Download 12.4 cuerpos redondos

ELEMENTOS DE GEOMETRÍA EUCLIDIANA
12.4 CUERPOS REDONDOS
Designamos en general como cuerpos redondos el conjunto de puntos del espacio
obtenido cuando una figura gira alrededor de una recta, de tal forma que cada punto de la
figura conserva, al rotar, su distancia a la recta. Nuestro trabajo se centrará básicamente en
tres cuerpos redondos a saber: el cilindro, el cono y la esfera.
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Definición 93. Superficie de revolución
Es el conjunto de puntos del espacio generado cuando una figura gira alrededor de una
recta llamada eje. En la rotación cada punto de la figura que gira mantiene constante su
distancia al eje.
Los puntos de la figura que rota, constituyen la generatriz y cada uno de ellos describe una
circunferencia de centro en el eje y contenida en un plano perpendicular a éste. Ver figura
243.
Figura 243
En la figura 243a se indica la figura correspondiente a la generatriz señalándose en
particular cuatro puntos A1, B1, C1 y D1 pertenecientes a ella, como también el eje.
En la figura 243b puede observarse la superficie de revolución generada, en ella se indican
las circunferencias descritas por los puntos anteriormente señalados al rotar alrededor del eje
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l, estas circunferencias tienen sus centros en O1, O2, O3 y O4 respectivamente pertenecientes a l
y el plano que contiene a cada circunferencia es perpendicular al eje l y en consecuencia todos
estos planos son paralelos entre sí.
12.4.1 El cilindro
Definición 94. Superficie cilíndrica de revolución
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Es la generada por una recta paralela al eje. Ver figura 244a.
Definición 95. Cilindro de revolución o cilindro circular recto
Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie cilíndrica de revolución y
dos círculos correspondientes a la intersección de la superficie cilíndrica con dos planos
perpendiculares al eje, incluyendo estos límites. Ver figura 244b.
Figura 244
Notas:
En un cilindro circular recto identificamos los siguientes elementos:

Bases: Son los dos círculos que limitan el cilindro

Altura: Es la distancia entre las bases, en la figura 244b la designamos por h

Radio: Es el radio del círculo asociado a las bases

Área lateral: Es el área de la superficie cilíndrica que lo limita

Área total: Es la suma del área lateral y las áreas de los dos círculos correspondientes a
las bases
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El cilindro circular recto puede también obtenerse mediante la rotación completa de un
rectángulo alrededor de uno de sus lados.
TEOREMA 125. Volumen del cilindro circular recto
Es el límite del volumen de un prisma regular inscrito en el cilindro cuando el número de
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lados de la base tiende a infinito.
Observación:
En forma análoga a la empleada para calcular el área del círculo, en términos de los límites
de las áreas de los polígonos regulares inscritos ó circunscritos en la circunferencia, cuando el
número de lados tiende a infinito, procedemos al cálculo de los volúmenes en los tres cuerpos
redondos fundamentales.
Como el volumen del prisma es el producto del área de la base por la altura, entonces, en
el paso al límite tenemos que el volumen del cilindro es igual al área de la base por la altura,
2
esto es  r  h . Ver figura 245b.
TEOREMA 126. Área lateral del cilindro circular recto
Es el límite del área lateral de un prisma regular inscrito en el cilindro, cuando el número
de lados de la base tiende a infinito.
Como el área lateral del prisma es igual al perímetro de la base por la arista lateral, en el
paso al límite tenemos que el área lateral del cilindro es igual a la longitud de la circunferencia
de la base por la altura. Ver figura 245a.
Esto es 2 r  h .
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Figura 245
Corolario. Área total del cilindro circular recto
El área total del cilindro circular recto es igual a la suma de las áreas lateral y la de las
dos bases.
Esto es, Área total  2 r  h  2 r
2
 2 r  h  r 
12.4.2 El cono
Definición 96. Superficie cónica de revolución
Es la generada por una semirrecta con origen en el eje y que determina un ángulo agudo
con éste que permanece constante durante toda la rotación. Ver figura 246a.
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Figura 246
Definición 97. Cono circular recto
Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie cónica de revolución y un
círculo correspondiente a la intersección de la superficie cónica con un plano perpendicular al
eje, incluyendo ambos límites. Ver figura 246b. El origen de la generatriz se denomina vértice.
Notas:
En un cono circular recto identificamos los siguientes elementos:

Base: Es el circulo que limita al cono.

Altura: Es la distancia del vértice a la base.

Radio: Es el radio de la base.

Área lateral: Es el área de la superficie cónica que lo limita.

Área total: Es la suma del área lateral y el área del círculo de la base.
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TEOREMA 127. Volumen del cono circular recto
Es el límite del volumen de una pirámide regular inscrita en el cono cuando el número de
los lados de la base tiende a infinito.
Como el volumen de la pirámide es un tercio del área de la base por la altura, entonces, en
el paso al límite tenemos que el volumen del cono es igual a un tercio del área de la base por la
1 2
r h .
3
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altura, esto es
TEOREMA 128. Área lateral del cono circular recto
Es el límite del área lateral de una pirámide regular inscrita en el cono, cuando el número
de los lados de la base tiende a infinito.
Como el área lateral de la pirámide es igual al semiperímetro de la base por la altura de
una cara lateral trazada desde el vértice, puesto que la pirámide es regular, en el paso al límite
tenemos que el volumen del cono es igual al semiperímetro de la base por la medida de la
generatriz. Ver figura 247.
Esto es
1
 2 r   l   rl
2
Figura 247
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Corolario. Área total del cono circular recto
El área total del cono circular recto es igual a la suma de las áreas lateral y la de la base.
Esto es, Área total   rl   r
2
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  r l  r 
Figura 248
12.4.3 La esfera
Definición 98. Superficie esférica de revolución
Es la generada por una semicircunferencia que rota alrededor de un eje que pasa por su
diámetro.
Definición 99. Esfera
Es el conjunto de puntos del espacio limitado por una superficie esférica de revolución
incluyendo este límite.
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Notas:

Definimos también la superficie esférica de centro en un punto O y radio r como el
conjunto de todos los puntos del espacio tales que su distancia al punto O es igual a r.

Interior de la superficie esférica de centro en O y radio r es el conjunto de todos los
puntos del espacio tales que su distancia al punto O es menor que r.

Esfera de centro en O y radio r es el conjunto de todos los puntos del espacio tales que
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su distancia al punto O es menor o igual a r. en consecuencia la esfera es la unión de la
superficie esférica con su interior. Ver figura 249.
Figura 249
TEOREMA 129. Volumen de la esfera
El volumen de una esfera de centro en O y radio en r es igual a
4 3
r
3
Demostración
Determinemos el cilindro circunscrito a la esfera y con sus bases tangentes a la esfera. Ver
figuras 250.
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Figura 250
Designemos por: Ve: El volumen de la esfera
Vc: El volumen del cilindro circunscrito a la esfera
Vd: El volumen de la figura comprendida entre la esfera y el
cilindro.
En consecuencia Ve = Vc – Vd
Utilicemos la propiedad P4 (Principio de Cavalieri) de la función volumen para calcular a
partir de lo anterior el volumen de la esfera.
Intersectamos la figura inicial por planos paralelos a las bases del cilindro, de esta manera
se obtienen coronas circulares. Ver figura 250b.
El área de esta corona corresponde a la expresión general:
 r 2   r '2    r 2  r '2 
  h2
Por el teorema de Pitágoras en el AOB . Ver figura 251a siendo h la distancia del centro
O de la esfera al plano paralelo.
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Figura 251
Tomemos ahora los dos conos congruentes y por tanto equivalentes de vértice en O y
bases en los círculos del cilindro. Ver figura 251b.
El área de la sección circular determinada por la intersección del plano, paralelo a la base
y a una distancia h desde el centro O de la esfera es igual a  r '' , donde  '' es el radio del
2
circulo correspondiente a esta sección.
A su vez OFT ~ OCM (Ángulo-ángulo) y en consecuencia tenemos:
h r ''

luego
r r
h  r '' .
2
2
Esto significa que el área de la corona circular  h y el área de la sección del cono  r ''
son iguales.
Aplicando ahora, como ya lo mencionamos, el Postulado de Cavalieri o la propiedad P4 de
la función volumen de la figura Vd (comprendida entre la esfera y el cilindro), es igual a la
suma de los volúmenes de los dos conos descritos.
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El volumen de cada cono es
conos es:
1 2
1
 r     r 3 ; en consecuencia el volumen de ambos
3
3
2 3
r .
3
En consecuencia el volumen de la esfera es:
Ve = Vc - Vd
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2
 2 r 3   r 3
3
4
  r3
3
TEOREMA 130. Área de la superficie esférica
2
El área de una superficie esférica de centro en el punto O y radio r es igual a 4 r . Ver
figura 252.
Figura 252
La demostración de este teorema corresponde al Cálculo. Se presenta a continuación una idea
intuitiva como se ha indicado en otras demostraciones recurriendo desde luego a la noción de
límite. Para ello sugiero revisar nuevamente la unidad 11.5.
Se considera una semicircunferencia que gira alrededor de su diámetro, y se inscribe un
polígono regular; en el paso al límite cuando el número de lados tiende a infinito se obtiene
que la proyección del
polígono es el diámetro 2r , la apotema tiende al radio y en
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consecuencia el área corresponde a la superficie esférica. Luego el área de la superficie
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esférica es igual a 2 r  2r  4 r