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Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Matemáticas Propedéutico para Bachillerato
Actividad 10. Geometría básica.
Introducción
Durante toda nuestra vida hemos estado
en contacto con la Geometría, hemos
tenido innumerables juegos de corte
geométrico, ¿alguien recuerda
los
juegos de Lego, o una esfera de plástico
hueca por donde (en su superficie) se
debían introducir objetos los cuales
debían coincidir con la figura geométrica
para que pudieran entrar?
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Introducción
El contacto con figuras geométricas es
constante, observa a tu alrededor. El
pizarrón de esta clase ¿qué figura es?
¿Las ventanas? ¿Las mesas? Pero
todo esto que mencionamos son
figuras planas ¿Qué significa, figuras
planas? Todos estos conceptos los
estudiaremos en esta actividad. El
salón de clase ¿es una figura plana?
El contorno de la puerta ¿es una figura
plana? ¿Un cuerpo? ¿Qué es?
Introducción
¿Para qué me sirve conocer una figura
geométrica?
Hay infinidad de situaciones que requieren del
conocimiento de la Geometría, de hecho el estudio de
las matemáticas comenzó por la necesidad de medir
tierras, de ahí viene el origen de la palabra Geometría.
¿Alguno de ustedes ha tenido la oportunidad de estar al
pendiente cuando se requiere hacer una remodelación o
construcción de su casa? Si se quiere cambiar el piso lo
primero que debo saber es cuántos metros cuadrados
de mosaico se requieren.
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Introducción
Si necesitas pintar tu casa y vas a comprar la pintura, el
asesor te dice la pintura rinde 8 metros cuadrados por 1
litro de producto, por lo que requieres, otra vez, saber
ahora cuántos metros cuadrados de superficie necesitas
pintar.
Ahora imagina que se va a llenar la alberca de una quinta
campestre, y te pide tu papá que llames a un distribuidor
de agua y el asesor te pregunta ¿cuántos litros de agua
requieres? Por lo que debes calcular la capacidad de la
alberca (volumen).
Objetivos
Al finalizar la actividad serás capaz de:
• Reconocer los conceptos básicos de la geometría plana:
la línea, el ángulo, el plano, perímetro y áreas.
• Reconocer los conceptos de cuerpos geométricos:
volumen.
• Aplicar los conceptos de geometría en la solución de
problemas razonados.
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Concepto de Geometría
El estudio de las matemáticas comenzó por la necesidad
de medir la tierra, terrenos, canales, edificios… por lo que
a esta rama de las matemáticas se le conoce como
Geometría.
La Real Academia Española define el concepto como:
“Estudio de las propiedades y de las medidas de las
figuras en el plano o en el espacio”.
En este curso veremos dos áreas básicas dentro de la
Geometría:
a) Planimetría.
b) Estereometría.
Planimetría
La planimetría es parte de la topografía (medición de la
superficie terrestre) que se ocupa de la representación de
la superficie terrestre sobre un plano.
Conceptos básicos:
a) Puntos.
b) Líneas.
c) Ángulos.
d) Plano.
e) Poligonal.
f) Polígonos.
g) Perímetro.
h) Áreas.
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Estereometría
La estereometría es parte de la Geometría que trata de la
medida de los cuerpos sólidos.
Cuando hablamos de cuerpos, nos referimos a objetos que
poseen 3 dimensiones (volúmenes), observa la siguiente
tabla:
Dos
dimensiones
Figuras planas
Tres
dimensiones
Cuerpos
Círculo
Esfera
Cuadrado
Cubo
Triángulo
Pirámides
¿Existen más? ¿Qué otros ejemplos podrías dar?
Conceptos de Planimetría
Vamos a estudiar cada uno de los conceptos más importantes de
la Planimetría.
a) El punto: es el elemento mínimo de la geometría ( • ). Carece
de dimensión o magnitud, generalmente se le identifica con una
letra mayúscula.
A•
b) La línea recta: es un conjunto de puntos que se suceden
ilimitadamente en dos sentidos.
Según su posición ésta pueden ser:
Vertical
Horizontal
Inclinada u Oblicua
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Las líneas
Dentro de las líneas tenemos otros conceptos importantes
como lo son:
El segmento: es parte de una recta limitado por dos puntos
y siempre tiene magnitud o sea medida.
A
B
Rayo o semirecta: es parte de una recta, tiene principio
mas no tiene fin. El inicio se marca con un punto y el otro
extremo con flecha.
A
Rectas paralelas y perpendiculares.
Existen relaciones importantes que se suceden entre las
líneas rectas.
Rectas Paralelas: Son las líneas rectas que nunca llegan
a intersecarse (cruzarse).
Rectas Perpendiculares: Son líneas rectas que se cruzan
entre sí formando 4 ángulos rectos.
90°
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El ángulo
c) El ángulo: es la abertura comprendida entre dos rayos
o semirectas que parten de un punto en común.
El punto en común se le conoce como vértice, y se le
asigna una letra mayúscula. Para nombrar el ángulo se
nombran 3 de sus puntos, dejando en medio la letra del
vértice.
A
B
C
Su notación es: < ABC, significa el ángulo formado por AC
con vértice en B.
Clasificación de ángulos
Los ángulos se clasifican según su abertura (amplitud) en:
Recto: Mide exactamente 90.
Agudo: Mide entre 0° y menos de 90.
Llano o colineal: mide exactamente 180.°
Entrante: Mide más de 180° pero menos de 360.
Perigonal: Mide exactamente 360.
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Clasificación de ángulos
Otra clasificación por la relación que guardan los ángulos
al hacer operaciones con ellos son:
Complementarios: son aquellos que su suma es de 90°
a + b=90°
b
a
Suplementarios: son aquellos que su suma es de 180°
b
a
a + b = 180°
Ángulo complementario y suplementario
Ejemplo 1:
Encuentra el ángulo complementario a 32°.
Planteamos la siguiente operación para encontrar el ángulo
complementario:
90  32  58
Por lo que 32° y 58° son complementarios entre sí.
Ejemplo 2:
Ahora vamos a buscar el ángulo suplementario a 68°
180  68  112
Por lo que 68° y 112° son suplementarios entre sí.
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Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras es la relación que existe entre los lados
de un triángulo rectángulo, el cual establece que la suma de sus
catetos (lados) al cuadrado es igual a la hipotenusa al cuadrado.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto.
c
a2  b2  c2
a
b
Si se requiere obtener algún lado en específico quedará:
c  a 2 b 2
a  c2  b2
b  c2  a2
El plano
d) El plano: es una superficie que tiene dos dimensiones,
largo y ancho y carece de espesor.
Para formar una figura plana se necesitan de por lo menos
3 puntos no colineales entre sí. Es decir que no estén los
3 sobre una misma recta.
A
C
B
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Poligonal y Polígono
e) La poligonal: es una línea quebrada que está formada
por varios segmentos que tienen distintas direcciones, y
mantienen una continuidad con el anterior segmento.
A
C
E
B
D
f) Polígono: Es una poligonal cerrada. Y se clasifican en:
• Polígonos regulares.
• Polígonos irregulares.
Polígonos regulares e irregulares
Los polígonos regulares, son los que tienen sus lados
iguales, por ejemplo:
- Triángulo equilátero.
- Cuadrado.
- Pentágono.
Los polígonos irregulares, son los que tienen sus lados
diferentes, por ejemplo:
- Triángulo isósceles.
- Triángulo escaleno.
- Rectángulo.
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Triángulos
El triángulo es un polígono de 3 lados, y tiene su
clasificación:
Equilátero
(3 lados iguales)
Según sus lados
Isósceles
(2 lados iguales)
Escaleno
(los 3 lados diferentes)
Según sus ángulos
Acutángulos (3 ángulos < 90°)
Rectángulos (1 ángulo = 90°)
Obtusángulo (1 ángulo > 90°)
Polígonos según sus lados
Los polígonos reciben su nombre según sus lados.
Nombre
Número de lados
Triángulo
3
Cuadrilátero
4
Pentágono
5
Hexágono
6
Heptágono
7
Octágono
8
Nonágono o Eneágono
9
Decágono
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¿Cómo se le llamaría al polígono de doce lados?
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El perímetro
g) El perímetro: el significado de la palabra perímetro viene
de su raíz griega que significa “alrededor de medida”, quiere
decir la medida del contorno de una figura.
5cm
6cm
4cm
3cm
8cm
Ejemplo: Obtén el perímetro del pentágono irregular
mostrado.
El perímetro se representa con la letra P, por lo que la
operación será:
P  5  6  4  8  3  26cm
El perímetro
El círculo
El perímetro de la circunferencia es la medida del contorno
y su formula es:
P  2r
El radio es la distancia del centro de la circunferencia hacia
cualquier parte de la circunferencia.
Y dado que dos radios equivale a un diámetro la fórmula se
puede expresar:
P  d
r
d
  3.1416
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El perímetro
Ejemplo:
Calcula el perímetro de una circunferencia de 25 cm. de
radio .
Si empleamos el radio 
P  2 (25)  157.08cm
Si empleamos el diámetro  P   (50)  157.08cm
El área
h) El área: es la medida de la superficie de una figura.
Tiene 2 dimensiones.
Vamos a recordar las fórmulas más empleadas de los
polígonos.
Cuadrado
l
Todos sus lados miden lo mismo.
A  l2
l
Rectángulo
Tiene dos pares de lados paralelos
formando ángulos rectos.
h
A  bh
b
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El área
Ejemplo: Obtén el área del siguiente rectángulo .
El área se representa con la letra A, por lo que la operación
será:
5cm
18cm
A  bh  (18)(5)  90cm 2
Las unidades del área siempre son unidades cuadradas por
lo que le corresponde cm2.
Áreas
Romboide
Tiene dos pares de lados paralelos
pero no forman ángulos de 90°
A  bxh
h
b
Trapecio
Tiene dos lados paralelos.
b
 Bb
A
h
 2 
h
B
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Áreas
Triángulo
bxh
A
El área de un triángulo es:
2
No importa el tipo de triángulo que sea, equilátero,
isósceles o escaleno cualquiera de sus lados se puede
considerar su base, y la altura será la recta perpendicular
que parte de su base hacia el vértice opuesto.
h
h
h
b
b
b
Áreas
Polígonos regulares
El área de cualquier polígono regular es:
Pxa
A
2
P=Perímetro
a  apotema
Se lee “Área es igual a Perímetro por apotema sobre 2”.
Donde la apotema es la distancia del centro del polígono al
centro de uno de sus lados.
Perímetro  nl
n  número de lados
dependiendo del polígono
a
l
l  longitud del lado
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Áreas
Ejemplo:
En la figura anterior tenemos un hexágono (6 lados), con
los siguientes datos.
lado = 6 cm
apotema = 5.5 cm
a) Calcula el perímetro
b) Calcula el área
A
P  (6)(6)  36cm
(36)(5.5)
 99cm 2
2
Observa las unidades del
perímetro, son lineales cm.
y las del área son cuadradas.
5.5 cm
cm 2
L=6 cm
Áreas
El círculo
El área del círculo es la medida de su superficie.
A  r 2
r
  3.1415927
  3.1416
Ejemplo: Calcula el área de un círculo de radio igual a
12cm.
A=(3.1416)(12)2 = 452.39cm2
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Conceptos de estereometría
El volumen es el espacio que ocupa un sólido. Por lo que
se presenta en 3 dimensiones Longitud (largo), Altura (h) y
Profundidad (ancho).
Las caras se llaman superficies.
altura
profundidad
largo
A estos volúmenes se les llama prismas regulares.
Volúmenes
En general los prismas regulares son cuerpos delimitados
por 2 polígonos regulares llamados base, su volumen se
obtiene de multiplicar su Área (del polígono regular) por
la altura del prisma.
L
L
h
h
a
L
V= Ah= (L)(L)(h)
Prisma cuadrangular.
V=Ah=(L)(a)(h)
Prisma rectangular
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Volúmenes
Ejemplo: Obtén el volumen de un prisma octagonal donde
la longitud de uno de sus lados de su base es de 5cm y su
apotema es de 6cm, y la altura del prisma es de 15 cm.
Las fórmulas a emplear son:
V  Ah
Pa
2
P  nl
A
15cm
5cm
6cm
Volúmenes
Empecemos por obtener el perímetro, después el área y por
último el volumen.
P  nl  8(5)  40cm
Pa (40)(6)
A

 120cm 2
2
2
V  Ah  120(15)  1800cm3
15cm
5cm
6cm
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Aplicación
Ejemplo 1:
En mi casa se va a poner piso cerámico y el azulejero nos
cobra la instalación a $60.00 por m2, pero el zoclo (mosaico
que va alrededor entre el piso y la pared) tiene un costo de
$85.00 por m.l. ¿Cuánto nos saldrá pagarle al instalador?
Las dimensiones del piso son las siguientes:
3m
5.5m
6m
15m
9.5m
9m
Aplicación
Para obtener el zoclo necesito el perímetro:
P  315 9  9.5  6  5.5  48ml
Para obtener el área puedo dividir la zona, en dos
rectángulos.
2
A  (9)(9.5)  (3)(5.5)  102m
Calculando los costos será:
Costo total  (48ml )($85 / ml )  (102m 2 )($60 / m 2 )
Costo total  $4,080  $6,120  $10,200.00
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Aplicación
Ejemplo 2:
¿Cuál es el costo por la cantidad de concreto que requiero
para la construcción de una cisterna de agua potable? El
costo del concreto por metro cúbico es de $1100 y las
dimensiones de la cisterna son las siguientes:
El espesor de los muros y piso
es de 0.15 m
4.50m
2.85 m
6.00 m
Vista en planta
Vista Lateral
Aplicación
Este problema requiere emplear volúmenes y su
planteamiento es el siguiente:
Vol. de concreto = Vol. Exterior – Vol. Interior
Vol. exterior  4.50 x 6.00 x 2.85 = 76.95 m3
Vol. interior  4.20 x 5.70 x 2.70 = 64.638 m3
Ancho interior 4.50 - 0.15 – 0.15 = 4.20 m
Largo interior 6.00 - 0.15 - 0.15 = 5.70 m
Altura interior 2.85 -0.15 = 2.70 m
Vol. de concreto = 76.95 m3 – 64.638 m3 = 12.312 m3
Costo total de concreto  ($ 1100/m3)(12.312
m3)=$13,543.00
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Bibliografía
Gustafson,R. David. Álgebra Intermedia. México:Thomson
Editores, 2004. (ISBN 968-7529-07-5).
Créditos
Diseño de contenido:
Ing. Raquel Ramírez Peláez
Coordinador de área:
Lic. José de Jesús Romero Alvarez, MC y MED
Edición de contenido:
Lic. Miriam Gómez Moore, MED
Edición de texto:
Lic. Alejandra Zaragoza Scherman
Diseño Gráfico:
Título y nombre del diseñador gráfico, Maestría
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