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PRÁCTICA DE ANÁLISIS COMBINATORIO
FIDEL VERA OBESO
GRUPO 1: PRINCIPIO FUNDAMENTAL DE CONTEO
1.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 7 personas en una fila de 7
asientos:
a)
si 2 de ellas insisten en sentarse una junto a otra?;
b)
si las mismas 2 personas no aceptan sentarse una junto a la
otra?
2.
¿De cuántas maneras pueden sentarse 3 hombres y 4 mujeres en
una fila de 7 sillas, si los hombres y las mujeres tienen que
alternarse?
3.
Obtener el número de palabras de cuatro letras (no necesariamente
pronunciables) que pueden formarse con 7 consonantes diferentes y
3 vocales diferentes, si las consonantes y vocales deben ir alternadas
y no se permite la repetición.
4.
Resolver el problema 3 si se permite la repetición.
5.
a)
b)
c)
¿Cuántos números se pueden formar con algunas de la cifras
2, 4, 5, 8 y 9, si un número no puede tener dos cifras
repetidas?
¿Cuántos de éstos números serán impares?
¿Cuántos serán mayores que 460?
6.
¿Cuántos enteros positivos impares de tres dígitos diferentes cada
uno son menores que 500?
7.
¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 5 personas en una
fila de 8 sillas?
8.
Resolver el problema 7 si las 5 personas deben sentarse en sillas
consecutivas?
9.
¿Cuántos enteros positivos impares de 4 dígitos diferentes cada uno
son mayores que 3 540?
GRUPO 2: PERMUTACIONES LINEALES Y CIRCULARES
1.
Calcular
a)
P 8, 2  P(9,3)
b)
P  6,1  3 P  2,1
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2.
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a)
Si P 
 P(n,5) = 42 P(n,3), hallar n.
b)
Si 2 P(6,r) = 3 P(5,r), hallar r.
3.
Demostrar que P(n,4) - P(n,3) = (n-4) P(n,3)
4.
Resolver para n, P(n,r) = k P(n-1,r-1).
5.
A partir de los dígitos 5, 6, 7, 8 y 9:
a)
b)
¿Cuántos números enteros de cuatro dígitos pueden formarse
si ningún número puede tener un dígito repetido?
¿Cuántos números naturales de uno o más dígitos pueden
formarse si ningún número puede tener un dígito repetido?
6.
Un estante tiene espacio para 7 libros. Si disponemos de 6 libros
diferentes de Biología y 7 libros diferentes de Química, ¿de cuántas
maneras podemos colocar en el estante 4 libros de Biología y 3 libros
de Química, si los libros de la misma especialidad tienen que estar
juntos?
7.
¿Cuántos números de 6 cifras distintas pueden formarse con los
dígitos 4, 5, 6, 7, 8 y 9, si:
8.
a)
b)
los números 7 y 8 tienen que estar juntos?
los números 7 y 8 tienen que estar separados?
a)
¿De cuántas maneras pueden sentarse 5 personas en una fila
de 5 sillas si hay 3 personas que tienen que estar uno al lado
del otro?
Resolver la parte a) si se considera una fila de 6 sillas.
b)
9.
Calcular el número de permutaciones diferentes que puedan formarse
con las letras de la palabra MISSISSIPPI, tomadas todas a la vez.
10.
Cuántos numerales distintos de 6 dígitos pueden formarse en cada
caso:
a)
b)
c)
d)
11.
1, 5 y 6 pueden utilizarse cada uno una vez; 2 puede utilizarse
tres veces.
4, 7 y 8 pueden utilizarse cada uno dos veces.
3 puede utilizarse dos veces; 2 puede utilizarse tres veces; 8
puede utilizarse una sola vez.
5 puede utilizarse cuatro veces; 9 puede utilizarse dos veces.
Un grupo formado por 5 muchachos y 5 muchachas van a sentarse
de modo que queden alternados. Calcular de cuántas maneras
pueden hacerlo si:
a)
b)
se sientan en línea recta.
se sientan alrededor de una mesa circular.
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12.
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Siete personas van a sentarse alrededor de una mesa circular. Hallar
el número de maneras diferentes en que esto puede hacerse si:
a)
b)
no hay restricciones.
dos personas determinadas deben quedar contiguas.
GRUPO 3: COMBINACIONES
1.
2.
Calcular:
a)
C (18,15)
b)
C(8,5)  C  7,5
Demostrar que:
C  n, r  1 
3.
nr
C  n, r  , 0  r  n
r 1
a)
Hallar n si 2 C  n,5  3 C  n,3 .
b)
Hallar n y r si P  n, r   120 y C  n, r   20 .
4.
Se va a seleccionar un comité de 5 miembros entre 6 hombres y 9
mujeres. Calcular el número de tales comités si: (a) deben contener
por lo menos dos mujeres; (b) no deben contener más de dos
mujeres.
5.
Una bolsa contiene 4 objetos rojos, 6 blancos y 5 azules. De cuántas
maneras se pueden escoger 6 objetos: (a) si debe haber dos de cada
color; (b) si debe haber exactamente 4 objetos blancos; (c) si no
debe haber objetos blancos.
6.
¿Cuántos números de 5 cifras diferentes, tales que contengan 3 cifras
impares y 2 pares, pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8 y 9?
7.
En una lotería se sortean 7 artefactos eléctricos. El primero que se
acerca a la urna saca 4 billetes. Hallar el número de métodos en que
puede sacarlos, de modo que por lo menos uno de ellos sea
premiado. En la urna hay 25 billetes.
8. En un estante hay 12 libros diferentes. (a) Calcular el número de
selecciones de 8 libros diferentes que pueden hacerse; (b) Hallar el
número de estas selecciones que incluyen a un libro determinado; (c)
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Encontrar el número de estas selecciones que incluyen a 2 libros
determinados.
GRUPO 4: EL TEOREMA DEL BINOMIO
1.
2.
Desarrollar las siguientes expresiones mediante el teorema del
binomio y simplificar el resultado.
a)
(5x - y2)4
b)
(ex - e-x)9
c)
(x3/2 - x-3/2)4
d)
(1 + x)4 + (1 - x)4
Escribir y simplificar los primeros cuatro términos del desarrollo de la
potencia del binomio.
a)
3.
(ex/2 - e-x/2)20
b)
(x2/3 - y2/3)8
Obtener solamente el término o términos indicados en el desarrollo
correspondiente:
a)
Octavo término de (x1/2 + y1/2)12
b)
Término central de (a/b - b/a)10
c)
Los dos términos centrales de (x2/2 - y)9
d)
Términos en y4 de (2x/3y + 3y/2x)10
e)
Término independiente de x de (x1/2/y2/3 + y1/2/x3/2)16
4.
Hallar el término que contiene a x10 en el desarrollo:
5.
(1 + 3x2 + 3x4)7
Los términos T2, T3 y T4 del desarrollo de (a+b)n valen
respectivamente 240, 720 y 1080. Hallar los valores de a, b y n.
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