2a
.
3
Ejemplo 3.5.
Calcule el potencial en el punto P, generado por las cargas que se muestran en la figura.
1,0 nC
P
Solución: El potencial eléctrico es la suma
de los potenciales que resultarían de cada
una de las cargas individuales, según la ecuación 30. Para usar esta ecuación se necesita
conocer las distancias entre cada carga y el
punto P. Dos de ellas están indicadas en la figura y la distancia entre la carga de 5,0 nC y
el punto P, puede calcularse usando el teorema de Pitágoras. El cálculo resulta
7 cm
V P = ke
3,0×10−9 C
1,0×10−9 C
+k e
0,07 m
0,04 m
−9
5,0×10 C
+k e
3,0
nC
4 cm
5,0
nC
√ (0,04 m)2+(0,07 m)2
= 1,2×103 V .
4. Superficies Equipotenciales
Consideremos una carga positiva Q. El potencial eléctrico en un punto del espacio solo depende de r, de acuerdo con la ecuación 24, por lo
tanto el potencial eléctrico en puntos que están a una misma distancia
de la carga fuente es el mismo. Podemos dibujar la situación marcando
todos los puntos que están al mismo potencial, es decir a una misma
distancia r de la carga obteniendo en este caso un círculo, lo mismo podemos hacer para varias distancias obteniendo un conjunto de círculos,
como se muestra en la figura 4.1. Luego todos los puntos de estos círculos están al mismo potencial. En realidad la figura es una representa-
Potencial Eléctrico
26
ción bidimensional de una situación tridimensional, puntos que están a
un mismo potencial se encuentran sobre superficies esféricas. Estas superficies son llamadas superficies equipotenciales, o simplemente equipotenciales. Una carga puesta en cualquier punto de una misma equipotenciales tienen la misma energía potencial, pues U=qV .
+
Figura 4.1
Las equipotenciales sirven para representarnos el potencial eléctrico
de una distribución de cargas, tal como las líneas de campo sirven para
representarnos el campo eléctrico. En la figura 4.2 se muestra el diagrama de equipotenciales y lineas de campo para el caso de dos cargas
distintas. En este caso las superficies equipotenciales tienen formas mas
complejas que las de la carga puntual. Para hacerse una idea de las
equipotenciales en este caso, debe rotar mentalmente la figura tomando
como eje la linea recta vertical que en ella se muestra.
-
+
Figura 4.2
Potencial Eléctrico
27
El campo eléctrico debe ser siempre perpendicular a las equipotenciales, pues cuando una carga de prueba se mueve a través de ella, por
cualquier camino, su energía potencial no cambia. Recuerda que la diferencia de energía potencial se define en términos del trabajo hecho por
el campo, si no hay cambio en la energía potencial, significa que el
campo no trabaja sobre la carga. Lo anterior es posible solamente si la
fuerza ejercida por el campo es siempre perpendicular al desplazamiento, o dicho de otra forma si el campo es siempre perpendicular a la dirección determinada por la equipotencial.
Tal como se enunció en la sección 3, el campo se dirige de zonas de
mayor a menor potencial, luego el potencial correspondiente a las
distintas superficies equipotenciales debe ir disminuyendo en la dirección del campo.
En el caso de un condensador de placas paralelas, las equipotenciales
en la región central deben ser líneas rectas siempre perpendiculares al
campo y paralelas. Recuerde lo discutido en la sección 3: todos los puntos a una misma distancia de la placa negativa se encuentran al mismo
potencial. En la figura 4.3 se muestra un diagrama de lineas de campo y
equipotenciales para la región considerada, ¿dónde se encuentra la placa negativa?
Figura 4.3
3
5. Preguntas
1.
La energía potencial de dos cargas es
negativa. ¿Se requiere hacer trabajo sobre
las cargas para separarlas?, ¿que ocurre si
la energía es positiva?
2.
Si en un punto del espacio el potencial
es cero, ¿será cierto que el campo allí es
cero?.
Indicación: Considere por ejemplo dos
cargas puntuales.
3.
Una carga q positiva se mueve solo la
bajo la acción de fuerzas eléctricas. Si se
mueve de tal manera que Δ V <0 ,
a) ¿qué ocurra con la energía potencial de la carga?.
b) ¿Y la energía cinética?
4.
Un electrón se mueve a través de un
punto i a un punto f, solo bajo la influencia de la carga negativa que se muestra en
la figura
a) ¿la energía potencial aumenta o
disminuye?
b) ¿que ocurre con la energía cinética?
f
i
5.
-
En un texto de física dice “la energía potencial puede pensarse como una cantidad que mide el grado de interacción de
dos cargas”, ¿Tiene sentido esto?, ¿es razonable considerar que dos cargas alejadas tienen una energía potencial 0?
Potencial Eléctrico
6.
28
De acuerdo con la guía 2, si aumentamos la carga en las placas de un condensador, aumentará la magnitud del campo
eléctrico entre ellas. ¿El voltaje entre las
placas aumentará o disminuirá?.
++++++++++++++++ +
1
2
3
------------------
7.
8.
Supongamos que un condensador de
placas paralelas ha sido cargado hasta
alcanzar una diferencia de potencial Δ V ,
usando una batería. Luego se retira la batería de manera que el condensador retiene la carga.
a) Si la distancia entre las placas se
duplica, ¿que ocurre con la magnitud del campo eléctrico entre las
placas, aumenta, disminuye o queda igual?. Si cambia, calcula por
cuanto cambia (debe responder
algo como: aumenta al doble, el triple, disminuye a la cuarta parte,
etc)
b) Responda lo mismo que en la parte
a) pero cambiando campo por
ΔVC .
En la siguientes figura se muestra el
campo en el interior de un condensador.
Ordene de mayor a menor los potenciales
en los puntos a, b, c, d, e y f.
e
d
b
a
10. Dos estudiantes han dibujado algunas
equipotenciales para la región central de
un condensador y sus respectivos valores.
La distancia entre dos equipotenciales adyacentes es a o a/2. ¿Qué conjunto de
equipotenciales es físicamente posible?
40 V
10 V
30 V
a)
50 V
20 V
10 V
30 V
b)
11. Se han dibujado, correcta o incorrectamente, equipotenciales para una carga
puntual positiva. El cero de potencial se
ha tomado en “infinito”. La distancia entre dos equipotenciales sucesivas es a y la
distancia entre la carga y la equipotencial
mas cercana es a o 2a. ¿Alguna(s) de las
siguientes figuras representa(n) lo que físicamente puede ocurrir?
200V
200V
300 V
300 V
100V
150V
a)
b)
200V
150 V
400 V
300 V
100V
100V
c)
d)
f
c
9.
En la figura se muestran dos protones
son lanzado con la misma rapidez desde
el punto 1 dentro de un condensador. Los
puntos 2 y 3 están a la misma distancia de
la placa negativa. Llamemos Δ U 1 → 2 al
cambio de energía potencial del protón
cuando se mueve por el camino que va de
1 a 2 y Δ U 1 → 3 cuando se mueve de 1 a 3.
a) ¿ Δ U 1 → 2 es mas grande, mas pequeño o igual a Δ U 1 → 3 ?
b) ¿la rapidez del protón en 2, v2 , es
mas grande, mayor o igual a v3 ?
60 V
Potencial Eléctrico
29
6. Ejercicios
Unidad de masa atómica (u):
1 u =1,67×10−27 kg
Permisividad del vacío:
ϵ0 =8,85×10−12 C/Nm²
Magnitud de la carga del electrón:
e = 1,6×10−19 C
Masa del electrón:
9,11×10−31 kg
Masa del protón (aprox.): 1 u
Energía Potencial Eléctrica
1. Una partícula alfa ( q= 2 e ) tiene una
energía cinética de 10 MeV (10⁶ electrónvolt) y se mueve frontalmente, desde muy
lejos, hacia el núcleo de un átomo de oro
(número atómico 82). ¿A que distancia del
núcleo se detendrá la partícula alfa?
2.
Dos cargas puntales se encuentran separadas por 2,0 cm y tiene una energía potencial de −180μ J . La carga total del
sistema es de 30 nC, ¿cuáles son las
cargas?
Potencial Eléctrico
Un electrón se mueve con una rapidez
de 2,8×106 m/s , después de haberse movido 4 cm en linea recta bajo la influencia
de un campo eléctrico su velocidad es
4,5×106 m /s .
a) ¿Cual es la diferencia de potencial
entre el punto final e inicial del
movimiento?
b) ¿Que trabajo hace el campo eléctrico que acelera el electrón?
c) Si el electrón se está moviendo a
través de un campo uniforme dentro de un condensador, ¿cuál es la
magnitud del campo y cual su dirección?. Dibuje la situación.
3.
4.
¿Cuál es la rapidez que adquirirá un
electrón cuando es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial de 100 V?
5.
¿Cual es la rapidez que adquirirá un
protón cuando es acelerado desde el reposo a través de una diferencia de potencial
de -1000 V?
6.
¿Cuál es la diferencia de potencial necesaria para acelerar un He+ (carga e y
masa atómica 4 u), desde el reposo hasta
una rapidez de 2,0×106 m/s ?
7.
Energía de un rayo. Un rayo transfiere
20 C de carga negativa a través de una diferencia de potencial de 1,2×108 V ,
a) ¿Que energía cinética ganaría toda
esa carga si se moviera través de
esta diferencia de potencial?
b) Si pudiera usar esa energía para levantar un automóvil de unos
2000 kg, ¿que tan alto llegaría?
Potencial eléctrico en un condensador
8. Entre las placas de un condensador de
placas paralelas existe una diferencia de
potencial de 250 V, Las placas están separadas por 2 mm, ¿cuál será la magnitud de
la fuerza que actúa sobre una carga de
2μ C moviéndose a través de estas?
9.
Un condensador posee placas paralelas
cuadradas de 2,0cm de lado y se encuentran espaciadas por 2,0 mm. Si el campo
eléctrico dentro del condensador es de
1,0×105 V/m
a) ¿Cuál es la diferencia de potencial
a través del condensador?
b) ¿Cuánta carga hay en las placa positiva?
10. Dos discos metálicos paralelos de 2 cm
de diámetro y espaciados 2 mm forman
un condensador de placas paralelas. El
campo entre las placas es de
5,0×10 5 V/m
a) ¿Cuál el voltaje a través de las placas del condensador?
b) ¿Cual es la magnitud de la carga en
las placas?
c) Si un electrón es lanzado de la placa negativa desde el reposo, ¿con
qué rapidez golpeará la placa positiva?
Potencial eléctrico de una carga puntual
11. Calcule el potencial eléctrico a una
distancia de 1 m de una carga puntual de
1 nC
Potencial Eléctrico
12. El potencial eléctrico a una distancia de
12 cm de una carga Q es de 400 V. ¿Cual
es el potencial eléctrico a una distancia de
20 cm?
30
la linea que une ambas cargas?
16. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el punto P de la figura?
-1,0 nC
13. Si el potencial a una distancia de 50 cm
de un carga positiva es de 200 V, ¿cual es
potencial a una distancia de 45 cm?
14. En el modelo de átomo de Bohr, la orbita mas cercana que en la que puede moverse un electrón alrededor de un protón
(átomo de Hidrógeno) tiene un radio
a 0 = 0,053 nm (Radio de Bohr).
a) ¿Cuál es potencial eléctrico generado por el protón a esa distancia de
él? (Recuerda que el núcleo del hidrógeno consiste solo de un protón)
b) ¿Cuál es la energía del electrón en
esa orbita?
3,0 nC
3 cm
-2,0 nC
4 cm
P
17. ¿Cuál es el potencial eléctrico en el centro del triangulo equilátero?
2,0 nC
Potencial eléctrico de un sistema de cargas
15. Se tiene dos cargas de 5nc y -9nC separadas por una distancia de 1 m. ¿Cuál es
el potencial eléctrico en el punto medio de
-1,0 nC
3 cm
-1,0 nC
7. Respuestas
Preguntas
1.
2.
La energía potencial de dos cargas esta
dada por U = ke q1 q 2 / r , donde r es la
distancia que las separa. Si U es negativa
las cargas deben ser de signos opuestos,
es decir se atraen, para separarlas una
fuerza externa debe realizar trabajo contra
las fuerzas eléctricas.
Si la energía potencial de las cargas fuese
positiva, de acuerdo con la ecuación para
U las cargas deben tener signos distintos.
La fuerza entre ellas sería repulsiva y no
se necesitaría una fuerza adicional a la
eléctrica para separarlas.
No necesariamente. Considere dos
cargas puntuales de signos contrario, q y
−q separadas por una distancia d. En el
punto medio de la línea que une las
cargas el potencial es
V =k e q/(d /2)−k e q/(d /2)= 0 ,
pero el campo en este punto está la
misma dirección, por lo tanto no es nulo
3.
Como Δ U = q ΔV , Δ V <0 y q es positiva, concluimos que la energía potencial
disminuye.
Como solo actúan fuerzas eléctricas la
energía mecánica se conserva, o sea
Δ E = ΔU +Δ K =0 . Ecuación que escrita
de otra forma queda: Δ U =−Δ K . De
acuerdo con esto si U aumenta, K debe
disminuir.
4.
El electrón se mueve por el camino
mostrado a una zonas de mayor potencial,
o sea Δ V >0 . Como U = qΔ V y q =−e ,
entonces Δ U <0 .
Como se conserva E = K+U , si U disminuye K debe aumentar.
5.
Suponga que tenemos dos cargas positivas, si están relativamente cercanas la
fuerza que se ejerce entre ellas será
grande y su energía potencial será grande.
Si las cargas se encuentran mas alejadas,
Potencial Eléctrico
6.
7.
8.
la fuerzas eléctricas serán más débiles y su
energía potencial será baja en comparación al caso anterior. Desde este punto de
vista la expresión tiene sentido. Si las
cargas están “infinitamente alejadas”
(muy lejos), la fuerza entre ellas es básicamente cero y podríamos decir que no hay
“interacción” entre las cargas. Luego es
razonable asignar a este estado del sistema una energía potencial cero.
menta el protón a través del camino que
va de 1 a 2 lo llamaremos Δ K 1 →2 , es decir
Δ K 1 →2 = K 2 −K 1 , de forma análoga se define Δ K 1 →3 = K 3−K 1 . Note que la energía
cinética al inicio del movimiento, K 1 es la
misma para ambos protones (parten con
igual rapidez). Como el cambio de energía
potencial es el mismo por ambos caminos,
de la ecuación , se deduce que
De acuerdo con la guía 2, la magnitud
del campo en un condensador de placas
paralelas es E = Q/(ϵ0 A) , donde Q es la
carga en las placas (esto quiere decir que
la placa positiva tiene carga Q y la negativa −Q ). Por otro lado Δ V C = Ed , luego
si la carga aumenta, también el campo y
por lo tanto el voltaje entre las placas.
Δ K 1 →2 = Δ K 1 →3 .
Si las placas retienen la carga, el campo
no cambia, de acuerdo E = Q/(ϵ0 A) , lo
que responde.
Para responder b) hay que notar que
Δ V C = Ed , si E está fijo Δ V C es directamente proporcional a d. Si d se duplica,
Δ V C se duplica.
El campo de dirige de una zona de mayor a menor potencial y las equipotenciales corresponden a lineas verticales. Por lo
tanto en el punto c, al estar mas a la izquierda, el potencial es menor, los puntos
e y b están al mismo potencial y es mayor
que en el punto c, etc. El resultado es
V f =V d >V a>V b =V e>V c .
9.
31
El potencial en los puntos 2 un 3 es el
mismo V 2 =V 3 . La carga del protón es e,
por lo que en general Δ U = e ΔV . En
particular para el movimiento entre los
puntos del problema
Δ U 1 → 2 = e(V 2 −V 1 )= e (V 3−V 1)= Δ U 1 → 3 .
Para responder la parte b) usamos que la
energía se conserva, es decir a través de
cualquier camino en que se mueva el protón
Δ E = Δ U+Δ K = 0 .()
El cambio de energía cinética que experi-
Por lo anterior se concluye que K 2 = K 3 .
Como se trata de dos protones (la misma
masa), la rapidez con que llegan a 1 y 3 es
la misma.
10. De acuerdo a la ecuación 21, la diferencia de potencial entre dos puntos
cualquiera i y f ,dentro del condensador es
Δ V = E Δ y (),
donde Δ y = y f −y i con y f y y i son las
posiciones horizontales de los puntos con
respecto a la placa negativa (ver figura 3.1)
Recuerde que en este caso el potencial depende solo de la posición horizontal y.
Por lo tanto las equipotenciales son efectivamente lineas verticales. De acuerdo a la
ecuación 
ΔV
=E .
Δy
Como E es contante, para cualquier par de
equipotenciales el cociente de la ecuación
anterior debe ser siempre el mismo. Verifique que esto se cumple solo para a).
11. El potencial eléctrico para una carga
puntual, considerando el cero el “infinito”
está dado por la ecuación 24. Si la carga es
positiva, el potencial disminuye en forma
inversamente proporcional con la distancia. Verifique que la figuras a), c) no
cumplen con esto, mientras que la d) si lo
hace.
Por último la figura b) también cumple la
condición. Tenemos una equipotencial a
una distancia 2a de la carga y a 300 V, la
equipotencial mas externa dibujada se en-
Potencial Eléctrico
cuentra a una distancia (radio) de 4a, es
decir se duplicó la distancia, y los puntos
sobre ella están a un potencial de 150 V, o
sea dividió en 2. Necesitamos saber por
último si el potencial en la equipotencial
central es consistente con los anteriores.
De acuerdo con lo anterior una equipotencial ubicada a una distancia a, debería
estar al doble del potencial que la equipotencial que se encuentra a 2a, es decir debería estar a 600 V. La equipotencial “central” está a una distancia 3a de la carga,
por lo que debería estar a un potencial de
(600/3) V=200 V, justamente lo que indica
la figura.
Otra forma de ver los anterior es darse
cuenta que la relación de proporcionalidad inversa se expresa matemáticamente
como Vr = constante =600 a . Relación que
se cumple para todas las equipotenciales
de la figura b).
32
guiente figura
Δ V =71 V
O
Hay que usar la conservación de la
energía. Aproximadamente a 120 fm del
núcleo. 1 fm =10−15 m es el orden del tamaño de un núcleo atómico.
2.
Plantee un sistema de ecuaciones (no lineal) y resuelva. Las cargas son de -30 nC
y 10nC. También es solución -10 nC y
30 nC.
3.
a) La Energía del electrón se conserva,
por lo tanto Δ E = Δ K+ΔU = 0 . Puesto
de otra forma
Δ U =−Δ K , pero
Δ U =−e Δ V , combinando estas ecuaciones obtenemos Δ V = Δ K /e . Si calculamos esto nos da 71 V.
b) El trabajo hecho por el campo es
W =−Δ U =−(−e)(Δ V )= e Δ V . Calculando obtenemos
e · 71 V =71 eV = 1,1×10−17 J .
c) Si electrón se mueve en linea recta entonces podemos tomar el eje y de coordenadas en esa dirección. Si el campo es
uniforme, de acuerdo a lo discutido en la
guía 2, la trayectoria recta es posible
cuando el electrón se mueve en dirección
contraria al campo (ver figura 5.1 de la
guía 2). Esto lo representamos en la si-
yf
y
E
De acuerdo con lo discutido en la solución
a la pregunta 10 E = Δ V / Δ y . Como
Δ y = 0,04m , obtenemos para la magnitud del campo 1,8×103 V/m . El campo
apunta en la dirección y negativa.
4.
Se resuelve en forma análoga al ejemplo
3.1. La solución es 5,9×106 m/s .
5.
Se resuelve igual que el problema anterior. La solución es 4,4×10 5 m/s .
6.
Se resuelve en forma análoga al problema 3 a), teniendo cuidado con los signos.
La solución es Δ V =−8,4×10 4 V .
7.
La parte a) se resuelve en forma similar
al ejemplo 3.1. Los electrones se moverán
a través de una diferencia de potencial positiva. Si toda la energía potencial eléctrica
se transforma en cinética, ganarían
2,6×109 J . Realmente no ganarán toda
esta energía, parte de la energía es “usada” para ionizar y/o excitar a moléculas de
aire produciendo la emisión de luz que se
observa.
Si usásemos toda esa energía para levantar a un automóvil una altura h, dándole
energía potencial mgh , encontraríamos
que h = 130 km , lo que responde b)
8.
De acuerdo a Δ V C = E d , se calcula que
E = 1,25×10 5 V/m . La magnitud de la
fuerza será F = qE = 0,25 N .
9.
En a) se aplica nuevamente Δ V C = E d ,
resultando 200 V.
En b) se calcula el área A de las placas y
se usa que E = Q/(ϵ0 A) . Resolviendo para
Q obtenemos que es 3,5×10−10 C .
Ejercicios
1.
yi
10. En a) se procede en forma análoga al
problema anterior, parte a). Solución
1000 V.
En b) se procede en forma análoga al pro-
Potencial Eléctrico
blema anterior, parte b). Solución
1,39×10−9 C .
En c) se procede de igual forma que en el
ejemplo 3.2. Solución 7,0×106 m/s .
11. Se calcula usando la ecuación 24. Solución 9 V.
12. Si se usa la ecuación 24, V (r)= k e Q/ r ,
podemos encontrar Q, ya que sabemos
que cuando r =12 cm V (12 cm)= 400 V .
Una vez que conocemos Q podemos usar
de la ecuación 24 nuevamente para calcular el potencial a 20 cm. Otra forma de
proceder es notando que Vr = k e Q es un
producto constante (esto es simplemente
la proporcionalidad inversa). Luego
V (20 cm)· 20 cm =V (12)·12 cm ,
de donde es sencillo determinar que
V (20 cm)= 240 V .
33
13. Razonando en forma análoga al problema 12 obtenemos V (45cm)= 222 V .
14. En a) solo hay que usar la ecuación 24.
Solución 27 V.
b) es sencillo, pues la energía potencial es
U =−e V =−27eV =−4,3×10−18 J
15. Solo hay que calcular usando la ecuación 30, para el caso de dos cargas. La solución es -8 V.
16. Se procede de la misma forma que en el
ejemplo 3.5. Solución -23 V
17. El centro del triángulo está en la intersección sus alturas. Muestre usando trigonometría que la distancia entre cualquier
vértice y el centro es 1,732 cm. Luego se
usar la ecuación 30 y se obtiene 0 V. ¿Se
podría haber encontrado el resultado sin
calcular?