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2º DE BACHILLERATO
MÉTODO DE GAUSS
Soluciones -1-
SISTEMAS DE ECUACIONES. MÉTODO DE GAUSS
1. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones aplicando el método de Gauss.
Solución:
z 0
 3x  3 y 

a)  x  2 y  2 z  3
2 x  2 y  3 z  6

 3  3 1  0
 1  2 2  3  F2  F2  3 F1

 F1  F2 
 F '3  F3  2 F1

 1  2 2  3    3  3 1  0    
 2 2  3  6
 2 2  3  6




2 
3
1 2
 1  2 2  3

 F3'  F3  2 F1 

3  5   9      0 3  5   9 
0
0
 0 0 3  18 
6 7 
0 



x5
x  2 y  2 z  3

3 y  5 z   9  y  7
z6
3z  8
z  2t 
3
 x  2y 
 2 x 
y  2z  t   5

b) 
y
z  2t 
7
 2x 
 x  7 y  2 z  3t 
0
3  F2'  F2  2 F1  1
2 1
2
 1 2 1 2 

 F3'  F3  2 F1 
1 2  1   5  F4'  F4  F1
5 0
3
 2
0





 2 1 1 2 
0  5
7
3 2



 1 7


2
3 
0
5
3
1

0
1

0
0

0

2 1
2
5 0
3
0
3
1
0
3 2

3
1



1 F4'  F4  F3  0
  

2
0




  4
0
2 1
2
5 0
3
0
3
1
0 0 3
x  2y  z 
5y

3z 

3x  2 y  z   15

0
c) 5 x  3 y  2 z 
3x  y  3z  11

2t
3t
t
3t

3

'

1 FF34'  FF34 FF22
 

1

  3 

3


1

2

  6 
 3
 1

 2
  6
x 1
y  1
z0
t2
-2- SOLUCIONES
x
y
z
MÉTODO DE GAUSS
z
y
2º DE BACHILLERATO
x
 3 2  1   15 
 1

 C1  C3 
0     2
5 3 2 
3 1 3 
 3
11


z y x
2 3   15  F '  F  2 F
2
2
1

' 3  F3  3 F1
3 5 
0  F


1 3 
11
z y x
z7
 z  2 y  3x   15
  1 2 3   15 
  1 2 3   15 


 F3  F3  F2 

7 y  11x   30  y  2
 0 7 11   30     0 7 11   30 
x  4
x   4
 0 7 12   34 
 0 0 1   4




2. Los siguientes sistemas se diferencian exclusivamente en el coeficiente de z y en el término
independiente de la última ecuación. Resuelve cuando sea posible.
Solución:
 x  2y  z  1

a)  2 x  3 y  z   1
 3x  5 y  2 z  2

 x  2y  z  1

b)  2 x  3 y  z   1
 3x  5 y  4 z  6

 x  2y  z  1

c)  2 x  3 y  z   1
 3x  5 y  2 z  4

a)
1 
1 F   F  2 F  1  2
1 
1
 1 2
 1  2 1  1

 F32  F32  3 F11 
 F3  F3  F2 

3  1   1     0  1 1 
1    0  1 1  1
 2
 3  5 2  2
0
0
1  1   1
0 0  0 




x  2 y  z  1
Se trata de un sistema compatible indeterminado, equivalente a 
  y z  1
Haciendo z   resulta:  y    1  y  1   ; x  2  (1   )    1  x  1  
Luego las soluciones son las ternas de la forma:
x, y, z    1  ,1  ,     1,1,0    1,1,1
b) Haciendo las mismas transformaciones que en el apartado anterior, se obtiene que el sistema
es equivalente a:
x 1
x  2 y  z  1

 y  z  1  y  1
z2
2 z  4
c) En este caso, la matriz obtenida con las transformaciones es:
 1  2 1  1
x  2 y  z  1



 0  1 1  1 , con los que el sistema equivalente es   y  z  1 , que obviamente no

0 0 0  2
0z  2



tiene solución, luego el sistema es incompatible.
2º DE BACHILLERATO
MÉTODO DE GAUSS
Soluciones -3-
3. Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro m y resuelve cuando sea posible.
2z  0
 2x  y 

2
 x  y  5m z  3
 x y
3z  m

Solución:
2  0
3  m F F F
 2 1
 1 1

 F1  F

 F32  F32  2 F1 1
2
2
  1 1 5m  3     1 1 5m  3    
 1 1
 2 1
3  m 
2  0 


3 
m
3 
m
1 1
1 1

 F2  F3 
 3  F3  2 F1
2
 4   2m  F
 
 0 2 5m  3  m  3     0  1
2
0 1



 4   2m 

 0 2 5m  3  m  3 
3 
m
1 1


4 
 2m 
0 1
 0 0 5m 2  5   3m  3 




La compatibilidad del sistema va a depender de la ecuación: 5 m2  1 z  3m  1 .
Si m  1  0  m  1 , el sistema es compatible determinado, equivalente a:
3z 
m
x  y 

4z 
 2m
  y
2

5 m  1 z   3m  1

2
z
 3m  1
3

2
5 m 1
5m  1




10m2  10m  12
5m  1
 5m2  5m  6
x  m  y  3z 
5m  1
Si m  1 , la última ecuación queda de la forma 0 z  0 , por lo que el sistema es compatible indeterminado y equivalente a:
 x  1  
 x  y  3z  1

  
y sus soluciones son:  y  2  4

  y  4z   2
z  

y  2m  4 z 
Si m  1 , la última ecuación es 0 z  2 , por lo que el sistema es incompatible.
4. Los animales de un laboratorio deben mantenerse bajo una dieta estricta. Cada animal debe
recibir 10 g de proteínas y 3 g de grasas. Se dispone de dos tipos de alimentos: el tipo A
con el 5% de proteínas y el 3% de grasas y el tipo B con el 10% de proteínas y el 1% de gra-
-4- SOLUCIONES
MÉTODO DE GAUSS
2º DE BACHILLERATO
sas. ¿Cuántos gramos de cada alimento pueden utilizarse para obtener la dieta correcta de
un único animal?.
Solución :
PRODUCTO Cantidad (g)
A
x
B
y
Proteínas
0,05x
0,1y
La tabla nos muestra, en función de los
gramos tomados de cada alimento, las
proteínas y grasas que se obtiene.
Grasas
0,03x
0,01y
0,05 x  0,1y  10
Con ello, el sistema que resulta es: 
y la solución:
0,03x  0,01y  3
80 g del producto A y 60 del B
5. Juan dice a Pedro: “Yo tengo el doble de la edad que usted tenía cuando yo tenía la edad que
usted tiene. La suma del triple de la que usted tiene, con la que yo tendré cuando usted tenga la edad que yo tengo, es 280. ¿Cuál es la edad de cada uno?.
Solución:
Llamando x a la edad de Juan (el mayor) e y a la diferencia de edades, en el
cuadro aparecen las edades de cada
uno en los tres momentos a los que se
refiere el problema.
El sistema será:
PASADO
hace y años
PRESENTE
FUTURO
y años después
x-2y
x-y
x-y
x
x
x+y
PEDRO
JUAN
x  80
x  2x  2 y 

, es decir:

y  20
3x  y   x  y   280
Juan tiene 80 años y Pedro 60.
6. La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus hijos, mientras que hace unos
años, exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos, la edad del padre era triple que la suma de las edades en aquel tiempo de sus hijos. Cuando pasen tantos años como
la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de las edades de los tres será 150 años.
¿Qué edad tenía el padre en el momento de nacer sus hijos?.
Solución:
Como en el caso anterior, la tabla
recoge las edades de cada uno de
los tres, en los tiempos a los que
hace referencia el problema.
PADRE
HIJO 1
HIJO 2
PASADO
y-z años antes
PRESENTE
FUTURO
y+z años después
x-(y-z)
y-(y-z)=z
z-(y-z)
x
y
z
x+y+z
2y+z
y+2z
2º DE BACHILLERATO
MÉTODO DE GAUSS
Soluciones -5-
 x  2 y  z 

Los datos del problema nos permiten plantear el sistema:  x   y  z   3 y  3z 
,
 x  y  z  2 y  z  y  2 z  150

cuya solución es: 50 años la edad del padre, 15 la del hijo mayor y 10 la del menor.
7. Tenemos 10 litros de mezcla de agua y vino, al probarla consideramos que es demasiado
ligera y añadimos cierta cantidad de vino, de forma que la cantidad de agua es ahora el 30%
del total. Como sigue siendo demasiado ligera, se añade la misma cantidad de vino que la
vez anterior, con lo que el agua pasa a ser el 20% de la mezcla. ¿Cuántos litros de vino se
añade en cada ocasión y cuántos hay de agua?.
Solución:
Se x la cantidad inicial de agua, con lo que 10  x sería la de vino, e y la cantidad de vino añadida en cada caso.
Al añadir y litros de vino a la mezcla, tendremos 10  y litros en total, de los cuales x son de
x
30
agua, en la proporción
.

10  y 100
Al añadir vino por segunda vez se tiene 10  2 y litros en total, con x de agua, siendo ahora la
x
20
proporción:

10  2 y 100
30
 x
10  y  100

Resolviendo el sistema: 
se obtiene : x  6 y  10
20
 x

10  2 y 100
8. Se tienen tres lingotes cuya composición es la que aparece en la tabla.
Se pide qué cantidad habrá de tomarse de cada uno de ellos para obtener un nuevo lingote de 34 g de
oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.
LINGOTE
A
B
C
ORO
20 g
30 g
40 g
PLATA
30 g
40 g
50 g
COBRE
40 g
50 g
90 g
Solución:
Para resolver el problema necesitamos
la proporción que de cada uno de los
metales tiene en el lingotes.
LINGOTE
A
B
Si x son los gramos que se toma del
lingote A, y los que tomamos del B y z
los del C, el problema se reduce a resolver el sistema:
C
ORO
2
9
1
4
2
9
PLATA
3
9
1
3
5
18
COBRE
4
9
5
12
1
2
-6- SOLUCIONES
MÉTODO DE GAUSS
2x
y


9
4
3x
y


9
3
4x 5 y


9
12
2º DE BACHILLERATO
2z

 34
9
x  45

5z
 46  y  48
18

z  54
z
 67 

2
9. La tabla adjunta muestra el número de unidades/gramo
de vitaminas A, B, y C que posee por unidad de peso cada uno de los productos P, Q, R y S.
a) Analizar si puede elaborarse dietas en las que entren
todos los productos y que contenga 20 unidades de
vitamina A, 25 de vitamina B y 6 de vitamina C.
¿Cuántas hay?
b) En función de la cantidad del producto Q que entra
en la dieta, obtener las cantidades de los otros productos.
A
1
1
2
1
P
Q
R
S
B
2
0
1
1
C
0
2
0
1
Solución:
x
y

Tomando como incógnitas: 
z
t
x y z t
g de P
g de Q
, resulta el sistema:
g de R
g de S
x z y t
 x  y  2 z  t  20

 z  t  25
2 x 

2y 
 t 6

x
z
y
t
2
1 1  20 
 1 1 2 1  20 
 1 2 1 1  20 
1

 C 2  C3 
 F2  F2  2 F1 

  2 1 0 1  25      0  3  2  1   15 
 2 0 1 1  25   
 0 2 0 1  6
 0 0 2 1  6
0
0
2
1 
6 





El sistema es compatible indeterminado y tiene tantas soluciones como valores podamos dar a
una de las incógnitas. En este caso nos piden dar las distintas solucione en función de y:
2y  t  6  t  6  2y
 3z  2 y  t  15  z  3
x  2 z  y  t  20  x  y  8
Como tienen que entrar todos los productos, los valores de
estas cantidades tienen que ser todas mayores que cero.
Esto ocurre si: t  6  2 y  0  y  3 . Luego y debe
verificar: 0  y  3
10. Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La
fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y el tercero
juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20% más que la suma de la mitad
de lo pedido por el primero más la tercera parte de lo pedido por el tercero. ¿Cuáles fueron
las cantidades solicitadas por los tres establecimientos?.
2º DE BACHILLERATO
MÉTODO DE GAUSS
Soluciones -7-
Solución:

 x  y  z  42
x  21 pidió el primer establecim iento

 y  15 el segundo
Resolviendo el sistema:  x  y  z

z  6 el tercero
x z
 y  1,2  

 2 3
11. Se va a confeccionar una dieta con tres clases de alimentos, A, B y C. El alimento A tiene 10
calorías por cada 100 gr, el B tiene 30 calorías cada 100gr y el C 40 calorías por cada 100 gr.
a) Si la dieta consta de G gramos de alimentos por día, está reducida exactamente a 840 calorías y la cantidad de alimento A ingerida debe ser el doble en peso que la C, hallar en
función de G las cantidades que debe ingerirse de cada uno de los alimentos.
b) Hallar los valores entre los que está comprendido G para que las condiciones exigidas a
la dieta se puedan cumplir
Solución:
x  2G  2800
x  y  z  G

Se trata de resolver: 0,1x  0,3 y  0,4 z  840  y  24200  G  gramos de cada alimento.
x  2z
z  G  2800

Para que la dieta se pueda realizar todos los valores deben ser positivos y para ello es preciso que
2800  G  4200
12. Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y
subvenciones. Si aumenta el 50% en la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10%
en las ventas y una cierta disminución en la subvención, con lo cual las entradas disminuyen
en 45 millones
A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las siguientes decisiones:
a) Reducir la publicidad inicial al 30%, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y
las ventas se mantendrían.
b) Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 20%
¿Cuál de las dos decisiones es la correcta?
Solución:
Si x es el dinero ingresado por ventas, y por publicidad y z por subvenciones, Los datos del pro x  y  z  650
blema nos dicen que el sistema 
es compatible para cierto   1 , puesto
1,1x  1,5 y  z  605
que son dos hechos que nos aseguran se dan.
Cada unas de las opciones planteadas por el director, conducen a una ecuación, que debemos
exigir sea compatible con las anteriores.
La primera opción da lugar a la ecuación: x  0,3 y  0,9 z  650 . Esta ecuación es incompatible
con la primera de las anteriores para valores positivos de las incógnitas, pues si dos de los conceptos se reducen y el otro se mantiene, es imposible conseguir las mismas entradas.
-8- SOLUCIONES
MÉTODO DE GAUSS
2º DE BACHILLERATO
La segunda posibilidad nos proporciona la ecuación: x  0,6 y  1,2 z  650 . Esta sí puede ser
una decisión correcta, pues la pérdida en publicidad puede ser compensada por el aumento de la
subvención.
13. Un especulador adquiere 3 objetos de arte por un precio total de 20 monedas de oro. Vendiéndolos, espera obtener de ellos una ganancias del 20%, del 50% y del 25% respectivamente, con lo que su beneficio total sería de 6 monedas de oro. Pero consigue más, pues con la
venta obtiene ganancias del 80%, 90% y 85% respectivamente, lo que arroja un beneficio total de 17 monedas de oro, ¿cuánto le costó cada objeto?.
Solución:
Si x, y y z son los precios de cada uno de los objetos, el sistema que tenemos es:
x5
x
y
z  20

0,2 x  0,5 y  0,25 z  6  y  5
z  10
0,8 x  0,9 y  0,85 z  17