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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
C. C. H.
A. G. C.
Preparatoria Agustín García Conde
Clave de Incorporación U. N. A. M. 2308
Manual del participante de la asignatura
MATEMÁTICAS II
Clave de la asignatura
1201
Diseñado por el Profesor:
ING. Javier Israel Cruz Ponce.
México, D.F.
Semestre Enero-Junio 2013
Grupo:
2010
Nombre del alumno:
________________________________________________
1
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Índice
Mensaje de bienvenida ...................................................................................................................................... 3
Introducción ....................................................................................................................................................... 4
Objetivos generales (competencias a desarrollar) ............................................................................................ 4
Objetivo del manual ........................................................................................................................................... 4
UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS.
ACTIVIDAD No 1 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ...................................................................... 5
ACTIVIDAD No 2 ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO. .................................................................................. 5
ACTIVIDAD No 3 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRTÁTICAS. ........................................................ 6
UNIDAD II CONSTRUCCIONES Y ELEMNTOS GEOMÉTRICOS BÁSICOS.
ACTIVIDAD No 4 CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS. .............................................................. 7
ACTIVIDAD No 5 TRAZO DE LINEAS PARALELAS. ...................................................................................... 8
ACTIVIDAD No 6 TRIÁNGULOS. ................................................................................................................... 8
ACTIVIDAD No 7 PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO. ......................................................................... 8
UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.
ACTIVIDAD No 8 CONSTRUCCIÓN DE LINEAS PARALELAS. ................... ¡Error! Marcador no definido.
ACTIVIDAD No 9 CONSTRUCCIÓN DE POLÍGONOS REGULARES. ......... ¡Error! Marcador no definido.
ACTIVIDAD No 10 ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN POLÍGONO............ ¡Error! Marcador no
definido.
ACTIVIDAD No 11 RELACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA ...... ¡Error! Marcador no
definido.
ACTIVIDAD No 12 TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS ¡Error! Marcador no definido.
UNIDAD IV PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES.
ACTIVIDAD No 13 CÁLCULO DE PERÍMETROS. ......................................... ¡Error! Marcador no definido.
ACTIVIDAD No 14 CÁLCULO DE ÁREAS...................................................... ¡Error! Marcador no definido.
ACTIVIDAD No 15 CÁLCULO DE VOLÚMENES ......................................................................................... 14
ACTIVIDAD No 16 PROBLEMAS DE APLICACIÓN .................................................................................... 14
UNIDAD V ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA.
ACTIVIDAD No 17 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS .................................................................................... 15
ACTIVIDAD No 18 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS ................................................................................ 16
ACTIVIDAD No 19 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS ........................................................................... 16
Conclusiones generales .................................................................................................................................. 17
Bibliografía ....................................................................................................................................................... 17
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Mensaje de bienvenida
Estimado alumno te damos la más cordial bienvenida a este nuevo curso que estas por
comenzar deseando que logres los aprendizajes que seguramente te ayudaran como
una herramienta más, en tu futura profesión.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Introducción
El presente cuadernillo de trabajo tiene como propósito desarrollar las competencias
genéricas y particulares del alumno desarrollando: Conocimientos, habilidades y
actitudes.
Objetivos generales (competencias a desarrollar)
Al término del curso el alumno obtendrá los conocimientos referentes a la materia de
Geometría y Trigonometría con el propósito de aplicar estos conocimientos en problemas
prácticos.
Objetivo del manual
Ayudar al alumno a fortalecer sus aprendizajes a través de ejercicios y situaciones
problemáticas enfocadas a la realidad.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
UNIDAD I FUNCIONES CUADRÁTICAS.
Propósitos de la unidad
Continuar con el estudio de funciones a partir del estudio de situaciones que varían en forma
cuadrática; contrastar este tipo de variación con la lineal. Analizar el comportamiento de las
gráficas de funciones cuadráticas en términos de sus parámetros e iniciar la resolución de
problemas de optimización con métodos algebraicos.
Temática
Situaciones que involucran cambio y que dan origen a funciones cuadráticas.
Comparación de la función cuadrática con la función lineal.
Intersecciones de la gráfica de una función cuadrática con el eje x.
Estudio gráfico y analítico de la función: y = ax2 + bx + c
casos particulares:
y = ax2
y = ax2 + c
y = a(x –h)2
y = a(x –h)2 + k
Concavidad, máximo o mínimo.
Problemas de máximos y mínimos. Resolución algebraica.
ACTIVIDAD No 1 FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.
INSTRUCCIONES: Tabula y grafica las siguientes funciones lineales y cuadráticas.
a) f (x) = 2x – 3
b) f (x) = x2 – 2
e) f (x) = x2 – 2x + 3
c) f (x) = –x + 4
d) f (x) = – 2x2
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 2 ESTUDIO GRÁFICO Y ANALÍTICO.
INSTRUCCIONES: Realiza el estudio gráfico y analítico de las siguientes funciones cuadráticas .
a) f (x) = x2 –x – 6
b) f (x) = – x2 + 2x + 15
c) f (x) = x2 – 6x + 9
d) f (x) = x ( x + 3 ) = 5x + 3
e) f (x) = ( x – 2 )2 + 8
Evaluación de la actividad
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 3 APLICACIONES DE FUNCIONES CUADRÁTICAS. (Máximos y mínimos)
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas con funciones cuadráticas.
a) Se arroja una piedra verticalmente hacia arriba desde el nivel del suelo, la función:
S(t)= – 8t² + 32t nos da la altura en metros de la piedra después de t segundos.
1.- Determina
2.- ¿Qué
cual es la altura máxima que alcanza la piedra.
altura alcanza la piedra en 3 segundos?
b) La ganancia semanal de una empresa se relaciona con el número de artículos producidos cada
semana y esto se puede representar por la función: G(x)= – 2x² + 96x – 52. Donde G(x)
representa la ganancia semanal en pesos y x el número de artículos producidos por semana.
1.-
Si la empresa produce 26 artículos en una semana ¿Cuál será su ganancia en este periodo?
2.-
Determine cuántos artículos deberá producir para obtener una ganancia máxima.
c) Se desea cercar un terreno situado en la ribera de un río. El material para cercar cuesta 8
dólares por metro para los extremos y 12 dólares por metro para el lado paralelo al río. ¿Cuál
es el área máxima que se puede cercar si se cuenta con 3600 dólares?
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
UNIDAD II CONSTRUCCIÓN DE ELEMENTOS GEOMETRICOS BÁSICOS.
Propósitos de la unidad
A través de construcciones con regla y compás, explorar las propiedades de las figuras elementales
y algunos conceptos básicos de la Geometría Euclidiana. Reconocer patrones de comportamiento
geométrico que permitan plantear conjeturas para proceder a su validación empírica.
Temática
Construcciones con regla y compás
Segmentos Congruentes.
Ángulos Congruentes.
Mediatriz y determinación del punto medio de un segmento.
Bisectriz de un ángulo dado.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Perpendicular a una recta dada que pasa por un punto: a) que pertenece a ella, b) fuera de ella.
Triángulos
Reproducción de un triángulo a partir de condiciones dadas (postulados LAL, LLL, ALA).
Desigualdad del triángulo.
Rectas notables en un triángulo.
Mediatriz, bisectriz, mediana y altura.
Puntos notables en un triángulo. Circuncentro, incentro, baricentro y ortocentro.
Reproducción de polígonos por triangulación.
Circunferencia
Rectas y segmentos.
Rectas tangentes a una circunferencia:
a)
desde un punto sobre ella
b)
desde un punto fuera de ella.
Localización del centro de una circunferencia dada.
ACTIVIDAD No 4 CONSTRUCCIONES CON REGLA Y COMPÁS.
INSTRUCCIONES: Dibuja en tu cuaderno los siguientes segmentos en diferentes posiciones y traza
las mediatrices de cada uno de ellos.
a) Segmento AB de 3.5cm de longitud
d) Segmento CD de 6.0cm de longitud
b) Segmento DE de 5.0cm de longitud
e) Segmento MN de 4.5cm de longitud
c) Segmento FG de 7.5cm de longitud
INSTRUCCIONES: Dibuja en tu cuaderno los siguientes ángulos y traza las bisectrices de dada uno de
ellos.
a) Ángulo < AOB de 36º
d) Ángulo < EOF de 90º
b) Ángulo < COD de 120º
e) Ángulo < AOB de 165º
c) Ángulo < MON de 72º
Evaluación de la actividad
7
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 5 TRAZO DE LINEAS PARALELAS.
INSTRUCCIONES: Reproduce los siguientes segmentos en tu cuaderno y traza las perpendiculares al
punto P
.P
.P
.P
.P
.P
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 6 TRIÁNGULOS.
INSTRUCCIONES: Construye los siguientes triángulos.
a) Lados de 6cm, 4cm y 8cm
b) Lados de 5cm y 7cm, Ángulo entre ellos de 75º
c) Lado de 4.5cm y Ángulos de 45º y 60º
d) Lados de 6.5cm y 8.5cm, Ángulo entre ellos de 165º
e) Lados de 3cm, 9cm y 7cm
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 7 PUNTOS NOTABLES DEL TRIÁNGULO.
INSTRUCCIONES: Determina los puntos notables de los siguientes triángulos.
a) El Baricentro
b) El Incentro
c) El Circuncentro
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
d) ortocentro
e) Incentro
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
UNIDAD III CONGRUENCIA Y SEMEJANZA.
Propósitos de la unidad
Ilustrar el papel de la demostración en los resultados de la Geometría e iniciar al alumno en el
método deductivo. Trabajar la Congruencia y Semejanza de triángulos, así como el teorema de
Pitágoras.
Temática
Congruencia
Congruencia de complementos y suplementos de ángulos congruentes.
Congruencia de ángulos opuestos por el vértice. Justificación.
Construcción de la recta paralela a otra por un punto dado:
Postulado de las rectas paralelas.
Congruencia de ángulos entre rectas paralelas cortadas por una secante.
Ángulos internos y el ángulo externo de un triángulo.
Relación entre el ángulo externo y el ángulo interno. Justificación.
Suma de ángulos interiores de un triángulo. Justificación.
Suma de ángulos interiores y exteriores de un polígono regular.
Congruencia de triángulos.
Criterios de congruencia de triángulos.
Justificación de las construcciones de:
Bisectriz de un ángulo.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Mediatriz de un segmento.
Perpendicular a una recta.
Teorema del triángulo isósceles y su recíproco. Justificación.
Relación entre el ángulo central e inscrito en una circunferencia. Justificación.
Semejanza
División de un segmento de recta en n partes iguales. Construcciones.
Teorema de Thales y su recíproco.
Criterios de semejanza de triángulos.
Teorema de la altura de un triángulo rectángulo. Justificación.
Teorema de Pitágoras y su recíproco. Justificación.
ACTIVIDAD No 8 CONSTRUCCIÓN DE LINEAS PARALELAS.
INSTRUCCIONES: Reproduce los siguientes segmentos en tu cuaderno y traza una línea paralela a
cada uno de ellos.
.P
.P
.P
.P
.P
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 9 CONSTRUCCIÓN DE POLIGONOS REGULARES.
INSTRUCCIONES: Tomando como base círculos de 6cm de diámetro traza los siguientes polígonos
regulares.
a) Triángulo
b) Pentágono
c) Heptágono
d) Nonágono
e) Dodecágono
Evaluación de la actividad
10
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Total
Honestidad
ACTIVIDAD No 10 ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE UN POLÍGONO.
INSTRUCCIONES: Determina el valor de cada uno de los ángulos de los siguientes polígonos.
a)
b)
A B
L1
L2
c) .
M
Z
85°
X
70°
85°
N
90° Y
40°
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 11 RELACIÓN DE LOS ÁNGULOS DE UNA CIRCUNFERENCIA.
INSTRUCCIONES: Determina el valor de los ángulos y los arcos de cada circunferencia.
a) Si
AC
= 140°
Encontrar:
C
AC
= 82º
Encontrar:
C
AB =
CB =
A
b) Si
CB =
AC =
AB=
BC =
< ABC =
B
<CAB=
A
B
< CAB =
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
11
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
ACTIVIDAD No 12 TEOREMA DE THALES Y TEOREMA DE PITÁGORAS.
INSTRUCCIONES: Determina lo que se te pide en cada problema.
a) Calcula la altura de la torre
b) Calcula la sombra del pino
45m.
37m.
52m.
28m.
c) Aplicando el teorema de Thales determina el valor del segmento PQ
P
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
8cm.
Q
24cm.
14cm.
UNIDAD IV PERÍMETROS, ÁREAS Y VOLÚMENES.
Propósitos de la unidad
Aplicar conocimientos algebraicos y geométricos adquiridos en unidades anteriores, en la
resolución de problemas sobre figuras y cuerpos que involucren exploraciones geométricas,
deducciones y cálculos numéricos. Propiciar el desarrollo de la imaginación espacial.
Temática
Medida en geometría.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
¿Qué es medir longitudes, áreas y volúmenes?
Perímetro de un polígono regular.
Medida aproximada de la longitud de la circunferencia. Obtención empírica de la fórmula.
Área del rectángulo.
Volumen de un prisma recto.
Cálculo de áreas por descomposición y recomposición de figuras.
Obtención de la fórmula del área del: triángulo, rectángulo, trapecio, rombo y paralelogramo.
Obtención de la fórmula del área de un polígono regular dado el apotema.
Cálculo aproximado del área del círculo. Obtención empírica de la fórmula.
Razón entre perímetros y entre áreas de triángulos semejantes.
Problemas de longitudes y áreas que involucren semejanza, congruencia y teorema de Pitágoras.
Problemas que involucren áreas y volúmenes de prismas, cilindros rectos y conos rectos, donde
sea necesario aplicar conocimientos de congruencia, semejanza y el Teorema de Pitágoras.
ACTIVIDAD No 13 CÁLCULO DE PERÍMETROS.
INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras.
a)
b) .
10m.
20cm
r = 4cm
7m.
5m.
66
8cm.
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 14 CÁLCULO DE ÁREAS
INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras.
a)
b) .
18 m.
14cm.
7cm.
9 m.
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
6cm.
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 15 CÁLCULO DE VOLÚMENES
INSTRUCCIONES: Calcula el perímetro de las siguientes figuras.
a) Calcula el volumen del portalápices en
forma de cilindro recto.
b) Calcula el volumen de la pirámide cuya
base pentagonal tiene 3cm. de lado y su
apotema es de 4.5cm.
8cm.
20cm.
12cm.
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 16 PROBLEMAS DE APLICACIÓN.
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas.
a)
Calcula el área total de un cono considerando que el radio de su base mide 15 cm y su altura
40 cm.
b)
Un silo para almacenar granos tiene forma de cono circular recto. Calcula su capacidad de
almacenamiento si su altura es de 20 m y su radio de 6 m.
c)
El radio de la base de un cono es de 15 cm y su volumen de 2 700 cm . Con estos datos calcula
su altura.
3
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
d)
Determina el volumen de un cilindro que tiene un diámetro de 23 cm y una altura del doble de
su diámetro.
e)
Determina el volumen de un cono cuyo radio es de 15 cm y su generatriz es de 45 cm.
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
UNIDAD V ELEMENTOS DE TRIGONOMETRÍA.
Propósitos de la unidad
Mostrar a las razones trigonométricas como una herramienta y un modelo en la solución de
problemas de diversos campos del conocimiento. Iniciar, asimismo, un nuevo saber matemático
que culminará posteriormente con el estudio de las funciones trigonométricas.
Temática
Razones trigonométricas seno, coseno y tangente para ángulos agudos.
Valores recíprocos de las razones seno, coseno y tangente.
Solución de triángulos rectángulos:
Conociendo un ángulo y un lado.
Conociendo dos lados.
Razones seno, coseno y tangente de los ángulos de 15°, 30°, 45°, 60° y 75°
Las razones recíprocas del seno, coseno y tangente
Resolución de problemas de aplicación:
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
Distancias inaccesibles
Identidades trigonométricas fundamentales:
Las recíprocas
Las de división
Resolución de triángulos oblicuángulos
Ley de los senos
Ley de los cosenos
Problemas cuya solución utiliza la resolución de triángulos oblicuángulos
15
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
ACTIVIDAD No 17 TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS.
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos rectángulos.
a)
b)
c)
3m.
15m.
35°
4m.
6m.
35°
d)
e)
25.8°
10m.
6m.
8m.
Evaluación de la actividad
Desarrollo
completo
Puntualidad
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 18 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS.
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos.
a) a = 60 cm, b = 50 cm y C = 78°
b) a = 11 cm, b = 21cm y C = 97° 50´
c) b = 61 cm, A = 29° y B = 45°
d) b = 50 cm, A = 57° y C = 78°
e) a = 40 cm, b = 19 cm y c = 32 cm
f) a = 13 cm, b = 4 cm y c = 15 cm
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
ACTIVIDAD No 19 IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes triángulos oblicuángulos.
a)
Sec A
Tan A + Cot A
= Sen A
c)
Sen Y + Cos Y
Sen Y
= 1 + 1
Tan Y
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Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
b) Cos² X = ( 1 + SenX ) ( 1 – SenX )
Evaluación de la actividad
Puntualidad
Desarrollo
completo
Orden y
limpieza
Trabajo en
clase
Honestidad
Total
Conclusiones generales
Los conocimientos adquiridos en este semestre nos ayudan al estudio posterior de
funciones básicas para el cálculo. La geometría y la trigonometría es la base para la
geométrica analítica. Además los aprendizajes adquiridos en el semestre nos ayudan a
entender mejor diversos fenómenos de la naturaleza y a resolver problemas básicos de la
vida cotidiana.
Bibliografía
1. Baldor. Geometría Plana y del Espacio y Trigonometría. Publicaciones Cultural.
México, 2005.
2. Filloy, Eugenio y Zubieta, Gonzalo. Geometría, Grupo Editorial Iberoamérica.
México, 2005.
3. García, Jesús y Bertrán, Celeste. Geometría y experiencias. Recursos Didácticos.
Alhambra, Addison-Wesley Longman. México, 2003.
4. Wentworth J., Smith D. Geometría Plana y del Espacio. Porrúa. México.2008.
5. Flores, Homero y Victoria, Susana. Introducción a la Geometría con el Geométra.
17
Manual del participante Matemáticas II Geometría y Trigonometría
Iberoaméricana. México 2000.
6. Rivaud, Juan José. Trigonometría. Limusa. México, 2000.
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