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TRABAJO Y ENERGÍA
1.
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5.
Campos de fuerzas. Fuerzas dependientes de la posición.
Trabajo. Potencia.
La energía cinética: Teorema de la energía cinética.
Campos conservativos de fuerzas. Energía potencial.
Teorema de conservación de la energía mecánica.
Campos de fuerzas
En la naturaleza o a nuestro alrededor, nunca encontramos fuerzas solitarias, sino que frecuentemente
encontramos que en una región del espacio existen fuerzas en cada punto de éste, pudiendo tomar valores
diferentes en cada punto. Se habla así de campos de fuerzas que representaremos mediante una función
vectorial que pueda tomar valores diferentes en cada punto del espacio
Trabajo y potencia
Trabajo realizado por una fuerza es el producto escalar del vector fuerza por el desplazamiento de su línea
de acción. En principio,
. Pero debido a que la fuerza puede variar con la posición, es más
conveniente hablar de trabajo elemental en un desplazamiento infinitesimal
. El trabajo en un
desplazamiento del punto 1 al 2 será por tanto:
escrita en coordenadas cartesianas:
y
El trabajo también puede calcularse por el
método de hallar el área en un gráfico F=f
(x), recordando el significado de la integral
como área.
Potencia de una fuerza es la rapidez con que efectúa un trabajo
Energía cinética
El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula de masa m a lo largo de un
desplazamiento entre dos puntos A y B, es:
Al término ½ mv2, se le llama energía cinética, quedando que:
WAB = ECB - ECA = ∆ EC
Resultado que se conoce como teorema de la energía cinética o de las fuerzas vivas:
El trabajo realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al incremento de su
energía cinética.
Fuerzas conservativas. Energía potencial
Algunos campos de fuerzas
cumple:
tienen la propiedad de que existe una función escalar U(x,y,z) que
cuando esto ocurre, se dice que el campo de fuerzas deriva de un potencial. Asimismo, este hecho conduce a
unas interesantes propiedades.
El cálculo del trabajo realizado entre dos puntos se facilita mucho, ya que:
quedando el cálculo del trabajo simplificado a hallar la diferencia de valores de esta función energía potencial:
WAB = -∆ U
Resulta llamativo el hecho de que el trabajo no depende del camino seguido, sino únicamente de las
posiciones inicial y final. Éste tipo de campos de fuerzas se denomina campos de fuerzas conservativos.
Se dice que un campo de fuerzas es conservativo cuando el trabajo realizado para hacer un desplaz
desplazamiento entre dos puntos, no depende del camino, sino solo de la posición inicial y final.
Por tanto el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es cero. Dicho de otra manera, una
fuerza es conservativa si tiene la propiedad de devolver el trabajo que se realiza para vencerla.
Teorema de conservación de la energía mecánica
Del teorema de la energía cinética obtuvimos que WAB = ∆ EC. WAB puede englobar todo tipo de fuerzas,
conservativas o no, de modo que vamos a desglosarlo:
WAB = WFCONS + WF.NO.CONS , las primeras derivan de una energía potencial, pero las otras no:
WAB = -∆ U + WF.NO.CONS = ∆ EC , llamando energía mecánica a la suma de energía potencial y cinética:
E = U + EC , tendremos: WF.NO.CONS = ∆ EC + ∆ U = ∆ E; o dicho en palabras:
La variación de la energía mecánica de una partícula es igual al trabajo realizado por las
fuerzas no conservativas.
En ausencia de fuerzas no conservativas, la energía mecánica no varía.
1. Una partícula de 2 kg sometida a la fuerza
m una velocidad de
N posee en el instante en que pasa por el punto
m/s. Calcular:
a. La ecuación del movimiento y los vectores aceleración tangencial y normal en t =2 s.
b. El trabajo realizado por la fuerza entre t = 0 y t = 2 s.
c. Comprobar el teorema de la energía cinética para el caso anterior.
a)
para obtener la constante de integración hacemos t = 0:
C=4
C=6
m/s2
m/s2
b)
=
=
d.
2. Una fuerza dependiente de la posición que actúa en el plano XY viene dada por la expresión
(unidades S.I.). Demostrar que esta fuerza no es conservativa, hallando el trabajo realizado por
la misma al desplazarse entre el punto A(0,0) y B(2,4) por dos caminos diferentes.
Probaremos por dos caminos:
1. Por la recta y = 2x
2. Por la parábola y = x2
1.
=
haciendo dy = 2dx
=
2.
=
El valor del trabajo es distinto, por tanto la fuerza no es conservativa.
3. El vector posición de un punto móvil de 0.5 kg de masa sometido a la acción de una fuerza es
. Calcula:
a. El trabajo realizado por la fuerza desde t1 = 2 s a t2 = 5 s así como la potencia media en ese tiempo.
b. Valores de la potencia instantánea en los instantes anteriores.
Aplicando el teorema de la energía cinética: W12 = ∆ EC =
La potencia media P =
1706 J
= 569 W
b) Hallemos primero la expresión de la fuerza que actúa:
;
= 32t + 9t3 =
4. Para mantener la velocidad de 54 km/h de un vehículo se necesita que el motor proporcione una
potencia de 22050 W. Sabiendo que la masa del vehículo es de una tonelada, y que se está moviendo por una
carretera horizontal, calcular:
a. La fuerza de rozamiento, supuesta constante.
b. La potencia que tendrá que desarrollar el motor para subir por una pendiente de 6º.
c. La potencia que tendrá que desarrollar para bajar por una pendiente de 2º.
En los casos b) y c) se supone que se mantiene la misma velocidad de 54 km/h.
a) La potencia que realiza el motor es:
Fm = P/v = 22050/15 = 1470 N.
Para mantener constante la velocidad del motor, es necesario ejercer una fuerza igual y de sentido contrario a
la de rozamiento:
fR = 1470 N.
b)
N = mg cosα ; fR =µN = µ mg cosα ;
Fm = fR + mgsenα = µ mg cosα + mgsenα =
1470cos6º + 1000 9.8 sen 6º = 2486 N;
P = Fm v = 2486 15 = 37295 W.
c)
N = mg cosα ; fR = µ N = µ mg cosα ;
Fm = fR - mgsenα = µ mg cosα - mgsenα =
1470cos2º - 1000 9.8 sen 2º = 1127 N;
P = Fm v = 1127 15 = 16906 W
5. Un coche eléctrico pesa 10 kN y se mueve horizontalmente alcanzando una velocidad máxima de 25
m/s cuando el motor desarrolla su máxima potencia de 48 kW. Calcular la velocidad máxima cuando suba por
una pendiente de 5º, si la resistencia del aire no varía.
La fuerza que hace el motor en el recorrido horizontal se emplea íntegramente en compensar la fuerza de
fricción del aire: Fm = fR. La potencia realizada por el motor vale P = Fmv
Fm = 48000/25 = 1920 N
fR = 1920 N
Cuando suba por la cuesta la fuerza realizada
por el motor ha de compensar la fuerza de
rozamiento mas la componente del peso en la dirección del movimiento mgsenα :
Fm = fR + mgsenα = 1920 + 10000⋅ sen 5º= 2792N
Como la potencia del motor es la misma (la máxima) la nueva velocidad máxima será:
v=
= 17.2 m/s
6. Un muelle de constante recuperadora k = 200 N/m está comprimido 10 cm. Una masa de 500 g está
situada en el extremo del muelle. El muelle al expandirse empuja la masa, y ésta sale despedida, calcular:
a. La cantidad de movimiento con que la masa sale despedida.
b. Trabajo realizado por el muelle a lo largo de los 10 cm.
a) La energía potencial elástica del muelle ½ kx2 se transforma en cinética ½ mv2 ó p2/2m, es decir :
½ kx2 = p2/2m;
b)
También podemos usar el teorema de la energía cinética:
W = ∆ EC = pF2/2m - pI2/2m = 1 - 0 = 1 J.
7. Un sólido asimilable a un punto material de masa m, se lanza a partir del
punto O, con una velocidad v0, a lo largo de un plano inclinado que forma un
ángulo α respecto al plano horizontal (como se indica en la figura),
deslizándose sin rozamiento hasta alcanzar el punto O’ en el cual se anula la
velocidad.
a. Encontrar la expresión de la distancia OO’ en función del ángulo α .
b. Discutir el caso en que α valga cero.
a) Como no hay rozamientos se iguala la energía cinética en el punto O a energía potencial en O’:
½ mv02 = mgh = mg OO’ senα ;
;
b) Si el ángulo es cero, OO’ = 8 ; es decir, si no hay rozamiento y el plano es horizontal, no se detendría.
8. Dado el campo de fuerzas FX = y2 ; FY = -x2 ; FZ = 0, calcular el trabajo realizado por el campo
cuando un punto M se desplaza sobre la recta x + y = 1, entre los puntos B(0,1) y A(1,0).
Como en todo momento y = 1 - x;dy = -dx:
9. Un cuerpo de 1 kg de masa se deja caer por una superficie curva desde una altura de 1 m, tal como
indica la figura. Despreciando rozamientos, calcular:
a. La velocidad de la partícula en el momento en que choca con
el muelle.
b. La máxima deformación que experimentará el muelle si su
constante elástica es de 200 N/m.
a) Igualando energía potencial gravitatoria a energía cinética:
E1 = E2; mgh = ½ mv2;
= 4.43 m/s.
b) La energía cinética que posee la partícula se transforma en energía potencial elástica del muelle:
½ mv2 = ½ Kx2;
.
10. Una masa de 50 kg sube una distancia de 6 m por la superficie de un plano inclinado 37º,
aplicándole una fuerza de 600 N horizontal, como indica la figura. El coeficiente de rozamiento es de 0.2.
Calcular:
El trabajo realizado por la fuerza resultante.
El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento. ¿En qué se convierte dicho
trabajo?
El incremento de la energía cinética.
La fuerza resultante
escrita en cartesianas:
Si el bloque no se separa del plano, no debe haber resultante Y, por lo que:
N = mgcosα + Fsenα = 752.4 N, y µ N = 150.5 N.
;
b)
. Trabajo negativo, pues la fuerza de rozamiento tiene sentido contrario
al desplazamiento, y se convierte en energía calorífica que absorbe el suelo.
c) ∆ EC = Trabajo realizado por las fuerzas externas = 202.8 J.
11. Una masa puntual de 4 kg es capaz de moverse libremente por el eje X sometida a una fuerza F =
12 - 2x. Se pide:
a. El trabajo realizado por la fuerza cuando el punto se desplaza desde x = 0 a x = 16 m.
b. La velocidad en el punto x = 4 m (parte del reposo).
c. Representar gráficamente la fuerza en función del desplazamiento, señalando el trabajo en dicha gráfica
y hallando el valor numérico.
a)
b) Por el teorema de la energía cinética: ∆ EC,0-4 = W0-4 =
∆ EC,0-4 = ½ mv42 - ½ mv02 = ½ mv42 = 32 J;
c) El trabajo puede calcularse hallando el área debajo de la curva
en un gráfico F(r) frente a r.
En este caso W = 36 - 100 = -64 J.
12. Calcular el trabajo que realiza una fuerza
aplicada en
un cuerpo que se mueve 50 m desde el origen en el sentido positivo del eje x. La fuerza , está dirigida en el
sentido positivo del eje x y es directamente proporcional a la posición del móvil, en el origen tiene un valor de
20 N, y al final del intervalo 40 N.
Por el método gráfico, el trabajo será 1500 J.
Por un método analítico, deberemos empezar por escribir la
ecuación que expresa el valor de la fuerza en cada punto:
la pendiente de la recta es:
(40-20)/(50-0) = 2/5 N/m
F = ordenada inicial + pendiente⋅ x = 20 + 2/5 x
13. El cañón de un fusil tiene una longitud de 0.8 m y la fuerza que actúa sobre el proyectil por la
expansión de la pólvora viene dada por F = 0.5(200 - x) en la que F viene dad en N cuando x se mide en cm,
siendo x la distancia recorrida por el proyectil dentro del cañón. Si la masa del proyectil es de 20 g,
determinar:
a. El trabajo realizado por la fuerza F dentro del cañón.
b. La velocidad del proyectil en el momento de abandonar el fusil.
c. La energía cinética del proyectil en ese instante.
a) Se trata de una fuerza cuyo módulo decrece linealmente, y que realizará un trabajo a lo largo de los 80 cm
de:
= 64 J
También se puede hacer gráficamente calculando áreas:
b) Utilizando el teorema de la energía cinética:
W = ∆ EC = ½ mv2
= 80 m/s
c) Obviamente la energía cinética es el trabajo realizado por la fuerza, ya que partió de energía cinética nula.
14. Disparamos un proyectil de 10 g de masa contra un
péndulo balístico de 1 m de longitud y 500 g de masa, tal como
indica la figura. Tras el impacto, el péndulo asciende hasta una
altura h, siendo de 20º el ángulo que forma el hilo con la vertical.
La altura h la podemos obtener relacionando la longitud del hilo con el ángulo:
h = L - Lcosα = L(1 - cosα ) = 1 - cos20º = 0.06 m
Ahora podemos hallar la velocidad con que el péndulo se pone en movimiento
tras ser golpeado por el proyectil, igualando la energía cinética del péndulo a
energía potencial:
½ mV2 = mgh;
= 1.087 m/s
Si el péndulo ha adquirido una velocidad V, es porque el proyectil le ha comunicado una cantidad de
movimiento mpvp, por tanto:
mpvp = (mp + M)V;
Ésta es la componente horizontal del vector velocidad del proyectil, el módulo será vx/cos15º = 57.4 m/s.
15. Un bloque de 1 kg que se desplaza por un plano horizontal choca contra un resorte horizontal de
masa despreciable cuya constante de fuerza es 2 N/m. El bloque comprime el resorte deformándolo 4 m y se
para. Si el coeficiente de rozamiento entre el bloque y la superficie horizontal es de 0.25, ¿cuál era la
velocidad del bloque en el instante del choque?
Aplicando el teorema de conservación de la energía:
∆ E = WF no conservativas
WF no conservativas = fR x cos180º
½ kx2 - ½ mv2 = -fR x = -µ mgx;
16. Un objeto de masa M desliza por un plano inclinado. En su movimiento parte sin velocidad inicial
del punto A. Al legar a la base recorre la distancia horizontal D y luego asciende por otro plano inclinado,
hasta alcanzar el punto B, donde se detiene. Si el coeficiente de rozamiento entre el objeto y el suelo es en
todo momento µ, calcula la velocidad con que se mueve sobre el segundo plano inclinado en función de la
altura h que alcanza, y el valor de dicha altura cuando se detiene.
Aplicando el teorema de
conservación de la energía,
tendremos:
∆ E = WF no conservativas; E2 - E1
= W;
17. Un niño se deja caer deslizando desde el punto más alto de un depósito semiesférico muy pulido de
radio R, tal como indica la figura. Hallar el ángulo descrito por el niño cuando se
separa de la superficie de la semiesfera, y su velocidad en ese instante.
Planteando la ecuación fundamental de la dinámica:
La componente y de la fuerza resultante, es normal a la
trayectoria, por lo que dará lugar a una aceleración normal,
v2/R, que es la responsable de la trayectoria curvilínea.
at = gsenα an = -(N - mgcosα )/m
Como se ve, N, disminuye conforme la velocidad del niño aumenta. Necesitamos ahora una expresión que nos
de el valor de v para cada ángulo. Utilizaremos el teorema de conservación de la energía:
Energía en el punto más alto: mgh = mg(R - Rcosα ) = mgR(1 - cosα )
Energía en un punto cualquiera: ½ mv2;
½ mv2 = mgR(1-cosα ); v2 = 2gR(1-cosα )
Sustituyendo en (1): N = mg(cosα - 2 + 2cosα ) = mg(3cosα - 2)
Como puede verse hay un valor de α que hace que N se anule, instante en que tiene lugar la separación:
N = 0 cosα = 2/3 α = arcos 2/3 = 48º 11’
Resultado llamativo por su independencia del radio, de la masa y de la aceleración de la gravedad.
La velocidad en el momento de la separación
18. Desde un extremo de un arco circular de 60º y de radio R se
abandona una masa puntual m que se desliza sin rozamiento. Escribir la
expresión de la reacción del arco sobre la masa puntual en función del ángulo.
Para resolverlo aplicando el principio de
conservación de la energía, escojamos
primero como origen de alturas el punto más
bajo del arco y hallemos el valor de la altura
inicial.
h = R - Rcosα
Igualando energía inicial con energía en un punto cualquiera de ángulo α , tendremos:
Ei = Ef; mgR(1 - cos30) = ½ mv2 + mgR(1 - cos α )
v2 = gR(cosα - cos30).
Expresión que nos da la velocidad en cualquier punto del recorrido por el arco. Así, en
el punto más bajo en que α = 0, v tendrá el valor máximo
.
Para hallar la reacción del suelo en cualquier punto N, hallemos la fuerza resultante en la dirección radial:
N - mgcosα = mv2/R
por tanto, N = mgcosα + mg(cosα - cos30) = mg (2cosα - cos30).
De la expresión obtenida podemos concluir que la reacción máxima se da para α = 0, que corresponde al
punto mas bajo.
19. A la altura h = 2R respecto al suelo
en una rampa, se coloca un anillo de masa m
que rueda sin deslizar por la rampa entrando en
un carril de un rizo de radio R. El anillo sube
hasta que en un cierto punto C se desprende y
cae en otro punto D del rizo. Hallar el valor del
ángulo α en el que el anillo se desprende del
rizo.
Considerando despreciable el radio del anillo
frente a R, el anillo posee en B una energía
cinética mg2R, que va a ir perdiendo conforme
sube por la rampa.
En una posición cualquiera de la subida de ángulo α y altura h tendremos que la altura ascendida es R(1cosα ).
Igualando energía inicial y final:
mg2R = mgR(1-cosα )+ ½ mv2;
Por tanto la velocidad en cualquier posición es v2 = 2gR(1 + cosα )
Para hallar la reacción del suelo en cualquier punto N, hallemos la fuerza resultante en la dirección radial: (ver
problema 18)
N - mgcosα = mv2/R
por tanto, N = mgcosα + mv2/R = mg(cosα + 2 + 2cosα ) =
N = mg(2 + 3cosα )
Función N(α ) que se anula para α = arcos(-2/3) = 131.8º, siendo su velocidad
20. Una masa puntual m se abandona en A deslizándose sobre el cuadrante de rampa circular AB, y
posteriormente sobre un tramo recto BC =
L. En C incide sobre un resorte de
constante K que se comprime. Sabiendo
que la velocidad de la masa en C es la
tercera parte de la velocidad en B y que el
resorte se comprime 1 m, se pide:
a. Longitud del tramo BC.
b. Valor del coeficiente de rozamiento
entre el tramo AB y la masa.
Datos R = 40.5 m; µ = 1/3; K = 9mg N/m;
(Selectividad junio 93)
a) Comenzaremos por el final, la energía del muelle comprimido es ED = ½ Kx2 =
E C = ED E C =
mg = ½ mvC2
mg;
EB = ½ mvB2 vC = vB/3 EC = ½ mvC2
9g = vC2 vB = 3vC = 9
EC - EB = -fR L = -µ mgL; EB = EC + µ mgL = mg + mgL = ½ 81mg
+ L = ½ ⋅ 81; L = 3(
) = 108 m
b) EA = mgR; EB = ½ 81mg EB - EA = mg(
- R) = mg (
- 40.5) = 0
Por tanto se conserva la energía de A a B, por lo que no hay trabajo de rozamiento, y µ AB = 0.