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Dinámica de las
rotaciones
Octubre 2009
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Física de las Traslaciones
Tiempo t
Inercia = m= Masa
Posición x(t)
Velocidad v(t)=dx(t)dt
Aceleración a(t)=dv/dt
Momento lineal p(t)=mv(t)
Energía Cinético Ec=½m.v2
Ley Fundamental r
r
r dp
Fuerza F
F = ma =
dt
Física de las Rotaciones
Tiempo t
Inercia = I= Momento de
Inercia
Posición θ(t)
Velocidad ω(t)=dθ(t)dt
Aceleración α(t)=dω/dt
Momento lineal L(t)=Iω
Energía Cinético Ec=½I.ω2
Ley Fundamental Fuerza τ
r
dL
τ = Iα =
dt
r
r
1
2. Momento angular o cinético L
r
v
r
L0
m
P
r
r
O
Momento angular o
ciné
cinético de un punto
material respecto de un
punto O es el momento
de la cantidad de
movimiento respecto a
dicho punto O
r
r r
r r
Lo = r × p = m(r × v )
Propiedades de
r
L0
3. Momento de inercia
El momento de inercia I en dinámica de rotación, es el análogo a
la masa en dinámica de traslación
Para un sistema de discreto de n partículas:
n
I =∑ mi ri 2
i =1
Para un sistema de partículas continuo:
I =∫ r 2dm
3. Momento de inercia
Densidades lineal, superficial y volumétrica
λ=dm/dl
σ=dm/ds
dm=λ·dl
dm=σ·ds
ρ=dm/dV
Densidad lineal λ
dm=ρ·dV
Densidad superficial σ
Densidad volumétrica ρ
2
3. Momento de inercia
Momentos de inercia
de cuerpos rígidos
homogéneos con
diferentes formas
geométricas
4. Teorema de Stenier Teorema ejes Paralelos
Este teorema permite calcular
el momento de inercia de un
sólido respecto a un eje
paralelo a uno que pase por el
centro de masas (CM) de dicho
sólido
Tipler Physics textbook
E
Matemáticamente
I E = I CM + M ·h 2
Copyright (c) 2000 by W. H. Freeman and Company and Worth
Publishers (Freeman/Worth).
El momento de inercia IE respecto a un eje E paralelo al eje
que pasa por el centro de masas es igual al momento de inercia
respecto al centro de masas ICM más el producto de la masa M
por la distancia de separación entre ambos ejes al cuadrado
5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo
Un sólido rígido es aquel que no se deforma y que por tanto mantiene su
forma y su tamaño.
El movimiento más general de un sólido rígido en el espacio se puede
analizar estudiando dos tipos de movimiento simultáneos:
a)
Traslación del centro de masas (CM) del sólido
b)
Rotación del sólido alrededor de un eje que pasa por el centro de
masas
Movimiento general de un sólido rígido en el espacio
3
5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo
Cuando un objeto únicamente se
traslada sus partículas describen
trayectorias paralelas
Cuando un objeto
únicamente gira alrededor
de un eje fijo sus
partículas describen
trayectorias circulares
alrededor de dicho eje
5. Rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo
En dinámica de traslación se
cumple que
p = mv
Al ser el momento cinético L el
análogo a p, en rotación se
cumplirá que
L = Iω
La velocidad angular ω es un vector
dirigido a lo largo del eje de giro
Traslación
m (masa)
v (velocidad lineal)
p (momento lineal o
cantidad de
movimiento)
Rotación
I (momento de
inercia)
ω (velocidad angular)
L (momento angular o
cinético)
Copyright (c) 2000 by W. H. Freeman and
Company and Worth Publishers
(Freeman/Worth).
6. Conservación del momento angular
Ecuación fundamental en la dinámica de rotación para un sistema de
partículas o sólido rígido
r
r
dL
M externo = 0
dt
Si el sistema está aislado o Mexterno = 0 se cumple que
r
r
dL
M externo = 0 = 0
dt
→
r
L0 = constante
Por tanto, en un sistema aislado el momento angular o cinético
permanece constante (no varía con el tiempo)
r
r
Linicial = L final
4
6.1 Segunda ley de Newton en la dinámica de rotación
En dinámica de traslación se tiene que
r
r
F = ma
En dinámica de rotación se ha de cumplir que
r
r
M = Iα
Traslación
Rotación
m (masa)
I (momento de inercia)
v (velocidad lineal)
ω (velocidad angular)
a (aceleración lineal)
α (aceleración angular)
p (momento lineal o cantidad
de movimiento)
L (momento angular o cinético)
F (fuerza)
M (momento de una fuerza)
Momento de una fuerza respecto a un punto
Momento del vector v respecto al
punto O
r
M
→
r
r
M = OP× v
O
r
v
P
Si v pasa a ser una
fuerza F, el
momento pasa a ser
momento de una
fuerza respecto a
un punto
r r r
M =r×F
6.2 Momento de una fuerza respecto a un punto
r r r
M = r×F
Si calculamos el módulo del
momento se obtiene que
M = rF sin φ = rFperpendicular
Sólo la componente
perpendicular de la fuerza
contribuye al momento y
por tanto a la rotación
Otro modo de calcular el
módulo del momento
M = F ( r sin φ ) = Fd
donde d es el brazo del
momento
5
7. Tabla resumen
Traslación
Rotación
x (desplazamiento lineal)
θ ( desplazamiento angular)
v (velocidad lineal)
ω (velocidad angular)
a (aceleración lineal)
α (aceleración angular)
m (masa)
I (momento de inercia)
p = mv (momento lineal o
cantidad de movimiento)
L = I ω (momento angular o
cinético)
F (fuerza)
M (momento de una fuerza)
F = dp/dt
F = ma (2ª ley de Newton)
M = dL/dt
M=Iα
(2ª ley de Newton)
pincial= pfinal (conservación de la
Lincial= Lfinal (conservación del
cantidad de movimiento)
momento angular o cinético)
Leyes de conservación
• El
•El
momento lineal P (si Fext=0) se conserva
momento langular L (si τext=0) se conserva
•Ver:
http://www.youtube.com/watch?v=V3UsrfHa4MQ&fe
ature=related
•Piruela:http://www.youtube.com/watch?v=7yr_mltr
WpM
EL GIRÓSCOPO
6
INTRODUCCIÓN
Un giróscopo o giroscopio es un
dispositivo mecánico que muestra el
principio de conservación del momento
angular. En física también es conocido
como inercia giroscópica.
La esencia del dispositivo es una masa
con forma de rueda girando alrededor de
un eje. A su vez está montado sobre un
sistema que permite que el eje pueda
tomar cualquier orientación. Una vez que
está girando tiende a resistirse a los
cambios en la orientación del eje de
rotación.
Ver:http://www.youtube.com/watch?v=cquvA_Ip
EsA
CONSERVACIÓN DEL
MOMENTO ANGULAR
r r r
r r
L = r × p = m⋅r ×v
El momento angular, momentum angular o momento
cinético, de símbolo L, en física clásica, es igual al producto
vectorial de la cantidad de movimiento p (también llamado
momento lineal o momentum) por el vector de posición, r, del
objeto en relación al punto considerado como eje de rotación.
El momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido
rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo
El principio de conservación del momento angular afirma
que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que
no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un
sistema aislado), el momento angular total se conserva, es
r
r
decir, permanece constante.
r
dL r
= τ ex
dt
τ ex = 0 → L = 0
INERCIA GIROSCÓPICA
En general cuando aplicamos una
fuerza a un cuerpo, este tiende a
moverse en la dirección de la
fuerza. Esto es particularmente
cierto en las traslaciones.
En el caso del giroscopio o
giróscopo, ocurre un hecho
paradójico. El movimiento del
mismo es perpendicular a la
dirección de la fuerza que genera
el movimiento!!!
7
FUNDAMENTOS FÍSICOS
La ecuación fundamental que
describe el comportamiento
r
r del
giroscopior es: dL
d ( Iω )
τ =
dt
=
r
= I ⋅α
dt
donde:
el vector τ es el momento de las
fuerzas externas sobre el centro de
masa del giroscopio
el vector L es su momento angular
La presesión giroscópica aparece
cuando se le aplica una cupla o
par al giróscopo.
PRECESIÓN
r
d L0
r r
= Ω
Por ejemplo si el soporte de una τ = m r × g =
dt
rueda de bicicleta (o giróscopo) no
Presesión de
coincide con el centro de masa (ver Ωp
una rueda
Fig.) aparece un par (τ=m.rxg).
r
El lugar de caer la rueda, como lo
haría si no rotara, la rueda
comienza a moverse
horizontalmente. Es decir
comienza a precesar.
La velocidad angular de presesión
la designamos por ΩP y tiene
dirección vertical.
r
P=m.g
p
r
× L0
τ = r xP
Ωp
L0
L0
Presesión de un
trompo
Ver: http://www.youtube.com/watch?v=h9_0Rgv8FFo
8
NUTACIÓN
Una observación cuidadosa del
movimiento de un giroscopio
revela Asociado al movimiento de
presesión aparece un “cebeceo”
u oscilación del eje, esta
oscilación vertical denominada
nutación.
Ver:http://www.youtube.com/watch?v=75B
M2O8ytZs
HISTORIA
1817Johann Bohnenberger (en la
Universidad de Tubingen) descubre
el giróscopo
1852 El científico francés Jean
Bernard León Foucault (1826-64) fue
el primero en usar el término
giroscopio. Dirigió multitud de
experimentos con giroscopios y se le
concedió la invención del dispositivo.
1852-1968 Se crea un nuevo estilo
de giroscopio que usa el esfuerzo de
torsión gravitacional para conseguir
que el giroscopio rote alrededor de
una base central.
1909 Elmer A. Sperry construye el
primer piloto automático para
aeronaves usando giroscopios.
Foucault
Bohnenberger
Sperry
Tipos de Giroscopios
9
Ver Giroscopios en acción
•http://www.youtube.com/watch?v=75BM2O8ytZs
http://www.youtube.com/watch?v=cquvA_IpEsA
Ver clases en:
http://video.google.com.ar/videoplay?docid=2148
804863890418261&ei=X87oSp4NnYapAoq3ucAM
&q=momento+angular+clases+video&hl=es#
Problemas resueltos
Ejemplos
Trabajo y Energía
Trabajo hecho por un torque τ
actuando por un desplazamiento
angular θ :
W = τθ
Potencia:
P=
dW
dθ
= τ = τω
dt
dt
10
Problemas: Poleas
I
α
Una masa m cuelga de una
polea de radio R unida a un
disco. El momento de
inercia de la polea +disco es
I
R
T
m
mg
a
L
Partiendo del reposo, cual de
la velocidad vf cuando el
cuerpo desciende una
distancia L.
Poleas... Aplicando Diagrama
de cuerpo libre:
F = ma ---- sobre masa m
Polea +disco τ = Iα
α
I
α
R
mg - T = ma
τ = TR = Iα
α
T
a
TR = I
R
m
a = αR (conexión entre
aceleraciones)

mR 2
a = 
2
+ I
Encontramos a
 mR
2

2
mR
2
2
vf = v0 + 2.a.L v f = 2 
2
a
 mR
mg

 g


g ⋅ L
+ I 
L
Problema: Roto traslación
Un objeto de masa M, radio R, y
momento de inercia I rueda por un
plano inclinado (ángulo θ con respecto
a la horizontal. ¿Cuál es la aceleración?
I
Consideramos traslación del CM y
rotación alrededor del CM
separadamente.
θ
M
R
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Roto traslación...
Fricción f causes rotación.
Diagrama de cuerpo libre FNET = M aCM
En x
Mg sin θ - f = M aCM
M
y
rotación CM
usamos τ = Iα
α
f
= I
a
C M
2
f
R
x
R
Mg
θ
τ = Rf y aCM= αR R ⋅ f = I aCM
R
Roto traslación...
despejando: Mg sin θ - f = maCM
f = I
y
a CM
R2
 MR 2 sin θ 

a CM = g 
2
 MR + I 
Caso de una Esfera maciza
I=
2
MR 2
5


 MR2 sin θ  5
 = g sin θ
aCM = g
 MR2 + 2 MR2  7


5


I
acm
M
R
θ
Maquina Atwood
¿Cual es la aceleración?
Diagrama de cuerpo libre (tres
cuerpos)
Para las masas que cuelgan: F = ma
Para la Polea
R
I=
1
MR 2
2
T2
T1
τ = Iα
α
(T1 + T2 ) R = Iα = I
Para un disco:
x
M
α
+m1g -T1 = m1a
m2g - T2 = -m2a
y
a
R
a
m2
m1
a
m2 g
m1 g
+
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Maquina Atwood…
y
Despejamos a a.
x
M
m1g - T1 = +m1a
-m2g -T2 = m2a
T
1
− T
2
=
1
2

m1 − m 2
a = 
 m1 + m 2 + M
Ma

g
2 
(1)
(2)
(3)
α
R
T2
T1
a
m2
m1
a
m1g
m2g
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