Download ¿Que es un triangulo?

El curso de topografía I; utiliza muchos
conceptos y formulas por no decir todo,
de la geometría y la trigonometría.
„ La primera ciencia toma como objeto de
estudio a las diferentes figuras
geométricas y la segunda se encarga
de ver las relaciones de los lados y los
ángulos de un triangulo.
„
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F. Becerra Pajuelo
Figuras geométricas:
„ Triangulo
Trapecio
„ Cuadrado
„ Circunferencia
„
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¿Que es un triangulo?
„Es
la figura geométrica que
resulta de la reunión de los
segmentos que unen tres
puntos consecutivos no
colineales.
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Elementos de un triangulo
„
Para formar un triangulo es necesario tener tres
elementos como mínimo.
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Propiedades de los triángulos
„
„
„
„
Las medidas de los ángulos internos de un
triangulo suman 180º.
Cualquier ángulo exterior es igual a la suma
de los ángulos internos opuestos.
Los ángulos exteriores de un triangulo
suman 360º.
Cualquier lado del triangulo es mayor que la
diferencia de las longitudes de los otro dos
y menor que su suma.
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Las medidas de los ángulos
internos de un triangulo suman
180º.
Cualquier ángulo exterior es igual
a la suma de los ángulos internos
opuestos.
La suma de los tres ángulos
α + β + φ = 180º.
El ángulo gama igual a
α + β = Y.
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Los ángulos exteriores de un
triangulo suman 360º.
Un triangulo posee solo
tres ángulos exteriores, la
suma de X + Y+ Z= 360º
„
Cualquier lado del triangulo es
mayor que la diferencia de las
longitudes de los otro dos y
menor que su suma.
„
El lado AC de valor 15 u es
menor a AB+BC y mayor la
resta de BC-AB.
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Clases de triángulos
„
Según sus lados
Equiláteros (sus tres lados iguales)
isósceles (dos lados iguales y uno
desigual)
Escaleno (tres lados desiguales)
„
Según sus
ángulos
Acutángulos (tres ángulos agudos)
Obtusángulos (un ángulo obtuso)
Rectángulo (un ángulo recto)
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Por sus lados
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Por sus ángulos
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Triangulo rectángulo
Teorema de
Pitágoras.En un triángulo
rectángulo, el
cuadrado de la
hipotenusa es
igual a la suma de
los cuadrados de
los catetos.
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Formas de calcular el área de un
triangulo.
„
Manera geométrica
„
Manera trigonométrica
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„
Con matrices
Con el semi perímetro
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Ejemplo aplicativo
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En el ejercicio anterior se quiere hallar el área
del triangulo y solo se cuenta con las
coordenadas de este , entonces se aplica
matrices , para eso se toma el vértice A y se
barren los vértices en sentido anti horario ,
llegando al mismo vértice.
Todos los vértices conservan sus signos a la
hora de colocar en una matriz.
A continuación se muestra la matriz después
del traslado de las coordenadas del triangulo.
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Después de colocar los
valores en la matriz, se
multiplica para obtener
los subproductos de la
derecha y de la izquierda.
Y de allí estos se suman
5*3 + 2*1 + 7*7 = 69
derecha.
7*2 + 3*7 + 1*5 = 40
izquierda.
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El paso siguiente es restar el valor
obtenido de la derecha menos el valor
obtenido de la izquierda 69 – 40 = 29.
„ Al valor obtenido se le saca valor
absoluto obteniendo siempre un valor
positivo .
„ El paso final es dividir a este valor
positivo entre 2.
„ Teniendo así la superficie del triangulo
para este caso el resultado es 14.5 u2.
„
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Líneas notables de un triangulo
MEDIANA
„
Es el segmento que
tiene por extremos un
vértice del triángulo y
el punto medio del
lado opuesto.
Cualquier triángulo
tendrá 3 medianas.
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Líneas notables de un triangulo
BISECTRIZ
„
Es la línea que
partiendo de un
vértice divide a un
ángulo en 2 iguales.
Existen 3
bisectrices internas.
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Líneas notables de un triangulo
ALTURA
„
Es la perpendicular
trazada desde un vértice
hacia el lado opuesto o a
su prolongación.
Cualquier triángulo tiene
3 alturas.
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Líneas notables de un triangulo
Mediatriz
ƒ Es la recta perpendicular
levantada en el punto
medio de un lado
cualquiera del triángulo,
por lo tanto todo
triangulo tiene 3
mediatrices
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Semejanza de triángulos.
„
„
Dos figuras geométricas serán semejantes si
tienen exactamente la misma forma, pero no
el mismo tamaño.
Existen el corolario de Thales y tres criterios
para la semejanza de triángulos.
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Corolario de Thales de mileto
„
„
Thales de Mileto (640 A.C.).- Fundo su
“Escuela de Matemática y Filosofía”
llamada escuela Jónica.
Su más importante contribución, es el
teorema que lleva su nombre
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Corolario de Thales de mileto
El segmento AB es
proporcional al
segmento al BC, el
segmento A”B” es
también proporcional al
segmento B”C”.
AB = A”B”
BC
B”C”
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Criterios de la semejanza
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„
„
„
Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
ángulos iguales.
Dos triángulos son
semejantes si tienen los
lados proporcionales.
Dos triángulos son
semejantes si tienen dos
lados proporcionales y el
ángulo comprendido
entre ellos igual.
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Congruencia de triángulos.
„
Dos figuras geométricas serán congruentes
si tienen la misma forma y el mismo tamaño,
pudiendo estar en distintas posición en el
plano o en el espacio
LAL
„ ALA
„ LLL
„
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LAL
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ALA
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LLL
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¿Que es un trapecio?
„
„
Un trapecio es un cuadrilátero que tiene
dos lados paralelos y los otros dos no
paralelos.
Los lados paralelos se llaman bases del
trapecio y la distancia entre ellos se llama
altura.
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Clases de trapecios
„
Trapecio Isósceles
„
Trapecio Rectángulo
„
Trapecio donde sus lados
no paralelos tienen igual
medida.
„
Trapecio donde uno de
sus lados forma un
ángulo recto con la base.
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„
Trapecio Trisolátero
„
Trapecio Escaleno
„
Es aquel que tiene
tres lados iguales o
congruentes.
„
Trapecio donde sus
lados son diferentes.
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Área de un trapecio
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Ángulos
Es la figura formada por la unión de dos
rayos que tienen el mismo origen .
„ Existen tres criterios para la clasificación
de los ángulos .
™ Por su medida.
™ Por su posición.
™ Los determinados por dos paralelas y una
secante .
„
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Por su medida
Agudo
„
Recto
Los ángulos agudos ,
son aquellos que
tienen un medida
menor a 90 grados.
„
Son ángulos rectos
los que presentan
90 grados
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Obtuso
Llano
Angulo obtuso son aquellos que miden mayor a 90º,
pero menor a 180 grados, por el contrario el ángulo
llano es aquel que mide exactamente 180º.
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Por su posición
Adyacentes
Opuestos
El ángulo α al estar junto y consecutivo al ángulo β, se
dice que son ángulos adyacentes .
Y los opuestos por un vértice son por ejemplo el
ángulo 1 y el 3, estos tipos de ángulos son siempre de
igual magnitud .
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Ángulos complementarios
Ángulos suplementarios
Serán ángulos complementarios cuando la suma de estos
dos dan 90º, y serán ángulos suplementarios cuando la
suma de estos dos son 180º.
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Los determinados por dos
paralelas y una secante
β=e ; α=f ; ‫=ץ‬g ; δ=h
Ángulos correspondientes.
„ ‫=ץ‬f ; δ =e
Ángulos alternos internos.
„ β=h ; α=g
Ángulos alternos externos.
„ β= δ ; α=‫ ; ץ‬e=h ; f=g
Ángulos opuestos por el
vértice.
„
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Ejemplo aplicativo
„ El primer paso para poder
trasladar el ángulo b fuera del
área inaccesible , es trazar
una paralela a la recta 1 ,
para eso construimos un el
triangulo 3,4,5
„ Después
de
este
paso
fundamental
es
mediante
conceptos generales trasladar
el ángulo b a la posición de
ángulo g .
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Mediante la construcción de los dos triángulos rectángulos se traza la recta 2
paralela a la recta 1 ,así mediante este procedimiento formo dos rectas
paralelas, y por conceptos básicos traslado el ángulo b fuera del terreno
inaccesible.
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Razones trigonométricas
„
„
„
„
„
Es el cociente que se establece entre los catetos.
Los conceptos de razones se utilizaran mas durante
los últimos trabajos de practica del curso. Al momento
de hallar la distancia horizontal y desniveles.
Saber que el coseno de cualquier ángulo se positivo o
negativo siempre es positivo
Las razones trigonométricas serán iguales en ángulos
cote minales
Para el caso de hallar coordenadas parciales, cuando
no se quiere hallar los rumbos , de manera rápida se
aplica la razón trigonométrica a la azimut , dándote
con todo y el signo
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Propiedades importantes de las razones
trigonométricas
„Sen
α, Cos α ‹ 1.
„Sec α , Csc α › 1.
„Tan α y Ctg α Cualquier
valor positivo.
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Triangulo oblicuángulo
„
„
A todo triangulo que sea diferente a un
triangulo rectángulo se le denomina T.O
Estos conceptos nos sirven en la practica
de agrimensura, para poder hacer un
contraste de lo teórico con lo empírico.
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Ley de seno
Ley de cósenos
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Plano cartesiano
„ Llamamos
así cuando el plano esta
dividido por dos rectas numéricas
perpendiculares que se intersecan en
el punto (0.0) estas rectas son eje X e
Y cuando se trabaja en el espacio
aparece el eje Z.
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„
A
manera
de
analogía
podemos
relacionar
estas
coordenadas con las
UTM.
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La líneas amarillas es la representación del sistema
cartesiano.
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Coordenadas Polares
„ Es
un sistema de coordenadas
bidimensional en el cual cada punto o
posición del plano se determina por un
ángulo y una distancia.
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Para este sistema siempre
se toma el inicio de los
ángulos en el lado OL a
partir de allí se barren los
ángulos y el centro de
referencia, punto O.
El punto (3, 60º), indica que
está a una distancia de 3
unidades de O, medidas con
un ángulo de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) indica que
está a una distancia de 4
unidades de O y un ángulo
de 210º sobre OL.
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Transformación de coordenadas
„
Mediante esta comparación se puede realizar una
trasformación rápida y sencilla, para este caso el punto
A se llevara al sistema cartesiano.
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Ejemplo aplicativo
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Ejemplo aplicativo
„
Aplicando la formula
anterior , se
trasforma el vértice A
que se encuentra en
el sistema polar , al
sistema cartesiano
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Ejemplo aplicativo
„ La
coordenada
X será 1.5 y
la coordenada
Y será 2.1213.
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Calculo de áreas
„ El
cálculo de áreas utilizando matrices
es tal vez lo más utilizado en el curso
de topografía porque existen prácticas
donde se construyeron figuras
geométricas muy diferentes a las
convencionales.
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Recordar
En el uso de este método las
coordenadas conservan sus signos y
además del vértice donde se partió se
regresa al mismo.
„ Los vértices se barren en sentido anti
horario .
„
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Ejemplo aplicativo
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Cuando ya se tiene los valores
colocados en la matriz , se
procede al calculo de los
subproductos, de la derecha y
de la izquierda.
(12*16) + (-6*-4) + (-10*-8)
+(20*6) + (16*12) =608
DERECHA
(12*-6) + (16*-10) +(-4*20) +(8*16) + (6*12) =-368
IZQUIERDA
Ahora se resta D-I = 608-(-368)
Eso resulta 976.
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„
Los números conservan siempre sus signos , ya
que en algunos casos los vértices se encuentran en
cuadrantes donde las coordenadas toman valores
negativos.
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Pendiente.
„
„
„
La pendiente que se referirá en el curso de
topografía, Es la inclinación, respecto a la
horizontal.
Una línea horizontal tiene pendiente = 0 y una
recta vertical no tiene un número real que la
defina, ya que su pendiente es infinita.
Dentro del curso el símbolo de pendiente es
S%.
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„Mientras
el valor de la
pendiente sea mayor, la
recta tendrá a su vez mayor
inclinación, mientras que
una que forme un ángulo
de 45° con el eje X tiene
una pendiente = +1
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Escala Cartografía
„ La
escala es la relación matemática
que existe entre las dimensiones del
dibujo y las reales que se plasmaran en
un plano o un mapa.
„ Dentro del curso se utilizara la escala
de reducción
„ Escalas de ejemplo 1:50 1:125 1:200
1:250 1: 75000.
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