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11ºBachilerrato . Actividades Física. Cinemática y Dinámica
Profesor: Felix Muñoz
1. Un móvil describe una trayectoria circular de 2 m de diámetro. Calcula qué distancia ha recorrido cuando ha
realizado un ángulo de 2 radianes.
Solución:
Δs  R  ΔΦ  1  2  2 m
2. La rueda de un vehículo de 60 centímetros de radio gira con una velocidad angular constante de 400 r.p.m.
Calcula:
a) La velocidad lineal de su extremo.
b) La distancia recorrida cada minuto.
Solución:
 rev 
 rad  1  min 
  2 


  41,9 rad / s
a) La velocidad angular es:   400 rpm  400 
 min 
 rev  60  s 
El módulo de la velocidad lineal es: v =   R = 41,9  0,60 = 25,1 m /s
b) s = v  t = 25,1  60 = 1 506 m
3. Una rueda de 20 centímetros de radio, inicialmente en reposo, gira con movimiento uniformemente acelerado
y alcanza una velocidad de 120 r.p.m. al cabo de 30 s. Calcula:
a) La velocidad lineal de un punto de la periferia de la rueda en el instante t = 30 s.
b) El módulo de la aceleración normal en ese momento.
Solución:
 rev 
 rad  1  min 
  2 


  12,6 rad / s v =   R = 12,6  0,20 = 2,52 m /s
a)   120 rpm  120 
min


 rev  60  s 
b) Aceleración centrípeta o normal: an 
v2
2,522

 31,8 m / s 2
R
0,20
4. Un ciclista da una vuelta cada 12,5 s a un velódromo circular de 60 m de radio con una velocidad constante.
a) Calcula el periodo y la frecuencia.
b) Determina su velocidad angular.
Solución:
a) Período: T = 12,5 s Frecuencia:
b) Velocidad angular:

f 
1
1

 0,08 Hz
T
12,5

2

 0,503 rad / s
t
12,5
5. Las posiciones de dos móviles de masas m1= 1Kg y m2= 2Kg que se mueven por el espacio son respectivamente
r1 = 2t i +t k y r2 = 3t i + 3t j . Si en el instante t = 0 s ambos móviles se encuentran en el origen de coordenadas,
calcula:
a) Sus vectores de posición en el instante t = 2s.
b) Los momentos lineales de ambos móviles en t=2s.
c) El espacio recorrido por ambos móviles.
Las longitudes están expresadas en metros.
Solución:
a) Vectores de posición:
⃗r 1=2⋅2⋅⃗i + 2⋅1⋅⃗k )=4 ⃗i +2 ⃗
k
⃗r 2=3⋅2⋅⃗i +3⋅2⋅⃗j )=6 ⃗i +6 ⃗j
b) Momentos lineales:
d ⃗r 1
=2⋅⃗i +1⋅⃗k
dt
d ⃗r 2
⃗v 2=
=3⋅⃗i +3⋅⃗j
dt
⃗v 1=
⃗p1 =m1⋅⃗v 1=1⋅2⋅⃗i +1⋅1⋅⃗k )=2 ⃗i + ⃗k
⃗p2 =m2⋅⃗v 2 =2⋅3⋅⃗i +2⋅3⋅⃗j )=6 ⃗i +6 ⃗j
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
c)Vectores desplazamiento: r1  r1  r01  r1  4i  2k r2  r2  r02  r2  6i  6k
Como el vector velocidad es constante en ambos móviles, los dos tienen un movimiento rectilíneo uniforme; por tanto,
el espacio recorrido en cada caso coincide con el módulo del respectivo vector desplazamiento:
⃗
s1  r1 
42  22  4,5 m
⃗
s2  r2 
62  62  8,5 m
6. Se aplica una fuerza F sobre un objeto de masa m1, imprimiéndole una aceleración de 3 m/s2. Esa misma
fuerza se aplica sobre un objeto de masa m2 y le produce una aceleración de 12 m/s2. ¿Qué relación existe entre
ambas masas?
Solución:
F =m1⋅a 1
F=m2⋅a 2
m a 12
¿ } ¿ } ⇒ m1⋅a 1=m2⋅a2 ⇒ 1 = 2 = =4 ⇒ m1 =4⋅m2
m 2 a1 3
7. La masa m1 es 4 veces mayor que la masa m2.
Sobre un cuerpo de 25 kg actúa una fuerza de 10 N durante 3 s. Calcular:
a) El impulso de la fuerza.
b) La variación de la cantidad de movimiento del cuerpo.
c) Su velocidad final si en el momento de actuar la fuerza, el cuerpo se mueve a 4 m/s.
Solución:
a) I  F  Δt  10  3  30 N  s
b) p  I  30 N  s
c) p  m  v f  m  v 0  30  25  v f  25  4  v f 
30  25  4
 5,2 m/s
25
8. Un balón de 270 g, que se mueve horizontalmente a una velocidad de 10 m/s, desvía su trayectoria como
consecuencia de una patada, saliendo a 13 m/s en una dirección que forma un ángulo de 45º con la inicial.
Calcular:
¿Cuánto ha cambiado su velocidad?
¿Cuánto ha cambiado la cantidad de movimiento?
¿Qué fuerza ha sido la causante, sabiendo que ha sido aplicada durante 0,4 s?
Solución:
a) En módulo: v = 13 - 10 = 3 m/s
En dirección y sentido:
Δ ⃗v =⃗v f −⃗v 0 =( 13⋅cos 45º, 13⋅sen 45º )−( 10, 0 ) =((9,2 ), ( 9,2) )− (10, 0 )=( ( -0,8 ), 0 ) m/s
b) Tendiendo en cuenta la cantidad de movimiento como una magnitud vectorial:
⃗p0 =m⋅⃗v 0 =0,27⋅( 10, 0 )=( ( 2,7), 0 ) kg⋅m/s
⃗pf =m⋅⃗
v f =0,27⋅( 13⋅cos 45º, 13⋅sen 45º )=0,27⋅(( 9,2), (9,2) ) =((2,5 ) , ( 2,5) ) kg⋅m/s
¿ Δ ⃗p= ⃗p f − ⃗p0 =( ( 2,5), (2,5 ) )−( ( 2,7), 0 ) =(( -0,2) , (2,5)) kg⋅m/s
c) La fuerza causante genera un impulso:
Δ ⃗p ( ( -0,2), ( 2,5 ) )
⃗I =Δ ⃗p = ⃗
F⋅Δt ⇒ ⃗
F=
=
=( (-0,5 ), (6,25 ) ) N
Δt
0,4
|⃗
F|=√ ( -0,5 )2 +6 ,252 =6,27 N
9. Un proyectil de 150 g impacta en su objetivo de 15 kg, inicialmente en reposo, con una velocidad de 300 km/h.
Si después del impacto se acoplan y se desplazan unidos, calcula la velocidad final del sistema.
Solución:
La cantidad de movimiento antes del choque es la suma de las cantidades de movimiento de los dos objetos por
separado: p s  m1   v 1  0  m 2   v 2  0
La cantidad de movimiento después del choque es la del sistema formado por los dos cuerpos unidos:
p d   m1  m 2   v f
La cantidad de movimiento se conserva, es decir:
Δp  0  pa - pd  0  ps  pd  m1   v1  0  m2   v 2  0   m1  m2   v f
150 g  0,15 kg; 300 km/h  300 
1 000
 83,33 m/s
3 600
Sustituyendo: 0,15  83,33 - 15  0   0,15  15   v f  v f 
0,15  83,33
12,5

 0,82 m/s
0,15  15
15,15
10. Un balón de 350 g, que se mueve horizontalmente a una velocidad de 15 m/s, desvía su trayectoria como
consecuencia de una patada, saliendo a 25 m/s en una dirección que forma un ángulo de 30º con la inicial.
Calcular:
¿Cuánto ha cambiado su velocidad?
¿Cuánto ha cambiado la cantidad de movimiento?
¿Qué fuerza ha sido la causante, sabiendo que ha sido aplicada durante 0,3 s?
Solución:
a) En módulo: Δv=25−15=10 m/s
v =⃗v f −⃗v 0
En dirección y sentido: Δ⃗
Δ {⃗
v =( 25⋅cos 30º, 25⋅sen 30º )−( 15, 0 )=((21,6 ),( 12,5) ) −( 15, 0 )=( ( 6,6 ), (12,5 ) ) m/s ¿
b)
⃗p 0=m⋅⃗
v 0 =0,35⋅( 15, 0 )=( ( 5,25) , 0 ) kg⋅m/s
⃗pf =m⋅⃗
v f =0,35⋅(25⋅cos 30º, 25⋅sen 30º )=0,35⋅(( 21,6 ) ,(12,5) )= (( 7,5 ),( 4,3) ) kg⋅m/s
¿ Δ ⃗p= ⃗p f − ⃗p0 =( (7,5 ), ( 4,3 ))−( (5,25) , 0 ) =(( 2,25 ), ( 4,3 ) ) kg⋅m/s
c)
Δ ⃗p ( (2,25 ), ( 4,3 ))
⃗I =Δ ⃗p = ⃗
F⋅Δt ⇒ ⃗
F=
=
=( (7,5), (14,3) ) N
Δt
0,3
|⃗
F|=√ 7,52 +14,3 2=16,14 N
11. Una bola de billar de 100 g de masa que se desplaza a 2 m/s choca con otra bola de billar de 90 g inicialmente
en reposo. Como consecuencia del choque, la primera bola sale desviada 15ª con respecto a la trayectoria inicial,
mientras que la segunda bola sale despedida con un ángulo de 60º respecto a la misma trayectoria inicial de la
primera bola. Calcular las velocidades que adquieren ambas bolas después del choque.
Solución:
⃗p0 =m⋅⃗v 0 =0,1⋅2 ⃗i =0,2 ⃗i
⃗pf =m⋅⃗
v 1 + m⋅⃗
v 2=0,1⋅(v 1 cos 15 ⃗i + v 1 sin 15 ⃗j)+0,09⋅(v 2 cos 60 ⃗i −v 2 sin 60 ⃗j)
Igualamos momento inicial a final
0,2 ⃗i =0,1⋅(v 1 cos 15 ⃗i +v 1 sin 15 ⃗j)+0,09⋅( v 2 cos 60 ⃗i −v 2 sin 60 ⃗j)
Igualamos las componentes i :
0,2 ⃗i =0,1⋅(v 1 cos 15 ⃗i )+ 0,09⋅( v 2 cos 60 ⃗i )
Igualamos las componentes j, la componente j es cero en el momento inicial:
0=0,1⋅( v 1 sin 15 ⃗j)+0,09⋅(−v 2 sin 60 ⃗j)
Despejando hallamos v1 = 0,81 m/s y v2 = 2,7 m/s
vectores:
v1 = 0,78i + 0,21j
v2 = 1,35i – 2,34j