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El curso de topografía I; utiliza muchos conceptos y formulas por no decir todo, de la geometría y la trigonometría. La primera ciencia toma como objeto de estudio a las diferentes figuras geométricas y la segunda se encarga de ver las relaciones de los lados y los ángulos de un triangulo. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Figuras geométricas: Triangulo Trapecio Cuadrado Circunferencia Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo ¿Que es un triangulo? Es la figura geométrica que resulta de la reunión de los segmentos que unen tres puntos consecutivos no colineales. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Elementos de un triangulo Para formar un triangulo es necesario tener tres elementos como mínimo. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Propiedades de los triángulos Las medidas de los ángulos internos de un triangulo suman 180º. Cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos opuestos. Los ángulos exteriores de un triangulo suman 360º. Cualquier lado del triangulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otro dos y menor que su suma. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Las medidas de los ángulos internos de un triangulo suman 180º. Cualquier ángulo exterior es igual a la suma de los ángulos internos opuestos. La suma de los tres ángulos α + β + φ = 180º. El ángulo gama igual a α + β = Y. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Los ángulos exteriores de un triangulo suman 360º. Un triangulo posee solo tres ángulos exteriores, la suma de X + Y+ Z= 360º Cualquier lado del triangulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otro dos y menor que su suma. El lado AC de valor 15 u es menor a AB+BC y mayor la resta de BC-AB. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Clases de triángulos Según sus lados Equiláteros (sus tres lados iguales) isósceles (dos lados iguales y uno desigual) Escaleno (tres lados desiguales) Según sus ángulos Acutángulos (tres ángulos agudos) Obtusángulos (un ángulo obtuso) Rectángulo (un ángulo recto) Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Por sus lados Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Por sus ángulos Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Triangulo rectángulo Teorema de Pitágoras.En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Formas de calcular el área de un triangulo. Manera geométrica Manera trigonométrica Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Con matrices Con el semi perímetro Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo En el ejercicio anterior se quiere hallar el área del triangulo y solo se cuenta con las coordenadas de este , entonces se aplica matrices , para eso se toma el vértice A y se barren los vértices en sentido anti horario , llegando al mismo vértice. Todos los vértices conservan sus signos a la hora de colocar en una matriz. A continuación se muestra la matriz después del traslado de las coordenadas del triangulo. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Después de colocar los valores en la matriz, se multiplica para obtener los subproductos de la derecha y de la izquierda. Y de allí estos se suman 5*3 + 2*1 + 7*7 = 69 derecha. 7*2 + 3*7 + 1*5 = 40 izquierda. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo El paso siguiente es restar el valor obtenido de la derecha menos el valor obtenido de la izquierda 69 – 40 = 29. Al valor obtenido se le saca valor absoluto obteniendo siempre un valor positivo . El paso final es dividir a este valor positivo entre 2. Teniendo así la superficie del triangulo para este caso el resultado es 14.5 u2. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Líneas notables de un triangulo MEDIANA Es el segmento que tiene por extremos un vértice del triángulo y el punto medio del lado opuesto. Cualquier triángulo tendrá 3 medianas. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Líneas notables de un triangulo BISECTRIZ Es la línea que partiendo de un vértice divide a un ángulo en 2 iguales. Existen 3 bisectrices internas. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Líneas notables de un triangulo ALTURA Es la perpendicular trazada desde un vértice hacia el lado opuesto o a su prolongación. Cualquier triángulo tiene 3 alturas. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Líneas notables de un triangulo Mediatriz Es la recta perpendicular levantada en el punto medio de un lado cualquiera del triángulo, por lo tanto todo triangulo tiene 3 mediatrices Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Semejanza de triángulos. Dos figuras geométricas serán semejantes si tienen exactamente la misma forma, pero no el mismo tamaño. Existen el corolario de Thales y tres criterios para la semejanza de triángulos. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Corolario de Thales de mileto Thales de Mileto (640 A.C.).- Fundo su “Escuela de Matemática y Filosofía” llamada escuela Jónica. Su más importante contribución, es el teorema que lleva su nombre Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Corolario de Thales de mileto El segmento AB es proporcional al segmento al BC, el segmento A”B” es también proporcional al segmento B”C”. AB = A”B” BC B”C” Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Criterios de la semejanza Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos iguales. Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales. Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos igual. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Congruencia de triángulos. Dos figuras geométricas serán congruentes si tienen la misma forma y el mismo tamaño, pudiendo estar en distintas posición en el plano o en el espacio LAL ALA LLL Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo LAL Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo ALA Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo LLL Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo ¿Que es un trapecio? Un trapecio es un cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y los otros dos no paralelos. Los lados paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama altura. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Clases de trapecios Trapecio Isósceles Trapecio Rectángulo Trapecio donde sus lados no paralelos tienen igual medida. Trapecio donde uno de sus lados forma un ángulo recto con la base. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Trapecio Trisolátero Trapecio Escaleno Es aquel que tiene tres lados iguales o congruentes. Trapecio donde sus lados son diferentes. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Área de un trapecio Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ángulos Es la figura formada por la unión de dos rayos que tienen el mismo origen . Existen tres criterios para la clasificación de los ángulos . Por su medida. Por su posición. Los determinados por dos paralelas y una secante . Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Por su medida Agudo Recto Los ángulos agudos , son aquellos que tienen un medida menor a 90 grados. Son ángulos rectos los que presentan 90 grados Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Obtuso Llano Angulo obtuso son aquellos que miden mayor a 90º, pero menor a 180 grados, por el contrario el ángulo llano es aquel que mide exactamente 180º. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Por su posición Adyacentes Opuestos El ángulo α al estar junto y consecutivo al ángulo β, se dice que son ángulos adyacentes . Y los opuestos por un vértice son por ejemplo el ángulo 1 y el 3, estos tipos de ángulos son siempre de igual magnitud . Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ángulos complementarios Ángulos suplementarios Serán ángulos complementarios cuando la suma de estos dos dan 90º, y serán ángulos suplementarios cuando la suma de estos dos son 180º. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Los determinados por dos paralelas y una secante β=e ; α=f ; =ץg ; δ=h Ángulos correspondientes. =ץf ; δ =e Ángulos alternos internos. β=h ; α=g Ángulos alternos externos. β= δ ; α= ; ץe=h ; f=g Ángulos opuestos por el vértice. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo El primer paso para poder trasladar el ángulo b fuera del área inaccesible , es trazar una paralela a la recta 1 , para eso construimos un el triangulo 3,4,5 Después de este paso fundamental es mediante conceptos generales trasladar el ángulo b a la posición de ángulo g . Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Mediante la construcción de los dos triángulos rectángulos se traza la recta 2 paralela a la recta 1 ,así mediante este procedimiento formo dos rectas paralelas, y por conceptos básicos traslado el ángulo b fuera del terreno inaccesible. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Razones trigonométricas Es el cociente que se establece entre los catetos. Los conceptos de razones se utilizaran mas durante los últimos trabajos de practica del curso. Al momento de hallar la distancia horizontal y desniveles. Saber que el coseno de cualquier ángulo se positivo o negativo siempre es positivo Las razones trigonométricas serán iguales en ángulos cote minales Para el caso de hallar coordenadas parciales, cuando no se quiere hallar los rumbos , de manera rápida se aplica la razón trigonométrica a la azimut , dándote con todo y el signo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Propiedades importantes de las razones trigonométricas Sen α, Cos α ‹ 1. Sec α , Csc α › 1. Tan α y Ctg α Cualquier valor positivo. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Triangulo oblicuángulo A todo triangulo que sea diferente a un triangulo rectángulo se le denomina T.O Estos conceptos nos sirven en la practica de agrimensura, para poder hacer un contraste de lo teórico con lo empírico. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ley de seno Ley de cósenos Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Plano cartesiano Llamamos así cuando el plano esta dividido por dos rectas numéricas perpendiculares que se intersecan en el punto (0.0) estas rectas son eje X e Y cuando se trabaja en el espacio aparece el eje Z. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo A manera de analogía podemos relacionar estas coordenadas con las UTM. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo La líneas amarillas es la representación del sistema cartesiano. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Coordenadas Polares Es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano se determina por un ángulo y una distancia. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Para este sistema siempre se toma el inicio de los ángulos en el lado OL a partir de allí se barren los ángulos y el centro de referencia, punto O. El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL. El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Transformación de coordenadas Mediante esta comparación se puede realizar una trasformación rápida y sencilla, para este caso el punto A se llevara al sistema cartesiano. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo Aplicando la formula anterior , se trasforma el vértice A que se encuentra en el sistema polar , al sistema cartesiano Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo La coordenada X será 1.5 y la coordenada Y será 2.1213. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Calculo de áreas El cálculo de áreas utilizando matrices es tal vez lo más utilizado en el curso de topografía porque existen prácticas donde se construyeron figuras geométricas muy diferentes a las convencionales. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Recordar En el uso de este método las coordenadas conservan sus signos y además del vértice donde se partió se regresa al mismo. Los vértices se barren en sentido anti horario . Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Ejemplo aplicativo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Cuando ya se tiene los valores colocados en la matriz , se procede al calculo de los subproductos, de la derecha y de la izquierda. (12*16) + (-6*-4) + (-10*-8) +(20*6) + (16*12) =608 DERECHA (12*-6) + (16*-10) +(-4*20) +(8*16) + (6*12) =-368 IZQUIERDA Ahora se resta D-I = 608-(-368) Eso resulta 976. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Los números conservan siempre sus signos , ya que en algunos casos los vértices se encuentran en cuadrantes donde las coordenadas toman valores negativos. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Pendiente. La pendiente que se referirá en el curso de topografía, Es la inclinación, respecto a la horizontal. Una línea horizontal tiene pendiente = 0 y una recta vertical no tiene un número real que la defina, ya que su pendiente es infinita. Dentro del curso el símbolo de pendiente es S%. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Mientras el valor de la pendiente sea mayor, la recta tendrá a su vez mayor inclinación, mientras que una que forme un ángulo de 45° con el eje X tiene una pendiente = +1 Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo Escala Cartografía La escala es la relación matemática que existe entre las dimensiones del dibujo y las reales que se plasmaran en un plano o un mapa. Dentro del curso se utilizara la escala de reducción Escalas de ejemplo 1:50 1:125 1:200 1:250 1: 75000. Curso Topografia I Doc. de Trabajo Ing. Angel F. Becerra Pajuelo