Download Teoría y actividades de repaso de potencias y radicales

POTENCIAS DE NÚMEROS REALES
Hace más de 4.000 años los egipcios se plantearon este curioso problema:
En una hacienda había siete casas; en cada casa, siete gatos; cada gato mató siete
ratones; cada ratón había comido siete granos de cebada; cada grano de cebada había producido
siete medidas. ¿Cuál es la suma de todo?
Nº de casas..........................................................................7
Nº de gatos..........................................................................7·7
Nº de ratones.......................................................................7·7·7
Nº de granos de cebada.......................................................7·7·7·7
Nº de medidas.....................................................................7·7·7·7·7
¿Qué observas? (observa que hemos dado los resultados en forma de productos de
factores iguales). El producto 7·7·7·7·7 es un ejemplo de potencia, y lo indicamos
abreviadamente: 7·7·7·7·7=75; donde 7 es la base de la potencia y 5 es el exponente de la
potencia.
Una potencia es un modo abreviado de escribir un producto de factores iguales. El
factor que se repite es la base y el número de veces que se repite es el exponente de la potencia.
Ejercicios:
1) Completa los números que faltan:
Producto
4·4·4
7·7·7·7
-
Potencia
43
56
-
Base
4
2
Exponente
3
5
2) Escribe en forma de producto y calcula el valor de cada potencia:
a) base 2, exponente 5
b) base 4, exponente 6
c) base 3, exponente 4
3) Calcula las nueve primeras potencias de dos.
4) Calcula: 102, 103, 104, 105, 108 y tarta de descubrir a qué es igual cualquier potencia
de base 10.
5) Escribe en forma de potencia de base tres los siguientes números: 27, 1, 81, 9, 243,
2187.
6) Calcula x para que sean ciertas las igualdades siguientes:
3x = 243
2x = 128
53 = x
9x = 729
x2 = 64
10x =10.000
1
Propiedades de las potencias
1) El producto de dos o más potencias de la misma base es otra potencia que tiene:
¾ La misma base
¾ El exponente igual a la suma de los exponentes de los factores.
an · am = an+m
Ejm:
32 · 34 = (3·3) · (3·3·3·3) = 36 = 32+4
53 · 5 · 56 = (5·5·5) · 5 · (5·5·5·5·5·5) = 510 = 53+1+6
En este último ejemplo vemos que 51 se comporta igual que 5 de donde se
deduce la siguiente propiedad:
2) Cualquier potencia de exponente 1 es igual a la base.
a1 = a
Ejm:
51 = 5
121 = 12
Ejercicios:
7) Escribe los números que faltan:
a) 34 · 35 = 3?
c) 44 · 42 · 4? = 47
b) 25 · 22 · 2 = ?
d) 12 · 12? = 123
8) Escribe cada número como producto de potencias de la misma base, de dos formas
distintas:
26, 38, 412, 54 · 25
3) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene:
¾ La misma base
¾ El exponente igual a la diferencia de los exponentes del dividendo y el
divisor.
an : am = an-m
Ejm:
3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3⋅ 3
= 34 = 36-2
3⋅ 3
5
5
5
⋅
⋅
⋅5
54 : 54 =
= 1 = 54-4 = 50
5⋅5⋅5⋅5
36 : 32 =
2
De este último ejemplo se deduce la siguiente propiedad:
4) Cualquier potencia de exponente cero es igual a 1.
a0 = 1
Ejm:
30 = 1
720 = 1
Ejercicios
9) Escribe los números que faltan:
a) 312 : 34 = 3?
b) 49 : 43 =
6
c) 714 : 7 = 75
10) Completa:
Dividendo
45
7?
512
117
Divisor
42
73
5?
117
Cociente
4?
74
53
11?
5) Una potencia de base una potencia se puede escribir como potencia de un solo
exponente que tiene:
¾ La misma base
¾ Por exponente el producto de los exponentes.
(an)m = an·m
Ejm:
(43)4 = 43 · 43 · 43 · 43 = 43+3+3+3 = 412 = 43·4
(75)2 = 75 · 75 = 75+5 = 710 = 72·5
Ejercicios:
11) Escribe como potencia de base 11,13, 7 y 5 respectivamente:
a) (116)7 =
b) (138)4 =
c) (79)8 =
d) (510)9 =
12) Escribe como potencia de la misma base el cuadrado y el cubo de cada potencia:
a) 23 =
b) 32 =
c) 54 =
d) 73 =
3
13) Escribe como potencia de potencia:
a) 56 =
b) 715 =
c) 325 =
d) 1121 =
14) Aplicando las propiedades de potencias, expresa como potencia única:
a) 25 · 28 =
d) 35 : 33 =
g) 312 : 35 =
b) 25 · 24 · 22=
e) (52)6 =
h) (25)4 =
c) 32 · 35 =
f) (56)3 =
i) 315 : 36 =
15) Escribe en forma de potencia única:
a) 28 · 2 · 23 =
c) [(23)5]6=
e) 1034 : 1034 =
b) 52 · 56 · 5 =
d) 1022 : 1013=
f) 26 : 26 =
6) Una potencia de exponente negativo es igual a la inversa de la misma potencia de
exponente positivo.
a-n =
1
an
Ejm:
1
1
1
=
2 =
3
3⋅ 3 9
1
1
1
=
5−4 = 4 =
5
5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 625
3− 2 =
7) El producto de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene:
¾ El mismo exponente
¾ La base igual al producto de las bases.
am · bm = (a · b)m
Ejm:
( 2 ⋅ 5) 3 = ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) ⋅ ( 2 ⋅ 5) = ( 2 ⋅ 2 ⋅ 2) ⋅ ( 5 ⋅ 5 ⋅ 5) = 2 3 ⋅ 53
8) El cociente de dos potencias del mismo exponente es otra potencia que tiene:
¾ El mismo exponente
¾ La base igual al cociente de las bases del dividendo y el divisor.
am : bm = (a : b)m
Ejm:
(12:6) 3 = (12:6) ⋅ (12:6) ⋅ (12:6) = (12 ⋅ 12 ⋅ 12): ( 6 ⋅ 6 ⋅ 6) = 123:63
4
9) Una potencia de base negativa tiene como resultado un número positivo cuando el
exponente es par, y un número negativo cuando el exponente es impar:
(-a)n = an si n es par y - ansi n es impar
Ejm:
( − 2) 3 = ( − 2)( − 2)( − 2) = − 2 3 = − 8
( − 3) 4 = ( − 3) ⋅ ( − 3) ⋅ ( − 3) ⋅ ( − 3) = 34 = + 81
RADICALES
Se llama raíz n-ésima d un número a, y se escribe
condición:
n
n
n
a , a un número b que cumple la siguiente
a = b ⇔ bn = a
a se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.
−
−
−
Si a ≥ 0, n a cualquiera que sea n.
Si a<0, sólo existen sus raíces de índice impar.
Las raíces cuadradas tienen dos soluciones, veamos un ejemplo:
(− 2)2 = 2 2 = 4 ⇒
4=2 y
4 = −2
Por otra parte, se tiene la relación entre las raíces y las potencias de exponente fraccionario que
viene dada por:
n
a m = m an
Veámoslo con algunos ejemplos:
5
3 =3
2
6 =6
3
2
5
1
2
6
3
5 = 5 = 5 2 = 25
6
Propiedades
a. Simplificar radicales
Para simplificar se divide el índice y el exponente del radicando
por una misma cantidad; esto es:
2
4
1
9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3
b. Reducir radicales a índice común
Dado que los radicales son potencias de exponente fraccionario
donde el denominador es el índice de la raíz, se trata pues de
calcular el mínimo común múltiplo de los índices (como
hacíamos a la hora de reducir a común denominador)
5
3
7
3
14
6
3
2
9
6
128 = 2 = 2 = 2
3
7
= 6 214
125 = 5 = 5 = 5 = 6 5 9
3
c. Sacar factores fuera de una raíz
Para poder sacar un factor de un radical debe estar elevado al
índice de dicho radical. Veámoslo con ejemplos:
72 = 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 = 3 ⋅ 2 ⋅ 2
3
125 = 3 5 3 = 5
4
567 = 4 3 4 ⋅ 7 = 3 ⋅ 4 7
d. Juntar dos radicales en uno solo
Para multiplicar o dividir radicales del mismo índice se deja el
mismo índice y se multiplican o dividen los radicandos; esto es:
5 ⋅ 6 = 5 ⋅ 6 = 30
3
36 : 3 2 = 3 36 : 2 = 3 18
e. Poner productos y cocientes de radicales bajo una sola raíz
Para multiplicar o dividir radicales de distinto índice, en primer
lugar se reduce a índice común, y después se sigue como en la
propiedad anterior. Veámoslo con ejemplos:
3 ⋅ 3 2 = 6 33 ⋅ 6 2 2 = 6 33 ⋅ 2 2 = 6 27 ⋅ 4 = 6 108
3
f.
16 : 6 32 = 6 16 2 : 6 32 = 6 16 2 : 32 = 6 8 = 6 2 3 = 2
Potencia de un radical
Una potencia de un radical se calcula efectuando dicha potencia
del radicando; esto es:
(2)
4
3
( 2)
5
3
=
(2 )
3 4
12
= 212 = 2 2 = 2 6 = 64
= 5 23 = 5 8
g. Raíces de raíces
Raíz de una raíz, se multiplican los índices de las raíces y se
deja el mismo radicando. Veámoslo con ejemplos:
3
2 = 3⋅2 2 = 6 2
4 3
5 = 12 5
h. Suma y resta de radicales
Los radicales solo pueden sumarse o restarse cuando tienen el
mismo índice y el mismo radicando; por ejemplo:
3 2 + 5 2 = 8 2 ; sin embargo, 2 + 3 + 3 2 no se puede sumar
Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de
radicales queda oculta. Previamente deberemos sacar los
factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas. Por
ejemplo:
a ) 32 + 18 − 50 = 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 + 3 2 ⋅ 2 − 5 2 ⋅ 2 =
2 ⋅ 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 − 5 ⋅ 2 = 4 2 + 3 2 − 5 2 = (4 + 3 − 5) 2 = 2 2
b) 8 + 4 4 = 2 2 ⋅ 2 + 4 2 2 = 2 2 + 2 = 3 2
6
Ejercicios
16) Simplifica las siguientes expresiones radicales o potenciales:
a) 2
d) 3
6
8
b) 7
9
3
e)4
6
c) 5
12
4
6
15
3
12
f)11
17) Di si los siguientes números son iguales o no:
2
3
5
a ) 2 , 2 , 2 , 2 ,2
4
2
10
6
3
10
5
b) 3,3 , 3 , 3 , 3
5
15
20
30
8
16
6
18) Calcula los siguientes productos:
a ) 2 ⋅ 32 =
b) 3 ⋅ 6 ⋅ 2 =
c) 4 ⋅ 8 =
5
5
d) 2 ⋅ 2 ⋅ 2
3
3
3
19) Calcula las siguientes divisiones de radicales:
a) 8 : 2 =
b) 45 : 5 =
c) 54 : 2 =
3
3
d ) 405 : 5 =
4
4
20) Suma los siguientes números sacando previamente los factores posibles:
a )6 2 − 5 2 + 7 2 =
b)7 3 + 12 3 − 2 3 =
c)2 20 − 3 5 − 4 80 =
d ) − 7 + 63 − 28 =
21) Realiza las siguientes operaciones utilizando radicales y potencias de exponente
fraccionario:
a ) 31 ⋅ 3 =
3
b) 10 : 5 =
3
2
5
c) 2 ⋅ 5 =
3
4
d)
3
e)( 5
4
6
4
2 =
12
6
)
3
=
7
22) Escribe en forma radical las siguientes potencias de exponente fraccionario:
1
1
a )49
2
b)27
2
c)2
3
3
3
d)16
5
3
e) 10
7
23) Escribe como potencias los siguientes radicales:
a) 2
6
b) 7
4
12
c) 3
6
d) 5
5
20
e) 6
4
4
8