Download Interacción gravitatoria con solución

IES Menéndez Tolosa
Física y Química - 1º Bach
Interacción gravitatoria I
1
¿Cómo influye el impulso en el movimiento de un cuerpo?
Solución:
El impulso de una fuerza ejercida sobre un cuerpo se emplea en variar su cantidad de movimiento:
r Δpr
r
r r
F=
⇒ Δp = F ⋅ Δt = I
Δt
r
r v r
r
r
I = Δp = p f - p 0 = m ⋅ v f - m ⋅ v 0
2
Calcula el peso de un objeto de 35 kg de masa situado en la superficie terrestre.
Solución:
El peso es: p = m ⋅ g = 35 ⋅ 9,8 = 343 N
3
¿Cuáles son las condiciones de equilibrio de un cuerpo?
Solución:
a) La suma de todas las fuerzas que actúan sobre él debe ser nula. Así, el cuerpo no se desplaza, o lo hace con
MRU.
b) La suma de los momentos de las fuerzas respecto a cualquier punto del cuerpo debe ser nula. Así, el cuerpo no
gira.
4
Calcula el momento de una fuerza de 12 N aplicada a 20 cm del punto de giro.
Solución:
r
r
M = F ⋅ d = 12 ⋅ 0,2 = 2,4 N ⋅ m
5
Calcula el impulso y la fuerza necesarios para que un avión de 25 toneladas aumente su velocidad de 0
km/h a 275 km/h en un tiempo de 20 s.
Solución:
1 000
= 76,4 m / s
3 600
r v r
r
r
= Δp = p f - p0 = m ⋅ v f - m ⋅ v 0 ⇒ I = 25000 ⋅ 76,4 − 0 = 1 910 000 N ⋅ s
r
r
r
I
1 910 000
= F ⋅ Δt ⇒ F =
⇒F=
= 95 500 N
Δt
20
275 km/h = 275 ⋅
r
I
r
I
6
Calcula el impulso y la fuerza necesarios para que un cuerpo de 30 kg aumente su velocidad de 20 m/s a 25
m/s en un tiempo de 8 s.
1
Solución:
r
r v r
r
r
I = Δp = p f - p0 = m ⋅ v f - m ⋅ v 0 ⇒ I = 30 ⋅ 25 − 30 ⋅ 20 = 150 N ⋅ s
r
r r
r
150
I
⇒F=
= 18,75 N
I = F ⋅ Δt ⇒ F =
8
Δt
7
Utilizando la definición de impulso, deduce el principio de conservación de la cantidad de movimiento.
Solución:
r r
r v r
r
r
I = F ⋅ Δt = Δp = p f - p0 = m ⋅ v f - m ⋅ v 0
r
r
r
r
r
r
r
v
Si F = 0 ⇒ m ⋅ v f - m ⋅ v 0 = 0 ⇒ m ⋅ v f = m ⋅ v 0 ⇒ p f = p0 ⇒ Δp = 0
Así pues, cuando no actúa ninguna fuerza exterior sobre un sistema, la cantidad de movimiento de éste se
mantiene constante.
8
¿Dónde pesa más un cuerpo: en la superficie de la Tierra, a 1 000 m de altura, o a 1 000 m de profundidad?
Solución:
A 1 000 m de altura: P1 = m ⋅ g ⇒ P1 =
m ⋅ G ⋅ MT
(R T + 1 000 )2
A 1 000 m de profundidad: P2 = m ⋅ g ⇒ P2 =
m ⋅ G ⋅ MT
(R T − 1 000)2
P1 (R T − 1 000 )
=
< 1 ⇒ P1 < P2
P2
(RT + 1 000 )2
Por tanto, pesará más a 1 000 m de profundidad que en la superficie o a 1 000 m de altura.
2
9
¿Cuánto pesaría 1 g de materia en el centro de la Tierra?
Solución:
Basándonos en la ley de la gravitación universal:
m ⋅ MT
P = F = G⋅
r2
Como: r → 0 ⇒ P → ∞
10 Calcula el impulso necesario para que un cuerpo de 2 kg pase del reposo a alcanzar una velocidad de 10
m/s.
Solución:
r
r v r
r
r
I = Δp = p f - p 0 = m ⋅ v f - m ⋅ v 0
I = 2 ⋅ 10 - 0 = 20 N ⋅ s
11 Calcular con qué aceleración caería un cuerpo situado a una altura de 1 000 km sobre la superficie
terrestre.
2
Solución:
G ⋅ MT
g0 ⋅ R 2T
9,8 ⋅ 6350 2 ⋅ 10 6
g=
=
=
= 7,31 N/kg
7350 2 ⋅ 10 6
(RT + h)2 (RT + h)2
m ⋅ g = (m ⋅ 7,31) N⎫
2
⎬ ⇒ m ⋅ a = m ⋅ 7,31 ⇒ a = 7,31 m/s
m⋅a
⎭
12 Un proyectil de 150 g impacta en su objetivo de 15 kg, inicialmente en reposo, con una velocidad de 300
km/h. Si después del impacto se acoplan y se desplazan unidos, calcula la velocidad final del sistema.
Solución:
La cantidad de movimiento antes del choque es la suma de las cantidades de movimiento de los dos objetos por
separado: p s = m1 ⋅ (v 1 )0 + m 2 ⋅ (v 2 )0
La cantidad de movimiento después del choque es la del sistema formado por los dos cuerpos unidos:
p d = (m1 + m 2 ) ⋅ v f
La cantidad de movimiento se conserva, es decir:
Δp = 0 ⇒ pa - pd = 0 ⇒ ps = pd ⇒ m1 ⋅ (v1 )0 + m2 ⋅ (v 2 )0 = (m1 + m2 ) ⋅ v f
150 g = 0,15 kg; 300 km/h = 300 ⋅
1 000
= 83,33 m/s
3 600
Sustituyendo: 0,15 ⋅ 83,33 - 15 ⋅ 0 = (0,15 + 15 ) ⋅ v f ⇒ v f =
0,15 ⋅ 83,33
12,5
=
= 0,82 m/s
0,15 + 15
15,15
13 Calcular con qué aceleración caería un cuerpo situado a una altura de 800 km sobre la superficie terrestre.
Solución:
G ⋅ MT
g ⋅ R2
9,8 ⋅ 6350 2 ⋅ 106
= 0 T2 =
g=
= 7,73 N/kg
2
7150 2 ⋅ 106
(RT + h) (RT + h)
m ⋅ g = (m ⋅ 7,73 ) N⎫
2
⎬ ⇒ m ⋅ a = m ⋅ 7,73 ⇒ a = 7,73 m/s
m⋅a
⎭
14 Sabiendo que el radio de Júpiter es de 71 000 km y que la intensidad gravitatoria en su superficie vale 26,5
m/s2, calcular la masa y la densidad media del planeta.
Solución:
La intensidad gravitatoria en la superficie viene dada por: g =
G ⋅ MJ
R 2J
g ⋅ R 2J 26,5 ⋅ 71000 2 ⋅ 10 6
=
= 2 ⋅ 10 27 kg
G
6,67 ⋅ 10 -11
Para calcular la densidad calculamos primero el volumen de Júpiter suponiéndolo esférico:
3
4
4
V = ⋅ π ⋅ R3J = ⋅ π ⋅ 71000 ⋅ 103 = 1,5 ⋅ 1024 m3
3
3
M
2 ⋅ 1027
= 1 333,33 kg/m3 = 1,33 g/cm3
d= =
V 1,5 ⋅ 1024
Con lo que: MJ =
(
)
3
15 Sobre una barra de 4 m de longitud se aplican dos fuerzas paralelas y de sentido contrario. Sabiendo que
una fuerza es el doble que la otra, ¿a qué distancia de éstas habrá que aplicar la fuerza que logre
equilibrarlas? Dibuja un esquema con todas las fuerzas que influyen en el sistema.
Solución:
Para que el sistema esté en equilibrio:
r r
∑F = 0
r r
r
r
r
r
∑ M = 0 ⇒ M1 + M2 = 0 ⇒ M1 = M2 ⇒ F1 ⋅ d1 = F2 ⋅ d2
Además:
F1 ⋅ d1 = 2 ⋅ F1 ⋅ d2 ⇒ d1 = 2 ⋅ d2 ⎫
⎧d2 = 4 m
⎬ ⇒ 2 ⋅ d2 = d2 + 4 ⇒ ⎨
d1 = d2 + 4
⎭
⎩d1 = 8 m
4