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ISMAEL ABDERRAHAMAN PALMA
DANIEL CASTRO LARSSON
ELISA PÉREZ GARCÍA
1
1. ¿Por qué no son suficientes
los números reales ?
2
3
II-Definición
y
representación
gráfica
de un número
complejo
4
Un número complejo z es un par ordenado de números
reales x e y, escrito como:
z = (x,y)
(Notación en componentes o coordenadas cartesianas).
x se llama la parte real de z:
Re(z) := x
y se llama la parte imaginaria de z:
Im(z) :=y
El conjunto de números complejos, se denota por C:
C : ( x, y) : x, y 
Dos números complejos son iguales si y sólo si sus partes
reales e imaginarias son iguales:
(x1,y1) = (x2,y2) sii x1= x2 , y1= y2
5
(0,1) se llama la unidad imaginaria y se denota por:
i  (0 ,1)
Un número complejo z = (x,y) se escribe comúnmente
como notación algebraica o binómica:
z=x+iy
Si y ≠ 0, entonces z es un número imaginario
Si x = 0 (z = i y), entonces z se dice que es un imaginario puro.
Si y = 0 (z = x), entonces z se comporta como un número real.
Los números complejos x + i y e –x – yi, se llaman opuestos
Los complejos z = x +i y y z = x – iy se llaman conjugados
6
7
El plano complejo
z = (x,y)
(Plano z, de Argand o de Gauss)
Z
Eje imaginario
r

x
y
Eje real
8
Ejemplo:
Dibujar el número complejo z = -3-2i en el plano complejo
y
3
x
2
 3 2i
9
III- Forma binómica de un
complejo.
Operaciones
y
Propiedades
La suma, resta y multiplicación de números
complejos se realizan siguiendo las reglas
de las operaciones de los números reales y
teniendo en cuentas que i2 = - 1
10
Suma y producto de números complejos
z1  x1  iy1
Sean:
z2  x2  iy 2
Parte real
Parte imaginaria
Suma
z1  z2  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
Producto
z1 z2  ( x1x2  y1 y2 )  i( x1 y2  x2 y1 )
11
12
conjugado
El conjugado z de un número complejo z = x + i y
se define como:
z  x  iy
y
z
x
y
z
“La partes imaginarias son opuestas”
Gráficamente el
conjugado
es una reflexión respecto
al eje real.
13
conjugado
z  x  iy
zz
Es sencillo
demostrar
que:
z1  z2  z1  z2
z1 z2  z1 z2
z1  z2  z1  z2
z1 / z2  z1 / z2
z z  ( x  iy )( x  iy )  x  y
2
2
14
opuesto
El opuesto  z de un número complejo
z = x + i y se define como:
 x  iy
y
z
z
x
Gráficamente el
opuesto
es una reflexión
respecto al punto (0,0)
15
La resta y la división se definen como operaciones
inversas de la suma y la multiplicación respectivamente
Resta (operación inversa a la suma)
z1  z2  z
¿Qué es z ? z + z2 = z1
z  ( x1  x2 )  i( y1  y2 )
División (operación inversa al producto)
z1
¿Qué es z ? Es un número complejo tal que:
z
z z2 = z1, siempre que z20.
z
2
16
17
Ejemplos:
Sean z1=18 + 3i
z2 = -7 + 2i
Re(z1) = 18,
Im(z1) = 3,
Re(z2) = -7
Im(z2) = 2
Calcular:
z1+z2 = 11 + 5i,
z1-z2 = 25+i
z1z2 = (18+3i)(-7+2i) = -132 + 15i
18
Ejemplos:
(1)
División: z1=18 + 3i
z2 = -7 + 2i
z1 (18  3i )( 7  2i )
(
18

3
i
)(
7
2
i
)
120
57
i

 

2
2
z 2 (7  2i )( 7  2i )
7 2
53
z1 z2  (18-3i )(-7-2i )  -132-15i  z1 z2
z1 (18  3i )(-7  2i )
-120  57i  z1 


  
2
2
7 2
53
z2
 z2 
(2) Hallar el inverso de i:
1 1 i i
  
 i
i i i 1
19
Suma y resta de números complejos
en el plano complejo
y
z1
z2  z1
z2
z1  z2
x
En la suma (y la resta)
los números complejos
se comportan como vectores
20
Potencias de i
i  1
2
i 3  i
i 1
4
i
1
i i
5
1
i 6  1

i
Por ejemplo:
i  (i )  i  1(1)  1
254
4 63
2
21
Ejemplos:
(1)
i 2  (0  i)(0  i)  (0  1)  i(0  0)  1
De modo que podemos sustituir siempre:
i  1
2
i i 
(2)
1 1 

1

2
 1
Esto nos permite una manera práctica de operar.
Por ejemplo:
(4  5i )( 2  3i )  [4  2  (5i )  3i ]  [4  3i  (5i )  2]
 (8  15)  i (12  10)  23  2i
22
Propiedades algebraicas
La suma y el producto dotan
a C de estructura de cuerpo.
Ley de clausura:
z1 + z2 y z1 z2 pertenecen a C.
Ley conmutativa:
z1 + z2 = z2 + z 1
z1 z2 = z 2 z 1
Ley asociativa:
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)
(z1 z2) z3 = z1 (z2 z3)
Ley distributiva:
z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3
23
0+z = z+0 = z (Neutro para la suma)
z +(-z) = (-z)+z = 0 (Opuesto para la suma)
z ·1 = 1 · z = z (Identidad para el producto)
z · z-1 = z-1 · z = 1 (Inverso para el producto)
(Para todo z distinto de 0)
{C,+,·} es un cuerpo.
No es posible ordenar el conjunto de los números complejos.
Carecen de sentido expresiones como z > 0 o z1 < z2
24
IV- FORMA POLAR Y
TRIGONOMÉTRICA DE
UN COMPLEJO
25
Forma Polar de un número
complejo
26
Forma trigonométrica de un
número complejo
27
28
Forma polar y trigonométrica
A partir de las coordenadas polares (r,) tenemos:
x  r cos 
z
r

x
y  r sin 
 z  x  iy
y
Forma trigonométrica
z  r cos  i sin  
 r cos   ir sin 
z  r
r 0
Forma polar
Utilizamos el
argumento principal
29
Ejemplo:
y
Escribir el siguiente número complejo z1=1+i,
en forma polar y trigonométrica:
módulo:
r1  z1  (1) 2  (1) 2  2
z1 1  i
r1
2
1
argumento:
1
x
1
arg z1  arctan  
1
 { / 4  2n } (n  0,1,)
1  Arg( z1 )   / 4



z1  2  cos  i sin 
4
4

z1  2  / 4
30
V- Operaciones en
forma polar
31
Multiplicación
m  m´  mm´  
z1 z2  r1r2[cos(   )  i sin(    )]
z  z1 z2  r1 cos   i sin  r2 cos   i sin  
 r1r2 [cos  cos   sin  sin   
isin  cos   cos  sin  ]
 r1r2 [cos(   )  i sin(    )]
32
Producto de números complejos en el plano complejo
z
z  z1 z2
y
r  r1r2
z2
r2
  

r1
z1

x
33
y
iz1
Multiplicar por i es
equivalente a
girar 90 grados
z1
x
3
2
i z1
i z1
iz  ir (cos   i sin  )
 r ( sin   i cos  )
 r[cos(   / 2)  i sin(    / 2)]
34
División
m m

m´ m´  
z1 r1
 [cos(   )  i sin(    )]
z2 r2
35
División de números complejos en el plano complejo
z1
z
z2
z1
y
r1

z2
r1
r
r2
r2
z

  
x
36
Potencias
m 
n
m
n
n
z  r [cos( n )  i sin( n )]
n
n
37
VI- FÓRMULA DE MOIVRE
Abraham de Moivre (1667 - 1754)
38
Fórmula de Moivre
Potencias enteras de complejos en forma polar:
z  r cos   i sin  
z 2  r 2 cos 2  i sin 2 

z 1  r 1 cos(  )  i sin(  ) 
z  2  r  2 cos( 2 )  i sin( 2 ) 

z n  r n cos n  i sin n 
cos   i sin  
n
n  0,  1, ...
 cos( n )  i sin( n )
39
El teorema de Moivre es una máquina de
generar identidades trigonométricas. Por ejemplo:
cos 3  i sin 3  (cos   i sin  ) 
3
cos   3i cos  sin   3 cos  sin   i sin 
3
2
2
3
Igualando las partes reales e imaginarias:
cos 3  cos   3 cos  sin 
3
2
sin 3  3 cos  sin   sin 
2
3
40
VII RADICACIÓN DE
COMPLEJOS.
REPRESENTACIÓN
GRÁFICA
41
Potencias iguales
Distintos números complejos pueden llevar al mismo
resultado al realizarles una misma potencia …
1640º
2100º
210º
2190º
2 280º
210   1640
4
2100   16400  1640
4
2190   16760  1640
4
2280   161120  1640
4
Esto nos lleva al cálculo de raíces
42
Raíces
Partimos de un número complejo z
z  r
se llama la raíz enésima de z a cualquier
número w que cumple: wn = z, y se
escribe como
w z
n
Módulo de w
Ángulo de w
Rn r
  360º 
  
k
n
n

k  0,1, , n  1
43
Raíces
La fórmula para el cálculo de las raíces se
basa en el teorema de Moivre
Sean
w= R(cosα+ i sinα)
z = r(cos + i sin)
Por el teorema de Moivre:
wn = Rn[cos(n α) + i sin(n α)]= r(cos + i sin)
Igualando los módulos y los ángulos obtenemos
Rn r
   2k 
 

n


k  0,1, , k  1
44
45
VIII VISIÓN GEOMÉTRICA
DE LOS NÚMEROS
COMPLEJOS
46
Raíz cuarta …
1640º
2100º
210º
2190º
2 280º
210 
2 
 100
4 16
40 
2190 
2 280 
40º
 10º
4
360º
 90º
4
Primer ángulo
Ángulo a añadir
47
Ejemplo: raíces de la unidad
1  10 º
5
1  5 1 0 2 k
z 1
n
k  0, 1,  4
n
w0  10 º
w1  12
5
w2  14
5
w3  16
Un número complejo tiene tantas raíces como su índice
5
w4  18
5
•Sus afijos son los vértices de un polígono regular
48
49
50
BIBLIOGRAFIA Y ENLACES
UTILIZADOS
http://www.dmae.upm.es
http://www.dmae.upm.es/bartolo.html
• http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacti
cos/Los_numeros_complejos/complejos2.htm
• www.educared.net
• www.ginerdelosrios.org/pizarradigital
• http://platea.pntic.mec.es/aperez4/antonioperez.html
• http://www.disa.bi.ehu.es/ (nº complejos-archivo
ppt)
51
¿Sabes ….?
• 1. ¿Hay algún número real para la raíz cuadrada de un número
negativo?
• 2. ¿cómo se dividen números complejos en forma binómica?
• 3. ¿A que se llama afijo en la representación gráfica del número
complejo a + bi ?
• 4. ¿ La suma de dos números complejos conjugados, es un número
real?
• 5. ¿ Cómo se describe un número complejo en forma polar?
• 6. ¿Para qué sirve la forma trigonométrica?
• 7. ¿ cómo se dividen dos números complejos en forma polar?
• 8. ¿En qué nos basamos para operar con raíces en números
complejos?
• 9. ¿ Cuantas raíces tiene un número complejo?
• 10. ¿Cómo se determinan los vértices de un polígono regular?
52
Soluciones
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
1.No, se inventaron los números complejos para dar solución a este
problema considerando el imaginario i=√-1
2. Multiplicando el numerador y denominador por el conjugado del
denominador.
3. Al punto (a,b), mediante un vector de origen (0,0)
4.Si
5.Mediante el Módulo y el argumento
6. Para pasar los números complejos de forma polar a forma binómica.
7. Dividiendo sus módulos y restando sus argumentos.
8. En el Teorema de Moivre
9. Cualquier número complejo tiene tantas raíces como su índice, excepto
el 0.
10. Mediante los afijos de las raíces n-ésimas de un número complejo. El
polígono regular tendrá tantos vértices como el de la raíz del complejo, para
n>2.
53