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Una corona esférica cargada eléctricamente, de radio interior a y radio exterior b,
tiene en cada punto una densidad cúbica de carga proporcional al radio. Hallar el
campo y el potencial en un punto a distancia r del centro en los siguientes casos:
a)
b)
c)
ra
arb
rb
SOLUCIÓN:
  kr
La densidad da carga cúbica, es de la siguiente forma:
En este caso tenemos la obligación de construir una superficie gaussiana esférica, y
además distinguir en tres zonas del espacio:
a) Aplicando la ley de Gauss en la zona dentro del radio a. En este caso no hay
carga por tanto:
 1

 E  dS 
0
E 4r 2 
Q
0
 dV
0  E 0
Como existe una relación entre el campo eléctrico y el potencial:
E
dV
 0  V  Cte.
dr
En el centro tenemos que el potencial:
V0 


1
4 0
1
4 0
b

a

dq
1

r
4 0

kr4r 2 dr
k

r
0
dV
r

b
r
2
dr 
a
k

b3  a 3 
3 0
1
b) Entre este intervalo, vamos a utilizar también la ley de Gauss:
 1

E

d
S


0
 dV


2
 E  dS E 4r
2
4
4
4





dV

kr
4

r
dr

k

r

k

r

a
a


r
r
a 


k
k r 4  a4
E
r a 
2
4 0 r
4 0 r 2

4
4

Para encontrar el potencial en un punto intermedio entre los dos radios a y b. Es
necesario calcular dos potenciales, el interno y el externo:
Qi
1 k r 4  a 4 
k r 4  a4
Vi 


4 0 r
4 0
r
4 0
r
1
Vext
1
b
dq
1



4 0 r r
4 0

kr4r 2 dr
k

r
r
0
b
b
r
2
dr 
r
k

b3  r 3 
3 0
El potencial final será la suma de los dos potenciales:
k  r 4  a 4 b3  r 3 

V  

 0  4r
3 
c) Desde un punto cualquiera exterior a la zona donde hay carga (densidad de
carga), se ve esta distribución de carga como la carga total que hay en todo el
volumen, como si no tuviera estructura, como un punto material cargado; en
este caso la ley de Gauss se aplica de forma sencilla:
 Q

 E  dS 
0
b
b

Q   dV   kr4r dr  4k  r 3dr  k b 4  a 4
2
a
a

2
Como la integral cerrada de superficie en forma es análoga a los anteriores tramos,
podemos concluir que la intensidad del campo eléctrico es del siguiente modo:
E
q
k
4
4

b

a
4r 2 0 4r 2 0


Por otro lado el potencial podemos encontrarlo aplicando directamente la definición:


1 Q
1 k b 4  a 4
k b4  a 4
V 


4 0 r 4 0
r
4 0
r
3