Download 0207_ Fuerzas No Inerciales

1
2
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
0207) Fuerzas No Inerciales
fre = m ⋅ a [4]
A) Introducción
Reemplazando [3] en [1], se llega a que:
Hasta el momento nos hemos concentrado en
el análisis de fuerzas en sistemas de
referencia inerciales, en el cual el observador
está en reposo o moviéndose con velocidad
constante. Para estos sistemas, los principios
de Newton son perfectamente válidos. Pero
¿qué pasa en los sistemas no inerciales, en
los cuales el observador tiene una aceleración
no nula?
g
A
B
N = (m + M ) ⋅ g [5]
m
F
M
F − m ⋅ a = M ⋅ a ⇒ F = (m + M ) ⋅ a ⇒ a =
Figura 1) Cuerpo de masa m encima de otro
cuerpo de masa M bajo dos observadores.
Considere la situación de la figura 1. Un cuerpo de masa M desliza sobre una superficie lisa a causa
de una fuerza F. Encima de M hay un cuerpo de
fMn
masa m que está en reposo con respecto a M, en
A
fre N
virtud de una fuerza de roce estático fre entre
ambos cuerpos. El sistema tiene una aceleración
F
M
neta a. Hay dos observadores:
•
•
fMn
fre
m
mg
Figura 2) DCL de la situación de la figura
1desde el punto de vista del observador A
Para el cuerpo de masa M. En el eje y:
N = fMm + Mg [1]
Donde fMm es la fuerza de contacto entre los cuerpos M y n. En el eje x:
F − f re = M ⋅ a [2]
Para el cuerpo de masa m. En el eje y
fMm = m ⋅ g [3]
En el eje x:
F
[6]
m+M
Finalmente, reemplazando [6] en [2]:
fre =
m
⋅ F [7]
m+M
El observador A está en un sistema de referencia inercial, en
reposo o moviéndose con velocidad constante. En ese
sistema los Principios de Newton tienen validez.
B
g
????
Mg
Observador A, en reposo en el suelo
(inercial)
Observador B, encima de M, por lo que
tiene la misma aceleración del sistema (no
inercial). Por simplicidad, supongamos que
tiene masa despreciable
Para el observador A: a partir del DCL de la figura
2, podemos establecer las siguientes ecuaciones:
Reemplazando [4] en [2]
Ahora, si analizamos lo que ve el observador B, nos
encontraremos con unas cuantas paradojas. De partida,
aunque sepa que está parado en un cuerpo que acelera, lo
que concretamente verá es al cuerpo m en reposo, y al
hacer el DCL (ver figura 3) se encuentra solamente con la
fuerza de roce estático. Para que el cuerpo esté en reposo,
necesita otra fuerza. ¿Dónde está esa fuerza desconocida?
M
fMm
m
fre
m·g
Figura 3) DCL de la situación de
la figura 1 desde el punto de vista
del observador B
El observador B está en un sistema de referencia no inercial,
con aceleración no nula. En ese sistema, los Principios de Newton no tienen validez. Así, la
dichosa fuerza desconocida no existe, por lo que se
denomina pseudofuerza.
Considere el problema del rotor desde el punto de vista de
la persona que está en él (ver figura 4). La persona está en
un sistema de referencia no inercial (con aceleración
centrípeta), y según él está en reposo. Luego, concluirá que
tiene que existir una fuerza radial hacia fuera que
compense la normal del cilindro. A esa fuerza se le suele
denominar “fuerza centrífuga”, pero no es más que una
pseudofuerza.
Figura 4) Problema del rotor desde
el punto de vista de la persona
3
4
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
m ⋅ aBA = m ⋅ aB − m ⋅ aA ⇒ FnetaBA = FnetaB + Fpseudo [12]
B) Análisis Teórico de la pseudofuerza.
Donde:
En el sistema de referencia de la
figura 2, se aprecia el movimiento de
una partícula “B” de masa m que se
mueve con aceleración variable vista
desde dos observadores: uno
ubicado en un sistema fijo (en
reposo) y otro, denominado “A”, en
un sistema de referencia que se
mueve con aceleración constante.
En la siguiente tabla se definen las
diversas
cantidades
físicas
implicadas en esta situación
•
•
•
Figura 5) Sistema de referencia para movimiento relativo
FnetaBA = m ⋅ aBA es la fuerza neta sobre el cuerpo B vista desde el observador no inercial
A.
FnetaB = m ⋅ aB es la fuerza neta sobre el cuerpo B vista desde el observador fijo.
Fpseudo = −m ⋅ aA es la pseudofuerza, o fuerza ficticia o virtual.
En el ejemplo de la figura 3, la fuerza neta sobre el cuerpo de masa m con respecto al observador
inercial A es igual a
FnetamA = fre =
Referencias/cantidad física
A con respecto al observador fijo (absoluta)
B con respecto al observador fijo (absoluta)
B con respecto a A (relativa)
Posición
rA
rB
rBA
Velocidad
VA
VB
VBA
Aceleración
aA
aB
aBA
Donde x̂ es el vector unitario en la dirección de movimiento de m.
La pseudofuerza está dada por
Fpseudo = - m ⋅ a xˆ = - m ⋅
De la figura 5 se puede deducir fácilmente que:
r A + rBA = rB [8]
Derivando [9] con respecto al tiempo:
d d d VA +
VBA =
VB ⇒ a A + aBA = aB [10]
dt
dt
dt
( )
( )
( )
Si el sistema de referencia es no inercial, aA ≠ 0 . Así, la aceleración del cuerpo B con respecto a la
referencia no inercial estará dada por:
aBA = aB − aA [11]
Multiplicando la ecuación [11] por la masa de la partícula, se llega a:
F
m
xˆ = ⋅ F xˆ [14]
m+M
m+M
Reemplazando [13] y [14] en [12], se puede determinar la fuerza neta sobre m con respecto al
observador no inercial B:
Derivando [8] con respecto al tiempo, se llega a que:
d (r A ) + d (rBA ) = d (rB ) ⇒ VA + VBA = VB [9]
dt
dt
dt
m
⋅ F xˆ [13]
m+M
FnetamB = FnetamA + Fpseudo =
m
m
⋅ F xˆ ⋅ F xˆ = 0 [15]
m+M
m+M
El resultado de [15] es absolutamente coherente con el hecho de que el observador no inercial B
observa al cuerpo en reposo.
En el caso del rotor de la figura 4, la fuerza neta sobre la persona de masa m con respecto a la tierra
es igual a:
Fnetam0 = - m ⋅ ac rˆ [16]
Donde ac es la magnitud de la aceleración centrípeta y rˆ es el vector unitario en la dirección radial
hacia fuera de la circunferencia.
La pseudofuerza está dada por
Fpseudo = - m ⋅ ( -ac rˆ ) = m ⋅ ac rˆ [17]
5
Física General I Paralelos 05 y 22. Profesor RodrigoVergara R
Esta fuerza ficticia es la (mal) llamada “fuerza centrífuga”.
Reemplazando [16] y [17] en [12], se puede determinar la fuerza neta sobre m con respecto al
observador no inercial B:
Fnetamm = Fnetam0 + Fpseudo = −m ⋅ ac rˆ + m ⋅ ac rˆ = 0 [18]
El resultado de [18] es absolutamente coherente con el hecho de que la persona en el rotor se
observa a sí misma en reposo.