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Átomos hidrogenoides
Capítulo 3. Átomos Hidrogenoides.
Objetivos:
•Introducción del concepto de orbital atómico
•Descripción de los números cuánticos en los orbitales
atómicos
•Justificación cualitativa de la cuantización de los observables
en los átomos hidrogenoides: energía, momento angular orbital,
componentes del momento angular orbital
•Descripción de las características de los orbitales s,p y d:
tamaño y forma de los orbitales
•Introducción del momento angular de espín: función espínorbital electrónica
*algunas de las figuras que se insertan en este documento corresponden al texto Atkins’ Physical Chemistry
(Oxford University Press, 2003) y a Química General de Petrucci et al. (Prentice Hall, 2002)
4802. J. Donoso-2008-2009
Átomos hidrogenoides
Átomos Hidrogenoides: H, He+, Li2+, Be3+,...
z
θ
Ze+ r
x
La Ecuación de Schrödinger:
∂2 ⎞ ^
∂2
h2 ⎛ ∂ 2
⎜⎜ 2 + 2 + 2 ⎟⎟ = T
−
∂z ⎠
2m ⎝ ∂x ∂y
e-
φ
^H Ψ = E Ψ
Ze 2
^
V =−
4πεοr
x2 + y2 + z 2 = r 2
y
Coordenadas esféricas polares
z = r cos θ
x = rsenθ cos φ
y = rsenθsenφ
Ψ(x,y,z)
Ψ(r,θ,φ)
Las soluciones de la Ecuación de Schrödinger, funciones propias,
son los ORBITALES ATÓMICOS, Ψ(r,θ,φ)
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Átomos hidrogenoides
La función de onda: orbital atómico
Ψ(r,θ,φ) = R(r) Θ(θ) Φ(φ) = R(r)
Y(θ,φ)
R(r); Función de onda Radial
(determina el tamaño del orbital)
|Ψ|2 dτ =
|Ψ|2 r2 senθ dr dθ dφ
Probaliblidad de encontrar
al electrón en un elemento
diferencial de volumen
Y(θ,φ) Función de onda Angular
o Armónicos esféricos
(determina la forma del orbital)
La Energía
La solución de la Ecuación de Schrödinger, para cada función
propia, valor propio, es la ENERGIA del ORBITAL ATÓMICO
me 4 Z 2
E=− 2 2 2
8h ε 0 n
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n = 1,2,3,...∞, Número cuántico principal
(idéntica a la obtenida en el modelo de Bohr)
Átomos hidrogenoides
El Momento Angular Orbital, L
z
L
r
en mecánica clásica : L = r x mv
(Puede tener cualquier valor)
en mecánica cuántica:
mv
x
y
L = l (l + 1)h
(el módulo está cuantizado)
l = 0, 1, 2,...n-1
Número cuántico azimutal
Componentes del Momento Angular Orbital
L = Lxi+ Lyj+ Lzk
z
en mecánica cuántica : Lz = mh
Lz
(El valor de las componentes está cuantizado
m = 0, ±1, ±2, ±3, ... ±l
Número cuántico magnético
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Lx
x
L
Ly
y
Átomos hidrogenoides
La forma analítica de la función de onda del electrón en un átomo,
orbital atómico, depende de los números cuánticos n, l, m
Ψ(r,θ,φ)= Rn,l(r) Yl,m(θ,φ)
Nombre de los orbitales atómicos:
l
0
1
2
3
4
nombre
s
p
d
f
g
Todos los OA que tienen el mismo número cuántico n forman una
capa electrónica
Dentro de una capa electrónica, todos los OA que tienen el
mismo número cuántico l, forman un subnivel o subcapa
Todos los OA que tienen el mismo número cuántico n tienen la
misma energía y son degenerados
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Átomos hidrogenoides
ORBITALES ATOMICOS HIDROGENOIDES
Estados de energía, capas y subcapas electrónicas
Números cuánticos
n, Capa l, subcapa
m
1 (K)
0
0
0
0
1
2 (L)
1
0
-1
0
0
1
1
0
-1
3 (M)
-2
-1
2
0
1
2
Orbital Atómico
subcapa
1s
2s
2p
Estados
degenerados
3s
3p
Estados
degenerados
3d
Continuación.....
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Átomos hidrogenoides
ORBITALES ATOMICOS HIDROGENOIDES
Estados de energía, capas y subcapas electrónicas
Números cuánticos
n, Capa l, subcapa
m
0
0
1
1
0
-1
-2
-1
2
0
4 (N)
1
2
-3
-2
-1
3
0
1
2
3
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Orbital Atómico
subcapa
4s
4p
4d
4f
Estados
degenerados
Átomos hidrogenoides
Representación gráfica de los OA
¿Qué expresión analítica tienen los OA?
¿cómo representaremos gráficamente los OA?
Orbitales de tipo s (simetría esférica)
R1, 0
⎛Z
= 2⎜⎜
⎝ a0
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
e
− Zr / a0
Función radial
⎛ 1 ⎞
Y0, 0 (s ) = ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
Función angular
Ψ1s2
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1/ 2
1/ 2
⎛Z ⎞
Ψ (1s ) = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ e − Zr / a0
⎝ πa0 ⎠
3
Función total
P = 4πr 2 Ψ12s
Significado de la
función de densidad,
Ψ2 (izquierda), su variación
con r en un orbital 1s;
y de la función de
distribución radial,
r2R2 (derecha)
Z=1, átomo de hidrógeno
Radio de máxima probabilidad = a0
Átomos hidrogenoides
R2 , 0
R3 , 0
Orbitales de tipo s (simetría esférica)
1 ⎛Z
⎜⎜
=
2 ⎝ a0
2 ⎛Z
⎜⎜
=
3 3 ⎝ a0
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎞
⎟⎟
⎠
3/ 2
⎛
Zr
⎜⎜1 −
⎝ 2a 0
⎞ − Zr / 2 a0
⎟⎟e
⎠
⎛ 2 Zr 2 Z 2 r 2
⎜⎜1 −
+
2
3
a
27
a
0
0
⎝
Función radial
⎞ − Zr / 3a0
⎟⎟e
⎠
Radio de las esferas nodales
⎛ 1 ⎞
Ψ (2 s ) = R2, 0 ⎜
⎟
4
π
⎠
⎝
1/ 2
1/ 2
⎛ 1 ⎞
Ψ (3s ) = R3, 0 ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
Función Total
1s
2s
3s
Zr/a0
Esferas nodales en los orbitales 2s y 3s
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Comparación de las funciones de
distribución radial de los
orbitales 1s, 2s y 3s (posición
relativa, penetración)
Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo s (simetría esférica)
Esfera dentro de la que la
probabilidad de encontrar al
electrón es del 90%
La intensidad del color es
proporcional a la densidad
de probabilidad de encontrar
al electrón
Comparación de las densidades
electrónicas en un orbital 1s y
otro 2s
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Esfera nodal
Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo p (1 plano nodal)
–Tamaño y penetración-
R2,1 =
1 ⎛Z
⎜⎜
2 6 ⎝ a0
⎞
⎟⎟
⎠
5/ 2
8 ⎛Z⎞
⎜⎜ ⎟⎟
R3,1 =
27 6 ⎝ a0 ⎠
re − Zr / 2 a0
3/ 2
⎛ Zr Z 2 r 2 ⎞ − Zr / 3a0
⎟e
⎜⎜ −
2 ⎟
⎝ a0 6 a0 ⎠
Función radial 2p
Función radial 3p
Esfera nodal
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Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo p (1 plano nodal)
–Tamaño-
r 2 R 2 (2 p )
r 2 R 2 (3 p )
Zr/a0
Radios de máxima
probabilidad
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Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo p (1 plano nodal)
– Forma
⎛ 3 ⎞
Y1, ±1 ( p x ) = ⎜
⎟
4
π
⎝
⎠
⎛ 3 ⎞
Y1, 0 ( p z ) = ⎜
⎟
4
π
⎝
⎠
1/ 2
senθ cos ϕ
1/ 2
cos θ
Ψ (2 p z ) = R2,1Y ( p z )
Ψ (2 p x ) = R2,1Y ( p x )
Ψ (2 p y ) = R2,1Y ( p y )
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⎛ 3 ⎞
Y1, ±1 ( p y ) = ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
1/ 2
senθsenϕ
Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo d (2 planos nodales)
R3, 2 =
⎛Z
⎜⎜
81 30 ⎝ a 0
4
⎞
⎟⎟
⎠
7/2
r 2 e − Zr / 3a0
Funciones angulares 3d
⎛ 5 ⎞
Y3, 0 (d z 2 ) = ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
1/ 2
(3 cos
2
θ − 1)
1/ 2
⎛ 10 ⎞
Y3, ±1 (d xz ) = ⎜
⎟ (senθ cos θ cos ϕ )
⎝ 4π ⎠
1/ 2
10
⎛
⎞
Y3, ±1 (d yz ) = ⎜
⎟ (senθ cos θsenϕ )
⎝ 4π ⎠
(
Y3, ±2 d x 2 − y 2
Función radial 3d
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)
⎛ 5 ⎞
=⎜
⎟
4
π
⎝
⎠
⎛ 5 ⎞
Y3, ±2 (d xy ) = ⎜
⎟
⎝ 4π ⎠
1/ 2
1/ 2
(sen θ cos 2ϕ )
2
(sen θsen2ϕ )
2
Átomos hidrogenoides
- Orbitales de tipo d (2 planos nodales)
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Átomos hidrogenoides
Comparación de la función de onda de los orbitales s, p, d... :
Cerca del núcleo los orbitales,
•p son proporcionales a r
•d son proporcionales a r 2
•f son proporcionales a r 3
Los electrones son
progresivamente excluidos de las
cercanías del núcleo a medida
que aumenta su momento
angular orbital.
Solo los orbitales s tienen un
valor finito no nulo en el núcleo.
Galería de Orbitales Atómicos en la Universidad de Shefield:
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/
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Átomos hidrogenoides
Momento Angular de Espín, S
El espín es un momento angular intrínseco, propio y característico de
cada partícula que no tienen una imagen clásica
(Puede explicarse a partir de la Mecánica Cuántica Relativista (Dirac))
|S| = √s(s+1) h ; Para el electrón s=1/2
Sz = msh ; ms=±1/2
Cuarto número cuántico: ms
ms=+1/2 estado α
ms= -1/2 estado β
Símil de los estados α y β del electrón
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Experimento de Stern-Gerlach. Al pasar a través de
un campo magnético inhomogéneo los átomos de
hidrógeno en el estado fundamental se orientan
(responden al campo) de dos formas, con igual valor
del momento y signo contrario. El momento
magnético solo puede venir del espín, ya que l=0
Átomos hidrogenoides
El momento angular de espín del electrón:
Afecta a la energía total del estado electrónico
atómico, lo que se refleja en el espectro del átomo
(desdoblamiento de las líneas espectrales).
Es crucial para entender la estructura y distribución
electrónica en los átomos polielectrónicos.
La función Orbital-Espín
La función de onda total del electrón debe tener en cuenta tanto la
contribución espacial como la de espín
Función Orbital-Espín = Función Orbital (n,l,m).Función Espín (ms)
Bibliografía
Química General.Vol 1. Enlace Químico y Estructura de la Materia. 8ª Ed.
R.H. PETRUCCI, W.S. HARWOOD, F.G. HERRING. Prentice Hall. Madrid. 2002
Química y Reactividad Química. 5ª ed. J. C. KOTZ, P.M. TREICHEL. Ed.
Paraninfo-Thomson Learning. Madrid. 2003
Fisicoquímica, I. N. LEVINE, 4a edición, Ed. Mc Graw Hill, 1996
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