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NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
55
CAPÍTULO IV
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMÁTICA
4.1 INTRODUCCIÓN
Los números Complejos constituyen el mínimo conjunto C, en el que se
a donde a R . Un número complejo se
puede resolver la ecuación x 2
escribirá como:
(a, b)
a bi
Donde
1 ; i2
i
1
4.2 ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
(a, b)(c, d )
( a , b ) ( c, d ) ( a c, b d )
( a bi) ( c di) ( a b) ( c
(ac bd , ad bc)
(a bi)(c di)
(ac adi bci bdi 2 )
d )i
(ac bd ) (ad
bd )i
4.3 SUSTRACCIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS
Sean z, w dos números complejos
z
z
w
w
z
( w)
1
z w
Donde
Si w
x
yi entonces w
x
1
x
2
y
y
2
x
2
y2
i
Denominado simétrico multiplicativo
4.4 PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS
 Los números reales son un subconjunto propio de los números
complejos.
ÁLGEBRA I
56
 Los complejos de la forma (a,b) en los cuales b ≠ 0 se denominan
números imaginarios y si a = 0 se trata de un número imaginario
puro.
a , b ( a , b) ,
 El complejo conjugado de z (a, b) es z
todo número real es su propio conjugado, mientras que el
conjugado de un imaginario puro es su opuesto.
 La suma y el producto de dos complejos conjugados es un número
real.
 El cuadrado de todo número imaginario puro es un número real
negativo.
. Si z
Ejemplo 1
a)
2 3i ; w 1 4i
v
2i hallar:
z w
(2 3i ) (1 4i )
2 1 (3 4)i
3 i
b) z w
( 2 3i )(1 4i ) ( 2 1 3( 4) ( 2( 4) 3(1)) i
( 2 3i )(1 4i ) 14 5i
( 2 12 ) ( 8 3)i
c) z z
(2 3i )(2 3i )
e) w
(4 9) ( 6 6)i
w
(1 4i ) (1 4i )
d) v v
2
v2
( 2i )( 2i )
e)
13
4i 2
4
z
w
z
w
z w
1
17
11
i
17
( 2 3i )
10
17
1
( 2 3i )
4
i
17
1
12
4
42
2
17
12
12
17
42
8
17
i
3
i
17
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
57
4.5 REPRESENTACIÓN TRIGONOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
Si establecemos un sistema de ejes cartesianos en el cual el eje y sirve para
representar la parte imaginaria del número complejo, tenemos:
y
r
z x iy
x r cos
y r sin
z r (cos
P(x+yi)
r
θ
x2
r
x
i sin )
y2
z
Conocida como la forma trigonométrica o forma polar de un número
complejo, donde r se conoce como el módulo de z y Ө como el
argumento.
4.6 TEOREMA
El valor absoluto del producto de dos números complejos es el producto
de sus valores absolutos y el ángulo del producto es la suma de sus
ángulos.
Demostración: Sea
z1 r1 cos 1 i sin 1
z2
z1z2
r1 cos
z1z2
r1r2 cos
z1z2
i sin
1
1
1 cos 2
r1r2 (cos
r2 cos
i 2 sin
1 cos 2
z1z2
r2 cos
sin
i sin
2
i sin
2
1 sin 2
r1r2 cos(
1
2
i
1 sin 2 )
2)
2
sin
i(sin
i sin(
1 cos 2
1 cos 2
1
cos
1 sin 2
cos 1 sin
2)
2
4.7 TEOREMA
El valor absoluto del cociente de dos números complejos es el cociente
ÁLGEBRA I
58
de sus valores absolutos y el ángulo del cociente es el ángulo del
numerador menos el ángulo del denominador.
Demostración: Sea
z1
r1 cos
1 cos 2
z1
z2
i sin
1
z2 r2 cos
r1 cos 1 i sin
r2 cos 2 i sin
z1
z2
z1
z2
r1 cos
i sin
cos
cos
2
1
2
sin
1 sin 2 )
r2 cos2 2
r1
cos(
r2
2
2
2
i(sin
sin
2)
1
1
i sin
i sin
2
2
1 cos 2
cos 1 sin
2
2
2
i sin(
2)
1
Ejemplo 2
Si z1
2 cos
4
i sin
4
;
z2
4 cos
3
4
i sin
3
4
Hallar
a) z1 z 2
z1 z2
z1 z2
z1 z2
b)
2 cos
8 cos
4
4
3
4
i sin
4
i sin
4 cos
4
3
4
3
4
i sin
3
4
8(cos
i sin )
8
z1
z2
z1
z2
2 cos
4
3
4 cos
4
i sin
4
3
i sin
4
1
cos
2
4
3
4
i sin
4
3
4
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
z1
z2
1
cos
2
2
i sin
59
i
2
2
4.8 FÓRMULA DE EULER
La exponencial compleja
ei
cos
i sin
Con Ө Є R es la fórmula de Euler.
Si
z
x iy
r (cos
rei
i sin )
La potencia enésima será:
zn
( x iy)n
r n (cos
zn
r n (cos
i sin )n
i sin )n
r n ein
Que se conoce como el Teorema De Moivre
Ejemplo 3
6
Calcular 1 i 3
Solución
3
2
r
1
3
2 ; arctan
60º 300º
1
Por el teorema De Moivre
z6
r 6 (cos6
z6
i sin 6 ) 26 cos1800º i sin1800º
64 cos0º i sin 0º
6
1 i 3
64
64
ÁLGEBRA I
60
1
4.9 RAÍCES
Para cualquier entero positivo n se tiene:
r (cos
i sin )
z
La ecuación
n
A
n
r n (cos n
(cos
i sin n )
i sin )
Donde n es un entero positivo y A es cualquier número complejo, tiene
exactamente n raíces, si z r (cos
i sin ) es una de ellas se tiene
r n (cos n
i sin n )
(cos
i sin )
Donde
rn
1
r
n
n
2k
2k
n
n
El número de raíces distintas es el de los ángulos del conjunto
n
2k
n
que no terminan en el mismo lado. Para cualquier entero positivo
k
nq m ; 0 m n
Es evidente que
n
2k
n
y
n
2m
n
Tienen lados terminales coincidentes. Por tanto hay n raíces distintas dadas
por
1
n
cos
n
2k
n
i sin
n
2k
n
; k
0,1, 2,3,......, n 1
Estas n raíces son coordenadas de n puntos equidistantes sobre un círculo
de centro en el origen y radio
n
A . Si entonces z
n
A (cos
i sin )
es cualquiera de las raíces enésimas de A, las otras raíces se obtendrán
sucesivamente aumentando el ángulo
en 2
n
y reduciendo módulo 2π
cuando quiera que el ángulo sea mayor a 2π.
1 AYRES FRANK, Álgebra Moderna. Edit McGraw-Hill (Colección Schaum) 1969.Pag. 77
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
61
Las n raíces enésimas de la unidad son
2
n
cos
i sin
2
n
;
,
2
3
,
4
,
n 1
,......,
,
n
1
Ejemplo 4
Hallar las raíces cuartas de z 1 i 3
Observe que el módulo y el argumento de este ejemplo ya fueron hallados
en el ejemplo anterior y son:
3
2
r
1
3
2 ; arctan
60º 300º
1
La expresión que nos permite hallar la raíz enésima es
n
n
z
r cos
k 360º
n
i sin
k 360º
n
i sin
300º k 360º
4
Para el ejercicio planteado tendremos:
4
k
0
z
4
2 cos
4
w0
300º k 360º
4
2 cos 75º
i sin 75º
4
2(0.259 i0.966)
4
2( 0.966 i0.259)
k
1
w1
4
2 cos 115º
i sin 115º
k
2
w2
4
2 cos 255º
i sin 255º
4
2( 0.259 i0.969)
2 cos 345º
i sin 345º
4
2(0.969 i0.259)
k
3
w3
4
Si los valores de k se tomasen a partir del uno la última raíz coincidiría con
la hallada en primer término para k = 0 , es decir, w0 = w4
k
4
w4
4
2 cos 75º
i sin 75º
4
2(0.259 i0.969)
En el plano complejo se puede representar gráficamente:
ÁLGEBRA I
62
w0=w4
w1
75º
w3
w2
Ejemplo 5
Encuentre las raíces cúbicas de la unidad
Sean w1 , w2 , w3 las raíces buscadas, entonces:
w1
w2
w3
3
2
2
i sin
3
3
4
4
2
cos
i sin
3
3
6
6
cos
i sin
cos 2
3
3
cos
1
3
i
2
2
1
3
i
2
2
i sin 2
1
4.10 RAÍCES PRIMITIVAS DE LA UNIDAD
Una raíz enésima z de 1 se dice primitiva si, y sólo si,
zn
1 con 0 m
n
Es decir, una raíz se considera primitiva si, multiplicada por si misma un
número menor de veces que el grado de la raíz no reproduce la unidad.
Ejemplo 6
Determine cuáles de las raíces cúbicas de la unidad son primitivas
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
1
3
i
2
2
w1 w1
w1 w1
63
1
3
i
2
2
1
4
3
4
i
2 2 3
i
4
4
1
3
i
2
2
1
3
3
i
4
4
Podemos observar que la raíz w1 es una raíz primitiva
w2 w2
1
3
i
2
2
1
3
i
2
2
w2 w2
2 2 3
i
4
4
1
4
3
4
1
3
i
2
2
i
3
3
i
4
4
1
La raíz w2 es también una raíz primitiva de la unidad.
4.11 SUMATORIA
Es el símbolo que se utiliza para abreviar una suma que sigue una ley de
formación, por ejemplo, la suma de los números naturales
1 2 3 4 5 ............... n
Se puede abreviar como
n
i
i 1
Que se lee como, sumatoria de los i que varían desde 1 hasta n
4.11.1 PROPIEDADES
n
n
n
ai bi
ai
i 1
i 1
n
n
aai
i 1
bi
i 1
a
ai
donde a
cte.
i 1
Ejemplo 7
6
2i 2 4 6 8 10 12
i 1
n
i 3 13 23 33 ......... n3
i 1
ÁLGEBRA I
64
Ejemplo 8
n
i
( 1)i
i
( 1)1
1
( 1) 2
2
( 1)3
3
.....
( 1) n
n
Ejemplo 9
Hallar la suma de los cuadrados de los n primeros números naturales
n
i 2 12
22 32
42 ....... n 2
i 1
El cubo de un binomio viene dado por:
( x 1)3
x3 3x 2 3x 1
x3 ( x 1)3
3x 2 3x 1
Por tanto:
n3 (n 1)3
3n 2 3n 1
x
n
x
n 1
(n 1)3 (n 2)3
x
n 2
(n 2)3 (n 3)3
3(n 1) 2 3(n 1) 1
3(n 2) 2 3(n 2) 1
……………………………………………………..
2
23 (1)3
x 1
13 (0)3
x
3(2) 2 3(2) 1
3(1) 2 3(1) 1
Sumando todas estas ecuaciones vemos que los segundos términos de cada
ecuación del primer miembro se cancelan, mientras que en el segundo
miembro aparecen: las sumatoria de los cuadrados menos la sumatoria de
los naturales mas n veces uno, por tanto:
n
n3
n
i2 3
3
i 1
n
i
i 1
1
i 1
La sumatoria de los números naturales es la suma de una progresión
aritmética conocida, por tanto:
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
n
n3
i2 3
3
i 1
65
n(n 1)
n
2
n
i
n
i2
3
i 1
n(n 1)
n(n 1)
n(n 2 1) 3
2
2
1
n(n 1)
3n
n(n 1)(n 1) 3
(n 1) n(n 1)
2
2
i2
3
n3 n 3
4.12 PRODUCTORIO
Denota el producto de n términos de una sucesión
n
ai
a1 a2 a3 a4 ....... an
i 1
Y goza de la siguiente propiedad
n
log
n
ai
i 1
log ai
ai
0
i 1
4.13 INDUCCIÓN MATEMÁTICA
El principio reinducción matemática proporciona un método
demostración por recurrencia de varias aplicaciones en matemática
de
“Este principio afirma el poder razonar por recurrencia. Compendia casi
todo el pensamiento matemático, todo lo que hacemos cuando construimos
agregados complejos a partir de elementos simples. Es como lo destacó
Poincaré „ a la vez necesario al matemático e irreductible a la lógica‟. El
enunciado del principio es: „Si una propiedad es verdadera para el número
uno y si demostramos que es verdadera para n+1, considerando que lo es
ÁLGEBRA I
66
también para n, entonces será verdadera para todos los números naturales‟.
La inducción matemática no deriva de la experiencia, sino que mas bien
constituye una propiedad de la mente, intuitiva, inherente y casi
instintiva:‟lo que hemos hecho una vez, lo podremos hacer nuevamente‟.”2
Hipótesis
La proposición se cumple para n=1
Por tanto se cumple para n=h
Tesis
Debe demostrarse que se cumple para n=h+1
La demostración consiste en tomar la fórmula que es válida para n = h,
añadir un termino más a esta fórmula y demostrar que es igual a la fórmula
con n = h + 1
Ejemplo 10 Demostrar por inducción
n
i 1
i
2i
n 2
2n
2
Verificamos la fórmula para n = 1
1
1 2
2
1
2
21
1 1
2 2
2
3
2
Suponemos que la fórmula es verdadera para n = h
1
21
2
22
......
h
2h
2
h 2
2h
Debemos demostrar que se cumple para n = h + 1
1
21
2
22
......
h 1
h 3
2
h 1
2
2h 1
Hay que demostrar que:
2
h 2
2h
h 1
h 3
2
h 1
2
2h 1
2 Kasner Edgard y Newman James, LAS MATEMÁTICAS Y LA IMAGINACIÓN Edit. UNAM
1967, 2008 Pag. 27
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
2(h 2) (h 1)
2h 1
2h 4 h 1
h 3
2
2
h 1
2
2h 1
lqqd.
h 3
h 3
2
2
2h 1
2h 1
2
2
h 3
2h 1
Ejemplo 11 Demostrar por inducción
n
i2
i 1
n(n 1)(2n 1)
6
Verificamos para n = 1
1(1 1)(2 1)
6
1
6
1
6
Suponemos verdadera para n = h
h
i2
i 1
h(h 1)(2h 1)
6
Demostramos para n = h + 1
h 1
i2
i 1
(h 1)(h 2)(2(h 1) 1)
6
Hay que demostrar que:
h(h 1)(2h 1)
(h 1)(h 2)(2(h 1) 1)
(h 1)2
6
6
2
h(h 1)(2h 1) 6(h 1)
(h 1)(h 2)(2(h 1) 1)
6
6
(h 1) h(2h 1) 6(h 1)
(h 1)(h 2)(2(h 1) 1)
6
6
2
(h 1) 2h 7h 6 (h 1)(h 2)(2(h 1) 1)
6
6
67
ÁLGEBRA I
68
(h 1)(h 2)(2h 3)
6
(h 1)(h 2)(2h 3)
6
Ejemplo 12 Demostrar por inducción
n
3i
i 1
3 n
(3 1)
2
Verificamos para n = 1
3
3 1
(3 1)
2
3
2 3
2
Suponemos que la fórmula se verifica para n = h
h
3i
3 h
(3 1)
2
3i
3 h
(3
2
i 1
Para n = h + 1 se tiene:
h 1
i 1
1
1)
Debe demostrarse que:
3 h
3 h1
(3 1) 3h 1
(3
1)
2
2
3h 1 3 h 1 3 h 1
3
(3
1)
2
2
2
1
3 3 h1
3h 1
1
(3
1)
2
2 2
3
3 3 h1
3h 1
(3
1)
2
2 2
3 h1
3 h1
(3
1)
(3
1)
2
2
Ejemplo 13
3
Demostrar que:
n
1
1
n
n
Verificamos para n=3
3 Rojo Armando, ÁLGEBRA I, Edit. El Ateneo 1975 Pag. 174
n 3
NÚMEROS COMPLEJOS E INDUCCIÓN MATEMATICA
3
1
1
3
3
69
3
3
4
3
3 2,37
Suponemos que la fórmula es correcta para n = h
h
1
1
h
h
Debemos demostrar que se cumple para h+1
h 1
h 1
1
1
h 1
Demostración
1
h 1
1
1
h 1
h
1
1
1
h 1
h 1
( a)
Es evidente que:
1
h 1
1
h
Sumando 1 a ambos miembros se tiene:
1
1
h 1
1
h
1
Elevando a la potencia h
1
1
1
1
h 1
h
1
h 1
1
h 1
h
1
1
h
1
1
h
h
1
h
1
h 1
(b)
ÁLGEBRA I
70
Igualando las ecuaciones (a) y (b) se tiene:
h 1
1
1
1
1
h
h 1
h
1
1
h 1
Y como
1
1
h
h
h
Multiplicando miembro a miembro estas dos últimas desigualdades se tiene:
1
h 1
1
h 1
1
h 1
1
h
h 1
1
1
h 1
1
h 1
h 1
h
1
h 1
h
h 1
1
1
h
1
1
h
h 1
h
(c )
h 1
Como
h
h h 1
h 1
1
h
h
h 1
h 1 (d )
Por transitividad de (c) y (d) se obtiene:
1
h 1
1
h
h 1
1
1
h 1
h
h 1
h 1
h 1
h 1 lqqd