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QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
ESPIN
1922 Stern y Gerlach. Pasaron un haz de vapores de Ag por un campo
magnético. El haz se dividió en dos.
1925 Uhelebeck y Goudsmit. Proponen que el electrón tiene, además del
“momento angular orbital” (L) debido al movimiento alrededor del núcleo, un
“momento angular de espín” (s) propio, intrínseco. También con dos propiedades
medibles: el cuadrado del spin total y la componente z.
Equivalencias:
L(L̂2 , L̂ z , , m )  S(Ŝ2 , Ŝz , s, mS )

Sˆ 2   s ( s  1) 2 
Ŝ z  ms 
n = 1, 2, 3, … ;
s=½
→
l<n ;
ms = +1/2ħ ó
|ml| ≤ l
-1/2ħ.
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QUIMICA CUANTICA:
NUMEROS CUANTICOS
Con el espín aparecen 2 nuevos números cuánticos (s y ms). Dado que s solo
aporta un único valor (1/2, indicativo del tipo de partícula) nos quedan 4 números
cuánticos para especificar el estado de un electrón:
n:
l:
ml:
ms:
número cuántico principal
número cuántico del momento angular orbital
número cuántico de la componente z del momento angular orbital
número cuántico de la componente z del momento angular de espín
El espín agrega una parte a la función de onda total:
(α para m s 
Para Hidrógeno con ms= ½
SPIN ORBITAL:
1
2
y β para m s  - 12 )
  ( Rn ,l    ,m   m )  
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QUIMICA CUANTICA:
ATOMO DE HELIO
Dos electrones y núcleo con carga nuclear +2.
Para la energía cinética se
2
2
2
2
  2  2  2
define el Laplaciano :
x
Luego la energía cinética:
La energía potencial tiene tres
componentes coulombianas:
Reemplazando en Ĥ:
y
z
r2
e2
+2
r1
r12
e1
2
2


2
Kˆ  
1 
 22
2
2
2e 2
2e 2
2e 2
ˆ
V 


40 r1 40 r2 40 r12
2 2 2 2
2e 2
2e 2
e2
ˆ
H 
1 
2 


2
2
40 r1 40 r2 40 r12
Y la Ecuación de Schrodinger:
 2 2 2 2
2e 2
2e 2
e2 
 
  ETot 
1 
2 


2

2

4

r
4

r
4

r
0 1
0 2
0 12 

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QUIMICA CUANTICA:
ATOMO DE HELIO
Agrupando el Hamiltoniano para cada electrón:
 2 2
2e 2    2 2
2e 2 
2e 2
ˆ




H  
1 
 
2 

40 r1   2
40 r2  40 r12
 2
Se asemeja a la suma de 2 hamiltonianos monoelectrónicos … salvo por el último
término que no puede separarse (r12 depende de la posición de ambos
electrones). Recibe el nombre de “correlación electrónica”.
La ausencia de separabilidad conduce a que “no existe solución analítica exacta
para átomos mayores que H” (el problema de 3 o más cuerpos no tiene solución).
La mecánica cuántica proporciona métodos aproximados que permiten
determinar energías, momentos, y otros observables con exactitud similar que
para el átomo de H.
Ejercicio: suponga que He es producto de dos funciones de onda
monoelectrónicas como las del H (es decir, ignore el término de correlación).
Se obtiene un resultado con error importante: 37%.
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QUIMICA CUANTICA:
ESPIN ORBITALES Y PRINCIPIO DE PAULI
En el ejercicio anterior se propuso que He = H1 x H2 con n=1 para los 2
electrones. Se trata de funciones similares a las del H, “orbitales hidrogenoides”.
Ambos en la capa 1 subcapa s: 1s.
Existe evidencia experimental que lo confirma (espectros).
Explicación. Supongamos que a los átomos multieléctronicos se les puede
asignar “orbitales hidrogenoides”, aproximados. Y que la función de onda sea el
producto de cada orbital ocupado, teniendo en cuenta la capa (n) y la subcapa (l)
( nl: 1s,2s,3p,3d,…). Además, ambos electrones pueden tener ms (+1/2, -1/2): ,
. Entonces para el átomo de He tendríamos las siguientes posibilidades:
He = H1 x H2
Espin total
1) He = (1s 1  ) (1s 2  )
 12  12  1
2) He = (1s 1  ) (1s 2  )
 12  12  0
3) He = (1s 1  ) (1s 2  )
 12  12  0
4) He = (1s 1  ) (1s 2  )
 12  12  1
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QUIMICA CUANTICA:
Evidencia experimental: El momento angular de partículas cargadas
interactúa con campos magnéticos. El espín es un momento angular. Se
puede determinar el espín empleando campos magnéticos. El
experimento dice que para el He el espín es igual a cero.
Nos quedan las funciones 2 y 3. Cuál ? Ambas ?
Sugerencia: un electrón en la función 2 y el otro en la función 3.
Experimentalmente no es posible distinguir a los electrones: son
indistinguibles.
Para obviar esto podemos describir a los electrones con una combinación
de ambas funciones. Por ejemplo:
(1s1 ) (1s 2  )  (1s1  ) (1s 2 )
He,1 =
1 
2 
He,2 =
1 
2 
(1s1 ) (1s 2  )  (1s1  ) (1s 2 )
Son aceptables las dos ?
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QUIMICA CUANTICA:
POSTULADO
1925 Wolfwang Pauli. Si el electrón 1 se intercambiara con el electrón 2 la
función de onda completa debe cambiar de signo: (1,2) = - (2,1)
Luego (1,2) es una función ANTISIMÉTRICA, propia de los fermiones
(espín ½)
“Las funciones de onda de los electrones deben ser antisimétricas respecto
al intercambio de electrones”.
Ejercicio verificar la antisimetría de las funciones anteriores.
Se encuentra que la segunda función cumple con la condición de antisimetría.
1929 J. C. Slater. Señaló que para representar las funciones de onda
antisimétricas se pueden usar determinantes:
He, 2
1 1s1α 1s1 

2 1s 2 α 1s 2 
Factor de normalización
1
2
Las propiedades de los determinantes garantizan la antisimetría y evitan que
haya 2 electrones con el mismo espín orbital (2 columnas iguales).
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EL ATOMO DE LITIO
Supongamos que los tres electrones están en la capa 1s:
(Una fila para cada electrón y el electrón se ubica en cada uno de los espínorbitales disponibles en este caso 1si 1si 1si )
1s1α 1s1  1s1α
1s1α 1s1  1s1 
1s 2 α 1s 2  1s 2 α o bien 1s 2 α 1s 2  1s 2 
1s 3 α 1s 3  1s 3 α
1s 3 α 1s 3  1s 3 
Igual a cero por tener dos columnas iguales. La función  resulta nula.
Se puede analizar también con los cuatro números cuánticos: Consecuencia del
principio de Pauli: Dos electrones no pueden tener los mismos cuatro
números cuánticos.
Para cada Orbital hay solo dos posibles funciones de Espín ( o .). Luego, a
cada orbital se pueden asignar 2 electrones como máximo. O bien, cada Espín
Orbital solo puede tener un electrón: Principio de exclusión de Pauli.
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DETERMINANTES DE SLATER:
Factor de normalización:
1
n!
Cada fila 1 electrón.
Cada orbital con espín  y con espín .
1s1α 1s1 
2s1α 2s1  ...
1s 2 α 1s 2  2s 2 α 2s 2  ...
1s 3 α 1s 3  2s 3 α 2s 3  ...
...
...
...
...
Ejercicio: Proponga el determinante de Slater para Li. Hay
degeneración?
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QUIMICA CUANTICA:
PRINCIPIO DE AUFBAU
(Construcción hacia arriba)
“La ocupación de los espín orbitales, en átomos polielectrónicos, se realiza de
manera producir la energía total menor para el átomo y no teniendo en cuenta la
energía del espín orbital individual”.
Además, la ocupación de los orbitales en un átomo se escribe mediante la
configuración electrónica , con superíndices para indicar el número de
electrones en cada subcapa. Para Be: 1s2 2s2 .
Regla de Hund: cuando hay orbitales degenerados, cada orbital se ocupa con un
electrón a la vez antes de aparear con el siguiente electrón. Ejemplo: Boro
1s2 2s2 2px1. Ejercicio C:
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El caso del K: Por qué 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s1
en lugar de 3d1 ?
La energía individual del orbital 4s es mayor que la del 3d.
Si se observan las graficas de probabilidad de estos orbitales se ve que el 4s
tiene máximos cerca del núcleo, se estabiliza el átomo, baja la energía total del
átomo.
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SOLUCIONES APROXIMADAS
Vimos que solo para el H hay solución exacta ( y E) y que para átomos
polielectrónicos se puede aproximar:
Z = H1 . H2 . H3 …
(Por ej. para C: C = 1s2 2s2 2p2)
La descripción de  resulta útil.
La descripción de E no es buena.
Para encontrar soluciones aproximadas la Química Cuántica dispone de
dos herramientas:
Teoría de Perturbación
Teoría de Variación.
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QUIMICA CUANTICA:
TEORÍA DE PERTURBACIONES
Hˆ Sistema  Hˆ Ideal  Hˆ Perturb.  Hˆ 0  Hˆ '
Ĥ 0
Corresponde a un sistema ideal, modelo. Conocido.
( 0)
(0)
E
Con autofunción
y
autovalor:

Tal que:
Ĥ '
Hˆ 0  (0)  E ( 0)  (0)

o
Corresponde a una pequeña perturbación.
Ej. para el He:


Hˆ He  Hˆ Hidr.  Hˆ Hidr. 
Que continúa siendo irresoluble.

*
E ( 0)    (0) Hˆ 0  (0) d
e2
40 r12
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TEORÍA DE PERTURBACIONES: LA ENERGÍA
Aplicando Hˆ Sistema que correspond e al sistema real sobre  (0)
que correponde al sistema ideal :
Hˆ
Hˆ Sistema  (0)  E Sistema  (0)
0

 Hˆ '  (0)  ESistema  (0)
Donde ESistema es el autovalor para la energía del sistema real.
Para muchas observaciones:


*
E    (0) Hˆ Sistema  (0) d
Reeplazando:

E    (0)

 Hˆ
*
0


 Hˆ '  (0) d 


*
*
   (0) Hˆ 0  (0) d    (0) Hˆ '  (0) d 


*
 E ( 0)    (0) Hˆ '  (0) d  E ( 0)  E (1)
Donde <E(1)> es la corrección de primer orden a la energía.
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TEORÍA DE PERTURBACIONES
Atomo de He:

E (1)   

(0) *
e2
40 r12
 (0) d
Usando métodos matemáticos aproximados se puede
evaluar la integral.
Se obtiene el valor de la energía con un error del 5,3%.
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TEORÍA DE PERTURBACIONES: LA FUNCIÓN DE ONDA
Con la función se cumple lo mismo:
Re al   ( 0 )   (1)
Dado que son muchas las funciones de onda del sistema ideal y forman un
“conjunto completo” de autofunciones con sus respectivos autovalores:
i ,Re al  i(0)  i(1)
De acuerdo con la teoría de perturbación: cada  real se puede expresar como la
 ideal más la sumatoria de las contribuciones del conjunto completo de 
ideales:
(0)
(0)
i ,Re al  i
  a jj
Los aj son los “coeficientes del desarrollo” y jse calculan mediante
aj 
Reemplazando:
(0) * ˆ '
(0)

H

i d
 j
E
(0)
i
i ,Re al  i( 0)  
j
E
ji
(0)
j
(0) * ˆ '
(0)

 j H i d
E
(0)
i
E
(0)
j
 j( 0 )
Los términos con Ei(0)  E (j0) (conocidos) son los que más aportan a la
corrección de la función de onda.
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA DE VARIACIONES
“Cualquier función de onda  “de prueba” que uno proponga para el
sistema tendrá una energía mayor, o a lo sumo, igual que la energía
verdadera del estado fundamental de dicho sistema”.
*

 Verd. Hˆ Verd.d

*
Verd.
Verd. d
E 0
* ˆ

 H  d
   d
*
E 0
Si las funciones están normalizadas:
*

 Verd. Hˆ Verd.d  E 0
* ˆ

 H  d  E 0
Otra forma: “en el caso de un sistema con operador Ĥ, funciones de onda
ver. y energía mínima E0, el teorema variacional afirma que para cualquier
función de onda de prueba  normalizada se obtendrá una energía E ≥ E0”.
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TEORIA DE VARIACIONES
PROCEDIMIENTO:
1) Proponer una función de prueba =(a) donde a es un parámetro variable.
2) Determinar la expresión de la E a partir de la Ec. de Schrödinger:
E   (a)* Hˆ (a) d
3) Minimizar E:
 E (a ) 
  a   0
Determinar y confirmar amin.
4) Calcular E = E(amin).
5) Llevar (amin) a la función =(amin) y calcular otros observables.
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Ejemplo: Átomo de He. Cada electrón no experimenta la carga total (+2) por
efecto de “pantalla”, sino Z’ (carga efectiva). Z’ es el parámetro que se toma como
variable.
Resolviendo se obtiene error de 1,9%.
Resultados para el He:
E(He) x 10-17 J
-1,265
-1,743
-1,198
-1.241
Método
Experimental
Aproximación H + H
Teoría de Perturbaciones (e2/4πεor12)
Teoría de Variaciones (Z’)
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TEORIA DE VARIACIONES LINEAL
Supone que la función de prueba i se puede expresar como una Combinación
Lineal de funciones j conocidas como “funciones base”:
Esta ecuación tiene muchos coeficientes a determinar, ideal para computadoras.
Ejemplo:
 i  ci ,1 1  ci , 2 2
1) Función de prueba
2) La energía:
* ˆ
 c   c   H c   c  d
 c   c   c   c  d
i ,1
1
i,2
2
i ,1
1
i,2
2
*
i ,1
Donde:
1
i,2
2
*
H 11   1 Hˆ 1 d
i ,1
1
i,2
 E0
2
S11   1 1 d
*
*
H 22   2 Hˆ 2 d
S 22   2 2 d
*
H 12  H 21   2 Hˆ 1 d
S12  S 21   2 1 d
*
*
Las H son las integrales de energía promedio y la S integrales de solapamiento.
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA DE VARIACIONES LINEAL
Sustituyendo:
ci2,1 H 11  2ci ,1ci , 2 H 12  ci2, 2 H 22
c S  2ci ,1ci , 2 S12  c S 22
2
i ,1 11
3) Condición de mínimo:
Derivando:
2
i,2
 E 

0

c
 i,1 
;
 E prueba  E  E0
 E 

0

c
 i,2 
( H 11  ES11 )ci ,1  ( H 12  ES12 )ci 2  0

( H 21  ES 21 )ci ,1  ( H 22  ES 22 )ci 2  0
Se trata de un sistema de ecuaciones homogéneas con una solución trivial (ci,j=0)
y otra cuando el determinante de los coeficientes, “determinante secular”, es
igual a cero:
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA DE VARIACIONES LINEAL
Determinante Secular:
H 11  ES11
H 12  ES12
H 21  ES 21
H 22  ES 22
0
Resolviendo el det. se obtiene una ecuación en E2 con dos raices (E1,E2).
Se obtienen también dos cocientes para los coeficientes:
ci ,1
ci , 2

H 12  ES12
H 11  ES11
;
ci ,1
ci , 2

H 22  ES 22
H 21  ES 21
Los valores de los coeficientes se obtienen
reemplazando Hij , Sij , E1 , E2 y aplicando la
condición de normalización:  cij2 = 1.
Con los valores de los coeficientes individuales
se obtienen E, para el estado fundamental y
E, para el primer estado excitado.
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Teoría de Variaciones: adecuada para calcular la E. Las
funciones se proponen de manera que faciliten el cálculo
aunque no respeten específicamente el problema físico
(gaussianas). Se pueden poner muchas funciones, ideal para
computadoras.
Teoría de Perturbaciones: se puede definir el Ĥ de
perturbación de manera que represente mejor el problema
físico con modelos que se conocen previamente
(interacciones: electrostáticas, magnéticas, dipolo-dipolo,
etc.).
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QUIMICA CUANTICA:
MOLECULAS SIMPLES. APROXIMACION DE BORN OPPENHEIMER
El problema es más complicado en moléculas que
r2
een los átomos. La molécula más sencilla es H2+:
H+
El Hamiltoniano comprende la energía cinética de cada
Núcleo, la energía cinética del electrón y tres potenciales
de interacción, e-núcleo1, e-núcleo2 y repulsión
núcleo- núcleo:
R
H+
2 2
2 2
2 2
e2
e2
e2
ˆ
H 
 p1 
 p2 
 


2m p
2m p
2me e 40 r1 40 r2 40 R
La  exacta contempla el movimiento simultáneo del electrón y los 2 núcleos
(problema de muchos cuerpos).
Aproximación de Born-Oppenheimer: “Debido a que mp =1836 me los núcleos
se mueven muy lento respecto a los electrones. Por ello el movimiento de los
núcleos se trata de manera independiente de los electrones”.
molécula = N x el
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QUIMICA CUANTICA:
La aproximación anterior conduce a dos Ecuaciones de Schrodinger:
1) Electrónica
 2 2
e2
e2
e2 
 
el  Eel el
e 


2
m
4

r
4

r
4

R
e
0 1
0 2
0


2) Nuclear
 2

2
2 2
2
2

 p1 
 p2 
 e  E el ( R) N  E N N
 2m

2m p
2me
p


R se considera fijo en la primera ecuación y
se calcula Eel(R). Repitiendo el cálculo para
varios R se obtiene una curva de energía
potencial:
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO “ORBITALES MOLECULARES”
Después de la Aproximación de B-O queda por resolver la ecuación 1).
En átomos los electrones se describen con OA ().
En moléculas los electrones se describen con OM ().
A + B
Mol
OA(A) + OA(B)
OM(Mol)
La teoría LCAO-MO propone:
 OM   ci OAi
 H   c1H (1)  c2 H ( 2)
Para H2+:
2
Dado que c1=c2 y proponiendo dos combinaciones:
 H  ,1  c1 H (1)  H ( 2) 
 H  , 2  c 2 H (1)  H ( 2) 
2
2
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO (H2+)
En la figura se ve que las funciones
atómicas son esféricas y las
moleculares cilíndricas.
Los coeficientes se determinan,
como en variación, mediante el
determinante secular. Se debe tener
cuidado con las integrales ya que
H(1) H(2) son funciones centradas
en distintos átomos.
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO (H2+)
LAS FUNCIONES DE ONDA
Se plantea la condición
*H ,1 H ,1d  1  c12  H* (1) H (1)  2H* (1) H ( 2)  H* ( 2) H ( 2) d

de normalización:

2

2
1  c12 (2  2 H* (1) H ( 2) d  c12 (2  2S12 )
1
c1 
(2  2S12 )
Despejando:
De igual manera:
c2 
1
(2  2S12 )
Con los coeficientes se obtienen las funciones de onda:
 H  ,1 
2
 H  ,2 
2
1
(2  2 S12 )
1
(2  2 S12 )

H (1)

H (1)
 H ( 2 ) 
 H ( 2 ) 
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QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO (H2+)
LA ENERGIA
Se plantea la expresión:
*
E1    *H  ,1 Hˆ  H  , 2 d   H (1)  H ( 2)  Hˆ H (1)  H ( 2) d 

2
2

E1  c12  H* (1) Hˆ H (1)  H* (1) Hˆ H ( 2)  H* ( 2) Hˆ H (1)  H* ( 2) Hˆ H ( 2) d
Se definen:
H 11  H 22   H* (1) Hˆ H (1) d   H* ( 2 ) Hˆ H ( 2) d
H 21  H 12   H* (1) Hˆ H ( 2 ) d   H* ( 2) Hˆ H (1) d
Donde H11 y H22 son “energías de OA”, mientras que H12 y H21 son “energías de
resonancia” y no tienen equivalente clásico.
Se reemplaza:
E1 
H 11  H 12
1  S12
 H  ,1 
E2 
H 22  H 12
1  S12
 H  ,2 
2
2
1
(2  2 S12 )
1
(2  2 S12 )

H (1)

H (1)
 H ( 2 ) 
 H ( 2 ) 
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO
PROPIEDADES DE LOS OM
Para el H2+ :
1) los OM poseen simetría cilíndrica.
2) los OM con energía menor que la energía de los OA separados se llaman
“OM enlazantes”.
3) los OM con energía mayor que la energía de los OA separados se llaman
“OM antienlazantes”.
A los OM que tienen simetría cilíndrica respecto al enlace se los llama
OM sigma . Pueden ser de dos tipos
 : OM sigma enlazante. *: OM sigma antienlazante.
Orden de enlace: n=(n enlazantes – n antienlazantes)/2
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
TEORIA LCAO-MO (H2+)
En el estado fundamental (1s)1 n=1/2, la molécula
existe y tiene medio enlace. Si el electrón ocupara el
OM antienlazante (*1s)1 entonces n<0, no existe.
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
OMs EN OTRAS MOLECULAS DIATOMICAS
Un electrón en una molécula diatómica (2 núcleos) está representado por la
función de onda  del H2+ :
 H  ,1 
2
1
(2  2S12 )

H (1)
 H ( 2) 
Esta  se usa para representar cada electrón en moléculas diatómicas
multielectrónicas.
Para H2 se usa el producto de dos funciones de onda espacial y una función de
espín antisimétrica:
 H2 
1
H (1)  H (2)  H (1)  H ( 2)  1  (1) (2)   (2) (1)
(2  2S12 )
2
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
Configuración  de la molécula H2:
 H 2  ( 1s) 2
Regla: “solo se pueden combinar
orbitales de energía similar”.
Ejemplo, molécula Li2.
Configuración:
 Li2  ( 1s) 2 ( *1s) 2 ( 2s) 2
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
ORBITALES P
Frontales: sigma .
Laterales: pi .
Orden de energía:
Li2 hasta N2 , por mayor interacción sp (átomos pequeños) y relaciones de
simetría se produce ordenamiento de la energía distinto que en átomos mayores.
El diamagnetismo del O2 se debe a dos electrones desapareados sobre
orbitales  degenerados.
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
RESUMEN
Bases y conceptos que fundamentan la Química Cuántica
1.1 Precuántica
Mecánica Clásica, limitaciones.
Fenómenos explicados en base a nuevos conceptos.
Formulación de la Mecánica Cuántica (Scrhodinger-Heinsenberg).
1.2 La función de onda 
Postulados.
Principio de incertidumbre.
La Ecuación de Schrodinger.
Normalización, ortogonalización.
Degeneración. Efecto túnel.
Partícula en una caja (STM).
QUIMICA CUANTICA
QUIMICA CUANTICA:
RESUMEN
Bases y conceptos que fundamentan la Química Cuántica
1.3 Osciladores y Rotores
Masa reducida.
El átomo de hidrógeno.
Orbitales hidrogenoides.
1.4 Orbitales atómicos y moleculares
Átomo de He y espín orbitales.
Principios de Pauli y de aufbau.
Teorías: de perturbación y de variación.
Aproximación de Born-Oppenheimer.
Teoría LCAO-MO.