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Prof. Hernán Alejandro Romero 1
Números Complejos
UNIDAD 1: NÚMEROS COMPLEJOS
Para la solución de ecuaciones en donde las raíces son negativas existe una solución
en el conjunto de los números complejos. Esa solución tiene como protagonista el
1
número
√ 1
Ejemplo:
Hallar el valor de x de la siguiente ecuación:
4
3
4
3
3
4
RESOLUCIÓN
1
√ 1
NÚMEROS COMPLEJOS, EXPRESIÓN BINÓMICA
“Llamamos número complejo a un número Z que puede escribirse de la forma
Donde a y b son números reales”
Un número complejo está formado por una parte real y otra imaginaria.
Ejemplo:
3
Parte real
5
Parte imaginaria
Los números complejos surgen de las soluciones de algunas ecuaciones cuadráticas.
Por ejemplo la siguiente:
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Números Complejos
5
3
1,25
√
;x
Al aplicar la fórmula resolutiva
0
a=5
nos quedará:
b=-3
3
;x
3!
3
;x
3
;x
3
;x
;x
3
;x
%
'
c=1,25
&
'
4.5. 1,25!
10
√9 25
10
√ 16
10
10
1!. 16
1!. √16
10
%
'
&
%
'
&
'
EJERCITACIÓN
1) Hallas las soluciones de las siguientes ecuaciones (recuerda utilizar la
fórmula resolutiva):
a) 4
b) 5
c) 10
d) 5
e) 3
f) 15
2
2
3
3
2
(%
)
)
(
*
1
+%
4
),
(
0
0
0
0
0
0
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Números Complejos
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE NÚMEROS COMPLEJOS
Para la representación de números complejos es necesario un sistema de ejes
cartesianos. En donde el eje X representará la parte real y el eje Y la parte
imaginaria de todo número complejo. La representación gráfica será mediante
vectores cuyo origen es el (0;0).
Ejemplo
La representación de número
4
3 es:
Eje imaginario
Eje real
EJERCITACIÓN
1) Graficar los siguientes números complejos:
a)
b)
c)
d)
3
9
2
4
5
2
5
7
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Números Complejos
CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO
Dos números complejos se denominan conjugados si tiene n igual parte real y
opuesta parte imaginaria.
Ejemplo:
2 es el número .
3
El conjugado de
3
2
OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS
SUMA Y RESTA
El procedimiento de esta operación es sumar o restar la parte real del primer
número con la parte real del segundo número y de la misma manera con la parte
imaginaria.
Ejemplo:
2!
3
3!
4
3
4
2
3!
7
5!
MULTIPLICACIÓN
Para multiplicar dos números complejos es necesario aplicar la propiedad
distributiva.
Ejemplo:
2 !/ 1
2
02
4
2
2!
4.
2
1!1
4
4 !
2
2
2
4!
Recuerda que
6
1
2!
DIVISIÓN
En algunos casos para la división de números complejos es necesario utilizar el
conjugado. Se presentará dos casos.
Ejemplo 1
Resolver la siguiente división:
a)
(
2
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Números Complejos
RESOLUCIÓN
5
4
5 4
/
4
4
20
16
20
16. 1!
5
4
Ejemplo 2:
a)
(
2
2
RESOLUCIÓN
2
5 2
2
5
/
5 2
5
2
2
2
5
!/ 5 2 !
2!
10
4
5
2 !
25 4. 1!
10
2.
29
EJERCITACIÓN INTEGRADORA DE NÚMEROS COMPLEJOS
1) Identifica los números complejos graficados:
2) Suma todos los números complejos del punto anterior
3) Dados los siguientes números:
Z1 = 5 – 10i
Z3 = 3 + 4i
;
;
Resuelve:
4) a) Z3 . Z4 + Z2 + Z4 =
3
b) 34 + Z2 . Z4 =
5
3
c) (Z4)2 - 34 =
d) Z3 + (Z4 + Z2) . Z1 =
.
e) %
Z2 = -2 + 5i
Z4 = -2 – 3i
1!!
12
29