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GUIC3M037M311-A17V1
resolución de problemas en
los números complejos
MATEMÁTICA - programa 3º medio
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ná
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pie
o
r
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N
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¿Qué aprenderemos hoy?
ConteNIDOS
-
2
Operatoria de números complejos.
Determinaremos el inverso de un número complejo
tanto por definición como por racionalización. Además,
aprenderemos a operar (suma, resta, multiplicación y
división) números complejos mediante conocimientos
de álgebra. Finalmente, aplicaremos estos conceptos a la
resolución de ejercicios tipo PSU.
guia de ejercitación
sección 1: ¿Qué recuerdas de la
clase anterior?
A CONTINUACIÓN SE PRESENTA UNA SERIE DE EJERCICIOS QUE DEBEN SER CONTESTADOS EN 6 MINUTOS. POSTERIORMENTE,
REVISEN LAS RESPUESTAS CON SU PROFESOR Y ACLAREN CUALQUIER INQUIETUD QUE TENGAN RESPECTO A ESTOS CONTENIDOS.
1
La expresión i47, con i la unidad
imaginaria, es igual a
2
A) i
B) – i
C) – 1
3
El opuesto del número complejo
(3 – 2i) es
El módulo del número
complejo (5 – �11i) es
A) 6
B) �14
C) �146
número
A) – 7 – 4i
B) – 7 + 4i
C) 7 + 4i
4
El número complejo representado en el
plano de la figura adjunta podría ser
A) – 7 + 4i
B) 9 – 5i
C) 3 + 2i
A) – 3 + 2i
B) – 3 – 2i
C) 3 + 2i
5
El conjugado del
complejo (7 – 4i) es
6
Im
Re
En la expresión i k = – i, con i la unidad
imaginaria, un posible valor de k es
A) 51
B) 73
C) 56
3
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 2: Operatoria de números
complejos
Aunque en un inicio parezca complicada, la operatoria de números complejos se puede trabajar como una operatoria
algebraica, teniendo precaución con los valores de las potencias de la unidad imaginaria i. A continuación recordaremos
algunos casos de operatoria algebraica para establecer similitudes con la operatoria de números complejos.
ta
Suma y res
Cuando se suman y restan términos algebraicos, recordarás que se pueden agrupar solo aquellos que
son semejantes, es decir, que tengan la misma parte literal. En el caso de los números complejos, esto
es mucho más sencillo, ya que solo debes agrupar reales con reales e imaginarios con imaginarios,
teniendo especial cuidado al calcular las potencias de i.
Por ejemplo, el valor de la expresión (5i8 – 3i2 + 2i – 3i7) es:
r binomio
monomio po
El álgebra dice que, según la propiedad distributiva:
a ∙ (b ± c) = ab ± ac
En el caso de los números complejos aplica la misma regla, solo se debe tener presente el valor de las
potencias de i, en el caso que se requiera.
Por ejemplo, 3i3 ∙ (– 2 + 2i) =
4
guia de ejercitación
binomio
ib nomio por
El álgebra dice que, según la propiedad distributiva:
(a + b) ∙ (c + d) = ac + ad + bc + bd
Al igual que en el álgebra y en la operatoria de números reales, se cumple la propiedad distributiva,
es decir, se multiplica término a término. Ten presente el valor de las potencias de i, en el caso que se
requiera.
Por ejemplo, (3i6 + 5) ∙ (i – 7i11) =
ferencia
i
d
u
s
r
o
p
suma
Desde el punto de vista algebraico:
(a + b) ∙ (a – b) = a2 – b2
En el caso de los complejos, esto ocurre cuando se multiplica un número complejo con su conjugado.
Por ejemplo:
(2 – 5i) ∙ (2 + 5i) =
(– 3 + 4i) ∙ (– 3 – 4i) =
5
MATEMÁTICA - programa 3º medio
MIO
E BINO
D
O
D
A
R
D
A
U
C
Desde el punto de vista algebraico:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
En algunos casos, se solicitará el cuadrado de un número complejo. Ten especial cuidado al determinar
el cuadrado de la parte imaginaria. Por ejemplo:
(a + bi)2 =
(3 – 5i)2 =
LICATIVO
P
I
T
L
U
M
O
S
R
INVE
O COMPLEJO
R
E
M
Ú
N
N
U
DE
En la clase 3 recordamos la racionalización, procedimiento aplicado cuando hay raíces en el denominador
y que sirve para obtener una expresión equivalente sin raíces en él. Este mismo procedimiento se
emplea cuando se tiene una expresión compleja en el denominador.
Sea z = a + bi un número complejo, con a y b números reales distintos de cero. Luego, el recíproco de
1
.
z es z –1 =
a + bi
¿Cuál es la expresión resultante tras racionalizar a z – 1?
¿Es posible establecer una expresión general para determinar el recíproco de cualquier número
complejo?
6
guia de ejercitación
sección 3: Demostrando propiedades
de los números complejos
A continuación se presentan tres propiedades de los números complejos, junto con el grado de dificultad estimado en su
demostración. Seleccionen al menos una de ellas para demostrarla con ayuda de su profesor. Consideren que z1 = a + bi y
z2 = c + di, con a, b, c y d números reales distintos de cero.
elemental
El producto entre un número complejo y su conjugado resulta un número real puro.
intermedia
(z
1
+ z2 ) = z1 + z2
avanzada
|z1 • z2| = | z1 | • | z2 |
7
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 4: preguntas
de modelamiento
Tiempo estimado
15 minutos
a continuación se presentan cinco preguntas tipo psu, las que serán desarrolladas
conjuntamente por ustedes y su profesor. si tienes cualquier duda acerca de estos
contenidos, consulta a tu profesor, ¡ahora es el momento!
1
Sea i la unidad imaginaria. El valor de (�– 49 – 3�– 25 + 2�– 4 – �– 9 ) es
A)– 15i
B)– 7i
C)– i
D)0
E)
6i
2
Sea i la unidad imaginaria. Si z = (5 – 4i) y w = (3 + 6i), entonces el doble de la suma entre z y w es
A)
4+i
B)
8 + 2i
C)
11 + 8i
D)
13 − 2i
E)
16 + 4i
3
8
El valor del inverso multiplicativo del número complejo (3 + 2i) es
A) –3 2
– i
5
5
B) –3
2
+
i
13
13
C) –3 2
+ i
5
5
D) 3
2
–
i
13 13
E) 3 2
– i
5 5
guia de ejercitación
4
Sean los números complejos z = (3 – 4i) y w = (1 + 5i). ¿Cuál de los siguientes números complejos es igual al
recíproco de la suma entre z y w?
A)
–4
1
+
i
17
17
1
B) + i
4
4
1
C) +
i
17
17
D)
1 –i
4
E)
4
1
–
i
17
17
5
Sea z un número complejo distinto de cero. Se puede determinar el valor del inverso multiplicativo de z, si se
conoce:
z
(1)
(2)|z|
A)
(1) por sí sola.
B)
(2) por sí sola.
C)
Ambas juntas, (1) y (2).
D)
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E)
Se requiere información adicional.
9
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 5: preguntas
elementales
Tiempo estimado
10 minutos
Es momento de poner a prueba tus conocimientos y habilidades sobre estos
contenidos. A continuación debes contestar cinco ejercicios de dificultad fácil, los
que son útiles para medir qué tanto has entendido y aprendido durante esta sesión.
6
7
La expresión [ i • (– 3 – 2i)], con i la unidad imaginaria, es igual a
A)− 2 – 3i
B)− 2 + 3i
C)
2 – 3i
D)
2 + 3i
E)
3 + 2i
¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) igual(es) al número complejo (15 – 8i)?
I)(7 + 2i) + (8 – 10i)
II)(9 – 5i) – (– 6 – 3i)
III)(3 + 2i) • (5 – 4i)
A)
B)
C)
D)
E)
8
9
Solo I
Solo I y II
Solo I y III
Solo II y III
I, II y III
Si z es un número complejo, entonces su valor en la expresión
A)– 1 – i
B)– 1 – 3i
C)– 1 + 3i
D)
14 – 2i
E)
1–i
El valor de la expresión [(6 – 5i) + (2 – i) – 2 • (− 5 + 6i)], con i la unidad imaginaria, es
A)
18 – 2i
B)
18 – 18i
C)
1 – 12i
D)
15 – 12i
E)
15 – 2i
10
z
= 4 – 2i es
3+i
guia de ejercitación
10
Sea el número complejo z = ab + (b – a)i, con a y b números reales distintos de cero. Se puede determinar el valor
numérico de la parte real de z, si:
(1)
a+b=8
b
1
(2) =
a
3
A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.
11
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 6: preguntas
intermedias
Tiempo estimado
10 minutos
Es tiempo de enfrentarse a cinco ejercicios de dificultad media, los que están
presentes en mayor medida en la PSU. ¡Anímate a resolverlos!
11
A) (144, – 135)
B) (48, – 90)
C) (30, – 18)
D) E) (13, – 6)
16
,–2
3
12
14
(
)
En la expresión compleja
A)
B)
C)
D)
E)
13
12
El par ordenado que representa al triple del cuadrado de (5 – 3i) en el plano complejo es
z–2
= 1 + 2i , el valor numérico de z es
2+i
2 + 5i
4 + 3i
6 + 3i
– 2 + 5i
5i
Sean p y q números complejos tal que p = 3 – 4i y q = – 2 + i. Entonces, (pq – q + p) es
A)– 7 + 16i
B)
3 + 8i
C)– 3 + 14i
D)– 1 – 9i
E)
3 + 6i
Sean z y w dos números complejos, tales que z = 3 + 6i y w = – 2 + 5i. El producto entre el conjugado de z y el
conjugado de w es
A)– 36 – 3i B)
24 – 3i
C)– 36 + 3i
D)
24 + 3i
E)
– 6 – 17i
guia de ejercitación
15
El valor de la expresión
A) B) C) D) E) �(
)
3
i26 + 2i30
, con i la unidad imaginaria, es
3i38
i
–i
0
1
2
13
MATEMÁTICA - programa 3º medio
sección 7:
preguntas avanzadas
Tiempo estimado
10 minutos
Finalmente, te presentamos cinco ejercicios de dificultad alta, los que
requieren que pongas a prueba todas tus capacidades y, en algunas
ocasiones, otros contenidos que no son propios de la sesión pero que son
claves al momento de la resolución. ¡Mucha concentración y a resolver!
16
17
Si z pertenece al conjunto de los números complejos, con su parte real e imaginaria distintas de cero, ¿cuál(es) de
las siguientes afirmaciones es (son) siempre verdadera(s)?
I) II) III) El conjugado de z es igual al cuociente entre el inverso multiplicativo de z y el cuadrado del módulo de z.
z es igual al cuociente entre el cuadrado de su módulo y su conjugado.
El módulo de z es igual a la raíz cuadrada del producto entre z y su conjugado.
A) B)
C) D) E) Solo I
Solo III
Solo I y II
Solo II y III
Ninguna de ellas.
La expresión [(5 – 2i) ∙ i n + 1 – (3 + 4i) ∙ i n] , con i la unidad imaginaria, es igual a
A)
B)
C)
D)
E)
18
(– 1 – i) ∙ i n + 1
(6 + 2i) ∙ i n + 1
(– 1 + i) ∙ i n
(– 5 + i) ∙ i n
(– 1 + 9i) ∙ i n
Sea i la unidad imaginaria. ¿Cuál de los siguientes números complejos es igual a
–1
8
A) + i
6
3
–1
B) + 16i 6
14
C)
– 1 + 16i
D)
–1
4
– i
6
3
E)
–1
– 8i
6
(
)
5 – 4i
7 + 2i
–
?
2
3
guia de ejercitación
19
Si m es un número real, ¿para qué valor de m la parte real es el triple de la parte imaginaria en el número complejo
(
A)
B)
C)
D)
E)
20
)
2+i
?
m+i
–3
–5
5
7
3
Sea z = a + bi un número complejo, con a y b números reales distintos de cero. Se puede determinar el valor
numérico de z, si se sabe que:
(1)
z • z = 25
(2)|z| = 5
A)
B)
C)
D)
E)
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) ó (2).
Se requiere información adicional.
15
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Compruebo lo aprendido
A continuación encontrarás una lista con los conocimientos y habilidades que se han medido con la
ejercitación de esta sesión, indicando las preguntas que tienen relación con dicho punto. Marca aquellos
aspectos en los que hayas logrado progresar y refuerza en casa los que aún no has podido desarrollar.
16
Comprendo y determino el inverso multiplicativo de un número complejo (preguntas 3 y 16).
Realizo operatoria con números complejos (preguntas 1, 2, 6, 7, 9, 11, 13, 15, 17 y 18).
Demuestro propiedades de los números complejos (preguntas 16 y 20).
Realizo conjeturas mediante las propiedades y la operatoria de números complejos (preguntas 4,
5, 8, 10, 12, 14 y 19).
guia de ejercitación
tabla de corrección
Ítem
Alternativa
Habilidad
Dificultad estimada
1
Aplicación
Media
2
Aplicación
Fácil
3
Aplicación
Fácil
4
Aplicación
Media
5
ASE
Difícil
6
Comprensión
Fácil
7
Aplicación
Fácil
8
Aplicación
Fácil
9
Aplicación
Fácil
10
ASE
Fácil
11
Aplicación
Media
12
Aplicación
Media
13
Aplicación
Media
14
Aplicación
Media
15
ASE
Media
16
Comprensión
Difícil
17
ASE
Difícil
18
Aplicación
Difícil
19
ASE
Difícil
20
ASE
Difícil
17
MATEMÁTICA - programa 3º medio
Mis apuntes
18
guia de ejercitación
Mis apuntes
19
_____________________________________________________
Han colaborado en esta edición:
Directora Académica
Paulina Núñez Lagos
Directora de Desarrollo Académico e Innovación Institucional
Katherine González Terceros
Equipo Editorial
Rodrigo Cortés Ramírez
Pablo Echeverría Silva
Andrés Grandón Guzmán
Equipo Gráfico y Diagramación
Vania Muñoz Díaz
Tania Muñoz Romero
Elizabeth Rojas Alarcón
Equipo de Corrección Idiomática
Paula Santander Aguirre
Imágenes
Banco Archivo Cpech
El grupo Editorial Cpech ha puesto su esfuerzo en
obtener los permisos correspondientes para utilizar las
distintas obras con copyright que aparecen en esta
publicación. En caso de presentarse alguna omisión
o error, será enmendado en las siguientes ediciones
a través de las inclusiones o correcciones necesarias.
Registro de propiedad intelectual de Cpech.
Prohibida su reproducción total o parcial.