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Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0206) Dinámica del Movimiento Circular
B) Péndulo Cónico
En la figura 3a se muestra un
péndulo cónico, que consiste en
un cuerpo pequeño de masa m
que gira en un MCU horizontal
de radio R con rapidez
tangencial v, en el extremo de
una cuerda de longitud L
A) Generalidades
En la figura 1 se observa un cuerpo de masa m
moviéndose en una trayectoria circular de radio R. Este
cuerpo experimenta una aceleración centrípeta aC,
que apunta en dirección radial hacia dentro, cuya
magnitud está dada por:
(a)
T
Del DCL de la figura 3b, donde
T es la tensión de la cuerda, se
obtienen
las
siguientes
ecuaciones. En el eje y:
v2
aC =
R
R
Donde v es la magnitud de la velocidad tangencial
m⋅g
T ⋅ cos (θ ) = m ⋅ g [1]
Esta aceleración es provocada por una fuerza
centrípeta. Para un observador en un sistema inercial,
la fuerza neta sobre un cuerpo en movimiento circular
está dada por:
Fneta = m ⋅ aC = m ⋅
v2
R
Esta fuerza centrípeta es proporcionada
por uno o más agentes externos en el
ambiente del cuerpo en movimiento
circular. En las figuras 2a, 2b, 2c y 2d se
aprecian algunos ejemplos.
L
(b)
θ
y
x
Figura 3) Péndulo cónico. (a) Ilustración; (b) Diagrama de
Cuerpo Libre
En el eje x:
Figura 1) Aceleración centrípeta en el
movimiento circular.
(a) (b)
r
g
T ⋅ sen (θ ) = m ⋅
v2
[2]
R
Además, de la geometría de la figura
R = L ⋅ sen (θ ) [3]
Dividiendo [1]/[2]
(c)
(d)
Se define la fuerza centrífuga como la
fuerza de reacción a la fuerza centrípeta,
que el cuerpo en movimiento circular le Figura 2) Diversos agentes externos causantes
aplica al agente que provoca la fuerza de fuerza centrípeta. (a) tensión de la cuerda; (b)
centrípeta (la cuerda, la tierra o el protón, Normal de Contacto con el suelo + Peso; (c)
por ejemplo). Tiene igual magnitud que la Fuerza de atracción gravitacional; (d) Fuerza de
fuerza centrípeta, pero sentido opuesto atracción electrostática.
(radial hacia fuera), por lo que constituye
con ésta un par acción.reacción. Como veremos más adelante, en algunas situaciones se suele
confundir con pseudofuerzas que surgen en sistemas de referencia no inerciales.
tan (θ ) =
v2
⇒ v = g ⋅ R ⋅ tan (θ ) [4]
g ⋅R
Así, se puede deducir que, a mayor ángulo de inclinación, mayor rapidez tangencial. Teóricamente,
si el ángulo de inclinación es 90º, v → ∞, lo cual resulta coherente con el hecho de que, si hacemos
girar el péndulo con el dedo a una gran velocidad, éste adquirirá un ángulo θ cercano a los 90º. De
[4] se puede calcular el período de giro t del péndulo
v=
2 ⋅π ⋅R
2 ⋅π ⋅ R
2 ⋅π ⋅ R
⇒t =
=
t
v
g ⋅ R ⋅ tan (θ )
R
L ⋅ cos (θ )
= 2 ⋅π ⋅
= 2 ⋅π ⋅
g ⋅ tan (θ )
g
[5]
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Despejando v de [9]
C) Rotor
En la figura 4a, se observa una
superficie cilíndrica hueca de radio basal
R que gira con respecto a su eje vertical.
Una persona está de pie, apoyada
contra la pared.
(a)
fre
(b)
g < µe ⋅
r
g
v2
g ⋅R
[10]
⇒v >
R
µe
D) Peralte en las vías curvas
Ncil
El rotor aumenta lentamente su
velocidad de giro hasta que, para una
velocidad predeterminada, el piso se
abre hacia abajo, quedando al
descubierto un hondo agujero. Sin
embargo, la persona no cae, sino que
permanece adherida contra la pared del
rotor.
y
x
m·g
Figura 4) Rotor. (a) Ilustración; (b) Diagrama de
Cuerpo Libre
¿Cuál es la velocidad rotatoria mínima necesaria para impedir que la persona caiga?
En el DCL de la figura 4b podemos identificar las siguientes fuerzas:
• Ncil: fuerza de contacto del cilindro sobre la persona. Es la que proporciona la aceleración
centrípeta
• fre: Fuerza de roce estática entre la persona y el cilindro
Para que la persona no deslice, se debe cumplir que
f re < µ e ⋅ N cil [6]
Donde µe es el coeficiente de roce estático entre persona y cilindro
A partir del DCL se pueden obtener las siguientes relaciones de fuerzas. En el eje y
m ⋅ g = f re [7]
En más de una ocasión, ya sea en la carretera o e
una carrera de motocicletas, observamos que,
cuando van a tomar una curva, los motociclistas se
inclinan con su vehículo. Mientras en las carreteras
la inclinación es más bien pequeña (ver figura 5a),
en las carreras de motos, donde las velocidades son
muy grandes, las inclinaciones son mayores,
llegando al extremo de rozar la pista con las rodillas
(ver figura 5b). La dinámica del movimiento circular
permite explicar este fenómeno,
que tiene relación con el hecho de
(a)
las curvas en las carreteras tienen
una leve inclinación o peralte.
En la figura 6a se aprecia una
carretera circular de radio R sin
ninguna inclinación, es decir, sin
peralte, donde un cuerpo de masa
m la recorre con velocidad
tangencial constante (MCU).
(a)
(b)
Figura 5) Al tomar una curva, los
motociclistas se inclinan
(b)
Figura 6) Curva sin peralte. (a) Ilustración; (b) Diagrama de
Cuerpo Libre.
Para que exista MCU, tiene que
existir una fuerza lateral P que proporcione la fuerza centrípeta necesaria. Esta fuerza solamente
puede ser proporcionada por la fricción lateral de la carretera sobre las ruedas del vehículo (en el
caso de un auto) o por la fuerza de los rieles sobre las ruedas (en el caso de un tren). En el caso de
un auto, podemos decir que
P = µ c ⋅ N [11]
En el eje x
N cil
v2
= m⋅
[8]
R
Donde µc es el coeficiente de roce cinético de la carretera con las ruedas del vehículo. Del DCL de la
figura 6b, en el eje y:
N = m ⋅ g [12]
Reemplazando [7] y [8] en [6]
En el eje x:
v2
m ⋅ g < µe ⋅ m ⋅
[9]
R
P = m ⋅ ac = m ⋅
v2
[13]
R
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Reemplazando [11] y [12] en [13]
µc ⋅ m ⋅ g = m ⋅
v2
⇒ v = µ c ⋅ g ⋅ R [14]
R
Así, de [14] se puede apreciar que el movimiento en estas condiciones tiene una serie de
limitaciones
taciones.
• La fuerza no es necesariamente grande, lo que limita la velocidad a la que el vehículo puede
tomar la curva. En el caso extremo de una carretera sin roce (µc = 0), que puede
perfectamente corresponder
(a)
a pavimento después de una
(b)
lluvia, una nevazón o un
derrame
de
aceite,
simplemente no se podría
tomar la curva (v = 0).
• Como la fricción es el único
factor que permitiría el
movimiento circular, se
produciría un importante
Figura 7) Curva con peralte θ respecto de la vertical. (a)
desgaste de las ruedas del
Ilustración; (b) Diagrama de Cuerpo Libre.
vehículo.
Por ello, las curvas se construyen con un ángulo o peralte θ respecto de la vertical, como se aprecia
en la figura 7a. Así, la normal no solamente tiene componente vertical, sino que además posee una
componente horizontal que proporciona la fuerza centrípeta necesaria para el MCU del vehículo, sin
necesidad de depender de fuerzas laterales. Así, un vehículo puede tomar la curva sin problemas
incluso en el caso de que el roce sea nulo.
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Volviendo a los motociclistas, podemos concluir que, al inclinarse, lo que hacen es “fabricarse” un
peralte que le permita tomar la curva a una buena velocidad (claramente la fricción lateral de sus dos
ruedas no le permitiría hacerlo). En el caso de los motociclistas de competición, la necesidad de
mantener grandes velocidades los obliga a inclinarse más al momento de tomar una curva.
E) Movimiento de satélites
Llamamos gravedad a la fuerza de atracción que se ejerce
entre los objetos por el sólo hecho de poseer masa. Esta es
una fuerza de campo, es decir, no surge del contacto físico
directo entre los dos cuerpos implicados, sino que de la
interacción de uno de los cuerpos con el campo gravitacional
generado por el otro (ver figura 8)
La fuerza de gravedad está regida por la Ley de Gravitación
Universal de Newton.
N ⋅ cos(θ ) = m ⋅ g [15]
En el eje x:
N ⋅ sen(θ ) = m ⋅
v2
[16]
R
m
Considere dos cuerpos de masas M1 y M2 puestos a una
distancia r entre sus centros, como
se muestra en la figura 9.
r
Las fuerzas gravitacionales F12 (sobre M1 debido al campo
r
gravitacional de M2) y F21 (sobre M2 debido al campo
gravitacional de M1) constituyen un par acción reacción,
pues:
•
•
•
Se aplican sobre cuerpos diferentes
Tienen igual dirección y sentidos opuestos.
Sus magnitudes son iguales.
Las magnitudes de estas fuerzas están dadas
por
Del DCL de la figura 7b, en el eje y:
F Mn
M
R
Figura 8) Interacción
gravitacional como fuerza de
campo
M1
r
F12
r
r
M ⋅M
F = F12 = F21 = G 1 2 2 [18]
r
Donde G es la constante de gravitación
universal dada por:
r
F21
M2
r
Figura 9) Ley de Gravitación Universal de
Newton
N ⋅ m2 
[19]
G = (6,6720 ± 0,0041) ⋅10 −11 
2 
 kg 
Haciendo [16]/[15]
tan (θ ) =
v2
⇒ v = g ⋅ R ⋅ tan (θ ) [17]
g ⋅R
Se observa que, para el mismo radio de giro, a mayor ángulo de peralte, mayor velocidad.
Aunque, en virtud de las Leyes de Kepler, el movimiento de los satélites alrededor de los planetas
sigue una trayectoria elíptica, para efectos de análisis se puede suponer razonablemente que el
satélite ejerce un MCU de radio R alrededor del planeta.
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En la figura 8 se aprecia un satélite de masa MS
que gira en torno a un planeta de masa MP
haciendo un MCU (movimiento circular
uniforme). Como en todo MCU, el satélite tiene
una aceleración centrípeta (ac) que la mantiene
en órbita, que en este caso es causada por la
Fgrav
interacción gravitacional con el planeta. Así:
MS
M
R
2
P
M M
v
Fgrav = M S ⋅ aC ⇒ G P 2 S = M S s
R [20
R
2
⇒ R ⋅ v s = G ⋅ MP
Donde vS es la rapidez tangencial del satélite en
órbita, que se puede relacionar con su período
de giro TS según:
Figura 8) Satélite girando en MCU alrededor de un
planeta
2 ⋅π ⋅ R
vS =
[21]
TS
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Para el satélite de la figura 9, donde el radio de giro del satélite está dado por R = RT + Rsup ,
donde RT = 6400 [km] = 6.4·106 [m] es el radio de la Tierra y Rsup es la altitud (altura con respecto
de la superficie de la Tierra) en la cual orbita el satélite. Aplicando [22] para TS = Tsat, G dado por [19]
y MP = MT = 6·1024 [kg] (masa de la Tierra):
Reemplazando [21] en [20]
2
 2 ⋅π ⋅ R 
T2
4π 2
4π 2
 = G ⋅ M P ⇒ TS2 =
R ⋅ 
R 3 ⇒ S3 =
[22]
G ⋅ MP
G ⋅ MP
R
 TS 
La relación entre el cuadrado del período de giro y el cubo del radio de órbita del satélite es igual a
una constante que es independiente de MS. Así, para cualquier satélite que orbite en torno a un
planeta con un radio de giro Rn y período de órbita Tn, se cumple que:
T12 T22 T32
Tn2
=
=
=
L
=
= L [23]
R13 R23 R 33
R n3
Los primeros satélites artificiales que se lanzaron
fueron aquellos que giraban en una órbita
geoestacionaria, también denominada órbita de
Clarke. La órbita gesoestacionaria es aquella
órbita alrededor de la Tierra en la cual el satélite
no se mueve respecto de la Tierra. Así, el satélite
se observa desde la Tierra como un punto fijo en
el cielo, por lo que no es necesario que la
estación terrena “rastree” el satélite. Para que
esto suceda, el radio de giro del satélite debe ser
tal que el período de giro del satélite Tsat sea
igual al período de rotación de la Tierra Trot = 24 [h].
Figura 9) Satelite geoestacionario
2
2
Tsat
G ⋅ MT ⋅ Tsat
4π 2
=
⇒R =3
≈ 42297.52 [km] [24]
3
2
R
G ⋅ MT
4π
Así, Rsup está dado por:
R = RT + Rsup ⇒ R sup = R − RT ≈ 35897.52 [km] [25]
Finalmente, la rapidez tangencial del satélite geoestacionario está dada por:
v sat =
2 ⋅π ⋅ R
 km 
m 
≈ 11073.46 
 ≈ 3075.96  s  [26]
Tsat
 h 
