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NICAS
S EXP
PERIM
MENT
TALE
ES II
Guione
G
es de p
prácticcas
Lista de Pràcticas
1- Condensadores. Campo eléctrico y líneas equipotenciales
2- Campo magnético creado por una espira.. Campo
magnético terrestre
3- Diodo
4- Rectificador
5- Transistor bipolar
6- Oscilaciones de torsión . Momentos de Inercia y teorema
de Steiner
7- Velocidad y aceleración angular
8- Ondas estacionarias. Cuerda vibrante. Análisis del sonido
Joan Carles Cañadas
Profesor tutor
UNED Barcelona Nou Barris
Centro Asociado de Barcelona
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Estudio del condensador
Objetivo
Determinación de la permitividad en el vacio y la permitividad relativa mediante un condensador plano-paralelo. Determinación del valor del potencial, de las lineas equipotenciales y
del campo entre los electrodos de un condensador. Obtención de la carga en los electrodos y
de la capacidad del condensador.
Material
Par de discos de material conductor, situados de forma paralela en un soporte mecanico que
permite ajustar la distancia de separación entre ellos, laminas de dieléctrico (PVC, PMMA),
varillas metálicas ancladas a un soporte de papel resistivo liso, condensador cilı́ndrico, fuente
de alimentación y multı́metro digital.
Fundamento teórico
Condensador plano-paralelo
Un condensador eléctrico es un dispositivo pasivo,capaz de almacenar energı́a sustentando
un campo eléctrico. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en
forma de láminas o placas, en situación de influencia total (esto es, que todas las lı́neas de
campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico
o por el vacı́o. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación
de carga total.
La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre
esta placa y la otra, siendo la constante de proporcionalidad la llamada capacidad, C.
C=
Q
V2 − V1
(1)
donde Q es la carga almacenada en cada placa y V2 − V1 la diferencia de potencial entre la
placa 2 y la 1.
Un condensador variable es aquel en el cual se pueda cambiar el valor de su capacidad. En
el caso de un condensador plano, la capacidad puede expresarse por la siguiente ecuación:
C = 0 r
S
d
(2)
donde 0 es la permitividad del vacı́o (8, 854187817... · 10−12 F/m); r es la constante
1
dieléctrica o permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas; S es el área efectiva de las placas; y d es la distancia entre las placas o espesor del dieléctrico.
Para tener condensador variable hay que hacer que por lo menos una de las tres últimas
expresiones cambien de valor. De este modo, se puede tener un condensador en el que una
de las placas sea móvil, por lo tanto varı́a d y la capacidad dependerá de ese desplazamiento.
Análisis del potencial y campo entre las placas del condensador
Para analizar un condensador y valorar el campo eléctrico y el potencial entre placas, ası́ como la carga que acumulan los electrodos debemos recordar la ecuación fundamental de la
electrostática para el potencial, que se ha de cumplir en cada punto situado entre las placas
del condensador plano o del cilindrico:
ρ(x, y, z)
ecuación de Poisson
(3)
0
Si en el interior del condensador hay aire , tenemos que la densidad ρ = 0 , y por tanto la
ecuación de Poisson 3 se transforma en la ecuación de Laplace:
∆V (x, y, z) = −
∆V (x, y, z) = 0
ecuación de Laplace
(4)
Mediante la resolución de esta ecuación podremos conocer como cambia el potencial en cada
punto. Vamos a analizar esta dependencia espacial del potencial entre placas rectangulares y
cilı́ndricas:
1. Electrodos de placas rectangulares y paralelas.
Se disponen de dos placas rectangulares paralelas y situadas a una distancia d como
se observa en la Figura 1. Como la diferencia de potencial entre las placas es de valor
constante V0 y la densidad volumétrica de carga es nula (ρ = 0) se puede resolver la
ecuación de Laplace (4) integrando y obteniendo ası́ el potencial V (x):
Figura 1: Condensador de placas plano-paralelas
d2 V
dV
∆V (x) = 0 =⇒
= 0 =⇒
= Ap =⇒ V = Ap x + Bp
(5)
2
dx
dx
Ap y Bp son constantes. En este caso el potencial presenta una dependencia lineal.
2
2. Electrodos de placas cilı́ndricas
Figura 2: Condensador de placas cilı́ndricas
Para el caso de un condensador cilı́ndrico, el proceso serı́a similar pero la ecuación de
Laplace se debe resolver en cilı́ndricas:
∂V
1 ∂ 2V
∂ 2V
1 ∂
r
+ 2 2 +
=0
(6)
∆V (r, θ, z) =
r ∂r
∂r
r ∂θ
∂z 2
En nuestro caso se considera la solución en donde sólo se tiene una dependencia radial.
De este modo la ecuación de Laplace se reduce a:
1 d
dV
∆V (r) =
r
=0
(7)
r dr
dr
Integrando obtenemos
r
dV
= Ac =⇒ V (r) = Ac ln r + Bc
dr
(8)
donde AC y Bc son constantes. En este caso la dependencia del potencial con la distancia radial no presenta una dependencia lineal si no logarı́tmica.
Método experimental y resultados
a) Permitividad en el vacı́o y relativa utilizando un condensador plano
En la mesa dispones de un multı́metro capaz de medir capacidades. También hay dos placas
planas de PVC y PMMA, y un condensador de placas plano-paralelas que pueden desplazarse de forma controlada mediante un tornillo micrométrico.
3
Figura 3: Montaje experimental de un condensador de placas plano-paralelas
1. Conecta el multı́metro en modo de medida de capacidad y en la escala de nF, a las
armaduras del condensador. Como se trata de un condensador plano y entre las placas
queda aire podemos considerar que la permitividad relativa r ≈ 1, de esta forma la
ecuación 4 nos queda
S
(9)
C = 0
d
Como las placas son circulares el área es S = πr2 siendo r el radio del disco.
2. Separa las placas del condensador progresivamente y anota para cada distancia los
valores de la capacidad que indica el multimetro.
Distancia (mm)
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
Capacidad (nF)
3. Representa la capacidad C en función del inverso de la distancia de separación de las
placas, 1/d, y realiza una regresión lineal para obtener mediante la ecuación 9 el valor
de la permitividad en el vacı́o.
0 =
4. Para calcular la permitividad relativa de diferentes materiales (PVC y PMMA) mide
el espesor de esas placas, y sitúalas entre los discos. Realiza ası́ una única medida de
la nueva capacidad que surge para cada polı́mero. De las ecuaciones 4 y 9 se deduce
que el cociente entre las capacidades de cada material con la capacidad en el vacı́o dan
como resultado la permitividad relativa
4
CPMMA /Co = r1 =
CPVC /Co = r2 =
b) Distribución del potencial, lı́neas de campo y carga superficial en un
condensador plano paralelo.
1. Coloca en la base del equipo y en el orden que se observa en la Figura 4, el papel
resistivo, debajo el papel carbón y debajo una hoja ordinaria blanca.
Figura 4: Esquema de la colocación de los electrodos sobre un soporte resistivo liso
2. Coloca las dos barritas planas que harán el papel de electrodos. Apretar las dos barras
con los tornillos conductores. Conectar las salidas de la fuente y los tornillos mediante
hilos conductores . Situar el voltı́metro en paralelo con la salida de la fuente de modo
que un polo del voltı́metro quede conectado a uno de los electrodos y el otro polo que
quede libre sujeto a una varilla móvil (sonda), es decir que podamos desplazarlo con
la mano y apretar en cualquier punto del plano de papel resistivo que queda entre los
electrodos.
Figura 5: Montaje experimental de electrodos planos sobre un soporte resistivo liso
5
3. Aplica con la fuente de alimentación una tensión de 18 V. Esta tensión es la que tendremos siempre entre los electrodos que forman el condensador. Como la sonda acaba
en punta, dibuja, presionando suavemente, la situación de los dos electrodos de manera
que tengamos en el papel blanco la referencia de donde están ambos electrodos.
4. Entre electrodos colocar la escala métrica coomo se ve en la Figura 5 que permite saber
la distancia x entre electrodo izquierdo (x = 0) y el punto de medida.
5. Toca con la sonda el papel resistivo y ası́ el voltı́metro indicará el potencial que existe
en cualquier punto intermedio entre barras, si se tantea con la sonda sobre el papel
resistivo veremos que podemos encontrar valores de potencial que van de 18 V a cero
y también podemos ver que hay muchos puntos que tienen el mismo potencial.
6. Ves señalando puntos del mismo potencial y ası́ experimentalmente puedes dibujar
alguna lı́nea equipotencial. El campo eléctrico es perpendicular a cada punto de esta
lı́nea.
7. Las barras están separadas 55 mm. Mide los valores del voltaje en función de la distancia a la barra conectada a 18 V. Como ya se comento en el fundamento teórico en este
caso el potencial tiene un dependencia lineal (ecuación 5). Representa este potencial
y calcula mediante un regresión lineal los valores de las constantes Ap y Bp . Como
E = −dV /dx la constante Ap nos representa el módulo del campo eléctrico.
Voltaje (V)
Distancia
x (mm)
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
8. Calcula la carga acumulada en cada barra del condenasdor y su capacidad.
Q
C=
V
S
C = o
d
6





Q = V o
S
d
(10)
c) Distribución del potencial, lı́neas de campo y carga superficial en un
condensador cilı́ndrico
1. Cambia los electrodos planos por el anillo circular que pondremos como electrodo
exterior (radio R2 = 27 mm) y pon como interior, un cilindro puntual (radio R1 =
5 mm) . Ası́ formaremos un condensador cilı́ndrico (Figura 6).
Figura 6: Montaje experimental de electrodos cilı́ndricos sobre un soporte resistivo liso
2. Ves señalando puntos del mismo potencial y ası́ experimentalmente puedes dibujar
alguna lı́nea equipotencial. El campo eléctrico es perpendicular a cada punto de esta
lı́nea.
3. Mide los valores del voltaje en función de la distancia radial. Como ya se comento en el
fundamento teórico en este caso el potencial no tiene un dependencia lineal (ecuación
8). Representa este potencial en función de ln r y calcula mediante un regresión lineal
los valores de las constantes Ac y Bc .
Distancia r (mm)
10
14
19
22
19
14
10
Voltaje (V)
4. Como E = −dV /dr = −Ac /r, representa el campo eléctrico en función de r.
5. Calcula la carga acumulada en el condensador y su capacidad.

Ac

~

|E| =
o S
r
Q  Q = Ac d

del teorema de Gaus: ES =
o
7
(11)
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
CAMPO MAGNETICO CREADO POR UNA ESPIRA. CAMPO MAGNÉTICO TERRESTRE
Objetivo
Estudiar el campo magnético creado por una espira de corriente y por un solenoide. Aplicar
este fenómeno a la medición del campo magnético terrestre.
Material
Bobina plana con soporte y brújula en su centro, fuente de alimentación regulable, regla
graduada con soportes, cables de conexión, teslámetro y sonda Hall axial.
Fundamento teórico
Cuando un circuito es recorrido por una intensidad de corriente eléctrica estacionaria, éste
crea un campo magnético en la región del espacio que le rodea. El campo magnético creado
~ es proporcional a la
en un punto del espacio por cada elemento diferencial del circuito dl
intensidad de corriente eléctrica I que circula, e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia r desde el elemento diferencial al punto donde medimos el campo, de acuerdo con
la ley de Biot y Savart:
~ =
dB
~ × ~ur
µ0 I dl
,
4π
r2
(1)
donde µ0 es la permeabilidad magnética del vacı́o (µ0 = 4π × 10−7 N/A2 ) y ~ur es un vector
unitario que une ambos puntos, como muestra la Figura 1.
Figura 1: Ley de Biot-Savart.
8
El campo magnético total creado por el circuito en un punto se obtiene integrando la expresión (1) a lo largo de todo el recorrido, de acuerdo con la ecuación
~ = µ0 I
dB
4π
I ~
dl × ~ur
r2
(2)
Cuando el circuito eléctrico lo constituye una espira homogénea de radio R, es fácil calcular
el campo magnético creado en los puntos del eje de ésta a partir de las expresiones (1) y (2).
~ y ~ur son siempre perpendiculares
Efectivamente, para los puntos situados sobre el eje, dl
2
2
2
~ a partir de (1)
(véase Figura 2), y podemos expresar r como r = x + R2 , por lo que dB
queda:
dB =
µ0 Idl
4π(x2 + R2 )
(3)
Figura 2: Posición de equilibrio inicial de los hilos en reposo
En la suma de la contribución de todos los elementos de la espira al campo magnético total,
~ perpendiculares al eje de la misma se anularán (por razones de silas componentes de dB
~ paralela al eje de la espira
metrı́a), siendo necesario únicamente contar la componente de dB
(dBx ), que vendrá dada por:
dBx = dB sin θ =
µ0 Idl
R
√
2
2
2
4π(x + R ) x + R2
(4)
El campo magnético total generado por N espiras se obtiene integrando N · dBx de acuerdo
con la expresión (2), donde todos los términos que aparecen en el integrando son constantes
excepto dl, por lo que obtenemos finalmente:
N µ0 I
R
√
Bx =
2
2
4π(x + R ) x2 + R2
I
dl =
µ0
N IR2
,
2 (x2 + R2 )3/2
(5)
al ser la integral de dl para toda la espira igual a su longitud 2πR.
El campo magnético terrestre Bt tiene un valor aproximado de 0.6 G (6·10−5 T). Una manera
de medir la intensidad de este campo magnético es superponiéndolo con el campo creado por
9
la espira, Bx . Cuando Bt es perpendicular al eje de la espira, el campo magnético resultante
de la superposición de éste con Bx se desviará de la dirección original de Bt un ángulo θ, tal
y como muestra la Fig. 3. En este caso se cumplirá:
B=
q
Bx2 + Bt2 ,
y tan θ =
Bx
.
Bt
(6)
Combinando esta expresión con la del campo magnético creado por N espiras (5) se llega a:
tan θ =
µ0
N R2
I,
2Bt (x2 + R2 )3/2
(7)
que permite calcular el campo magnético terrestre Bt a partir de medidas del ángulo θ para
diversos valores de la intensidad de corriente I que atraviesa las espiras.
Bx
B
θ Bt
Figura 3: Superposición del campo magnético terrestre y el creado por una espira.
Método experimental
a) Campo magnético en el eje de un solenoide
Para la realización de esta parte de la práctica, disponemos de un solenoide o bobina de radio
R mucho mayor que su longitud total, de forma que podemos considerarla como n espiras
de radio R superpuestas. Anote el radio R de la bobina y su número de espiras N .
Fije la bobina en el soporte, de forma que el eje de ésta coincida con la regla graduada
suministrada. Compruebe con la brújula la presencia del campo magnético terrestre (realice
la medida para el punto central de la bobina cuando no circula intensidad por ésta), y oriente
la bobina y la regla de forma que el campo terrestre sea perpendicular al eje de la bobina.
Coloque el teslámetro de forma que la punta de la sonda esté en el centro de la bobina, y
la caña coincida con el eje de ésta. A continuación conecte la fuente de alimentación a la
bobina. Incremente gradualmente, en intervalos de 0.4 A, la intensidad que circula, y anote
el campo magnético generado en la dirección del eje. Continúe este proceso hasta alcanzar
una intensidad de 4 A, que NO debe sobrepasar.
10
Figura 4: Montaje experimental del solenoide.
Repita el proceso descrito anteriormente situando la sonda a 3 cm del centro de la bobina, sobre el eje. Una vez realizadas las medidas, disminuya gradualmente la intensidad que circula
por la bobina hasta hacerla cero.
b) Medida del campo magnético terrestre
Sitúe la brújula sobre la regla graduada en el centro de la bobina plana, y gı́rela de forma que
el origen de su escala goniométrica coincida con la dirección “Norte”. Compruebe de nuevo
que la regla coincide con el eje de la bobina, y que es perpendicular al campo magnético
terrestre.
Figura 5: Montaje experimental de una bobina plana.
A continuación incremente gradualmente la intensidad proporcionada por la fuente, en intervalos de 0.4 A. Mida el ángulo que forma el campo magnético total con el terrestre (que viene
dado por la lectura directa de la escala goniométrica de la brújula). Continúe este proceso
11
hasta alcanzar una intensidad de 4 A, que NO debe sobrepasar.
Una vez realizadas las medidas, disminuya gradualmente la intensidad que circula por la
bobina plana hasta hacerla cero, y desconecte la fuente.
Resultados
a) Campo magnético en el eje de un solenoide
Para cada una de las posiciones de la sonda sobre el eje del solenoide, realice una tabla en la
que figure la intensidad I que circula por ella y la componente del campo magnético Bx en
la dirección del eje, y represente gráficamente Bx frente a I. Para las medidas realizadas en
el centro de la espira (x = 0) ajuste los datos obtenidos a una recta, realizando la correspondiente regresión lineal. A partir de la pendiente de la recta obtenida determine, de acuerdo
con la expresión (5), el valor de la permeabilidad magnética del vacı́o µ0 .
b) Medida del campo magnético terrestre
Realice una tabla en la que figure el ángulo de desviación θ de la brújula frente a la intensidad
de corriente I que atraviesa la espira. A continuación represente gráficamente tan θ frente a
I, y ajuste los datos obtenidos a una recta, realizando la correspondiente regresión lineal. A
partir de la pendiente de la recta obtenida, y de acuerdo con la expresión (7), calcule el valor
del campo magnético terrestre Bt y compárelo con el real.
12
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Diodo
Objetivo
Analisis del diodo: dibujar la curva caracterı́stica de un diodo y construcción de un
circuito limitador.
Analisis del diodo Zener: caracterizar un diodo Zener y determinar su capacidad de
regulación.
Material
Resistencias comerciales de distintos valores: 100 Ω, 390 Ω; 510 Ω; 1 kΩ; 2, 2 kΩ; 2, 7 kΩ;
3, 3 kΩ; 3, 9 kΩ, etc., caja de resistencias de hasta 10 kΩ, fuente de alimentación de salida
variable (0 - 12 V), diodos de pequeña señal (D1N4148 o D1N4007), diodo Zener BZX85
C4V7, generador de funciones, osciloscopio de doble canal, polı́metro, placas de prototipo
(protopboard) o equivalentes.
Fundamento teórico
Un diodo es un componente electrónico de dos terminales que permite la circulación de la
corriente eléctrica a través de él en un solo sentido. Este término generalmente se usa para referirse al diodo semiconductor, el más común en la actualidad; consta de una pieza de cristal
semiconductor conectada a dos terminales eléctricos. El diodo de vacı́o (que actualmente ya
no se usa, excepto para tecnologı́as de alta potencia) es un tubo de vacı́o con dos electrodos:
una lámina como ánodo, y un cátodo.
Polarización directa y polarización inversa
Cuando se somete al diodo a una diferencia de tensión externa, se dice que el diodo está polarizado, pudiendo ser la polarización directa o inversa.
Para que un diodo esté polarizado directamente, se debe conectar el polo positivo de la baterı́a al ánodo del diodo y el polo negativo al cátodo. Cuando el diodo está polarizado de
forma direta la baterı́a disminuyela barrera de potencial de la zona de carga espacial, permitiendo el paso de la corriente de electrones a través de la unión; es decir, el diodo polarizado
directamente conduce la electricidad.
En el caso de un diodo polarizado de forma inversa se aumentar la zona de carga espacial,
y la tensión en dicha zona hasta que se alcanza el valor de la tensión de la baterı́a. En esta
situación, el diodo no deberı́a conducir la corriente; sin embargo, debido al efecto de la
temperatura se produce una pequeña corriente (del orden de 1 µA) denominada corriente
13
inversa de saturación. Además, existe también una denominada corriente superficial de fugas
la cual, como su propio nombre indica, conduce una pequeña corriente por la superficie del
diodo. No obstante, al igual que la corriente inversa de saturación, la corriente superficial de
fuga es despreciable.
Como ejemplos de las utilidades de los diodos son destacanles la función del diodo en un
cargador de pilas de evitar que las pilas se descarguen cuando no hay luz y la función de
obtener corriente continua a partir de la corriente alterna de la red, operación que se conoce
como rectificación de la corriente alterna.
Figura 1: Polarización directa e inversa de un diodo.
Diodo Zener
El diodo Zener es un diodo construido para que funcione en las zonas de rupturas. Si a un
diodo Zener se le aplica una tensión eléctrica positiva del ánodo respecto a negativa en el
cátodo (polarización directa) toma las caracterı́sticas de un diodo rectificador básico, pero
si se le suministra tensión eléctrica positiva de cátodo a negativa en el ánodo (polarización
inversa), el diodo mantendrá una tensión constante. No actúa como rectificador sino como
un estabilizador de tensión.
En definitiva, el diodo Zener debe ser polarizado inversamente para que adopte su caracterı́stica de regulador de tensión.
Figura 2: Diodo Zener utilizado como regulador de tensión.
14
Método experimental y resultados
Análisis del diodo
En esta primera parte analizaremos las caracterı́sticas del diodo de pequeña señal D1N4148.
Para ello se puede emplear el circuito que se muestra en la Figura 3
Figura 3: Circuito de prueba de un diodo.
a) Dibujar la curva caracterı́stica de un diodo
En primer lugar debemos determinar el valor de la resistencia limitadora R para que el diodo
no se queme. Para ello, teniendo en cuenta la hoja de caracterı́sticas del diodo y el caso más
desfavorable de tensión, determinamos el valor mı́nimo para R y montamos el circuito con
un valor de la resistencia al menos de valor doble al calculado.
Rmin
R
A continuación realiza un barrido en continua variando el voltaje de entrada desde −10 V
hasta +10 V con incrementos de 2 V para los voltajes negativos y de 1 V para los positivos.
Para cada valor del voltaje de entrada, mida con el polı́metro el voltaje en los bornes del
diodo, VD , y la caı́da de tensión en los bornes de la resistencia de protección, VR ,
15
Vin (V)
-10.0
-8.0
-6.0
-4.0
-2.0
0.3
0.6
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
8.0
9.0
10.0
VD (V)
VR (V)
I (A)
Calcula la corriente que circula a través del diodo y representa en sendas gráficas la corriente
que circula por la resistencia en función del voltaje VD para la polarización directa e inversa.
Determina la corriente inversa de saturación máxima IR para un valor tı́pico de tensión de
polarización inversa VR = −7 V
IRmax =
Realiza el ajuste de la curva de polarización directa del diodo y determina la tensión de codo
a 1 mA y la resistencia dinámica cuando la corriente de conducción es igual a 1, 5 y 10 mA
Vc =
I (mA)
1.5
10
16
rd
b) Construcción de un circuito limitador.
Un limitador o recortador es un circuito que permite, mediante el uso de resistencias y diodos,
eliminar tensiones que no nos interesa que lleguen a la carga.
Monta el circuito de la figura 14.2 y aplica una señal sinusoidal de amplitud 10 (V) y con
una frecuencia de 1 (kHz).
Figura 4: Circuito limitador y ejemplo de resultados.
Traza manualmente la forma del voltaje de salida vout = vout (t) y la curva caracterı́stica de transferencia del circuito vout = vout (vi n) suponiendo que el diodo es ideal.
Con la ayuda del osciloscopio visualiza el voltaje de salida vout = vout (t) y la curva
caracterı́stica de transferencia del circuito vout = vout (vi n) (osciloscopio en modo
XY ).
¿Qué diferencias se observan entre las curvas trazadas manualmente y las curvas representadas en el osciloscopio? Explica las razones de estas diferencias.
Diseña y construye un circuito recortador que limite los voltajes negativos −5 (V).
Diseña y construye un circuito limitador que proporcione una señal aproximadamente
cuadrada de ±5 (V)polarizando convenientemente los diodos.
Figura 5: Ejemplo del montaje de un circuito limitador de señal cuadrada.
17
Análisis de un diodo Zener
A continuación estudiaremos el comportamiento del diodo Zener. En el fundamento teórico
ya comentamos que los diodos Zener se diseñan para trabajar en la zona de ruptura. Estos
diodos pueden ser empleados como dispositivos reguladores de tensión.
a) Determinar las caracterı́sticas de un diodo Zener
Monta el circuito de prueba para el diodo zener BZX85 C4V7 de la Figura 6 . Tomamos un
valor para la resistencia de protección de R ∼ 100 Ω
Figura 6: Circuito de prueba para el diodo Zener.
Realiza un barrido en continua desde 0 V hasta Vmax (dependerá de la fuente de alimentación
variable de que dispongamos:10 V, 12 V ...) con incrementos de 1 V. Para cada valor del
voltaje de entrada, mide con la ayuda del polı́metro la caı́da de tensión en los bornes de la
resistencia de protección, VR , y en los bornes del diodo Zener, Vz .
Vin (V)
0
1,0
2,0
3,0
4,0
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
18
VZ
IB
VR
I
Calcula los valores de la corriente que circula a través del diodo y representa en una gráfica
la corriente en función del voltaje Zener.
Ajusta la curva y determine el valor de la tensión Zener para cada uno de los siguientes
valores de corriente inversa, Iz = 15, 20 y 25 mA
IZ (mA)
15
20
25
Vz
Determina la impedancia del Zener cuando la corriente es de 20 mA. Compara tu respuesta
con la que aparece en la hoja de caracterı́sticas. Sugerencia: elige dos puntos de prueba
ligeramente por encima y por debajo de 20; mA (los de la tabla anterior) y utiliza la fórmula
Z = ∆V /∆I
ZZener =
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos, ¿se comporta el diodo zener como un generador
de tensión casi perfecto?
b) Capacidad de regulación de un diodo Zener
Monta el circuito de la Figura 7 con Vin = 10 V y donde RL es una caja de resistencias.
Haz un barrido sobre RL desde 9 kΩ a 100 Ω con los decrementos indicados en la tabla.
Representa en una gráfica el valor de la tensión de salida, Vout , en función de la resistencia
de carga, RL .
Figura 7: Circuito de prueba de carga.
19
RL (kΩ)
9.0
7.0
5.0
3.0
1.0
0.80
0.60
0.50
0.40
0.30
0.25
0.20
0.15
0.10
Vout
Determina para qué valor de la resistencia de carga RL el Zener deja de regular y su tensión
cae un 5 %.
RL =
20
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Rectificación
Objetivo
Verificar el funcionamiento de una transformador con punto medio. Construir un rectificador
de media onda. Construir un rectificador de onda completa. Construir una fuente de alimentación estabilizada.
Material
Resistencias comerciales de distintos valores: 100 Ω, 390 Ω; 510 Ω; 1 kΩ; 2, 2 kΩ; 2, 7 kΩ;
3, 3 kΩ; 3, 9 kΩ, etc., caja de resistencias de hasta 10 kΩ, condensadores electrolı́ticos de
varios valores (2, 2 µF y 47 µF), diodos de pequeña señal (D1N4148 o D1N4007), diodo
Zener BZX85 C4V7, generador de funciones, osciloscopio de doble canal, transformador de
punt medio 220/6 V, polı́metro, placas de prototipo (protopboard) o equivalentes.
Fundamento teórico
Los diodos son dispositivos electrónicos que se caracterizan por tener lo que se llama una
unión PN, que les permite dejar pasar el paso de corriente en un sentido y bloquearlo en
el contrario. Dicha caracterı́stica hace que sean útiles para la creación de rectificadores de
corriente mediante el método de dejar pasar la corriente en un sentido y añadir condensadores
para compensar las caı́das de carga.
Los rectificadores se emplean para la transformación de la corriente alterna (AC) a corriente
continua (DC). Atendiendo al tipo de rectificación, pueden ser de media onda, cuando sólo
se utiliza uno de los semiciclos de la corriente alterna, o de onda completa, donde ambos
semiciclos son aprovechados.
Rectificador de media onda
El rectificador de meda onda está construido con un diodo ya que este puede mantener el
flujo de corriente en una sola dirección, cualquier mitad, la positiva o la negativa de la onda
de AC puede atravesar el rectificador, mientras la otra mitad de la onda queda bloqueada
como si se tratara de un circuito abierto (Figura 1).
Figura 1: Rectificación de media onda
21
Como sólo la mitad de la onda de entrada alcanza la salida, el valor medio del voltaje de
salida es más bajo. La rectificación de media onda da una corriente pulsante más abrupta
que la de onda entera, por este motivo se requiere un filtrado más efectivo. En esta práctica
usaremos un filtrado de media onda con condensador. La misión del condensador es, una
vez cargado a la tensión de pico de la fuente, suministrar corriente a la carga cuando el
diodo queda cortado. Para ello se debe diseñar el circuito de tal manera que la constante
de tiempo de relajación RC sea mucho mayor que el periodo T de la señal aplicada. De
esta forma se evita que el condensador se descargue significativamente antes de que el diodo
quede polarizado nuevamente en directa una vez que la fuente vuelva a alcanzar la máxima
amplitud en el semiciclo positivo. Durante esta fase tanbién el condensador se recarga, y a
partir de aquı́ se vuelve a repetir el ciclo.
Rectificador de onda completa
Un rectificador de onda completa aprovecha los dos semiciclos tanto el positivo como el
negativo, convierte la totalidad de la onda en la entrada a una onda de polaridad constante
(positiva o negativa) a la salida. La onda de salida es una onda de impulsos como se ve en la
Figura 2. El valor medio del voltaje es más alto.
Figura 2: Rectificación de onda completa
Del mismo modo que el rectificador de media onda, el rectificador de onda completa puede
estabilizar su salida colocando un condensador en paralelo con la resistencia de carga. En
este caso, la tensión de salida en continua será casi igual al valor de pico de la onda senoidal
de entrada, sin embargo, la frecuancia de la señal del rizado será el doble que la frecuencia
de entrada.
Método experimental y resultados
a) Verificar el funcionamiento de un transformador con punto medio.
La relación de transformación de un transformador viene dada por
V1
N1
=
N2
V2
(1)
donde N1 y N2 representan el numero de espiras del primario y del arrollamiento secundario, respectivamente. Mientras que V1 y V2 son los potenciales eficaces del primario y del
secundario.
22
Para obtener la relación de transformación del transformador alimentamos el primario del
transformador entregado para la práctica con la tensión de la red. Con el polı́metro, seleccionando la escala apropiada, medimos la tensión eficaz en el primario y en ambas mitades del
secundario según la Figura 3.
Figura 3: Transformador con punto medio
¡Atención! Hay que tener precaución cuando se mida la tensión de la red con la selección
de la escala del voltı́metro y con la manipulación de las puntas del téster cuando se mida la
misma.
Ve Primario
Ve 1o Secundario
Ve 2o Secundario
Con los valores medidos en el punto anterior y utilizando la relación de transformación,
estimar la razón de transformación del transformador:
N1 /N2 =
b) Rectificador de media onda.
Figura 4: Montaje experimental del rectificador de media onda
23
¡Atención! El montaje y la manipulación de los circuitos rectificadores se hará siempre con
el primario del transformador desconectado. Si bien las tensiones que se van a manipular no
son peligrosas (12 V de AC) sı́ puede resultar desagradable el contacto accidental.
1. Monta el circuito de la Figura 4 con una resistencia de 10 kΩ y visualice vout en el
canal 1 del osciloscopio.
2. Explica la diferencia que se obtiene en la pantalla al seleccionar el selector de señal
del canal 1 en la opción AC o en la opción DC.
3. Mide el periodo, la tensión de pico (o amplitud) Vp de la onda rectificada y la tensión
eficaz.
4. ¿Por qué la tensión pico Vp no tiene el mismo valor que la tensión pico de la fuente
alterna? ¿Cuál es la diferencia?
5. El valor medio de la tensión obtenido en este ejercicio es positivo en relación a cero.
¿Cómo podrı́a obtener un valor negativo?
c) Rectificador de media onda con condensador.
Para la alimentación en continua de la mayorı́a de los circuitos electrónicos se necesita una
tensión constante, similar a la que produce una baterı́a. Para obtener este tipo de tensión
rectificada se puede emplear el circuito rectificador de la Figura 5, denominado filtro con
condensador a la entrada.
Figura 5: Montaje experimental del rectificador de media onda con condensador
En el montaje experimental se utilizan condesadores electrolı́ticos que son condensadores
que usan un lı́quido iónico conducor como una de sus placas. En la Figura 6 se muestra
un condensador electrolı́tico y el sı́mbolo del circuito. Estos son los filtros habituales de
24
alimentadores de corriente, donde se usan para almacenar la carga, y moderar el voltaje de
salida y las fluctuaciones de corriente en la salida rectificada.
Figura 6: Condensadr electrolı́tico
Debido a la descarga parcial del condensador cuando éste actúa para mantener la tensión en
la carga, la salida del rectificador no es del todo constante y se dice que presenta un rizado.
El valor máximo de este rizado se alcanza en el valor de pico de la señal de entrada.
A partir de aquı́ la tensión de salida empieza a disminuir y, finalmente, alcanza su valor
mı́nimo cuando el valor de tensión de la fuente vuelve a ser lo suficientemente positivo
como para poner en conducción el diodo. Normalmente el rizado es pequeño comparado con
la tensión de pico de la fuente. Una fórmula que permite obtener de forma aproximada la
tensión de rizado en función de los valores del circuito fácilmente medibles es:
VR =
Vp
I
=
fC
f RC
(2)
Donde VR es la tensión de rizado de pico a pico, I es la corriente continua en la carga, f es
la frecuencia de la tensión de rizado (que en este caso coincide con la tensión de la señal de
entrada), C es la capacidad, Vp la tensión de pico (o amplitud) de la fuente y R la resistencia
de carga.
La aplicación de esta expresión supone que el diodo es ideal y que RC > T .
¡Atención! Al contrario que la mayorı́a de los condensadores, los electrolı́ticos tienen polaridad. La polaridad correcta se indica en el envoltorio con una franja indicando el signo
negativo y unas flechas indicando el terminal que debe conectarse al potencial menor (terminal negativo). También, los terminales se distinguen por su longitud, el términal negativo
es más corto que el positivo (Figura 6). Esto es importante porque una conexión con voltaje invertido de más de 1,5 V puede destruir la capa control de material dieléctrico por una
reacción de reducción electroquı́mica. Sin este material dieléctrico, el condensador entra en
cortocircuito, y si la corriente es excesiva, el electrolito puede hervir y hacer explotar el
condensador.
1. Monta el circuito de la Figura 5 para una resistencia de carga de 10 kΩ y condensadores
de 2,2 y 47 µF, respectivamente. Visualice la señal de salida ene el osciloscopio.
25
2. Explica la diferencia que se obtiene en la pantalla al seleccionar el selector de la señal
del canal 1 en la opción AC o en la opción DC.
3. Mide el rizado en cada caso:
C
VR
2,2 µF
47 µF
4. ¿Es el valor medio de la tensión con un capacitor de 2,2 µF mayor o menor que en el
circuito sin condensador? Razona la respuesta.
5. ¿Con qué configuración se obtiene un menor nivel de rizado y por qué?
6. ¿En qué caso tenemos un valor eficaz de la tensión rectificada mayor? Razona la respuesta.
d) Rectificador de onda completa.
Con el rectificador de onda completa, el nivel de continua DC se puede mejorar un 100 %
respecto al rectificador de media onda. El circuito máss familiar para desarrollar esta función
se ve en la Figura 7).
Figura 7: Montaje experimental de onda completa
Igual que en el rectificador de media onda, el rectificador de onda completa puede estabilizar
su salida colocando un condensador en paralelo con la resistencia de carga. De esta forma,
el voltaje de rizado pico a pico se obtiene por un procedimeinto idénntico al de media onda
pero con el periodo de descarga T reemplazado por T /2, con lo que, finalmente, el valor de
la tensión de rizado viene dado por:
VR =
26
Vp
2f RC
(3)
1. Monta el circuito de la Figura 7 para una resistencia de carga de 10 kΩ y visualice vout
en el osciloscopio. Mida el periodo, la tensión de pico, Vp , de la onda rectificada y la
tensión eficaz.
T
Vp
Ve
2. Añade un condensador al rectificador de onda completa como muestra la Figura 8,
eligiendo el valor de C para obtener una tensión de rizado del 5 % respecto del valor
de pico de la fuente de entrada.
Figura 8: Montaje experimental de onda completa con condensador
e) Fuente de alimentación estabilizada.
Con el fin de construir una fuente de alimentacion estabilizada utilizaremos el circuito anterior, rectificador de onda completa con condensador, siguiendo los siguientes pasos:
1. Como se observa en la Figura 9 has de añadir un filtro paso bajo (RF y CF ) para dejar
pasar la componente de continua de la tensión y cortocircuitar el rizado de alterna
hacia tierra. Ten en cuenta que RF no puede ser muy grande en comparación con la
carga porque la caı́da de tensión serı́a muy grande. Y CF debe tener, a la frecuencia de
rizado, una reactancia (XC ) pequeña comparada con RF (toma la mitad). Representa
la tensión de salida, calcula el rizado de la señal y el % en el que se ha reducido el
rizado.
RF
27
CF
Vp
VR
%
Figura 9: Montaje experimental de una fuente de alimentción estable
2. Comprueba que la señal de salida del circuito anterior varı́a cuando cambiamos la carga
haciendo un anális paramétrico para la resistencia de carga entre 0,5 kΩ y 10 kΩ.
RL (kΩ)
0.5
1
4
7
10
vout
Figura 10: Montaje experimental de una fuente de alimentción estable con diodo Zener
3. Para solucionar este problema añade el regulador zener (DIN750) como indica la Figura 10 con RZ ≈ 200 Ω. Repite de nuevo la tabla anterior de la tensión de salida para
distintos valores de carga. Explica los resultados
28
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
TRANSISTOR BIPOLAR
Objetivo
Calcular el factor de ganancia β del transistor e identificar las zonas de trabajo del transistor.
Obtener las curvas caracterı́sticas IC -VCE para diferentes valores de la corriente de base.
Calcular diferentes sistemas de polarización del transistor.
Material
Resistencias comerciales de distintos valores, fuente de alimentación de salida variable (0 12 V) y fija de ±5 V, pila de 9 V, polı́metro, placas de prototipo (protopboard) o equivalentes.
Fundamento teórico
Un transistor bipolar esta formado por dos uniones PN en contraposición. Fı́sicamente, el
transistor esta constituido por tres regiones semiconductoras denominadas emisor (E), base
(B) y colector (C). El transistor bipolar funciona como una fuente de corriente controlada
por tensión. Por debajo de un voltaje mı́nimo entre base y colector (voltaje de activación)
el transistor no conduce. En la zona activa el transistor amplifica la corriente de base por
un factor llamado de ganancia (β). En esta práctica identificaremos las tres terminales y
estudiaremos tres zonas de trabajo: corte, activa y saturación.
Existen dos tipos de transistores bipolares, los denominados NPN y PNP, como se ve en la
figura 1
Figura 1: Configuraciones de transistor bipolar
El emisor en un transistor NPN es la zona semiconductora mas fuertemente dopada con donadores de electrones, siendo su ancho intermedio entre el de la base y el colector. Su función
29
es la de emitir electrones a la base. La base es la zona mas estrecha y se encuentra débilmente
dopada con aceptores de electrones. El colector es la zona mas ancha, y se encuentra dopado
con donadores de electrones en cantidad intermedia entre el emisor y la base.
El comportamiento de un transistor es similar a dos diodos. El emisor y la base forman uno de
los diodos, mientras que el colector y la base forman el otro. Estos diodos son denominados:
“Diodo de emisor”y “Diodo de colector”. Inicialmente el transistor bipolar que trataremos
será de configuración NPN. En condiciones normales de funcinamiento el transistor NPN
muestra polarización directa en el diodo de emisor, EB, (por lo que la caı́da de tensión VBE '
0, 7 V) y polarización inversa en el diodo de colector (BC). En esta situación gran parte de
los electrones que fluyen del emisor a la base consiguen atravesar ésta, debido a su poco
grosor y débil dopado, y llegar al colector.
El transistor posee tres zonas de funcionamiento:
Zona de saturación
El diodo colector esta polarizado directamente y el transistor se comporta como una
pequeña resistencia. Para un transistor de silicio que se encuentra en saturación la tensión entre la base y el emisor es de 0, 7 Vy entre la base y el colector de unos 0, 5 V,
de donde se deduce que la tensión entre el colector y el emisor será de unos 0, 2 V. En
esta zona un aumento adicional de la corriente de base no provoca un aumento de la corriente de colector, ésta depende exclusivamente de la tensión entre emisor y colector.
El transistor se asemeja en su circuito emisor-colector a un interruptor cerrado.
Zona activa
En este intervalo el transistor se comporta como una fuente de corriente controlada
por la corriente de base. A pequeños aumentos de la corriente de base corresponden
grandes aumentos de la corriente de colector, de forma casi independiente de la tensión
entre emisor y colector. Para trabajar en esta zona el diodo BE ha de estar polarizado
en directa, mientras que el diodo BC, ha de estar polarizado en inversa. Ası́ se define
la ganancia del circuito representada por β o por hf e , cumpliendose:
Ic = βIB
(1)
Zona de corte
Ambas uniones estan polarizadas en inverso, por tanto la corriente de base es nula y esto es equivalente a mantener el circuito base-emisor abierto, en estas circunstancias la
corriente de colector es practicamente nula y por ello se puede considerar el transistor
en su circuito CE como un interruptor abierto.
IB = IC = IE = 0;
VCE = Vbat ;
VBC = VBE − VCE = VCE
Los transistores se usan en su zona activa cuando se emplean como amplificadores de
señales. Las zonas de corte y saturación son útiles en circuitos digitales.
30
Método experimental y resultados
a) Zonas de funcionamiento del transistor bipolar
La figura 2 muestra el transistor bipolar de uso genérico 2N3904. Como vemos, tiene forma
de semicilindro y la identificación de los terminales se hace mirando el transistor por el lado
curvo.
Figura 2: Transistor bipolar genérico 2N3904
Monte el circuito de la figura 3. Fije la fuente VCC a 5 V y varı́e la fuente de tensión VBB
entre 0 y 12V V: cada 0, 3 V al principio (hasta 1, 5 V), cada 0, 5 V después hasta 5 V y
desde ahı́ de voltio en voltio hasta el valor final.
Figura 3: Circuito para caracterizar el transistor
Para cada valor tome las medidas de las caı́das de potencial en las resistencias (VRB y VRC ),
hasta completar la tabla que se encuentra en la página siguiente.
31
VBB (V)
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
VCE
VRB
IB
VBE
VRB
IC
IC
IB
VCE
β
A partir de estos datos experimentales calcule las corrientes de base y colector, ası́ como el
voltaje VCE para cada punto. Traze la gráfica de la corriente del colector versus la corriente
de base e identifique las tres zonas de trabajo del transistor. Calcule el valor del voltaje de
saturación del transistor.
VCE,SAT =
A partir de los datos obtenidos calcule el valor de la ganancia de corriente β continua del
transistor cuando trabaja en la región activa. Elija un punto medio de la región activa.
b) Obtener las curvas caracterı́sticas IC -VCC para diferentes valores de la
corriente de base
Fije ahora la tensión VBB a 5 V. Varı́e la fuente de tensión VCC entre 0,3 V y 12 V y mida
para cada voltaje VCC , el voltaje que cae en RB (para obtener la corriente de base), el voltaje
que cae en RC (para obtener la corriente de colector) y VCE (este último voltaje no hace falta
medirlo puesto que también puede calcularse). Dibuje la caracterı́stica IC versus VCC para
esta configuración de corriente de base.
Repita el apartado anterior para una tensión VBB a 9 V. Represente todas las caracterı́sticas
juntas en una misma gráfica.
32
VCC (V)
0,3
0,6
0,9
1,2
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
6,0
7,0
8,0
9,0
10,0
11,0
12,0
VRB
IB
VBB = 5 V
VRC
IC
VCE
VRB
IB
VBB = 9 V
VRC
IC
VCE
c) Diseño de diferentes circuitos de polarización del transistor
En este apartado implementaremos diferentes circuitos de polarización del transistor en la
zona activa y en la configuración de emisor común. Determinaremos teóricamente los valores
de las resistencias necesarias para obtener el punto de polarización determinado por los datos
obtenidos en los últimos apartados para la corriente de colector, VCE y β. En segundo lugar,
con las resistencias comerciales de que disponemos, construiremos los siguientes circuitos y
determinaremos los valores experimentales.
Polarización con retroalimentación en la base
Figura 4: Circuito con realimentación en la base.
Dado el circuito de la figura 4, calcule los valores de RC y RB para obtener el punto de
polarización teórico indicado en el apartado de la caracterización o zonas de funcionamiento
del transistor.
33
Polarize el transistor según este esquema eligiendo las resistencias más próximas a las determinadas teóricamente y determine el resto de los datos experimentales.
RC (Ω)
RC
RB
VRC
RB (Ω)
IC
VBC
IB
VCE
Polarización con un divisor común
Dado el circuito de la figura 5, calcule los valores de RC y RB2 para obtener el punto de
polarización teórico indicado en el apartado de la caracterización o zonas de funcionamiento
del transistor.
Figura 5: Circuito con un divisor común.
Polarize el transistor según este esquema eligiendo las resistencias más próximas a las determinadas teóricamente y determine el resto de los datos experimentales.
RC (Ω)
RC
RB2
VRC
RB2 (Ω)
IC
VBC
IB
VCE
Polarización por realimentación de colector
Dado el circuito de la figura 6, calcule los valores de RC y RB2 para obtener el punto de
polarización teórico indicado en el apartado de la caracterización o zonas de funcionamiento
del transistor.
34
Figura 6: Circuito con un divisor común.
RC (Ω)
RB2 (Ω)
Con este circuito se logra amortiguar el efecto que produce el parámetro β sobre la corriente de colector. Si aumenta ésta, disminuye la tensión de colector y por tanto disminuye la
corriente de base.
Polarize el transistor según este esquema eligiendo las resistencias más próximas a las determinadas teóricamente y determinar el resto de los datos experimentales.
RC
RB2
VRC
IC
VBC
IB
VCE
Cuestiones
1. En estas tres polarizaciones que hemos analizado ¿qué ocurre con la variación de la
ganancia β con la temperatura?
35
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Oscilaciones de torsión. Momentos de inercia y teorema de Steiner.
Objetivo
Determinar la constante de recuperación angular (constante de torsión) de un muelle torsional. Determinar los momentos de inercia de un disco y una pieza irregular a partir de sus
perı́odos de oscilación. Determinar el momento de inercia en función de la distancia entre el
eje de giro y su centro de gravedad (teorema de Steiner).
Material
Soporte giratorio, muelle torsional (espiral), pieza cilı́ndrica, pieza irregular, cronómetro,
dinamómetro para medida de la fuerza.
Fundamento teórico
Constante de restauración de un muelle torsional
Utilizamos un dispositivo formado por un disco con perforaciones diametrales centrado sobre un muelle de torsión, como el que se muestra en la figura 1
Figura 1: Disco centrado sobre el eje de torsión
El péndulo de torsión es un sistema que permite fijar un cuerpo sólido y hacerlo oscilar
alrededor de un eje fijo. Al aplicar una fuerza tangente al disco, a una distancia r respecto
al centro, se origina una deformación del muelle de torsión. De esta forma se produce un
desplazamiento angular θ alrededor del eje vertical. En el muelle se origina un par de fuerzas
con un momento recuperador M (o torque) proporcional al ángulo (mientras no se sobrepase
36
el lı́mite de elasticidad) que de forma oscilante tiende a devolver a la barra a su posición
inicial. Ası́ se cumple:
M = −kT θ
(1)
donde es la constante de restauración angular del muelle o la constante recuperadora de
torsión. La constante de torsión se mide en Nm.
Momentos de inercia
El par recuperador M definido por la ecuación 1 se opone a la torsión del muelle y hace
que el disco efectúe unas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio. Si Iz es el
momento de inercia del todo el conjunto respecto del eje (p.e. del eje z), y consideramos el
ángulo pequeño, aplicando la ecuación fundamental de la dinámica de rotación se obtiene la
ecuación diferencial de un movimiento armónico simple:
2
dθ
~ o = Iz α
M
~ = Iz 2
dt
(2)
donde el punto o representa el centro de rotación del sistema. Sustituyendo el par recuperador
de la ecuación ?? resulta:
d2 θ
−kT θ = Iz 2
dt
2
d θ kT
+ θ=0
(3)
dt2
Iz
que corresponde a un movimiento armónico simple con un perı́odo:
r
2π
Iz
(4)
T =
= 2π
ω
kT
Teorema de Steiner
Hasta ahora la teorı́a se ha desarrollado suponiendo que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de masa del cuerpo que oscila. Esto es válido en el caso en el que el torque
esté aplicado en dicho punto. En el caso en el que el muelle de torsión estuviera aplicado
en un punto desplazado una distancia r del centro de masa, para aplicar la ecuación 3 es
necesario definir el momento de inercia aplicando el teorema de Steiner:
“El momento de inercia respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia respecto
a un eje paralelo que pase por su centro de masas, más el producto de la masa del cuerpo
por el cuadrado de la distancia entre ambos ejes.”
De esta forma, la aplicación del teorema lleva a que:
Izo = Izcm + mr2
37
(5)
Resolviendo la nueva ecuación dinámica, podemos obtener una ecuación similar a la ecuación 3, y sustituyendo se llega a un periodo distinto, que expresa la relación entre los periodos
de oscilación T y la distancia r entre el muelle de torsión y el centro de masa del cuerpo:
s
Izcm + mr2
2π
= 2π
(6)
T =
ω
kT
Método experimental
a) Determinación de la constante recuperadora del muelle de torsión.
La constante se puede determinar a partir de la ecuación 1. Para ello se gira la el disco un
cierto ángulo y se mide con un dinamómetro la fuerza que hay que aplicar a una distancia
r del eje para que el disco se mantenga en equilibrio en dicho desplazamiento angular (ver
figura 2). Se ha de apuntar los valores obtenidos para F , r y θ.
¡Atención! Es importante que la dirección de la fuerza F~ sea perpendicular a la barra en todas
las medidas (tal como se muestra en la figura 2) y que la desviación angular no sobrepase el
valor de 4π.
Repite la experiencia desviando el disco en un ángulo diferente y mide la fuerza F~ que
corresponde a cada caso situando el dinamómetro a la misma distancia r.
Figura 2: Medida correcta de la fuerza con el dinamómetro
b) Momentos de inercia
Tal como se mostró en la sección anterior es posible obtener el valor del momento de inercia
de un sólido mediante la medición del perı́odo cuando éste se encuentre oscilando. Primero
se tiene que determinar el momento de inercia del disco soporte. Para ello, gira el disco un
cierto ángulo (por ejemplo π rad) y luego suéltalo. Mide el tiempo que tarda en realizar
10-15 oscilaciones y calcula el perı́odo de oscilación.
38
El objetivo es determinar de manera indirecta el momento de inercia de una pieza circular
desconocida. Sitúa la pieza circular en el centro del el soporte giratorio. Vuelve a determinar
el perı́odo de oscilación a partir de la medida del tiempo correspondiente a 10-15 perı́odos.
Después saca la pieza y determina su masa m (con una balanza) y su radio R.
c) Teorema de Steiner
Sitúa ahora la pieza circular a distintas distancias r del eje, mediante dos pivotes que encajan
en unos orificios que el soporte tiene en la dirección radial. Ası́ dispone que el centro de
masa del disco se halle a diferentes distancias del centro del disco soporte.
Para cada posición del disco, separe el soporte giratorio de su posición de equilibrio y mida
el perı́odo de las oscilaciones que se producen. Realiza una tabla con los valores de r y T
para las medidas.
d) Momento de inercia de una pieza irregular
Una vez calibrado el soporte obtén por método indirecto el momento de inercia de una pieza
irregular. Para ello coloca la pieza irregular en cada una de las posiciones posibles y mida
los perı́odos correspondientes (T ) construyendo la tabla (r, T ), siendo r la distancia entre el
eje de giro y un punto arbitrario de la pieza.
Resultados
a) Determinación de la constante recuperadora del muelle de torsión.
Haz una tabla con los valores de F para cada valor del ángulo .
θ
39
F
Para cada conjunto de valores F , r y θ, calcula el momento aplicado.
θ (rad)
r (m)
F (N)
M (Nm)
Representa en una gráfica el momento M en función del ángulo (en radianes).
A partir de una regresión lineal determina el valor de la constante de torsión del muelle
b) Momentos de inercia
Utilizando la formula 4, calcula el momento de inercia del disco soporte Izcm a partir
del valor del perı́odo de oscilación determinado experimentalmente y el valor de la
constante de torsión determinada en el apartado anterior.
El perı́odo de oscilación del disco soporte con la pieza circular será:
r
2π
Ipcm + Izcm
T =
= 2π
ω
kT
(7)
Calcula el valor del momento de inercia de la pieza circular Ipcm utilizando los valores
de Izcm y kT determinados anteriormente.
Calcula el error asociado mediante la teorı́a de propagación de errores.
Calcula ahora el valor teórico del momento de inercia de un disco de masa m y radio
R que gira entorno a su centro utilizando la fórmula:
1
Ipcm = mR2
2
Compara el resultado con el que has determinado experimentalmente.
40
(8)
c) Teorema de Steiner
Cuando el torque no está aplicado sobre el centro de masa, el perı́odo de oscilación de nuestro
sistema será:
s
Ipcm + Izcm + mr2
(9)
T = 2π
kT
Podemos obtener el valor del momento de inercia teniendo en cuenta la relación entre el
perı́odo de oscilación y la distancia entre el muelle de torsión y el centro de masa. Para ello:
Haz una tabla con los valores de T en función de la distancia al eje de giro r y representa gráficamente T 2 en función de r2 .
t(s)(10 osc.)
T (s)
T 2 (s2 )
r (m)
r2 (m2 )
Ajusta una recta y, a partir de la regresión lineal obtén el valor del momento de inercia.
Compara el resultado con los obtenidos en el apartado anterior.
d) Momento de inercia de una pieza irregular
Haz una tabla con los valores de r en función del periodo T y representa gráficamente
(r, T . Esta curva presentará un mı́nimo que corresponde al punto más próximo al
centro de masas que coincide con el eje de rotación.
41
t(s)(10 osc.)
T (s)
r (m2 )
Utilizando este valor, determina el momento de inercia buscado.
Cuestiones
1. La ecuación de movimiento del soporte vacı́o corresponde a un movimiento armónico
simple. ¿Qué ecuación diferencial rige dicho movimiento?
2. El momento de inercia total, de dos sólidos rı́gidos solidarios respecto un eje es la suma
de los momentos de inercia de cada sólido respecto a dicho eje. ¿En que principio se
fundamenta dicha afirmación?
42
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Momento angular, velocidad y aceleración angular
Objetivo
Estudiar las magnitudes angulares (ángulo de rotación, velocidad, aceleración y momento
angular) para el caso de un sólido rı́gido que se encuentra en estado de rotación. También
encontrar la relación existente entre estas magnitudes y las fuerzas que provocan el giro.
Material
Disco giratorio con graduación de ángulos, motor expulsador de aire, puerta fotoeléctrica,
contador electrónico, fuente de alimentación 5 V DC, polea, juego de pesas y disparador.
Figura 1: Montaje experimental
Fundamento teórico
Las magnitudes angulares describen el movimiento de una partı́cula o sistema de partı́culas
en un estado de giro alrededor de un eje. Para describir la variación del ángulo de rotación,
o desplazamiento angular, alrededor de un eje se define la velocidad angular,
ω
~ (t) =
43
dφ
ûω
dt
(1)
donde φ(t) es el ángulo desplazado y la relación con la velocidad lineal ~v respecto del eje de
rotación y el vector de posición posición r con origen en el mismo eje, viene dada por
ω
~ (t) = ~v × ~r
(2)
En el caso de que la aceleración angular, α, sea constante, es decir, que la variación de la
velocidad angular sea la misma para intervalos de tiempo iguales, tenemos que φ(t) y ω(t)
son,
1
φ(t) = φo + ωo t + αt2
2
ω(t) = ωo + αt
(3)
(4)
donde φo y ωo son el ángulo y la velocidad angular iniciales.
Otra magnitud angular importante es el momento angular definido, bien para un sistema de
partı́culas o bien para una distribución continua de masa, según
X
~ =
L
p~i × ~ri
(5)
Z
~ = ρ (~v × ~r) dr3
L
(6)
donde pi es el momento lineal de la partı́cula y ri el vector que une el eje de rotación con
la posición de la partı́cula i. Esta magnitud se relaciona con la velocidad angular ω y los
momento total de las fuerzas que actúan sobre el sistema, τ , mediante,
~ =Iω
L
~
~
dL
dω
~τ =
=I
=Iα
dt
dt
(7)
(8)
donde I es l momento de inercia respecto el eje de rotación.
El momento de una fuerza se define como el producto vectorial entre la fuerza y el vector
que relaciona el eje de rotación con el punto de aplicación de la misma fuerza,
~τ = F~ × ~r
(9)
Igualando estas dos últimas expresiones podemos encontrar una relación entre la aceleración
y los momentos de las fuerzas que actúan sobre el sistema.
F~ × ~r = I α
(10)
En nuestro montaje experimental podemos encontrar a partir de la ecuación 10 la expresión
de la aceleración angular,
T r
α=
(11)
I
donde, como se observa en la figura 2, T es la tensión de la cuerda y r es la distancia entre
el eje de rotación y el punto de aplicación de la fuerza.
44
Figura 2: Movimiento de rotación debido a la tensión.
Método experimental
a) Medidas del ángulo de rotación en función del tiempo transcurrido
Primero debe de poner en marcha el motor de aire a fin de reducir al máximo el rozamiento
entre el disco metálico y la plataforma sobre la que gira. La fuerza que hace girar el disco es
la tensión de la cuerda que pasa por la polea y que debe enrollar en la segunda guı́a del disco
metálico.
En el extremo de esta cuerda hay un platillo sobre el que tenemos que ir fijando diferentes
masas (juego de pesas).
En la posición 3 de la puerta fotoeléctrica coloque el disparador en el ángulo deseado. Pulse
el ”Reset”del contador para ponerlo a cero y entonces oprimir el disparador. El contador
comenzará a mostrar el tiempo que va transcurriendo y se detendrá cuando el sector metálico
del disco giratorio pase por la puerta fotoeléctrica. Mueva el disco inicialmente ángulos entre
30◦ y 300◦ .
¡Atención! antes de que comience a girar el disco debe ponerse en la misma dirección la
cuerda y la polea giratoria, de lo contrario la cuerda se puede salir del disco de la polea.
b) Medidas de la velocidad angular en función del tiempo transcurrido
En la posición 2 de la puerta fotoeléctrica repita el mismo proceso descrito en el apartado
anterior. El tiempo del contador indicará el tiempo que tarda en cruzar el sector metálico
del disco giratorio la puerta fotoeléctrica. Conociendo este intervalo de tiempo, ∆t, y los
radianes del sector metálico, ∆φ, podemos calcular la velocidad angular correspondiente al
tiempo total, t.
∆φ
(12)
ω≈
∆t
45
Resultados
a) Ángulo de rotación y velocidad angular.
Confecciona una tabla con tres columnas en las que muestres el tiempo transcurrido,
el tiempo transcurrido al cuadrado y el ángulo recorrido. representa gráficamente φ en
función de t2 y ajusta los resultados mediante una regresión lineal.
t2 (s2 )
t (s)
φ
Confecciona una tabla con dos columnas en las que muestren el tiempo transcurrido y
la velocidad angular. Representa gráficamente ω en función de t y ajusta los resultados
mediante una regresión lineal.
t (s)
ω (rad/s)
Repetir los dos apartados anteriores para diferentes masas (un mı́nimo de 3 veces).
b) Aceleración angular y momento de inercia del disco.
Deduce partir de las pendientes representadas en las gráficas anteriores la aceleración
angular para cada masa.
46
A partir de las ecuaciones 9, 10 y 11, deduce cuál es la relación entre la masa unida a
la cuerda, la gravedad, el punto de aplicación de la fuerza y el momento de inercia del
disco con la aceleración angular del sistema.
Encuentra el valor del momento de inercia del disco, a partir de la relación que se ha
deducido en el apartado anterior.
Cuestiones
1. Si este mismo experimento lo realiza en un punto de la superficie terrestre en el que
el campo gravitatorio exacto fuera 0,9g (encima de una gran montaña, p.e.), ¿cómo
variarı́an las gráficas de φ y ω en función del tiempo al cuadrado y el tiempo? El
momento de inercia que deducir variarı́a? ¿Por qué?
2. Si sobre el disco giratorio se aplicara la fuerza a una distancia el doble de grande, 2r,
¿cómo variarı́an las gráficas de φ y ω? ¿Variarı́a el momento de inercia deducido? ¿Por
qué?
47
Laboratorio de
Técnicas Experimentales II
Ondas mecánicas estacionarias. Análisis del sonido.
Objetivo
Estudio de las condiciones de formación de ondas mecánicas estacionarias. Conceptos de
intensidad, tono y timbre de las ondas sonoras.
Material
Oscilador de frecuencia fija (100Hz), cuerda, dinamómetro, juego de masas, muelle, micrófono,
osciloscopio, diapasón y monocordio.
Fundamento teórico
Si en una zona de un medio material se produce una perturbación de tipo oscilatorio, la
perturbación inicial se propaga haciendo vibrar las moléculas vecinas y ası́ sucesivamente, generando una onda. Podemos definir también un movimiento ondulatorio como aquel
fenómeno en el que se produce un transporte de energı́a y cantidad de movimiento de un
punto a otro del espacio, sin transporte de materia.
Existen ondas que no necesitan ningún medio material para propagarse, las ondas electromagnéticas (como la luz, las ondas de radio, micro-ondas, rayos X, etc), y otros que se
propagan gracias a las propiedades elásticas de un medio y que llamamos ondas mecánicas.
Son ondas mecánicas las ondas que se propagan por una cuerda, las que se propagan por un
muelle o las ondas sonoras.
Por otra parte, se pueden clasificar las ondas según la dirección de la perturbación, o desplazamiento oscilatorio. Ası́, si la dirección de la perturbación es paralela a la dirección de
propagación de la onda hablamos de ondas longitudinales (como las ondas en un muelle o
las ondas sonoras) y si la dirección de la perturbación es perpendicular a la de propagación,
de ondas transversales (las ondas en una cuerda son un ejemplo).
Ondas en una cuerda
Matemáticamente, se puede representar una onda como una función del espacio, x, y del
tiempo, t que describe el estado de la perturbación, la elongación, y(x, t), de cada punto en
cada instante de tiempo. esta función se denomina función de onda y en el caso de una onda
armónica viene dada por:
y(x, t) = yo sin(
48
2π
(x − vt)) = yo sin(kx − 2πf t)
λ
(1)
Figura 1: Ondas armónicas propagandose por una cuerda
donde λ es la longitud de la cuerda, v es la velocidad de propagación de la onda propia del
medio, yo es la amplitud de la perturbación, k = 2π/λ recibe el nombre de número de ondas
y f es la frecuencia de la onda. Recordad que una onda avanza la distancia denominada
longitud de onda en un periodo, T = 1/f y que, por tanto, la velocidad de propagación, la
longitud de onda y la frecuencia (o el periodo), están relacionados por la expresión:
v=
λ
= λf
T
(2)
En el caso de ondas transversales propagándose en una cuerda, la velocidad de propagación
se puede expresar en función de la tensión o fuerza a la que está sometida la cuerda, F , y la
densidad lineal (masa por unidad de longitud) de la cuerda, µ:
s
F
v=
(3)
µ
Ondas estacionarias
La superposición, en fase, de dos ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan en
sentidos contrarios da lugar a lo que se llama una onda estacionaria. Esta situación puede
darse en una cuerda, si la onda generada en un extremo se refleja en el otro y recorre la
cuerda propagándose en sentido contrario se superpone a la onda inicial. La superposición
de ambas viene descrita por la suma de las funciones de onda correspondientes a la onda que
se propaga hacia la derecha, yd (x, t), y la que se propaga hacia la izquierda,ye (x, t):
yd (x, t) = yo sin(kx − 2πf t)
y(x, t) = 2yo sin(kx) cos(2πf t)
(4)
ye (x, t) = yo sin(kx + 2πf t)
Observando la ecuación 4 se ve que la amplitud de la oscilación depende de la posición, x.
Ası́ existen puntos en los que 1a amplitud de la oscilación es nula (sin(2πx/λ) = 0) y no
vibran son los llamados nodos y otros que vibran con amplitud máxima (sin(2πx/λ) = ±1),
que se denominan vientres o antinodos. También se observa fácilmente que la distancia entre
dos nodos o vientres consecutivos es λ/2, ver Figura 2.
49
Figura 2: Ondas estacionarias en una cuerda fija por los dos extremos.
Si se quiere representar una onda estacionaria en una cuerda, de longitud L, fija por ambos
extremos, además de la ecuación 4 hay que imponer que los extremos de la cuerda, x = 0
y x = L, sean nodos. De esta forma, se observa que cuando en una cuerda se hace oscilar
nada más que uno de sus extremos y la onda se refleja en el otro, la formación de ondas
estacionarias establece una relación entre la longitud de onda y la longitud de la cuerda,
dada por:
λ
n = 1, 2, 3, ...
(5)
sin(k0) = sin(kL) = 0 =⇒ L = n
2
Ası́, si L y f son fijas (como es el caso de la práctica) sólo existen unos ciertos valores de λ
(y por tanto de la tensión, T ) para los que la cuerda entra en resonancia y se establece una
onda estacionaria. En la Figura 2 se puede ver las tres primeras ondas estacionarias posibles
para n = 1, 2, 3 y 5 (obsérvese como al aumentar n, λ disminuye), o, dicho de otra forma
son los cuatro primeros armónicos.
Intensidad tono y timbre
Las ondas sonoras son ondas longitudinales de compresión del medio. La vibración de las
moléculas del medio genera zonas de compresión y rarefacción (disminución de la densidad),
que pueden propagarse por un medio gaseoso, lı́quido o sólido. Si el medio es un gas, la
densidad está directamente relacionada con la presión.
En general, las ondas sonoras presentan formas de onda muy complejas. Es por ello que,
incluso cuando dos instrumentos musicales tocan la misma nota, suenan de forma diferente.
La Figura 3 muestra la onda producida por un clarinete y una corneta al tocar la nota La
(440 Hz).
50
Figura 3: Ondas con la misma intensidad y tono pero diferente timbre.
En esta figura se pueden apreciar tres caracterı́sticas fundamentales del sonido
1. La intensidad del sonido está relacionada con la amplitud. En este caso las dos ondas
tienen aproximadamente la misma intensidad.
2. Se puede observar que existe un patrón básico que se repite con cierta frecuencia, ésta
es la frecuencia fundamental o bien el tono. En este caso las dos ondas tienen el
mismo tono (son la misma nota).
3. Las pequeñas perturbaciones también periódicas (de frecuencia mayor que la fundamental), son diferentes en cada caso y permiten distinguir las ondas. Estas perturbaciones constituyen el timbre de la onda y son las responsables de que dos instrumentos
diferentes no suenen igual cuando emiten la misma nota.
Método experimental
a) Estudio de las ondas en una cuerda
Se dispone de una cuerda unida a un oscilador que vibra a una frecuencia fija (100 Hz)
y que, por el otro extremo tiene un dinamómetro que nos permite variar la tensión a que
está sometida la cuerda.
En primer lugar se ha de medir la longitud de la cuerda, L, con la cinta métrica.
¡Atención! Es importante que la longitud de la cuerda sea la misma durante toda la experiencia, por ello toma una referencia de donde colocad el pie por si se moviera.
1. Enchufa el oscilador.
2. Cuelga la masa de 200 g de la cuerda y a continuación el dinamómetro. Aumenta
gradualmente la tensión, estirando el dinamómetro hasta que se observe que se forma
una onda estacionaria con vientres y nodos como los de la Figura 2. Busca la tensión
51
exacta para la que 1a amplitud de los vientres sea máxima y anotala (la tensión total
aplicada es la suma de la lectura del dinamómetro, en N , más el peso de la masa y el
dinamómetro). Determina el número n, contando el número de medias longitudes de
onda, como en la Figura 2.
3. Sigue estirando el dinamómetro, aumentando la tensión de la cuerda hasta alcanzar
nuevas resonancias; en cada caso, determina T y n.
4. Repite la experiència con la masa de 100 g, y finalmente, sin la masa, sólo con el
dinamómetro.
5. Desenchufa el oscilador.
6. Determina la masa del dinamómetro.
b) Ondas longitudinales en un muelle
1. Une el extremo del muelle en el agujero central del oscilador.
2. Enchufa el oscilador.
3. Con el muelle colgando verticalmente (Figura 4), cógela por un punto intermedio para
que las ondas se reflejen y mira si se forma una onda estacionaria. Ir cogiendo el muelle
por diferentes puntos hasta que entre en resonancia.
4. Cuenta el número de medias longitudes de onda y observa qué ocurre al aumentar la
tensión aplicada estirando ligeramente el muelle con la mano.
5. Desenchufa el oscilador
Figura 4: Montaje de ondas longitudinales en un muelle.
52
c) Análisis del sonido. Intensidad, tono y timbre
1. Conecta el osciloscopio con el interruptor ON. Arranca el micrófono y colocalo ante la
caja de resonancia del diapasón. Golpea el diapasón con el martillo y ajusta los mandos
TIME / DIV y VOLT / DIV hasta que la señal se observe de forma clara en la pantalla
del osciloscopio. Observa que la onda es de forma sinusoidal. Determina el periodo y
la frecuencia de la onda.
Figura 5: Diferentes ejemplos para la voz humana y el diapasón
2. Experimenta, ahora, con los sonidos producidos por la voz humana. Será necesario
ajustar de nuevo los mandos de la oscilación-osciloscopio.
3. Pronuncia las letras A y U con la misma intensidad y tono (su tono normal de voz).
Construye una gráfica con unos ejes de coordenadas semejantes a los que se muestran
en la pantalla del oscilosopio y copia la imagen que se observa en cada caso. Anota la
escala del TIME / DIV y VOLT / DIV. Repite la experiencia con otro compañero que
pronuncie las letras A y U .
4. Emite una letra en dos tonos diferentes: primero con un tono alto (frecuencia alta,
agudo) y después con un tono bajo (frecuencia baja, grave) y copia también la imagen
de la pantalla del osciloscopio.
5. Finalmente, escucha y visualiza el sonido generado por el monocordio. Estudia qué sucede al variar la longitud de la cuerda que vibra.
Resultados
a) Estudio de las ondas en una cuerda
Construye una tabla con cinco columnas: la tensión aplicada T , n, la longitud de onda
λ (que puedes calcular a partir de la relación 5), lavelocidad de las ondas v (que puedes
calcular a partir de la relación 2) y v 2 .
53
T (s)
n
λ (m)
v (m/s)
v 2 ((m/s)2 )
Representa gráficamente v 2 en función de T . Comenta si la gráfica esta de acuerdo con
la expresión 3.
Realiza la correspondiente regresión lineal, determina la densidad lineal µ y comenta
si su valor te parece razonable.
b) Ondas longitudinales en un muelle
Comenta (con un dibujo) como son las ondas estacionarias que has observado en el
muelle, ¿cuál es la principal diferencia con las ondas estacionarias de la cuerda?
¿Qué sucede con el número n de una onda estacionaria al aumentar la tensión?
c) Análisis del sonido. Intensidad, tono y timbre
Para cada pareja de dibujos de la A y la U:
Determina 1a amplitud, ¿Crees que tienen la misma intensidad estos dos sonidos?
Determina la frecuencia fundamental, ¿crees que tienen el mismo tono estos dos sonidos?
¿Crees que tienen el mismo timbre los dos sonidos? Razona la respuesta.
A continuación:
Comenta como se observa en el osciloscopio la variación del tono.
Comenta como depende el tono del monocordio de la longitud de cuerda que vibra.
Razona la respuesta.
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Cuestiones
1. Determina, en las condiciones de la práctica, la tensión que habrı́a que aplicar para
conseguir n = 3, 16 y 25.
2. Demuestra la ecuación 4 para la onda resultante de la superposición, en fase, de dos
ondas que viajan en sentidos contrarios.
3. ¿Qué efecto tendrı́a utilizar una cuerda con una densidad lineal más grande, en el
número de nodos observado y las correspondientes tensiones de resonancia? Podrı́a
llegar a ser imposible realizar la práctica si, uno fuera demasiado grande?
4. Representa gráficamente la superposición de dos ondas (de la misma intensidad) la
una de frecuencia doble que la otra. Para sumarse las representa las dos ondas y luego
suma, en cada instante de tiempo, las dos amplitudes. Observa como la suma de dos
ondas sinusoidales da una onda compleja, esto nos demuestra que también es posible
descomponer una onda compleja en suma de ondas armónicas.
5. Explica razonadamente como se afina un instrumento de cuerda.
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