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Certamen Intercolegial
XII Olimpíada Matemática Argentina 1995
1) El rectángulo de la figura está dividido en cuatro rectángulos más pequeños
mediante dos líneas paralelas a sus lados. En tres de ellos se ha escrito el
perímetro correspondiente. ¿Cuál es el perímetro del cuarto rectángulo?
2) Los nueve números del 1 al 9 están escritos uno en cada ficha. Con las nueve fichas hay que formar
tres números de tres dígitos cada uno de modo que la suma de los tres números así obtenidos tenga el
máximo valor posible. ¿De cuántas maneras diferentes pueden disponerse las fichas?
3) Sea ABCD un cuadrilátero tal que <C = 76 y <D = 128. Se trazan las bisectrices de <A y de <B, que se
cortan en P. Hallar <APB.
XIII Olimpíada Matemática Argentina 1996
1) Resolver el crucigrama numérico colocando un dígito en cada casilla
Horizontales
B: número de dos cifras igual a la suma de los dígitos de B vertical.
E: número de tres cifras igual a A vertical + B horizontal + C vertical
Verticales
B: número de tres cifras múltiplo de 99.
C: número de tres cifras que es el cuadrado de D horizontal.
2) En un triángulo ABC que tiene <B = 37o y <C = 38o se marcan los puntos P y Q en el lado BC de
manera tal que <BAP = <PAQ = <QAC. Se traza por B una paralela a AP y se traza por C una paralela
a AQ, que corta a la anterior en D. Calcular <DBC.
3) En un hotel de Bahía hay 120 personas distribuidas entre la recepción, el bar, el comedor y el salón de
reuniones. La cantidad de personas que hay en el bar es un quinto de la que hay en el comedor; en la
recepción hay un octavo de las que hay en el salón.
Al pasar diez personas del comedor al salón y seis del bar a la recepción, en la recepción hay un sexto
de las que quedan en el comedor. ¿Cuántas personas había inicialmente en cada uno de los lugares
mencionados del hotel?
XIV Olimpíada Matemática Argentina 1997
1) Reemplazando x e y por dígitos, hallar todos los números naturales de cinco cifras 65x1y que son
múltiplos de 12.
2) Un barco navega entre dos orillas paralelas, siguiendo el
recorrido de la figura.
Se sabe que <ABC = <CDX y <CBD = <CDB. Calcular <ABC.
(<ABC significa "el ángulo ABC")
3) Iván cobra en un banco un cheque por $2700 y le pide al cajero que le entregue cierta cantidad de
billetes de $10, 20 veces esa cantidad de billetes de $20 y el resto en billetes de $50. ¿Cuántos billetes
de cada clase le entrega el cajero?
XV Olimpíada Matemática Argentina1998
1) El triángulo ABC tiene ^C = 90°, AC = 20, AB = 101. Sea D el punto medio de CB. Hallar el área del
triángulo ADB.
2) Un triángulo equilátero se divide en cuatro triangulitos equilateros iguales (ver figura). Quedan
determinados 9 segmentos que son lados de triangulitos.
Distribuir los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 en los lados de los triangulitos,
sin repeticiones, de modo que la suma de los tres números correspondientes
a cada triangulito sea siempre la misma.
3) Con los dígitos1, 2, 3, 4, 5, 6, formar un número de seis cifras distintas abcdef tal que el número de tres
cifras abc sea múltiplo de 4, el número de tres cifras bcd sea múltiplo de 5, el número de tres cifras cde
sea múltiplo de 3 y el número de tres cifras def sea múltiplo de 11.
XVI Olimpíada Matemática Argentina 1999
1) Completar la tabla con las letras A, B, C, D, E de modo que no haya dos
A
B
C
D
A
B
C
E
letras iguales en una misma fil, no haya dos letras iguales en una misma
columna, no haya dos letras iguales en una misma línea diagonal así \ ni
haya dos letras iguales en una misma línea diagonal así /.
2) En el triángulo ABC, A = 65o y B = 70o. Sobre la prolongación del lado BC se marca P tal que BP = AB
y B esté entre P y C, y se marca Q tal que CQ = AC, y C esté entre B y Q. Si O es el centro de la
circunferencia que pasa por A, P y Q, calcular los ángulos OÂQ y OÂP. NO VALE MEDIR.
3) Hallar un número natural de cuatro cifras abcd que sea múltiplo de 11, tal que el número de dos cifras
ac sea múltiplo de 7 y a + b + c + d = d2.
XVII Olimpíada Matemática Argentina 2000
1) Las sillas de la aerosilla del Cerro Omperá están numeradas en forma consecutiva 1, 2, 3, etc. Las
distancias entre dos sillas consecutivas son todas iguales. Durante una tormenta, la aerosilla se detuvo,
y en ese momento la silla 22 se encontraba a la misma altura que la 59, y la silla 93 se encontraba a la
misma altura que la 142. Determinar el número de sillas que tiene la aerosilla.
2) En un tablero como el de la figura, colocar en cada casilla un número entero entre 1 y 16, sin repetir, de
manera que la suma de los números escritos en dos casillas vecinas sea siempre un cuadrado
perfecto.
ACLARACIONES: Dos casillas son vecinas si tienen un lado común.
Cuadrados perfectos son los números que son iguales al cuadrado de un número entero.
3) Sea ABC un triángulo isósceles con AB = BC y ABC = 1440. Se consideran el punto K en AB, el punto
L en BC y el punto M en AC de modo que KL es paralelo a AC, KM es paralelo a BC y KL = KM. La
recta LM intersecta a la prolongación del lado AB en P. Hallar la medida del ángulo BPL. NO VALE
MEDIR.
XVIII Olimpíada Matemática Argentina 2001
1) En el tablero de la figura hay cuatro casillas ocupadas.
Escribir en cada una de la seis casillas vacías un número (no
necesariamente entero) de modo que una vez completo el tablero
con los 10 números, se verifique que el número escrito en cada
casilla sea igual a la suma de los dos números escritos en las dos
casillas sobre las que está apoyada.
2) Hallar todos los números de cuatro cifras 1a7b que son múltiplos de 15. (a y b son dígitos no
necesariamente distintos.)
3) En una circunferencia de centro O están marcados los puntos A, B y C, siguiendo el sentido horario,
tales que AOB < BOC y AOC = 76°. Se marcan en la circunferencia M, N y P tales que OM es la
bisectriz de AOB, ON es la bisectriz de BOC y OP es la bisectriz de MON . Si BOP = 5°, hallar la
medida del ángulo BOC .
XIX Olimpíada Matemática Argentina 2002
1) Hallar los 5 números que se deben escribir en cada una de las 5 casillas vacías para
obtener un cuadrado mágico: las tres filas, las tres columnas y las dos diagonales tienen
la misma suma.
39
33
40
36
2) En la ruta que une A con B hay dos estaciones de servicio, "El Cruce" y "El Descanso", separadas
entre sí por 3km. La distancia desde "El Cruce" hasta A es igual a 3/4 de la distancia desde "El Cruce"
hasta B. La distancia desde "El descanso" hasta A es igual a 4/5 de la distancia desde "El Descanso"
hasta b. Calcular cuántos kilómetros tiene la ruta desde A hasta B.
3) Sea D un punto interior del triángulo ABC tal que BDC = 123º, ABD = 15º y ACD = 21º. Calcular la
medida del ángulo BAC. NO VALE MEDIR.
XX Olimpíada Matemática Argentina 2003
1) Hay que escribir los números del 1 al 9, uno en cada casilla y sin repeticiones,
de modo que la suma de los tres números de cada una de las 4 líneas sea la
misma. Ya se escribieron el 6 y el 9. Ubicar los demás números.
2) En la tienda El Ofertón, el precio de cada artículo es una cantidad entera de pesos con 99 centavos (el
precio más bajo es $0,99). Doña Rosa realizó una compra por un total de $125,74. ¿Cuántos artículos
compró? Dar todas las posibilidades.
3) Se trazan 5 rectas horizontales, cada una a 1 cm de distancia de la anterior, y 6 rectas verticales, cada
una a 1 cm de distancia de la anterior. Estas 11 rectas determinan 30 puntos. Sea A el punto de la
quinta fila, primera columna (es decir, el de la esquina inferior izquierda), B el punto de la primera fila,
sexta columna (o sea, el de la esquina superior derecha) y C el punto de la segunda fila, quinta
columna. Calcular el área del triángulo ABC. NO VALE MEDIR.
Certamen Zonal
XII Olimpíada Matemática Argentina 1995
1) Con los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se forman tres números A, B, C, de tres dígitos distintos cada
uno, usándose los nueve dígitos. ¿Se puede lograr que ninguno sea múltiplo de 3?
2) Sea ABC un triángulo con <B = 35o, <C = 28o. Se traza por A una paralela r al lado BC. La mediatriz de
AC corta a r en D y la mediatriz de AB corta a r en E. Queda formado el cuadrilátero BCDE. Hallar sus
ángulos interiores.
3) El árbol genealógico de una familia se inicia en el matrimonio de Eduardo y Cecilia que tiene tres hijos:
Orlando, Luis y Manuel. De estos tres hijos, Orlando y Luis se casan y Manuel queda soltero. Para
cada uno de los siguientes matrimonios se repite la misma situación (ellos tienen tres hijos de los
cuales dos se casan y uno queda soltero).
Determinar el número de personas incluidas en el árbol genealógico hasta la décima generación (incluir
todos los esposos/as).
ACLARACION: Orlando, Luis y Manuel son de la primera generación.
XIII Olimpíada Matemática Argentina 1996
1) ¿Cuántos números naturales de 4 cifras terminan en 36 y son múltiplos de 36?
2) En el romboide ABCD las diagonales se cortan en el punto F (los lados
iguales son AB = BC y CD = DA). Sobre la prolongación del lado BC se
marca un punto E de modo que CF = CE y el cuadrilátero FCED es
romboide. ¿Si ABC = 122 grados, cuanto mide el ángulo ADE?
3) Colocar en cada casilla vacía un dígito distinto de cero de modo tal que a
partir de la segunda fila, el número de cada casilla sea igual a la resta de
los dos números ubicados en las casillas vecinas de la fila anterior.
XIV Olimpíada Matemática Argentina 1997
1) Hallar todos los números naturales de cuatro cifras "abcd" tales que "ab" + "cd" = "bc" y b - c = d
Aclaración: "ab" es un número de dos cifras, la primera es a y la segunda b.
2) Ana, Beatriz, Carlos, Dora y Eduardo compiten en una Maratón Matemática. Por cada problema se
obtiene un punto si está bien resuelto y cero punto en cualquier otro caso. Entre los cinco sumaron 73
puntos. Hay 9 puntos de diferencia entre Ana y Beatriz, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje; hay 7 puntos de diferencia entre Beatriz y Carlos, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje; hay 6 puntos de diferencia entre Carlos y Dora, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje; hay 13 puntos de diferencia entre Dora y Eduardo, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje; hay 23 puntos de diferencia entre Eduardo y Ana, pero no se sabe cuál de las dos tiene mejor
puntaje. ¿Cuántos puntos obtuvo cada participante?
3) Una hoja de papel rectangular se divide mediante un solo corte en un triángulo y un pentágono. Las
longitudes de los lados del pentágono son 17, 25, 28, 33 y 43, en algún orden. Calcular el área del
pentágono.
XV Olimpíada Matemática Argentina 1998
1) Andrea, Belén y Claudia rindieron exámenes de las mismas materias. En la primera materia sus notas
fueron tres números naturales distintos y Belén fue la que obtuvo la nota más alta; luego en cada una
de las demás materias las chicas se sacaron esas mismas tres notas en algún orden. Si Andrea sumó
entre todas las materias 18 puntos, Belén sumó 12 y Claudia sumó 9, ¿cuántas materias rindieron y
qué nota se sacó cada chica en cada examen?
2) En el triángulo isósceles ABC, con AB = AC, P es el punto del lado AB tal que AP = PC. Si la bisectriz
del ángulo ABC corta a PC en O de modo que PO = BO, hallar los ángulos del triángulo ABC.
3) De los 999 números:
mcd(1;1998), mcd(2;1998), mcd(3;1998), mcd(4;1998), ..., mcd(997;1998), mcd(998;1998),
mcd(999;1998),
¿cuántos son números mayores que 19?
ACLARACION: mcd denota máximo común divisor. Por ejemplo, mcd(54;36)=18.
XVI Olimpíada Matemática Argentina 1999
1) Seis personas tratan de adivinar el número de piedras que hay en una caja. Ana dice que hay 52
piedras, Beatriz dice 59, Carla dice 62, Daniel 65, Enrique 49 y Federico 42. Todos se equivocaron,
algunos dijeron de más y otros dijeron de menos, y sus errores fueron de 1, 4, 6, 9, 11 y 12, en algún
orden, pero no se sabe quién cometió cada error.
Determinar cuántas piedras hay en una caja y qué error cometió cada persona.
2) En un programa de computadora:
al apretar la tecla A se eleva al cuadrado el número que está en pantalla, por ejemplo, si el número que
está en pantalla es 23, lo reemplaza por 529;
al apretar la tecla B se invierte el orden de las cifras del número que está en pantalla, por ejemplo, si el
número que está en pantalla es 10224, lo reemplaza por 42201.
Lucas ingresó un número de tres cifras, primero apretó una vez la tecla A, luego apretó una vez la tecla
B, y obtuvo un número de cinco cifras.
Emiliano ingresó el mismo número de tres cifras que Lucas, apretó primero una vez la tecla B, luego
apretó una vez la tecla A, y obtuvo el mismo número de cinco cifras que Lucas.
Determinar todos los números de tres cifras que pudo haber ingresado Lucas.
3) Un parque tiene forma de hexágono regular de 2 km de lado. Alicia caminó 5km, comenzando en un
vértice y siguiendo el perímetro del parque. ¿A cuántos kilómetros, medidos en línea recta, está del
punto de partida?
XVII Olimpíada Matemática Argentina 2000
1) La distancia de Liniers a Luján es de 60 km. Juani e Inés caminan desde Liniers hasta Luján a
velocidad constante de 5km/h. Cada 10 minutos sale un tren de Liniers a Luján, que viaja a velocidad
constante de 80km/h. ¿Cuántos trenes que viajan de Liniers a Luján ven pasar Juani e Inés durante su
caminata si salen de Liniers al mismo tiempo que sale un tren?
2) Sean ABC un triángulo tal que AB = 6, BC = 9, CA = 4, y M, N, P los puntos medios de los lados AB,
BC, CA respectivamente. Sobre la prolongación de NP se considera E tal que EP = PN. Sobre la
prolongación de CM se considera D tal que DM = CM. Hallar la longitud del segmento DE. NO VALE
MEDIR.
3) De los números naturales A y B se sabe que B = (A2 - 1) / 8 y que el mínimo común múltiplo entre A y B
es igual a 3720. Hallar A y B.
XVIII Olimpíada Matemática Argentina 2001
1) Reemplazar cada una de las cinco letras por un dígito distinto, para que la siguiente multiplicación sea
correcta.
DAÑOS
x4
SOÑAD
2) Sea ABC un triángulo con C = 85°. Se considera un punto P en el lado AB, un punto Q en el lado BC y
un punto R en el lado AC tales que AP = AR y BP = BQ. Calcular la medida del ángulo QPR.
Aclaración: No vale medir.
3) Los números fraccionarios y positivos a, b, c, d y e satisfacen las siguientes relaciones:
a.b=1
b.c=4
c.d=9
d . e = 16
e . a = 25
Hallar a, b, c, d y e.
XIX Olimpíada Matemática Argentina 2002
1) Un edificio tiene sus pisos numerados del O al 25. El ascensor del edificio tiene sólo dos botones, uno
amarillo y uno verde. Al apretar el botón amarillo, asciende 7 pisos, y al apretar el botón verde,
desciende 9 pisos. Si se aprieta el botón amarillo cuando no hay suficientes pisos por encima, el
ascensor se rompe, y lo mismo ocurre cuando se aprieta el botón verde y no hay suficientes pisos por
debajo.
Dar una secuencia de botones que le permita a una persona subir del piso 0 al 11 utilizando el
ascensor.
2) Ximena y Yanina son promotoras de una marca de bombones y convidan a los clientes de un
supermercado. El último domingo, Ximena repartió 440 bombones, de los cuales 153 eran dietéticos.
De los bombones que ese día repartió Yanina, las 2/5 partes eran dietéticos. Del total de bombones
que repartieron Ximena y Yanina ese domingo, el 37,5% eran dietéticos. Determinar cuántos
bombones repartió Yanina.
3) Sea ABCD un trapecio isósceles de bases, AB = 51 y CD = 12 . Los puntos P y Q de la base AB (con P
más cera de A y Q más cerca de B) son tales que el triángulo APD, el triángulo BQC y el cuadrilátero
DPQC tienen áreas iguales. Calcular la medida del segmento PQ.
Certamen Regional
XII Olimpíada Matemática Argentina 1995
1) Verónica y su amigo Julio entraron a una librería de Bahía Blanca y compraron por valores enteros
diferentes, superiores a $10. Cada uno quiso pagar con un billete de $20, pero el dueño no tenía
cambio para cobrarle a ninguno de los dos. Entonces Julio ofreció pagarle con un billete de $50 y así
pudo darle el vuelto. Al ver esto, Verónica sacó un billete de $50 y el librero pudo cobrarle a ella
también. ¿Cuál es el número mínimo de billetes que podía tener el librero cuando llegaron los amigos?
NOTA: Los billetes en circulación son de $100, $50, $20, $10, $5, $2, $1.
2) Escribir en cada vértice de un cuadrado una potencia de 2 y luego, en cada lado y en cada diagonal
escribir el producto de los números asignados a sus extremos, de modo tal que la suma de los 10
números escritos sea 3505.
ACLARACION: Las potencias de 2 son 20=1, 21=2, 22=4, ...
3) En una circunferencia de centro O y radio 1 se marcan los puntos A, B, C y D siguiendo el sentido
horario. Si AOB = 120o, BOC = 60o y COD = 150o, calcular el área del cuadrilátero ABCD.
XIII Olimpíada Matemática Argentina 1996
1) ¿Usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6, y sin repetirlos, se forman 3 números de 2 cifras cada uno. Se
suman entre sí los 3 números de 2 cifras que se formaron. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden
obtener mediante este procedimiento?
2) Sea ABCD un paralelogramo tal que el lado BC mide 13, la altura correspondiente a la base AB mide
12 y el ángulo ABC es agudo. Sea E un punto en la prolongación del lado BC tal que el ángulo DEC =
90 grados. Sabiendo que CE = 5, calcular el área del cuadrilátero ABED.
3) En una fiesta hay 15 mujeres y algunos varones. Primero, cada mujer le regala un alfajor a cada varón
conocido, que se lo come de inmediato. Después, cada varón le regala un alfajor a cada mujer
desconocida. En total se regalaron 240 alfajores.
Decidir si con esta información es posible determinar el número de varones asistentes a la fiesta.
Si la respuesta es si, hallar el número.
Si la respuesta es no, explicar por que.
ACLARACIÓN: Si A es conocido de B, entonces B es conocido de A.
XIV Olimpíada Matemática Argentina 1997
1) Daniela, Iván, Laura y Matías escriben números naturales de cinco dígitos distintos formados por los
dígitos 1, 2, 3, 4, y 5.
Daniela hace la lista de todos los que tienen la primera cifra igual a 1.
Iván hace la lista de todos los que tienen las dos primeras cifras formadas por los dígitos 1 y 2 en
cualquier orden.
Laura hace la lista de todos los que tienen las tres primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2 y 3, en
cualquier orden.
Matías hace la lista de todos los que tienen las cuatro primeras cifras formadas por los dígitos 1, 2, 3 y
4, en cualquier orden.
Hay números naturales de cinco cifras distintas, formados por los dígitos 1, 2, 3, 4 y 5, que no figuran
en ninguna de las cuatro listas. ¿Cuántos son los números que no figuran en ninguna lista?
2) Sean ABC un triángulo (A>90o) y M el punto medio del lado BC. Si <BAM = 90o, AB = 35 y AC = 77,
calcular BC.
3) Decidir si es posible que un conjunto de cinco números naturales distintos tenga la siguiente propiedad:
"Para cada par de números del conjunto, al multiplicar los dos números se obtiene un múltiplo de la
suma de los dos números".
Si la respuesta es sí, indicar un conjunto con la propiedad.
Si la respuesta es no, explicar el porqué.
XV Olimpíada Matemática Argentina1998
1) Diremos que un número natural es optimista si sus cifras están ordenadas en forma creciente y
diremos que un número natural es pesimista si sus cifras están ordenadas en forma decreciente. Por
ejemplo, son optimistas 1358, 24, 89, son pesimistas 41, 820, 762, y no son ni optimistas ni pesimistas
7, 1134, 253, 9773, 8592.
Hallar el primer número natural a, mayor que 150 y tal que desde 1 hasta a (inclusive) haya la misma
cantidad de números pesimistas que de números optimistas.
2) En el trapecio ABCD, de bases AB y CD, y lados BC y AD, AD = 39, CD = 14, ángulo ABC = 69° y
ángulo CDA = 138°. Hallar la medida de AB.
3) En cada vértice de un cuadrado hay una semilla. Una hormiga sale de un vértice y camina por los lados
del cuadrado arrastrando una enorme bolsa de semillas y sólo se detiene en los vértices. Cuando llega
a un vértice, si viajaba en el sentido de las agujas del reloj, agrega tantas semillas como las que hay en
el vértice del que venía, y si viajaba en sentido contrario a las agujas del reloj, quita semillas, agrega
semillas, o no hace nada, de modo que quede la misma cantidad que en el vértice del cual venía.
¿Puede la hormiga organizar su viaje para tener exactamente 98 semillas en cada vértice?
Si la respuesta es no, explicar por qué. Si la respuesta es sí, indicar el camino de la hormiga.
XVI Olimpíada Matemática Argentina 1999
1) En el tablero de la figura quedan seis casillas vacías. Escribir en cada una de esas seis casillas un
número distinto de cero de modo que, una vez completo, el tablero sea un cuadrado mágico
multiplicativo, es decir: al multiplicar los tres números de cada línea (horizontal, vertical o diagonal) se
obtiene siempre el mismo número.
9
5
1
2) Consideramos los números naturales N menores que 10000 que tienen el dígito
2 en el lugar de las decenas. ¿Cuántos de estos números N tienen resto 5 en la
división por 12?
3) Se tiene un papel rojo con forma de hexágono regular de lado 2 y un papel azul
con forma de cuadrado de diagonal igual a 4. Se coloca el cuadrado encima del
hexágono de modo que dos vértices opuestos del cuadrado coincidan con dos vértices opuestos del
hexágono. Hallar el área de la región del hexágono que no queda cubierta por el cuadrado, es decir de
la región roja visible.
XVII Olimpíada Matemática Argentina 2000
1) Lucas debe reemplazar cada letra por un número
A
B
C
D
E
F
G
H
I
natural de 1 a 9 inclusive, sin repeticiones, de modo
que los ocho números
A / B,
(A + B) / C,
(A + B + C) / D,
(A + B + C + D) / E,
(A + B + C + D + E) / F,
(A + B + C + D + E + F) / G,
(A + B + C + D + E + F + G) / H,
(A + B + C + D + E + F + G + H) / I,
sean todos enteros. Determinar todos los números naturales por los que puede reemplazar a la letra I.
2) Determinar la cantidad de pares de números naturales (a, b) que verifican simultáneamente las
siguientes dos condiciones: el máximo común divisor entre a y b es igual al producto de los 5 primeros
números naturales; el mínimo común múltiplo entre a y b es igual al producto de los 15 primeros
números naturales. Es decir,
mcd (a, b) = 1.2.3.4.5 y mcm (a, b) = 1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.15.
3) En una hoja de papel rectangular de 12 cm de largo y 9 cm de ancho se ha trazado un segmento con
sus extremos en dos lados opuestos del rectángulo, de manera tal que al doblar el papel a lo largo del
segmento, dos vértices opuestos del rectángulo quedan superpuestos. Calcular la longitud del
segmento trazado. NO VALE MEDIR.
XVIII Olimpíada Matemática Argentina 2001
1) Cintia eligió tres dígitos distintos y distintos de 0, y formó con ellos los seis números de tres cifras
distintas. El promedio de estos seis números es un número natural terminado en 5. Hallar los tres
dígitos que eligió Cintia. Dar todas las posibilidades.
2) En la Isla Arco Iris, cada habitante tiene uno, dos o tres amigos, y se viste de un color de acuerdo con
la cantidad de amigos que tiene: rojo si tiene exactamente un amigo, amarillo si tiene exactamente dos
amigos y verde si tiene exactamente tres amigos. Si dos personas son amigas, sus colores son
diferentes, y no hay personas vestidas de verde que sean amigas de personas vestidas de amarillo.
Un día, 500 personas cambian su ropa verde por ropa roja, 35 personas cambian su ropa amarilla por
ropa roja y al mismo tiempo, 300 personas cambian su ropa roja por ropa verde. Como resultado, en la
isla cada persona queda vestida del mismo color que sus amigos. Determinar el número de habitantes
que tiene la isla.
3) El cuadrilátero ABCD de lados AB, BC, CD y DA tiene AB = CD, <AEC = 100° y <BCD = 115°. La
mediatriz del lado AD intersecta a la mediatriz del lado BC en el punto M. Calcular la medida del ángulo
BMC.
ACLARACIÓN: La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento, trazada por su
punto medio.
Certamen Nacional
XII Olimpíada Matemática Argentina 1995
1) Julia intercambió los dígitos de un número de 3 cifras de modo que ningún dígito quedo en su posición
original. Después restó el número viejo menos el nuevo y el resultado es un número de 2 cifras que es
un cuadrado perfecto. Hallar todos los resultados que pudo obtener Julia.
2) ¿Cuál es el mínimo número de casillas que se deben colorear en el tablero de 6 x 6
para que sea imposible recortar de la parte sin pintar un pedazo con la siguiente forma:
3) Sea ABC un triángulo escaleno de área 7. Sea A1 un punto del lado BC y sean B1 y C1 en las rectas AC
y AB respectivamente, tales que AA1, BB1 y CC1 son paralelas. Hallar el área del triángulo A1B1C1.
4) La familia Alvarez, la familia Benítez y el matrimonio Cáceres almorzaron en la misma parrilla. Los
Alvarez, que comieron 3 bifes, 2 ensaladas y 5 gaseosas, gastaron $53. Los Benítez, que comieron 5
bifes, 3 ensaladas y 9 gaseosas, gastaron $91.
¿Cuánto gastaron los Cáceres que comieron, entre los dos, 1 bife, 1 ensalada y 1 gaseosa?
5) A cada dígito 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 le corresponde una letra distinta. Hallar los números ABACDE,
CAFDG, CHHBAED si se sabe que son las longitudes de los lados de un triángulo.
ACLARACION: Es sabido que cada lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos.
6) ¿Se puede dividir dos hexágonos regulares iguales en 6 partes cada uno y formar con los 12 pedazos
3 estrellas iguales (de seis puntas, regulares) sin agujeros ni superposiciones?
XIII Olimpíada Matemática Argentina 1996
1) El desarrollo decimal de 1 / 97 tiene un período muy largo. Hallar las tres últimas cifras del período.
2) Un auto viaja a 60 km/h si va cuesta arriba, a 90 km/h si va cuesta abajo y a 72 km/h en los demás
casos. Tarda 5 horas para ir de A a B y 4 horas para volver de B a A. ¿Qué longitud tiene el camino
entre A y B?
3) En un triángulo ABC, C = 45º, Q es el pie de la altura correspondiente al vértice B y M es el punto
medio del lado AB.
Sea P en el lado BC tal que PM es perpendicular a QM. Decidir si para algún valor del ángulo A se
verifica que .
PQ2
3
PM2
4) Sea ABC un triángulo de área 7. Se construye el triángulo XYZ de la siguiente manera: se prolonga el
lado AB de modo que AXS = 2AB, se prolonga el lado BC de modo que BY = 3BC y se prolonga el lado
CA de modo que CZ = 4CA. Hallar el área del triángulo XYZ.
5) Inicialmente hay un "1" en la pantalla. Al apretar la tecla A se multiplica por 3 el número de la pantalla.
Al apretar la tecla B, se resta 1 al número de la pantalla. Utilizando una secuencia de teclas A y B hay
que llegar a tener en la pantalla el 97. ¿Cuál es el número mínimo de teclas que se deben usar?
6) En la lotería de Truchilandia, cada billete tiene un número de tres cifras que usa sólo los dígitos 1, 2, 3
y 4 (se pueden repetir los dígitos). Un billete es ganador si coincide en por lo menos dos posiciones con
el número sorteado.
Un apostador quiere comprar varios billetes, de manera tal que uno de ellos gane seguro, pero
gastando lo menos posible. Determinar cuántos billetes debe comprar e indicar qué billetes debe
comprar.
Aclaración: Si se sorteó el 423 entonces 123 es un billete ganador, pero 243 no lo es.
XIV Olimpíada Matemática Argentina 1997
1) Hallar el número natural de 97 dígitos, todos distintos de cero, que sea múltiplo de la suma de sus 97
dígitos.
2) En la figura hay dos puntos, A y B, una recta l y un segmento de longitud d. Hallar dos puntos P y Q en
la recta l de manera tal que el segmento PQ tenga longitud d y la suma AP + PQ + QB se la menor
posible.
Indicar los pasos de la construcción y explicar por qué se obtuvo la menor longitud posible.
3) Sergio viaja de A hacia B y Tadeo viaja de B hacia A, los dos van a velocidades constantes y los dos
inician el viaje a la misma hora. Desde el instante en que se cruzan, Sergio tarda 9 horas en llegar a B
y Tadeo tarda 4 horas en llegar a A. Hallar el tiempo que tarda Sergio en su recorrido desde A hacia B
y el tiempo que tarda Tadeo en su recorrido desde B hasta A.
4) Entre todas las fracciones a/b, con a y b números naturales, que verifican
hallar la fracción a / b que tiene el menor denominador.
5) Un cuadrado de 3x3 se ha dividido en cuadraditos de lado 1 (ver figura). Una
hormiga sale del punto A, camina por las líneas de la cuadrícula y llega a B. Los
únicos puntos por los que puede pasar más de una vez son los vértices de los
cuadraditos. ¿Cuál es la máxima longitud que puede tener el camino de la
hormiga?
6) Sea ABCD un paralelogramo de lados AB, BC, CD y DA. Se traza por D una recta que corta al lado BC
en P y a la prolongación del lado AB en Q. Si el área del cuadrilátero ABDP es 29 y el área del triángulo
DPC es 8, hallar el área del triángulo CPQ.
XV Olimpíada Matemática Argentina 1998
1) Leandro elige un número natural n y hace lo siguiente:
calcula a = n2 + 5 ;
calcula b = (n + 1)2 + 5 ;
halla el máximo común divisor entre a y b y anota dicho máximo común divisor en el pizarrón.
¿Cuál es el número más grande que puede anotar?
2) Durante un operativo, la policía encontró1001 monedas en apariencia todas iguales, junto con una nota
que decía que 501 monedas eran auténticas y las demás falsas, y que cada moneda falsa era un
gramo más liviana que cada moneda auténtica. Para clasificar las monedas, vino un experto con una
balanza de dos platillos que no sólo indica en que platillo se encuentra el objeto más pesado, sino que
además indica la diferencia entre los pesos de los objetos de cada uno de los platillos.
El experto dice que cualquiera sea la moneda que elija la policía, él siempre puede asegurar si es
auténtica o falsa utilizando una sola vez la balanza.
3) En los lados del ángulo de vértice O se consideran los
puntos A, B, C, D (ver figura). Sea E el punto de
intersección de los segmentos AD y BC. Se traza por C la
recta paralela a AB y se traza por A la recta paralela a
CD. Sea F el punto de intersección de las dos rectas
trazadas.
Demostrar que Área (OAEC) = Área (BFDE)
4) Cuatro autos, A, B, C, D, viajan a velocidades constantes por la misma ruta, pero D viaja en dirección
contraria a los otros tres. El auto A pasa a los autos B y C a las 8:00 hs y 9:00 hs respectivamente, y se
cruza con el auto D a las 10:00 hs. El auto D se cruza con los autos B y C a las 12:00 hs y 14:00 hs,
respectivamente. Determinar a qué hora el auto B pasó al auto C.
5) Dados los segmentos construir con regla y compás un triángulo ABC
de manera tal que, si D es el pie de la altura correspondiente al
vértice C, entonces CD = h, AC-AD = a, BC-BD = b.
Indicar los pasos de la construcción y explicar porqué la construcción
realizada satisface las condiciones del problema.
6) Se tiene un tablero cuadrado cuadriculado de 5x5 y fichas rectangulares de 2x1; cada ficha cabe
exactamente en dos casillas adyacentes del tablero.
Las fichas se colocan en el tablero ocupando exactamente dos casillas adyacentes. El tablero está
dominado cuando ya no hay espacio para colocar más fichas.
¿Cuál es el menor número de fichas que se debe colocar para dominar el tablero? Explicar por qué es
imposible dominar el tablero con menos fichas.
XVI Olimpíada Matemática Argentina 1999
1) Cierto día, por la mañana, todos los tripulantes del barco pirata recibieron la misma cantidad de
2)
3)
4)
5)
6)
monedas de oro. Durante el día, en distintos momentos, algún pirata repartía una parte de sus
monedas entre todos los dmeás, dándole a cada uno la misma cantidad de monedas. A la noche, había
un pirata que tenía 19 monedas y otro que tenía 15 monedas. Decidir si con esta información se puede
saber con certeza cuántos tripulantes tenía el barco.
El paralelogramo ABCD tiene el lado AB mayor que el lado BC y el ángulo DAB menor que el ángulo
ABC. Las mediatrices de los lados AB y BC se intersectan en el punto M, que además pertenece a la
prolongación del lado AD. Si MCD = 15º, hallar lal medida del ángulo ABC.
Utilizando los dígitos 0, 1 y 2 se escribe, en etapas, una secuencia. En la primera etapa se escribe un
0, y a partir de ahí, en cada etapa se agregan tantos dígitos como los que había. Para escribir los
nuevos dígitos, se copian los dígitos que ya estaban escritos, pero cambiando 0 por 1, 1 por 2 y 2 por
0. Mostramos en los siguientes ejemplos la secuencia después de la primera, de la segunda, de la
tercera, de la cuarta y de la quinta etapa, respectivamente:
0; 01; 0112; 01121220; 0112122012202001.
Determinar cuál es el dígito que ocupa la posición 1000000 de la secuencia.
Lucas marca sobre una recta una cierta cantidad de puntos, de manera tal que la distancia entre dos
puntos consecutivos sea siempre 1cm. Emiliano pinta todos los puntos marcados por Lucas, algunos
de rojo y otros de azul, a su elección.
Si hay tres puntos pintados del mismo color, digamos A, B, C, tales que la distancia de A a B es igual a
la distancia de B a C, gana Lucas. Si no, gana Emiliano.
Determinar el menor número de puntos que debe marcar Lucas para asegurarse la victoria. Demostrar
que con el número hallado Lucas siempre gana, y que con un número menor, puede ganar Emiliano.
Escribir 1999 como la suma de 30 números enteros positivos, no necesariamente distintos, de modo
que el producto de los 30 números tenga el máximo valor posible, y explicar por qué es imposible
obtener un producto mayor.
En un cuadrilátero convexo ABCD de lados AB, BC, CD, DA se consideran un punto M del lado AB y
un punto N del lado CD tales que AM / AB = CN / CD. Los segmentos MD y AN se intersectan en P; los
segmentos NB y CM se intresectan en Q.
Demostrar que área (MQNP) = área (APD) + área (BQC)
XVII Olimpíada Matemática Argentina 2000
1) Diez personas están sentadas alrededor de una mesa redonda. Cada una pensó un número y se lo dijo
en secreto a sus dos vecinos, el de la derecha y el de la izquierda. A continuación, cada persona
anunció el promedio de los dos números que escuchó. Comenzando por una de las personas y
siguiendo el sentido de las agujas del reloj, las personas anunciaron los números 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10, en ese orden. Determinar qué número había pensado cada una de las diez personas.
2) El triángulo isósceles ABC tiene AB = BC. El punto P en el lado AC, el punto Q en el lado BC y el punto
R en el lado AB son tales que PQ es paralelo a AB, RP es paralela a BC y RB = AP. Si AQB = 105°,
calcular las medidas de los ángulos del triángulo ABC.
3) En una ciudad hay 11 clubes, todos con distintos números de socios. Si se cerrara un club, no importa
cuál sea, todos los socios del club que se cierra podrían distribuirse en los otros 10 clubes de modo tal
que los 10 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios. Más aun, si se cerraran dos
clubes, no importa cuáles, se podrían distribuir todos los socios de los dos clubes que cerraron en los
otros 9 clubes de modo que los 9 clubes pasaran a tener todos el mismo número de socios.
El club Atlético es el que tiene la mayor cantidad de socios. Determinar cuál es el menor valor posible
del número de socios del club Atlético.
4) Se tiene un tablero de 7 x 7, cuadriculado en cuadraditos de 1 x 1. Dividir el tablero en cinco pedazos,
cortando por líneas de la cuadrícula, de modo que utilizando los cinco pedazos, y sin desperdiciar
ninguno, se puedan armar al mismo tiempo tres tableros cuadrados (no necesariamente iguales). Los
pedazos no se pueden superponer, y ninguno de los tres tableros puede tener huecos.
5) Hallar un número natural tal que la suma de sus dígitos sea igual a 20 y tal que si se eleva al cuadrado
el número hallado, la suma de los dígitos de este nuevo número sea igual a 400.
6) Un acampante se ha perdido en un bosque con forma rectangular que tiene 100 km de largo y 1 km de
ancho. El no sabe dónde están los bordes del bosque, y sólo tiene energías para caminar 2,83 km.
Hallar un recorrido que le asegure salir del bosque antes de agotar sus energías. Demostrar que el
recorrido hallado jamás falla, no importa cuál sea el punto de partida.
XX Olimpíada Matemática Argentina 2003
1) Se tiene un tablero cuadrado de 8´8 dividido en casillas de 1´1. Escribir en cada casilla un 1 o un 2 de
modo que en cada cuadrado de 3´3 la suma de los 9 números sea múltiplo de 4, pero la suma de los
64 números del tablero no sea múltiplo de 4.
2) Las diagonales AC y BD de un cuadrilátero convexo ABCD se cortan en E
y,
. Sean
P y Q los puntos que dividen el segmento BE en tres partes iguales, con P entre B y Q, y sea R el
punto medio del segmento AE. Calcular
.
3) Leonardo pensó un número entero entre 1 y 2003 inclusive, y Julián tiene que adivinar ese número.
Para ello puede formularle a Leonardo preguntas que se puedan responder con sí o no. Leonardo tiene
obligación de responder todas las preguntas, pero, si lo desea, puede mentir como mucho una vez.
(Algunas preguntas posibles son, por ejemplo, “¿Es tu número mayor que 50 y menor que 100?” o
“¿Era verdadera la respuesta que diste a mi tercera pregunta?”)
Demostrar que Julián puede determinar con certeza el número de Leonardo mediante 15 preguntas o
menos.
4) Un reloj digital que da la hora y los minutos desde las 00:00 hasta las 23:59, siempre muestra 4 dígitos.
Determinar durante cuánto tiempo, a lo largo de 24 horas, el reloj exhibe por lo menos un 1 pero ningún
2 o exhibe por lo menos un 2 pero ningún 1.
5) En el pizarrón hay escrito un número de 100 dígitos con los últimos tres dígitos de la derecha iguales a
999. Debajo de este número, y usando exactamente los mismos dígitos, pero en otro orden, Luciano
escribe un nuevo número de 100 dígitos: deja los tres últimos 999, e intercambia a voluntad los
primeros 97 dígitos. Esta operación la repite una y otra vez, hasta tener escritos en el pizarrón 99
números de 100 dígitos. A continuación, suma esos 99 números, y al resultado lo divide por 72.
Calcular el resto de la división que hizo Luciano.
6) Delante de la cueva de Alí Babá hay un dispositivo para abrir la puerta: es una calesita con forma de
cuadrado que tiene cuatro cofres cerrados ubicados uno en cada vértice. En cada cofre hay una
moneda que puede estar cara o ceca. La cueva se abre sólo si las cuatro monedas tienen la misma
posición, todas cara o todas ceca.
El genio que controla la entrada ofrece al visitante que elija dos de los cofres, los abra, mire las dos
monedas y las deje como están o, si lo desea, dé vuelta una de las monedas o dé vuelta las dos
monedas de esos cofres. A continuación, si la cueva no se abre, el genio cierra los dos cofres y gira
velozmente la calesita de modo que resulta imposible saber cuáles son los cofres que se acaban de
abrir y cerrar. Cuando la calesita se detiene, el genio le ofrece al visitante una nueva oportunidad, y así
siguiendo. Determinar un procedimiento de sucesivos intentos que le permita al visitante asegurarse de
que la cueva se abrirá.