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PROBLEMAS DE PRUEBA MATEMÁTICA
TERCERO BÁSICO
Problema 1
En un número de dos cifras, la cifra de las decenas es el doble de la cifra de las unidades. ¿Cuántos
de estos números hay?
Problema 2
Usando la propiedad distributiva, 2 ∙ (3 + 4 + 6) = 2 ∙ 3 + 2 ∙ 4 + 2 ∙ 6
¿Qué números están en el cuadrado, el círculo y el triángulo en
4∙3+4∙7+4∙9=
∙ (3 +
+
)?
Problema 3
Observa las figuras. En la figura 1 se muestra un pentágono cuyos lados miden lo mismo, y en la
figura 2 un hexágono cuyos lados también miden lo mismo.
2cm
figura 1
3cm
figura 2
Una hormiga se demora 2 segundos en recorrer 1 cm. ¿Cuántos segundos se demora en recorrer
todos los lados del pentágono más todos los lados del hexágono?
Problema 4
En la secuencia 2, 5, 8,…. la regla es sumar 3 a un término para obtener el término siguiente.
¿Cuál es la suma entre el séptimo término y el doble del quinto término?
Problema 5
Un niño lee 5 páginas de un libro por día. ¿Cuántas páginas lee el último día si el libro tiene 104
páginas?
CUARTO BÁSICO
Problema 1
Al ubicar las tarjetas adecuadamente, se tiene que la resta es:
−
Problema 2
Cuatro adultos y dos niños deben cruzar un rio en una canoa en la que solo cabe un adulto o dos
niños a la vez. No caben un adulto y un niño juntos. Explíquese cómo pueden cruzar las seis
personas. ¿Cuál es el número mínimo de veces que debe cruzar la canoa?
Problema 3
Al juntar 27 cubitos de igual volumen se forma un cubo. En este cubo, las seis caras están pintadas
de la siguiente manera:
Primera cara de color azul
Segunda cara de color amarillo
Tercera cara de color rojo
Cuarta cara de color verde
Quinta cara de color naranja
Sexta cara de color café
¿Cuántos cubitos tienen solo una cara pintada?
¿Cuántos cubitos tienen solo dos caras pintadas?
¿Cuántos cubitos tienen solo tres caras pintadas?
¿Cuántos cubitos no tienen pintada ninguna cara?
Problema 4
¿Cuántas diagonales se pueden trazar en un hexágono más que en un pentágono?
Problema 5
456 ∙ 4675 − 455 ∙ 4675 =
Problema 5
Observa el cubo de la figura de arista 8 cm.
Una hormiga recorre una arista del cubo en 16 segundos. ¿Cuál es el menor tiempo que se demora
en recorrer todas las aristas del cubo?
Problema 6
Usando cuatro 4 y las operaciones que desees forma los números 3, 4, 5, 9 y 10
Problema 7
El florista compró está mañana claveles de tres colores distintos: 1/3 eran rojos, 1/2 rosados y 20
claveles eran blancos. ¿Cuántos claveles compró en total?
Problema 8
El señor Cardozo miente sólo 1 día en la semana (siempre el mismo día). ¿Cuántos días de la
semana puede decir “si no mentí ayer voy a mentir mañana”?
QUINTO BÁSICO
Problema 1
Se apilan 4 dados, uno encima de otro como muestra la figura, de manera que en la cara superior
del primer cubo se ve el número 4 y en la cara superior del quinto cubo se ve el número 2. ¿Cuál es
la suma de los números de las caras visibles?
4
2
Problema 2
En la figura, todos los triángulos que se muestran son equiláteros. ¿Qué fracción de la superficie
del triángulo más grande se encuentra pintada?
Problema 3
El numerador y el denominador de la fracción
que la fracción resultante es
9
3
5
se incrementan en el mismo número, de manera
. ¿Cuál es ese número?
10
Problema 4
En la multiplicación 4 x y ∙ 2 z
39vu
9t 2
12r ru
Los valores de x, y, z, v, u, t, r son:
Problema 5
Observa la figura. ¿Cuál es el área pintada?
8
4
4
4
Problema 6
Dos personas se reparten un
terreno como el del dibujo. (AB = 65m y AD =
23m)
A una de las personas le
corresponden 69m2 más que a la otra.
Para partirlo se trazó EF // AD.
¿Cuál es la distancia de A a E?
Problema 7(Eslovenia final 2003)
En las vacaciones pasadas 100 estudiantes asistieron a un campamento matemático. 52 eran niños
y 48 eran niñas. Además 40 de los estudiantes eran de Tarariras y 60 de Tranqueras. 20 de las niñas
eran de Tarariras.
¿Cuántos varones eran de Tranqueras?
SEXTO BÁSICO
Problema 1
¿De cuántas maneras Javier puede juntar $1250 con monedas de $100 y $50?
Problema 2
En un número de dos dígitos, los dígitos se invierten, es decir, el dígito de las unidades queda en el
lugar del dígito de las decenas y el dígito de las decenas queda en el lugar del dígito de las
unidades. La diferencia entre el número inicial y el que queda es 48. ¿Cuál es el número?
Problema 3
En la figura, los lados AB y CD son paralelos y AB⊥AD. ¿Cuál es el área de la figura?
D
6
C
6
A
10
B
Problema 4
La figura muestra un dodecágono (figura de 12 lados) que tiene todos sus lados iguales y todos
sus ángulos iguales. Si el lado es 10, ¿cuál es el área del dodecágono?
Problema 5roblema 5slovenia final 2003)
Todos los números naturales a partir del 1 se colocan en columnas como se muestra a
continuación. ¿Debajo de qué letra aparecerá el 2006?
A
B
1
C
D
2
9
10
8
18
G
12
I
5
6
13
16
21
H
4
7
17
20
F
3
11
19
E
14
15
22
Etc…
Problema 6 (Rumania 2002)
En la clase de Educación Física trabajan juntos 6°A y 6°B. En total hay entre 50 y 100 alumnos. El
profesor los divide siempre en equipos de 3, de 5 o de 9 y, cuando no hay ausentes, siempre sobra
un alumno.
¿Cuántos alumnos hay?
Problema 7(Rumania
Calcular el número máximo de intersecciones que se pueden obtener con cinco rectas distintas.
Problema 8 (Rumania (Bulgaria 2000)
Iván cobra en un banco un cheque por $2.700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de
billetes de $10, 20 veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en billetes de $50.
¿Cuántos billetes de cada clase le entrega el cajero?
SÉPTIMO AÑO
Problema 1
3
3
Si la expresión 3𝑥 + 5𝑦 + 6𝑢 es el doble de la expresión 2 𝑥 + 2 𝑦, entonces el valor de 𝑢 es:
Problema 2
El área de un triángulo de lados de lados 8, 15 y 17 es:
Problema 3
Sean 𝑢 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯ + 10000
y 𝑣 = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + 5000
El valor de 𝑢 − 𝑣 es:
Problema 4
La figura muestra un triángulo de ángulos 𝛼, 𝛽, 𝛾 , donde 𝛼: 𝛽 = 1: 2 y
diferencia entre los ángulos de mayor y menor medida es:
𝛾 − 𝛽 = 55°. La
𝜸
𝜶
𝜷
Problema 5
√√𝟓𝟎𝟔𝟐𝟓 =
Problema 6
Con la figura se puede formar un cubo. ¿Cuál cara es opuesta a la cara marcada con la letra 𝑥?
𝑎
𝑏
𝑥
𝑐
𝑑
𝑒
OCTAVO AÑO
Problema 1
Forma los números 11 y 14 usando cuatro 4 y las operaciones que desees.
Problema 2
Un valor de k para el cual el número 1𝑘31𝑘4 es divisible por 12 pero no por 9 es:
Problema 3
La figura muestra cinco rectángulos, ¿cuál área es mayor A o B? Explica porque.
Problema 4
En un juego se disponen 9 latas de pintura como se muestra en el
dibujo. Tienes 3 tiros y debes tirar exactamente una lata por tiro. Además una
lata solo puede ser tirada si la lata que está encima de ella fue tirada en un tiro
anterior. El primer tiro suma el número que está en la lata, el segundo tiro suma
el doble y el tercero suma el triple del número de la lata. Para ganar un premio
se debe sumar exactamente 50 puntos. Determinar todas las combinaciones
que hay para ganar un premio.
Problema 5
Se fabrican dos carteles de igual material, uno con forma de hexágono regular de lado 52 cm. y el
otro con forma de triángulo equilátero de lado 104 cm. Luego se pintan ambos carteles con la misma
pintura. Sabiendo que para pintar el cartel triangular se necesitaron 4 litros de pintura, calcular la
cantidad de pintura necesaria para pintar el cartel hexagonal.
Problema 6Rumania 2002)
Tres hermanos reciben una suma de dinero y deciden partirlo en tres partes iguales para hacer tres
inversiones distintas con cada parte, luego reunirlo nuevamente y repartirlo en tres partes iguales,
una para cada uno. La primera inversión triplica el capital. La segunda lo duplica. La tercera lo reduce
a la mitad. ¿Qué porcentaje de beneficio sobre la suma original recibió cada hermano?
Problema 7
¿Qué ángulo forman los punteros del reloj cuando este marca las 4:25?
PRIMERO MEDIO
Problema 1
La suma de todos los números de seis dígitos 532𝑥𝑦𝑧 que son simultáneamente divisibles por 7, 8
y 9 es:
Problema 2
La figura muestra un cuadrado inscrito en un triángulo equilátero de lado 4. El área del cuadrado
es:
Problema 3
A las 16:45hrs el barco pirata avistó el bergantín del Virrey a 10km e inició su persecución a 11km
por hora, mientras que le bergantín del Virrey en su huida sólo alcanzaba 8km por hora, 2 horas
después, el barco pirata sufrió una avería tal que debió reducir su velocidad: sólo hacía 17km en el
tiempo que el bergantín hacía 15km. ¿A qué hora se produjo el abordaje?
Problema 4
La entrada a una obra de teatro salía $75 para los mayores y $25 para los menores. El total
recaudado fue $33.000. La capacidad del teatro es de 600 personas pero no se llenó.
¿Cuál es el mínimo número de adultos que pudo haber asistido a la función?
Problema 5
Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el recorrido de la figura:
Y
A
C
B
X
D
Se sabe que BAY  105 , BCD  40 , ABC  CDX y CDB  CBD .
Calcular la medida del ángulo ABC.
(Nota: No vale medir)
Problema 6
El número 401 es un número de tres dígitos y la suma de sus dígitos es 4 + 0 + 1 = 5 ¿Cuántos
números de tres dígitos, incluyendo el número 104, tiene la propiedad de que la suma de sus
dígitos sea 5?
Problema 7
¿Cuántos números pares de 6 dígitos hay, de manera que los dígitos no estén repetidos?
SEGUNDO MEDIO
Problema 1
Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada problema se
obtiene un punto si está bien y cero en otro caso. Entre los cinco sumaron 73 puntos. Hay 9 puntos
de diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor puntaje; hay 7 puntos
de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay 6
puntos de diferencia entre Carlos y Dora, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje; hay
13 puntos de diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor puntaje;
hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de los dos tiene mejor
puntaje.
¿Cuántos puntos obtuvo cada participante?
Problema 2
La figura muestra tres cuadrados congruentes. Demostrar que 𝛼 + 𝛽 = 45°
𝛽
𝛼
Problema 3
Se tiene la figura hecha de diez puntos. Se pintan todos de azul, ó todos de negro, ó algunos de azul
y otros de negro. Demostrar que no importa cómo se pinten, siempre existe un triángulo equilátero
con vértices en puntos del mismo color.
Problema 4
Si 𝑎 = log 2 , entonces log 2 5 en función de 𝑎 es:
Problema 5
Hay números, como 360, que al dividirlos por 23 dan un cociente igual al residuo. (360 ÷ 23 tiene
cociente 15 y residuo 15). Busca todos los números menores que 100 con esta propiedad al ser
divididos por 23.
Problema 6
Usando cuatro 4 y factoriales, raíces, suma resta, etc., forma los números 11, 14, 47 y 53
Problema 7
La desviación estándar de 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 es 𝜎. Encuentra, en función de 𝜎 la desviación estándar de
𝑛𝑎, 𝑛𝑏, 𝑛𝑐, 𝑛𝑑, 𝑛𝑒
TERCERO MEDIO
Problema 1
Encontrar las tres raíces de la ecuación 𝑥 3 − 1 = 0
Problema 2
Si 1 ≤ 𝑥 ≤ 2, el valor de √𝑥 + 2√𝑥 − 1 + √𝑥 − 2√𝑥 − 1 es:
Problema 3
Usando cuatro 4 y factoriales, raíces, suma resta, etc., forma los números 77, 83, 89, 91 y 99
Problema 4
El valor de la expresión
1
√1+√2
+
1
1
+ 3+ 4 +
√2+√3
√ √
⋯+
1
es:
√99+√100
Problema 5
¿A qué complejo es igual √𝑖 ?
Problema 6
Demostrar que √2 y √3 son números irracionales.
Problema 7
Sea el experimento aleatorio: lanzar 7 monedas, y sea 𝑋 la variable aleatoria: número de caras.
Mostar la distribución de probabilidades de 𝑋.
CUARTO MEDIO
Problema 1
La desviación estándar 𝜎 de una distribución binomial 𝐵(𝑛, 𝑝) es:
A) 𝜎 = 𝑝2 (1 − 𝑝2 )
B) 𝜎 = 𝑝2 (1 − 𝑝)
C) 𝜎 = √𝑝2 (1 − 𝑝2 )
D) 𝜎 = √𝑝(1 − 𝑝)
E) 𝜎 = 𝑝√(1 − 𝑝)
Problema 2
El área de un cuadrado inscrito en un triángulo equilátero de lado 4 𝑐𝑚 es:
Problema 3
Si 𝑓(𝑥 − 1) = 𝑥 2 − 2𝑥 + 3, entonces 𝑓(2𝑥 + 1) =
Problema 4
La suma entre la diagonal de un cuadrado y su lado es 5. Si el volumen de un cubo de arista el lado
del cuadrado es 𝑎 + 𝑏√2, entonces 𝑏 − 𝑎 es:
Problema 5
Un triángulo equilátero de lado 8√3 se divide en cuatro triángulos equiláteros congruentes. De esos
cuatro triángulos uno se achura. Si cada uno de los triángulos sin achurar se dividen a su vez en
cuatro triángulos equiláteros congruentes, donde al igual que en el caso anterior, se achura uno de
ellos. Si se repite una vez más el proceso anterior, ¿cuál es el área de los triángulos achurados?
Problema 6
Los lados del hexágono equiángulo (ángulos de igual medida) de la figura miden 10, 6, 12, 14, 𝑥 e
𝑦 . El perímetro de este hexágono es igual a:
𝑦
x
10
14
6
12
Problema 7
Sea 𝑓 la función definida en el conjunto de los enteros 𝑥 por:
𝑥 − 1, 𝑠𝑖 𝑥 > 10
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑓(𝑥 + 2)), 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 10
El valor de 𝑓(5) es:
Problema 8
La tabla muestra algunos puntajes obtenidos por alumnos en un campeonato de tiro al blanco,
obteniendo uno de ellos un máximo de 15 puntos.
Puntaje
Número
de
alumnos
Se sabe que:
0
9
1
5
2
7
3
23
……………………
……………………
13
5
14
2
15
1
I)
Aquellos alumnos que obtuvieron 3 o más puntos obtuvieron en promedio 6 puntos.
II)
Aquellos alumnos que obtuvieron 12 o menos puntos obtuvieron en promedio 5 puntos.
Si 𝑥 representa el total de alumnos que participaron e 𝑦 la suma de los puntos obtenidos por
los alumnos, entonces el valor de 𝑥 e 𝑦 es:
Problema 9
El valor de la suma 2
1
1
1
+ 3 2+2 3 + 4 3+3 4 +
√1+1√2
√
√
√
√
⋯ + 100
1
√99+99√100
es: