Download PRÁCTICA N° 6. CINEMÁTICA Y DINÁMICA ROTACIONAL

REPÚBLICA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA
NÚCLEO ARAGUA – SEDE MARACAY
DEPARTAMENTO DE ESTUDIOS BASICOS
CATEDRA DE FÍSICA
GUÍA PRACTICA DE FÍSICA I
PRÁCTICA N° 6. CINEMÁTICA Y DINÁMICA ROTACIONAL
OBJETIVOS GENERALES:
Determinar las características de un movimiento circular
Determinar el momento de inercia, rapidez y aceleración de una rueda.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
l.
Determinar
experimentalmente:
velocidad,
desplazamiento angular empleando un giroscopio.
aceleración
y
2. Obtener experimentalmente el momento de inercia de una rueda.
3. Identificar en el experimento el tipo de movimiento.
CINEMÁTICA ROTACIONAL.
Materiales a utilizar:
(1) 1 Giróscopo
(2) 2 Relojes electrónicos
(3) 4 Barreras luminosas (Interruptor doble)
(4) 1 Fuente variable de tensión de (0-5) V cc.
(5) 16 Cables de experimentación.
(6) 2 Varillas de soporte de 100 cm.
(7) 1 Juego de pesas de 100 - 150 - 200 - gramos.
(8) 2 Mordazas de mesa.
(9) 4 Mordazas múltiples.
(10)
1 Cuerda de Nylon de 1m de largo.
Información Fundamental
Rotación: el movimiento más general que puede experimentar un cuerpo
es una combinación de traslación y rotación. Hasta aquí solo hemos
considerado el caso especial de movimiento de traslación a lo largo de una
recta o una curva.
En ésta práctica trataremos el movimiento de rotación alrededor de un eje
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fijo, o sea del movimiento de rotación sin traslación. Veremos que muchas de
las ecuaciones que definen la rotación alrededor de un eje fijo son
exactamente análogas a las encontradas en el movimiento rectilíneo.
Velocidad Angular: la figura N° 1 representa un cuerpo rígido de forma
arbitraria, que gira alrededor de un eje fijo que pasa por el punto O y es
perpendicular al plano del dibujo.
[Z, eje de rotación]
El segmento de recta OP es fija respecto al cuerpo y gira con él. La
posición del cuerpo, en conjunto; queda evidentemente determinada
mediante el ángulo que la recta OP forma con alguna recta fija de
referencia en el espacio, tal como OX se puede determinar que: El
movimiento de rotación de un cuerpo es, análogo al movimiento rectilíneo de
una partícula, cuya posición está completamente determinada por una sola
coordenada, x ó y.
Las ecuaciones del movimiento de rotación se simplifican mucho si el
ángulo se expresa en radianes.
Un radian es el ángulo central de una circunferencia que corresponde a
un arco de longitud igual al radio de la misma, como se representa en la
figura N° 2 puesto que el radio está contenido 2 veces en la circunferencia.
1 radian = 360/2 = 57,296 grados.
Figura Nº 2
En general si representa un ángulo arbitrario correspondiente a un arco
de longitud s sobre la circunferencia de radio r, como se muestra en la figura
Nº 3, el ángulo (en radianes) es igual a la longitud del arco s dividida por el
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radio r:
Como = s/r, entonces s = r
Figura N° 3
En la figura Nº 4, una línea de referencia r = op de un cuerpo de rotación,
forma en el instante t1, un ángulo , con la recta fija ox. Se define la
velocidad angular media w del cuerpo, durante el intervalo comprendido
entre t1 y t2, como la razón del desplazamiento angular 2 - 1 = , al tiempo
transcurrido t2 – t1 = t:
Figura Nº 4
Se define la velocidad angular instantánea w como el límite a que tiende esta
relación cuando t tiende a cero.
= limt0 /t = d/dt, donde viene expresado en rad/seg, ó rev/seg.
Sí, w es constante; integramos d = t.
Lo que implica que:
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Sí no hay desplazamiento angular inicial 0 = 0 por lo tanto, la velocidad
angular = /t (rad/seg), sí es igual a radianes y t es un periodo de tiempo
una vuelta = 2/P = 2f (rad/seg), donde P es período y frecuencia
expresada c.p.s.
Cuando hablamos de velocidad angular constante nos estamos refiriendo
a que gira el mismo ángulo en el mismo tiempo. Sí la velocidad angular de un
cuerpo varía, se dice que éste tiene aceleración angular. Sean l y 2, las
velocidades angulares en los instantes t1 y t2; se define la aceleración
angular media por:
= (2 - l)/( t2 - t1) = /t
La aceleración instantánea , es el limite de esta relación cuando t
tiende a cero, o sea,
= limt0 /t = d/dt
La aceleración angular se expresa en radianes por segundos al cuadrado
(rad/s2) o rev/seg2.
Lo mismo que para el movimiento rectilíneo, puede obtenerse otra
expresión útil de la aceleración angular.
= d/dt
Por la regla de la cadena se tiene:
a = (d/dt)(d/d) = (d/dt)(d/d) = d/d); entonces la aceleración
angular queda en función del ángulo barrido .
Rotación con aceleración angular constante. El movimiento de rotación
acelerado más sencillo es el de aceleración angular constante. En este caso,
se obtienen fácilmente partiendo de la definición de aceleración angular.
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Relación entre las características Cinemáticas Lineales y Angulares de
una partícula en el Movimiento Circular.
Cuando un cuerpo rígido gira alrededor de un eje fijo, cada partícula en el
cuerpo se mueve en un círculo. Por consiguiente, podemos descubrir el
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movimiento de tal partícula, ya sea como variables lineales o como variables
angulares.
La relación entre éstas variables, nos permite describir el movimiento
indistintamente en una forma o en otra, la cual es muy útil.
Consideremos una partícula P en el cuerpo rígido, (figura 5), a una
distancia r del eje que pasa por O. Esta partícula se mueve en un círculo de
radio r cuando gira el cuerpo. La posición de referencia es OX. La partícula
se mueve una distancia a lo largo del arco cuando el cuerpo gira el ángulo ,
tal que S = r en donde está en radianes.
Figura N. 5
Derivando ambos miembros de esta ecuación con respecto al tiempo y
notando que r es constante obtenemos:
ds/dt = (d/dt)r; donde ds/dt es la velocidad lineal de la partícula en P y
d/dt es la velocidad angular del cuerpo que gira de modo que:
v = r (m/s)
Derivando esta ecuación con respecto al tiempo:
dv/dt = (d/dt)r
Pero dv/dt es la magnitud de la componente tangencia} de la aceleración
de la partícula y d/dt es la magnitud de la aceleración angular del cuerpo
que gira, de modo que:
La componente radial de la aceleración de una partícula que se mueve en
un círculo, se determina mediante el análisis de a = du/dt. Analicemos el
movimiento de la partícula en la figura N°. 6, que nos permite obtener la
ecuación: an=V2/r.
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Apliquemos la teoría de la cinemática a la figura Nº 7
Si consideramos que el cuerpo m parte del reposo, el desplazamiento
angular es igual al desplazamiento h
En esta práctica, entre los instrumentos a utilizar está el Giróscopo:
aparato ideado por FOUCAUL T con el objeto de probar la existencia del
movimiento de la tierra. Consta de un volante que gira alrededor de su eje de
simetría que es un eje libre estable.
El Giróscopo tiene dos tipos de movimiento:
a) Precesión en el Giróscopo: Es el movimiento del eje de rotación
alrededor de un eje fijo debido a la presencia de fuerzas externas, lo que
origina la reacción giroscópica y es lo que explica este movimiento.
b) Nutación: Es el movimiento del eje de rotación cuando éste oscila entre
dos planos.
Aplicaciones del Giróscopo:
Son hoy muchas e interesantes, pero todas ellas basadas en los
fenómenos de inercia que "presenta". Ella son:
a) En la dirección de torpedos, en que el giróscopo acciona el timón
mediante aire comprimido y mantiene el azimut de partida.
b) Como piloto mecánico, para permitir descansar al verdadero piloto y
guía a plena velocidad.
c) Como estabilizadores para combatir el efecto de oleaje de los navíos.
d) Como ayuda para mantener el equilibrio en ferrocarriles monorrieles.
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e) En los proyectiles para mantener la dirección de su eje.
PARTE EXPERIMENTAL
Experiencia 1.
l. Construya un sistema como el que se ilustra en la figura Nº. 8. (Ver el
diagrama eléctrico de ésta figura, montaje en la página siguiente).
Figura Nº. 8
2. Sujete el nylon sobre el diámetro menor del giróscopo de tal manera
que no deslice, dejando libre el otro extremo.
3. Enrolle sobre el diámetro de 50 mm. el nylon y sujete sobre el extremo
libre una masa de 100 gr., una vez sujeta la masa, déjela libre para que se
desplace hasta alcanzar la distancia a elegir.
4. Repita la experiencia anterior, pero esta vez utilizando las masas de
150 y 200 gramos.
5. Deje libre el giróscopo hasta desenrollar todo el nylon, mida distancia y
tiempo entre las barreras luminosas.
6. Anote los valores de longitud y tiempos observados.
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7. Repita esta operación para pesas diferentes y anote los valores en una
tabla.
8. Tome los valores necesarios para aplicar la teoría de errores.
Nota: La barrera luminosa le permite poner en marcha el reloj y detenerlo
en los puntos elegidos.
PREGUNTAS.
l. ¿A qué se le llama velocidad angular en este movimiento?
2. ¿A qué se le llama velocidad tangencial?
3. ¿Qué da origen el cambio de dirección de la velocidad tangencial en
este movimiento?
4. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad tangencial?
5. ¿Cuáles son las unidades de la velocidad angular?
6. ¿Cuál es la frecuencia?
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7. Determine mediante las ecuaciones de cinemática
a) Velocidad angular del Giróscopo
b) Velocidad tangencial del Giróscopo.
c) Aceleración angular del Giróscopo.
d) Aceleración tangencial del Giróscopo.
e) Aceleración radial del Giróscopo.
f) Aceleración total del Giróscopo.
g) Angulo de barrido del Giróscopo.
8. Graficar:
a) Angulo en función del tiempo.
b) Distancia en función del tiempo.
9. Compare las gráficas y escriba sus conclusiones.
DINÁMICA ROTACIONAL.
Materiales utilizados:
.
1 Vernier
.
.
1 Balanza
.
.
.
4 Barreras de luz
.
1 Fuente de tensión variable de c.c.
.
.
2 Rieles de 100 cm
.
1 Masa de 200 gramos
.
2 Mordazas de mesa
2 Relojes Electrónicos
1 Cuerda de Nylon de un metro
1 Rueda de Maxwell
2 Mordazas para tubos
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Información fundamental:
Cuando se realiza un estudio sobre el equilibrio estático de un cuerpo
rígido, se encuentra que la condición necesaria para que un cuerpo no gire,
e~ que el momento resultante respecto a cualquier punto sea igual a cero.
Aunque esta condición es necesaria, no es una condición suficiente para que
un cuerpo se encuentre estático. Si se hace girar un cuerpo con respecto a
un eje y no actúa ningún momento externo sobre él, continuara girando con
velocidad angular constante, esto mismo ocurre en el movimiento lineal
(Primera Ley de Newton).
Demostrar que existe un momento externo resultante actuando respecto
a un punto de giro de un cuerpo rígido, la velocidad angular del cuerpo no
permanece constante, sino que varía con una aceleración angular que es
proporcional al momento externo. En la figura Nº 1 hay una fuerza Fi
actuando sobre la partícula mí de una rueda que gira respecto a su centro.
El momento producido por la fuerza Fi respecto al centro de la rueda (O)
viene dado por:
i = Fi ri (1)
Figura Nº 9
Como Fi es la fuerza que actúa sobre la partícula mi, la aceleración
tangencia] de ésta viene dada por 2da. Ley de Newton
entonces: F it = mi ri (2)
Fit = mi ait
Si sustituimos 2 en 1 queda que
it = mi ri
2
Si aplicamos este resultado a todas las partículas obtenemos
it = mi ri
2
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La suma mi ri2 es una propiedad del cuerpo llamada momento de inercia
I, la aceleración angular es la misma para todas las partículas; ya que el
momento de inercia depende de la distribución de masa respecto al eje de
rotación del cuerpo:
I = mi ri2 entonces = I.. Podemos afirmar que el momento resultante
es análogo a la fuerza resultante, el momento de inercia es análogo a la
masa y la aceleración angular es análoga a la aceleración lineal.
Tómese como ejemplo de referencia para el cálculo de v el siguiente
caso:
Considérese un cuerpo m sujeto a una cuerda enrollada alrededor de una
rueda que puede girar libremente sobre su eje, como el que se ilustra en la
Fig. Nº 2. Cuando la rueda gira un ángulo , se desenrolla una longitud de
cuerda Re y la masa desciende una altura h = R.
Aplicando la segunda Ley de Newton.
mg - T = ma (1) Tomando el momento con respecto al centro de rotación
tenemos que:
M0 = TR
= I
Figura Nº 10
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Movimiento combinado para obtener la velocidad al final de la rueda de
MAXWELL en desplazamiento vertical hacia abajo (en un plano inclinado)
Considere ahora un cuerpo que está girando alrededor de un eje y
también tiene un movimiento de traslación, lo que origina los efectos
combinados de la traslación del centro de masa y de rotación alrededor de
un eje que pasa por el centro de masa, lo que equivale a una rotación pura
con la misma velocidad angular alrededor de un eje que pasa por el punto de
contacto de un cuerpo que rueda.
Como la energía cinética de un cuerpo que rota y se traslada es: Y2
Ipoo2 aplicando el teorema de los ejes paralelos: Ip = 10+ mR2, la energía
de la rotación pura es:
K = (I0 + MR2)w2
Para ilustrar este resultado consideremos la velocidad instantánea en
varios puntos del cilindro que rota en la figura Nº 3.
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V0
V0 = wr
2V0
-V0 = -wr
A
Figura Nº 11
"A" es el eje de rotación instantáneo del movimiento combinado (rotación
y translación)
Figura Nº 12
Si aplicamos el método dinámico a la figura Nº.4, en la cual:
M = fR (Momento estático);
T = I A (Momento cinético)
Como M = T entonces; fR = IA
f = IA/R = 1/2ma
De la figura 4 tomamos:
(1) mgsen0 – f = ma
(2) N – mgcos = 0 => N = mgcos
donde: a = 2/3gsen (3)
como v2 = v02 + 2ad (4)
Sustituyendo (3) en (4), resulta la ecuación:
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V2 = 4/3dgsen
Considérese el caso anterior, pero esta vez aplicando el principio
energético:
DESARROLLO DE LA PRÁCTICA
Procedimiento
Experiencia 2.1
l. Desarrolle el montaje de acuerdo a la figura Nº 13. (Ver diagrama
eléctrico de la figura Nº 8).
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Figura Nº 13
2. Enrolle sobre el diámetro menor del giróscopo el nylon hasta llevar a la
parte superior una masa de 200 gr que se encuentra atada en el mismo.
3. Lleve el contador de los relojes a cero (O), y deje libre la masa hasta
que active y desactive los dos relojes del sistema mediante las barreras
luminosas.
4. Mida la distancia entre las barreras de luz y el tiempo de recorrido.
5. Mida el diámetro y la masa del giróscopo. Experiencia 2
l. Desarrolle el montaje según figura N° 14
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Figura Nº 14
2. Sujete la rueda de Maxwell por los extremos de sus ejes con la cuerda
de nylon, y llévela a la parte superior de la barra donde están atados los
extremos de la cuerda.
3. Lleve los relojes a cero y suelte la rueda, hasta que se desactive el
ultimo reloj, mediante las barreras luminosas.
4. Mida la distancia recorrida, el tiempo, la masa y el diámetro de la
rueda.
5. Detenga la rueda mediante un sistema de amortiguación o con sus
manos, antes de finalizar el recorrido total de la cuerda.
PREGUNTAS
l. Calcule la velocidad de la masa a una distancia h determinada en la
experiencia 2.
2. Calcule la aceleración con que desciende la masa.
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3. Calcule la tensión de una de las cuerdas en la experiencia 2.2.
4. Compare la aceleración calculada con la de caída libre, en función de
las mediciones de h y t para ambas experiencias.
5. Compare el tiempo experimental con el analítico y explicar las
diferencias si las hay para ambas experiencias.
6. ¿Cuál es la diferencia entre energía de traslación y energía de rotación
al final del recorrido de la experiencia 1?
7. ¿El momento de inercia de un cuerpo depende de la velocidad
angular? Explique.
8. Determine la velocidad del giróscopo a través de sus masas (M y m) y
la distancia recorrida.
9. Mediante la aplicación de las ecuaciones I = 1/2 MR2, I = MR2(g/a+l),
compare el momento de inercia.
10. ¿Determine, aceleración y tensión, mediante la relación de las masas
de la experiencia 1?
BIBLIOGRAFÍA:
FEYNMAN Richard; Leighton Robert. Física Volumen I. Editorial Fondo
Addison-Wesley Iberoamericana. 1971.
CATALOGO GENERAL DE FÍSICA. Editorial Leybold Didactic GMBA.
1978.
SERWAY Raymond. Física
Tomo
I.
Editorial
McGraw-Hill. Tercera
edición 1993.
DIAS De Deus Jorge; Pimenta Mario; Noronha Ana; Peña Teresa; Brogueira
Pedro. Introducción a la física. Editorial McGraw-Hill. 2001. Segunda edición
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