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TEMA I.6
Velocidad de una Onda Longitudinal
Dr. Juan Pablo Torres-Papaqui
Departamento de Astronomı́a
Universidad de Guanajuato
DA-UG (México)
[email protected]
División de Ciencias Naturales y Exactas,
Campus Guanajuato, Sede Noria Alta
TEMA I.6:
Velocidad de una Onda Longitudinal
J.P. Torres-Papaqui
Ondas y Fluidos
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Velocidad de una Onda Longitudinal
Consideramos un fluido de densidad ρ dentro de un tubo con área
transversal A.
En el estado de equilibrio, el fluido esta sometido a una presión uniforme p
(ver Figura I.6.1a).
Cuando un pistón se mueve a una velocidad νy , se inicia un movimiento
ondulatorio (onda de compresión) que se propaga a una velocidad ν.
En el tiempo t, el pistón se ha movido hasta una posición νy t y la frontera
entre la masa en movimiento y la masa en reposo ha avanzado hasta una
posición ν t (ver Figura I.6.1b).
La cantidad de fluido en movimiento es: ρ ν t A
Y la cantidad de movimiento longitudinal es: ρ ν t Aνy
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Figura I.6.1: Propagación de una onda longitudinal en un fluido confinado en un
tubo. (a) Fluido en equilibrio. (b) Parte del fluido en movimiento.
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Para determinar el aumento de presión en el fluido en movimiento,
consideramos el módulo de compresibilidad:
B=−
∆p
∆V /V
El módulo de compresibilidad permite determinar cuanto aumento la
presión debido a un cambio del volumen (es negativo porque una
disminución de volumen = un aumento de la presión. Dicho de otro modo,
si ∆V < 0, ∆p > 0).
El volumen original del fluido en movimiento, V = νtA, ha disminuido una
cantidad ∆V = -νy tA
⇒B=
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−∆p
−Aνy t/Aνt
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⇒ ∆p = B
νy
ν
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La presión en el fluido en movimiento ha aumentado a p + ∆p. La fuerza
ejercida sobre esta parte del fluido es: (p + ∆p)A. La fuerza neta es por
ν
tanto: A∆p = B νy A.
Según el teorema de impulso = cantidad de movimiento:
B
νy
At = ρνtAνy
ν
de la ecuación anterior deducimos la velocidad de la onda de compresión:
s
B
ν=
ρ
La velocidad aumenta con el módulo de compresibilidad (la fuerza de
regreso al equilibrio) y disminuye con la densidad (la inercia).
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Ejercicio: El sonido se propaga a 340 m/s en el aire y a 1500 m/s en el
agua. Un sonido de frecuencia 256 Hz se produce bajo el agua. En el aire
ν será (a) la misma, pero λ será más corta, (b) más elevada, pero λ
será la misma, (c) más baja, pero λ será más larga, (d) más baja, y λ
será más corta, (e) la misma, y λ también será la misma.
Ejercicio: Un helicóptero que vuela
tal como se muestra en la figura
registra la explosión de una carga de
profundidad bajo la superficie del
agua ¿Cuál de los tres caminos A, B,
o C será el camino por el cual el
sonido llegará en menos tiempo?
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Esto se aplica también para sólidos y lı́quidos.
Para una onda en una barra sólida, por ejemplo, hay una expansión lateral.
Esto cambia un poco la rapidez de la onda:
s
Y
ν=
ρ
donde Y es el módulo de Young.
En todas estas ecuaciones, el numerador es una propiedad elástica del
medio y el denominador es una propiedad proporcional a la inercia del
medio.
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Figura I.6.2: Lista de la rapidez del sonido en varios medios materiales.
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Ejemplo: Sonido en varilla de plomo
Módulo de Young: Y = 1.6 × 1010 Pa y la densidad: ρ = 11.3 × 103 kg /m3
La velocidad del sonido:
s
s
Y
1.6 × 1010 Pa
m
=
= 1.2 × 103
ν=
3
3
ρ
11.3 × 10 kg /m
s
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Ejercicio: Se golpea un extremo de una varilla de cobre de 180.00 m. Una
persona en el otro extremo escucha dos sonidos causados por dos ondas
longitudinales, una que viaja por la varilla y otra que viaja por el aire.
Calcule el intervalo de tiempo entre los sonidos. Para el cobre Y =
1.1×1011 Pa y ρ = 8900 kg /m3 . La rapidez del sonido en el aire es de 344
m/s.
Ejercicio: Una barra metálica de 60.0 m tiene una densidad de 5000
kg /m3 . Las ondas longitudinales tardan 1×10−2 s en llegar de un extremo
al otro. Calcule el módulo de Young del metal.
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Ejemplo: Longitud de onda de un SONAR
SONAR: sistema para detectar objetos submarinos
El sistema emite ondas sonoras y mide el tiempo que tarda la onda
reflejada (eco) en regresar al detector.
El módulo de volumen (o recı́proco del módulo de compresibilidad) es: k =
45.8 × 10−11 Pa−1
Nótese que [Pa] = fuerza/área =
1
11 Pa
45.8 × 10
kg ·m/s 2
m2
=
kg
.
m·s 2
Ası́ que: B =
La densidad del agua a 20 o C : ρ = 1.0 × 103 kg /m3
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Figura I.6.3: Un sistema de sonar usa ondas sonoras submarinas para detectar y
encontrar objetos bajo el agua.
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La velocidadrde una onda sonora en el agua es:
q
1
×1011 Pa
m
45.8
ν = Bρ = 1.00×10
3 kg /m3 = 1480 s
Esto es 4 veces la rapidez del sonido en el aire (a temperatura ordinaria).
Para una frecuencia f = 262 Hz, la longitud de onda es λ =
= 5.65 m. En el aire, la longitud de onda será: λ = 1.31 m
ν
f
=
1480 m/s
262 s −1
Los delfines emiten ondas de alta frecuencias f = 0.1 MHz = 100000 Hz,
que da una longitud de onda de λ = 1.48 cm. Con este sonar, los delfines
pueden detectar objetos de tamaño de λ (pero no mucho menores).
En la visualización ultrasónica, las ondas sonoras usadas tienen una
frecuencia de f = 5 MHz = 5 × 106 Hz, esto permite distinguir rasgos de
tamaño con una λ = 0.3 mm.
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