Download TÉCNICAS BÁSICAS SEMEJANZA Las fotocopiadoras y

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TÉCNICAS BÁSICAS
SEMEJANZA
Las fotocopiadoras y determinados programas informáticos de diseños, nos
permiten ampliar o reducir un dibujo conservando la forma del mismo, pero variando
las dimensiones.
La ampliación y reducción se dan, generalmente, en tanto por ciento.
Si el tanto por ciento es mayor que 100, se amplía.
Si el tanto por ciento es menor que 100, se reduce.
Las figuras ampliadas y reducidas son semejantes a la original.
ORIGINAL
AMPLIADA
REDUCIDA
Fíjate como se calcula la escala de ampliación o de reducción de estos dibujos:
Se elige dos puntos A y B del original y sus correspondientes A' y B' en la copia
ampliada o la copia reducida. Se mide las distancias y se calcula el cociente entre
A'B': AB
Si repites este proceso para dos puntos cualquiera comprobarás que el cociente es
siempre el mismo. Esta propiedad es la que caracteriza a las figuras semejantes.
El cociente de dos segmentos correspondientes se llama razón de semejanza o
escala
Dos figuras son semejantes cuando son iguales o solo difieren en su tamaño.
En tal caso, los segmentos correspondientes son proporcionales, es decir, cada
longitud en una de ella se obtiene multiplicando la longitud correspondiente en la
otra por un número fijo, llamado razón de semejanza.
A.1. Mide el largo y el ancho de los marcos de la figura del jugador de fútbol de esta
pagina. Calcula la razón de semejanza entre las dimensiones del largo de la
ampliación y el largo del original. Calcula de igual forma la razón de semejanza entre
el ancho de la ampliación y el ancho del original. Finalmente repite el proceso con el
largo y el ancho del marco de la figura reducida y el original.
Una vez obtenida las razones de semejanza, intenta exprésala en forma de tanto
por ciento.
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TÉCNICAS BÁSICAS
TRIÁNGULOS SEMEJANTES
E.1. Dibuja un triángulo de lados c= 3 cm, b= 4 cm y a =5 cm y Construye otro
triángulo cuyos lados sean el doble de largos (a' = 2a, b' = 2b y c' = 2c). Calcula
los cocientes a´: a, b': b y c': c Verás que los cocientes son iguales. Designa a los
vértices del primer triángulo con las letras A, B y C y del segundo triángulo con las
letras A', B' y C'. Comprueba con el transportador que los ángulos A= A',
B= B' y C = C'.
Los resultados obtenidos en la experiencia anterior son válidos para cualquier par
de triángulos semejantes y permite dar una definición particular de semejanza para
los triángulos.
Dos triángulos son semejantes sin tienen:
los lados correspondientes proporcionales, y
los ángulos correspondientes iguales
A.1. Las dimensiones de un triángulo son de 3 cm, 4cm y 5 cm. Calcula las
dimensiones de otro semejante a él, construido a escala 200 %
A.2. Las dimensiones de una fotografía son de 10 cm de largo y de 8 cm de ancha, si
hacemos la reducimos un 25 %, ¿cuáles serán sus nuevas dimensiones?
A.3. Calcula los lados de los siguientes triángulos cuando se utiliza la fotocopiadora a
escala 300 %:
a) 5 cm, 7 cm y 10 cm
b) 6 cm, 8 cm y 12 cm
3
INVESTIGANDO
CÓMO COMPROBAR QUE DOS TRIÁNGULOS SON
SEMEJANTES
No es necesario comprobar la dos condiciones de la definición de semejanza de
triángulos para decidir si son semejantes o no.
Para saber si
o criterios:
1.
2.
3.
dos triángulos son semejantes basta con comprobar que se cumple una de estas condiciones
Tienen los tres ángulos iguales.
Tienen los tres lados proporcionales.
Tienen dos lados proporcionales y el ángulo que forman igual
Las siguientes actividades prueban experimentalmente estos criterios. Los resultados obtenidos siguen
siendo válidos para cualquier par de triángulos.
Criterio 1
Criterio 2
Criterio 3
Construye dos triángulos que Construye dos triángulos que Construye dos triángulos que
tengan por ángulos 30º, 60º y 90 tengan lados proporcionales a 3, 4 tengan dos lados proporcionales a
3 y 4 cm y el ángulo que forman
y 5 cm.
º
de 60ª.
Con una regla milimetrada, mide Con un transportados mide los Con un transportador mide los
los lados.
ángulos.
ángulos restante y con la regla el
tercer lado.
que
los
ángulos Comprueba que los ángulos
lados Comprueba
correspondientes son iguales y
son correspondientes son iguales.
los
lados
correspondientes
proporcionales.
Dos triángulos que tienen los Dos triángulos que tienen los Dos triángulos que tienen
tres
ángulos
iguales
son tres lados proporcionales son dos lados proporcionales y el
semejantes.
semejantes.
ángulo que forman igual son
semejantes.
Comprueba
que
correspondientes
proporcionales.
los
A.1. Dos triángulo rectángulos tienen un ángulo agudo que mide 40º. ¿Son semejantes?
A.2. Una figura tiene forma triangular y sus lados miden 3 cm, 4cm y 5cm. Un alumno dibuja esa figura a
escala 1: 100 y otro a escala 1: 500. ¿Se puede afirmar que los triángulos así obtenidos son semejantes?
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TECNICAS BÁSICAS
PLANOS, MAPAS Y MAQUETAS
Hoy día cuando compramos una casa o un piso, lo primero que nos presentan en las oficinas de la
inmobiliaria son los planos.
El plano es la representación, mediante dibujos detallado, de una casa, de un piso, de una habitación,
de una ciudad, etc., guardando la semejanza.
Las dimensiones en un plano de un piso son proporcionales a las dimensiones reales del piso.
De la misma forma:
Un mapa es representación, mediante un dibujo detallado, de una parte de la superficie de la Tierra
guardando la semejanza.
La constante de proporcionalidad, es decir, la razón de semejanza, es la escala, lo mismo que en una
fotocopiadora.
La escala es el cociente entre una longitud, medida en el plano, mapa o maqueta, y la longitud
representada, medida en la realidad.
Al igual que sucede con los plano y los mapa,
Una maqueta, es un modelo, a escala reducida, de un monumento, una máquina, una decoración de
teatro, una barriada, etc.
En los mapas, planos y maquetas la escala puede ser numérica, 1:1000, o gráfica, dando el
segmento del plano que representa a la unidad en la realidad; por ejemplo el segmento A___B equivale
a 1 km.
La escala gráfica tiene la ventaja de que al ampliar o reducir un plano o mapa sigue siendo válida,
cosa que no sucede con la escala numérica.
A.1. Juan dibuja a escala 1: 100 su habitación, que tiene por dimensiones 6 m de larga y 5 m de
ancha. ¿Qué dimensiones tiene el dibujo?
A.2. En un mapa a escala 1: 10.000.000 la distancia entre dos ciudades es de 5 cm. ¿Cuál es la
distancia real?
.A
.D
.B
.C
Sabemos que la distancia real del
punto A al B es de 10 km. Halla la
escala de este plano y las distancias
reales AC, AD y CD.
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TECNICAS BÁSICAS
TEOREMA DE THALES
Si dos rectas secantes r y s, son cortadas por tres rectas paralelas a, b y c, los
segmentos determinados en una de las secantes son proporcionales a los
segmentos determinados en la otra.
AB
A'B '
=
BC
B'C '
r
También ocurre lo recíproco si los
segmentos AB y BC son proporcionales a
A'B' y B'C' y las rectas a, b son paralelas,
entonces c es paralela a ellas.
C
c
s
B
b
A
C'
a
B'
A'
A.1. Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x.
7cm
c
3cm
b
a
6cm
x
A.2. Sabemos que las rectas a y
b son paralelas. Teniendo en
cuenta las medidas que se dan
en el dibujo, ¿podemos
asegurar que la recta c es
paralela a las rectas a y b ¿En
qué te basas?
8cm
5
a
c
b
2,5
4 cm
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TECNICAS BÁSICAS
TRIÁNGULO EN POSICIÓN DE THALES
Si en un triángulo cualquiera se traza una recta paralela a uno de los lados, se
forma un nuevo triángulo, más pequeño, y decimos que está en posición de Thales
con respecto al triángulo original.
Los triángulos ABC y AB'C' tienen un
ángulo en común, el Â. Es decir, el
triángulo pequeño está encajado en el
grande.
Además los lados opuestos a A son
paralelos. Decimos que los dos
triángulos están en posición de Thales.
En tal caso se cumple:
B
B'
b'
a'
C
C'
A
AB ' B ' B
AB
=
=
AC ' C ' C
AC
A.1. Los lados del triángulo ABC miden 4, 8 y 9 cm. Si se trazan paralelas al lado
BC por las divisiones DE, resultan dos triángulos semejantes al triángulo ABC.
Calcula las medidas de los lados de los dos triángulos menores.
A
4 cm
2 cm
A
A
8 cm
A.2. Divide el segmento AB en cinco partes iguales (Utiliza escuadra, cartabón y
compás).
A
B
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TECNICAS BÁSICAS
CRITERIOS DE SEMEJANZAS DE TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si
tienen dos ángulos iguales.
EN
TRIÁNGULOS
Dos triángulos son semejantes si
tienen
un
ángulo
igual
y
proporcionales los lados que lo
forman.
Dos triángulos son semejantes si
tienen
los
lados
homólogos
proporcionales
Si tienen un ángulo agudo igual
EN
TRIÁNGULOS
RECTÁNGULOS
Si tienen los catetos proporcionales
Si tienen proporcionales la
hipotenusa y un cateto
POLÍGONOS
SEMEJANTES
Las condiciones de semejanzas de
polígonos son las mismas que las de
semejanzas de triángulo, es decir:
ángulos iguales y lados homólogos
proporcionales.
Todos los polígonos regulares de
igual número de lados son
semejantes:
Todos los triángulos
equiláteros.
Los cuadrados.
Los hexágonos regulares.
SON SEMEJANTES
8
MEJORA
DESTREZAS
Divide un segmento de
12 cm en tres partes
proporcionales a 1, 2, y
3
En un plano a escala 1:
1000, la distancia entre
dos puntos A y B es de
15 cm. ¿Cuál es la
distancia real entre los
dos puntos?
La
distancia
aproximada
entre
Sevilla y Huelva es de
100 km. En un mapa
medimos con la regla y
resulta ser 2 cm. ¿Cuál
es la escala del mapa?
Un rectángulo tiene
unas dimensiones de
10 cm x 15 cm. El lado
menor
de
otro
rectángulo semejante a
él mide 8 cm. Halla:
a) La
razón
de
semejanza.
b) El lado mayor del
otro rectángulo.
c) Las
áreas
de
ambos
rectángulos.
La maqueta de un
coche
a escala 1:30
mide 20 cm ¿Cuál es su
dimensión real?
¿Qué
dimensiones
tendrá la maqueta de
un avión a escala 1:50
sin las dimensiones
reales son 50 metros
de largo, 10 metros de
alto y 5 metros de
ancho
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA (I)
9
APLICACIONES DE LA SEMEJANZA (II)
MEJORA
DESTREZAS
Calcula la estatura aproximada de todas
las niñas, si la primera de la izquierda
mide 140 cm.
Un edificio de 5 plantas, a las 10 de la
mañana de un cierto día, arroja una
sombra de 10 m. Próximo a él, una farola
de 3 m de altura proyecta una sombra de
2 m ¿Cuál es la altura del edificio?
10 m
Halla la altura del ortoedro más pequeño.
8m
12 m
¿Cuánto mide el lado L?
3m
L
10 m
90º
12 m
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INVESTIGANDO
LOS POLÍGONOS
En el mundo en que vivimos podemos observar muchos objetos con formas
geométricas. En la Naturaleza abundan más las líneas curvas, pero en los objetos
construidos por los seres humanos predominan las rectas. Muchas de las figuras
planas que puedes contemplar a tu alrededor están limitadas por segmentos, por
ejemplo, ventanas, puertas, baldosas, cuadros, etc. Esta figuras se llaman
polígonos.
Los polígonos reciben diferentes nombres según el número de lados que tenga.
Recuerda que un polígono es una superficie plana limitada por una línea poligonal
cerrada. La palabra polígono proviene del griego está compuesta por "poli" (varios) y
"gono" (ángulos). Con frecuencia, observarás que muchos de los términos que
utilizamos en geometría, proceden del griego; este hecho no nos debe extrañar, ya
que fue en la antigua Grecia donde la geometría adquirió gran relieve.
A.1.
Completa la tabla siguiente:
Nombre del
polígono
Número de
lados
Número
ángulos
Número de
diagonales
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
6
Heptágono
8
Eneágono
Decágono
Analiza la tabla anterior. ¿ Puedes encontrar algún hecho curioso?
A.2.
Contesta a las siguientes preguntas:
1. ¿Puede ocurrir que un lado de un polígono
mida más que la suma de los dos restantes?
2. ¿Varía el valor de los lados y los ángulos de
un polígono cuando lo cambias de posición?
3. ¿Existe algún polígono que tenga mayor
número de lados que diagonales? ¿Y que
tenga igual número de lados que de
diagonales?
4. Halla cuántas diagonales tiene un polígono de
5 lados? ¿Y de 6 lados
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INVESTIGANDO
LOS POLÍGONOS REGULARES
Algunos polígonos tienen todos sus lados y sus ángulos iguales. Se les llaman
polígonos regulares.
¿Reciben algún nombre especial los polígonos regulares de tres lados?
....................
¿Y los de cuatro?
..................
.................. ¿Cómo se llaman los que tienen cinco lados?
Los polígonos regulares tienen los mismos elementos característicos que los que
no lo son, pero además tienen algunos propios. Intenta descubrirlos respondiendo a
la siguiente pregunta: ¿Hay algún punto en un polígono regular que esté a la misma
distancia de todos sus vértices?
............................
El punto que está a la misma distancia de todos los vértices recibe el nombre de
centro del polígono regular.
Si unes el centro con el punto medio de las caras obtienes un segmento llamado
apotema.
A.1.
Contesta a las siguientes preguntas:
1. Dibuja un cuadrado, un pentágono
y un hexágono regular. Sitúa el
centro
y
la
apotema
correspondiente a un lado en cada
uno de ellos.
2. En muchos polígonos regulares las
diagonales se cortan en el centro.
¿Existen algunos dónde no ocurra
así?. Dibuja uno de cada clase.
3. ¿Hay algún polígono regular que no
tenga diagonales?
4. ¿Qué ángulo forma la apotema con
su lado correspondiente?
5. ¿Hay algún polígono que tenga
igual
número
de
lados
y
diagonales?
6. Si un polígono tiene 14 diagonales,
¿de cuántos lados es el polígono?
¿Y si tiene 20 diagonales?
12
MEJORA TUS
DESTREZAS
A.1.
LADOS Y ÁNGULOS EN LOS POLÍGONOS
REGULARES
Completa la siguiente tabla:
Polígono
Nº de lados
Nº de ángulos
interiores
Nº de vértices
3
4
5
6
7
8
9
10
N
A.2.
Completa el número de diagonales que tiene un polígono
Nº de lados
Nº de vértices
Nº de diagonales
que salen de un
vértice
Total de
diagonales
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
N
A.3.
Escribe la fórmula del número de diagonales que tiene un polígono:
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INVESTIGANDO
LOS POLÍGONOS CONCAVOS Y CONVEXOS
Los polígonos se pueden clasificar también en cóncavos y convexos. Te
presentamos algunos de cada uno de ellos y tú tendrás que investigar cuál es el
criterio que se ha seguido para clasificarlos.
Los siguientes polígonos son convexos:
Estos son cóncavos
¿Cuál crees que ha sido el criterio para su clasificación?
Seguramente conoces mejor los polígonos convexos que los cóncavos.
A.1.
Contesta a las siguientes preguntas:
1. Si unes dos puntos cualquiera de un
polígono no convexo, ¿está el
segmento que los une comprendido
totalmente dentro del polígono?
¿Y si haces lo mismo con dos puntos
de un polígono cóncavo?
2. ¿Cuál es el menor número de lados
que puede tener un polígono
cóncavo? ¿Y un polígono convexo?
3. Dibuja tres polígonos convexos y
otros tres cóncavos distintos de los
que aparecen en esta hoja.
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INVESTIGANDO
LOS ÁNGULOS INTERIORES DE LOS
POLÍGONOS CONVEXOS
A.1. Dibuja varios triángulos. Con la ayuda del transportador, mide los ángulos de
cada uno de los triángulos y comprueba que suman 180º. Puede ocurrir que
por errores de precisión no te salga 180º; en tal caso te recomendamos que
recortes las puntas de los triángulos y las adjuntes en posición de suma de
ángulos. Observa así que su suma es 180º.
En todo triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180º.
A.2. Completa la tabla calculando el número de triángulos obtenidos en un polígono
al trazar diagonales desde un vértice.
Polígono
Triángulo
Cuadrilátero
Pentágono
Hexágono
Heptágono
Octógono
Eneágono
Decágono
Polígono
de
lados
Número de
lados
Número de
triángulos
Suma de los
ángulos
interiores
n
A.3. La suma de todos los ángulos interiores de un polígono convexo es de 1080º,
¿cuántos vértices tiene? ¿Cuántas diagonales? En el caso de que fuese regular,
¿cuánto valdría el ángulo central, formado al unir dos vértices consecutivos en
el centro?
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INVESTIGANDO
ÁREAS DE POLÍGONOS
Recuerda que una figura plana es cualquier parte de un plano que está limitada
por una línea cerrada.
El área de una figura plana es la medida de superficie. Medir una superficie es
averiguar cuántas veces contiene a otra que se toma como unidad. Por tanto, para
medir es necesario acordar previamente la unidad.
La medida se puede realizar en forma directa o indirecta:
Se mide en forma directa cuando nos limitamos a contar cuántas veces
está contenida la unidad de medida en la superficie a medir. Como unidad de
medida se toma la superficie de un cuadrado.
Se mide en forma indirecta cuando se utilizan fórmulas matemáticas para
averiguar el área.
E.1. Aunque en la vida real las superficies se nos presentan con distintos contornos,
sucede a menudo que éstos tienen forma poligonal.
Fíjate en las siguientes figuras. Dibuja al lado de ellas un cuadrado de medio
centímetro de lado.
Averigua la superficie de cada una de ellas:
En forma directa: Utilizando el cuadrado que has dibujado como unidad.
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RECORDANDO
ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (I)
Partiendo del área del rectángulo vamos a obtener las áreas
geométricas utilizando transformaciones.
OBTENCIÓN DEL ÁREA
Triángulo
Cuadrado
Rombo
Romboide
Trapecio
Trapezoide
Hexágono
Cualquier polígono regular
de las figuras
DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN
REALIZADA A PARTIR DEL RECTÁNGULO.
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RECORDANDO
ÁREAS DE LAS FIGURAS PLANAS (II)
Partiendo del área del círculo, que a su vez se obtendrá como si fuera un polígono de
n lados y teniendo en cuenta en algunos casos el área del triángulo obtendremos el
área de las siguientes figuras circulares.
OBTENCIÓN DEL ÁREA
Círculo
Corona circular
Sector circular
Segmento circular
Trapecio circular
DIBUJO DE LA TRANSFORMACIÓN
REALIZADA.
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RECORDANDO
LAS MEDIDAS DE SUPERFICIES
Las calles, aceras, solares, plazas, tu vivienda, tu aula, esta hoja, son superficies.
La medida de la extensión de una superficie es su área.
Si establecemos una unidad de superficie, podemos medir la extensión de
cualquier figura comparándola con la unidad. El número que expresa esta medida se
llama área de la figura y depende de la unidad elegida.
A lo largo de la historia se han utilizado unidades de superficie basadas en tres
criterios.
a) Según el trabajo agrícola realizado. Así, por ejemplo, 1 jornal era la extensión de
tierra que se podía trabajar en un día.
b) Según la siembra. Se tenía en cuenta la extensión de tierra que se podía sembrar
con cierta cantidad de granos. De esta forma aparecen determinadas medidas
agrarias como la fanega (6439,57 m²), la aranzada (4471,92 m²), el celemín
(536,63 m²), el cuartillo (134,15 m²), el estadal cuadrado (11,17 m²), la
vara cuadrada (0,69 m²) y el pie cuadrado (0,07 m²).
c) Si se trataba de una superficie geométrica se usaban patrones.
Actualmente se toman como unidades de superficie los cuadrados que tienen por
lado las unidades de longitud. Tenemos, entonces:
Unidad fundamental:
- m² (área de un cuadrado de 1 m de lado).
Múltiplos:
- Dm² (área de un cuadrado de 1 Dm de lado).
- Hm² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado).
- Km² (área de un cuadrado de 1 Hm de lado).
Submútiplos o divisores:
- dm² (área de un cuadrado de 1 dm de lado).
- cm² (área de un cuadrado de 1 cm de lado).
- mm² (área de un cuadrado de 1 mm de lado).
EL METRO CUADRADO
Dibuja sobre una superficie
mediana (suelo, papel de
envolver objetos, pizarra) un
m², en una esquina de éste un
dm² y a su vez, en una esquina
de éste último un cm²
ANÁLISIS
Averigua cuántos cm² hay dentro de un dm²
¿Cuántos dm² hay dentro de un m²?
Dibuja por detrás de esta hoja una tabla con las
medidas de superficie.
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PRACTICA
DIBUJO
Vas a realizar un plano de tu aula a
escala 1/100 en papel milimetrado y
pégalo por detrás de esta hoja
(recuerda que un 1 m de la realidad
tiene que convertirlo en 1 cm en el
papel).
LA SUPERFICIE DE TU AULA
ANÁLISIS
Dibuja en el plano todos los cm² que hay
dentro del contorno de la clase y cuenta
los que hay.
Teniendo en cuenta la escala utilizada
(1/100), el número de cm² que hay en el
plano de tu clase y las unidades de
superficies. ¿Cuántos m² tiene realmente
tu clase?
Por detrás
Calcula la superficie del aula utilizando
fórmulas de áreas de figuras planas.
Compara el resultado obtenido de las dos
maneras.
¿Qué medida es mejor? ¿Por qué?
20
MEJORA TUS
DESTREZAS
Calcula el área:
a) De un cuadrado de 15 cm de lado.
b) De un rectángulo de 8 cm de largo
y 12 cm de ancho.
Halla la superficie de un terreno
cuadrado de 16 cm de lado.
¿Qué área tiene una habitación
rectangular que mide 4, 5 cm de largo
y 3, 5 cm de ancho?
Un campo de deportes mide 120 m de
largo y 68 m de ancho. ¿Qué área
tiene?
Dejando dos metros por cada lado hay
que vallar este campo con una valla
que vale 1500 pesetas el metro,
¿cuánto costará cercar el terreno de
juego?
El perímetro de un cuadrado es igual
al de un triángulo equilátero de 12 cm
de lado. ¿Cuál es la medida del lado
del cuadrado?
Para cubrir el suelo de una habitación
de 5,6 metros de largo y 4,8 m de
ancho se utilizan baldosas cuadradas
de 30 cm de lado. ¿Cuántas baldosas
necesitaremos? ¿Cuánto costará en
total si cada una vale 250 pesetas?
Las casillas de un tablero de ajedrez
miden 4 cm de lado. Calcula cuánto
mide el lado y el área del tablero de
ajedrez.
Una cometa tiene forma de rombo y
las diagonales mide 40 cm y 3º cm.
¿Cuánto mide su superficie?
ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS I
21
MEJORA TUS
DESTREZAS
ÁREA DE LAS FIGURAS PLANAS II
¿Cuánto costará barnizar una mesa que
tiene forma de hexágono regular de 1
metro de lado y 86, 6 cm de apotema, si
por cada metro cuadrado piden 2.500
pesetas?
La señal de STOP tiene forma de octógono
regular de 30 cm de lado y 36,21 cm de
apotema. Calcula su superficie.
Sabiendo que el área de un círculo es 250
cm², ¿cuánto medirá su radio?
Dibuja un círculo de radio 3 cm y en él un
sector circular de ángulo central 30º.
Después calcula el área de dicho sector
circular.
La rueda de un camión mide 90 cm de
radio. ¿Cuánto avanza el camión cuando
la rueda ha dado 1.000 vueltas?
¿Cuántas vueltas dará para recorrer 5
Km?
Calcula el área de un segmento circular
que determina un hexágono regular
inscrito en una circunferencia de 8 cm de
radio.
Calcula el área de una corona circular que
tiene de radio mayor 1 metro y de radio
menor 75 cm.
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TÉCNICAS BÁSICAS
En un triángulo rectángulo los lados
adyacentes al ángulo recto, que también
son los lados menores, se llaman
catetos. El lado opuesto al ángulo recto o
lado mayor se llama hipotenusa.
b y c son los catetos.
a es la hipotenusa
El teorema de Pitágoras dice que:
a² = b² + c²
Es decir, el área del cuadrado construido
sobre la hipotenusa es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados construidos
sobre los catetos.
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
23
INVESTIGA
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
Escuadra, cartabón, regla, semicírculo y compás.
La acción de medir, en geometría viene asociada a la idea
de número, lo que en el antigüedad supuso un estudio
profundo de éstos como de sus propiedades y relaciones. En
este sentido sobresale la figura de Pitágoras que junto con
sus discípulos intentó penetrar en la armonía de los números.
Así lo confirma Aristóteles cuando dice: "Los pitagóricos se
dedicaron
primero
a
las
matemáticas,
ciencia
que
perfeccionaron, y, compenetrados con ésta, imaginaron que los
principios de las matemáticas eran los principios de las cosas.
Antes de proceder con la investigación sería conveniente
que te informarás de quién era Pitágoras (Época en la que
vivió, lugar geográfico donde nació y vivió, sociedad de su
tiempo, aspectos que estudió y fundamentalmente los que
tienen relación con lo que estamos investigando)
Una vez que conocemos la figura sobresaliente de Pitágoras,
te sugerimos que investigues el teorema que lleva su nombre
siguiendo las instrucciones recogidas en la siguiente tabla:
DIBUJO
Dibuja un triángulo rectángulo
de catetos b = 3 cm y c = 4
cm. Comprueba que su
hipotenusa a mide 5 c.
ANÁLISIS
Halla superficie de cada cuadrado en
función de lo que mide un lado.
Construye un cuadrado sobre
la hipotenusa y cuadrados
sobre cada uno.
Compara los tres cuadrados y contesta a
las siguientes preguntas:
A)
¿Cuál es el cuadrado más grande?
B)
¿Qué cuadrado tiene más
superficie?
C)
¿Qué relación encuentras entre la
superficie del cuadrado trazado
sobre la hipotenusa y los cuadrados
trazados sobre los catetos del
triángulo?
24
EL TEOREMA DE PITÁGORAS
MEJORA TUS
DESTREZAS
En la siguiente tabla dispone de los catetos (b y c) correspondientes a diferentes
triángulos rectángulos con sus respectivas hipotenusas (a). Rellena la siguiente tabla
y generaliza:
a
b
c
5
4
3
10
8
6
13
12
5
17
15
8
25
24
7
x
y
z
a²
b²
c²
Relación entre a², b² y c²
Completa la siguiente tabla:
Hipotenusa (a)
13
Cateto (b)
Cateto (c)
20
12
12
20
9
12
30
15
16
20
1225
18
28
Construye, con la ayuda de la regla y el compás, un triángulo de lados 5, 7 y 8 cm.
¿Es rectángulo? ¿Verifica el teorema de Pitágoras? En consecuencia, ¿crees que este
teorema permite decidir si un triángulo es rectángulo?
CONCLUSIONES
Escribe el teorema de Pitágoras.
25
MEJORA TUS
DESTREZAS
TEOREMA DE PITÁGORAS Y TEOREMA DE
THALES
Calcula la altura de un triángulo equilátero de
10 cm de lado.
Calcula lo que mide la diagonal de un cuadrado
de 6 cm de lado.
Calcula la apotema de hexágono regular de 12
cm de lado.
Averigua la longitud del lado de hexágono
regular de 15 cm de apotema.
x
La cruz de la figura está formada
por 5 cuadrados iguales. Calcula el
área de la cruz, sabiendo que x =
10 cm
¿Cuánto medirá el mayor tablero de madera,
de forma cuadrada que se puede introducir por
una puerta de 230 cm de altura y 120 cm de
ancha? (No se tienen en cuenta el grosor del
tablero).
Queremos subir a una terraza situada a 6 m de
altura utilizando una escalera de tiene 7 m de
longitud. ¿Cuál será la distancia máxima desde
la pared a la podremos situar la base de la
escalera?
Un ciprés, a una determinada hora del día,
proyecta una sombra de 8 m. Calcula su altura
si a esa misma hora tu compañero de 1,60 m
proyecta una sombra de 1,8 m.
Busca información sobre los triángulos
semejantes y resuelve el siguiente problema:
"Para medir la anchura de un río se colocaron
dos personas alineadas con una piedra de la
otra orilla, siendo la distancia entre ellas dos
de 6 cm. Caminan paralelamente al río y en la
misma dirección hasta que vuelven a estar
alineadas con la piedra. La más cercana a la
orilla ha caminado 2 metros y la otra 5 metros.
Con estos datos ¿sería capaz de calcular la
anchura del río?
26
INVESTIGA
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
LOS CUERPOS GEOMÉTRICOS
Caja de cuerpos geométricos.
Los cuerpos que observas en la naturaleza adoptan forman
muy variadas, sin embargo, la mayoría de ellos se aproximan
bastante a formas geométricas como las que puedes encontrar
en la caja de cuerpos geométricos. Así, por ejemplo, un dado,
un cucurucho, una caja de cerillas, una pelota o una lata de
conservas, no son sino vistas imperfectas de los cuerpos
geométricos.
Con esta experiencia pretendemos realizar una clasificación
en la caja de cuerpos geométricos siguiendo las siguientes
directrices:
1.
Abre la caja de cuerpos geométricos. Observa
cada una de las figuras que allí se encuentran.
¿Sería capaz de clasificarlas teniendo en cuenta
alguna característica?
Escribe como lo harías.
2.
Al parecer algunos de los cuerpos de la caja
son poliedros. Busca información sobre éstos y
escribe las conclusiones obtenidas.
3.
Observa con más detenimiento las figuras de la
caja. Clasifícalas en dos grupos:
A) Poliedros.
B) No poliedros.
27
LA VISUALIZACIÓN ESPACIAL
MEJORA TUS
DESTREZAS
MATERIAL:
Policubos, papel isométrico y útiles para dibujar.
DESCRIPCIÓN:
Se pretende construir objetos tridimensionales a partir de su
representación bidimensional y viceversa
A)
Construye los siguientes cuerpos con policubos a partir de las
siguientes vistas
VERTICAL O ALZADO
PERFIL O LATERAL
HORIZONTAL O PLANTA
28
INVESTIGA
MATERIAL
Caja de cuerpos geométricos.
DESCRIPCIÓN:
1.
LOS POLIEDROS
Los elementos básicos que componen todo poliedro son las
caras, los ángulos de las caras (ángulos diedros), las aristas, los
vértices y los ángulos triedros. Busca en primer lugar
información sobre éstos elementos y después va a analizar
algunas de las características generales de los poliedros.
Busca información sobre los elementos básicos que componen todo poliedro
y escribe tus conclusiones:
Caras:
Aristas:
Ángulos diedros:
Ángulos triedros:
Vértices:
2.
Analiza cada uno de los poliedros de la caja de cuerpos geométricos teniendo
en cuenta sus elementos básicos.
A)
¿Qué figuras geométricas son las caras de los poliedros?
B)
Si tenemos tres polígonos que concurren en un punto, ¿formarán
éstos polígonos un poliedro?
C)
Cómo mínimo, ¿cuántos polígonos se precisan para formar un
poliedro de los que hay en la caja de cuerpos geométricos?
3.
Sigue buscando información sobre los poliedros. Posiblemente haya otros
tipos de poliedros distintos a los que hay en la caja. Piensa que
características tendrán.
Las respuestas que anteriormente has ido dando, ¿serán las mismas?
4.
Trata de organizar tus ideas y define qué es un poliedro.
29
INVESTIGA
MATERIAL:
LA CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
Caja de cuerpos geométricos. Láminas de poliedros.
DESCRIPCIÓN:
Si analizamos a simple vista los poliedros de la caja de
cuerpos geométricos, observamos que presentan diferencias
entre ellos. Estas diferencias se hacen más notables cuando
utilizamos algún criterio para analizar los poliedros: como sus
elementos básicos o determinadas cualidades (como la
inclinación).
Clasifica todas las figuras de la caja de cuerpos geométricos,
teniendo en cuenta:
CRITERIOS
1º)
2º)
3º)
4º)
Sus caras son:
A)
Polígonos.
B)
No son polígonos.
Los polígonos de sus caras:
A)
Iguales.
B)
Regulares.
C)
Iguales y regulares.
D)
Iguales e irregulares.
E)
Desiguales y regulares.
F)
Desiguales e irregulares.
Sus vértices. Si todos son:
INFÓRMATE DE LOS NOMBRES Y
ESCRÍBELOS.
A=
B=
A=
B=
C=
D=
E=
A=
A)
Del mismo orden.
B)
De distintos ordenes.
B=
Su inclinación (pirámide y primas).
A=
A)
Recto.
B)
Oblicuo.
B=
30
INVESTIGA
MATERIAL
LOS POLIEDROS REGULARES
Troquelados de papel
DESCRIPCIÓN:
NOMBRE
Los troquelados de papel son piezas en forma de polígonos
regulares de igual lado. Las piezas se pueden engarzar lado
con lado haciendo coincidir los vértices por medio de cinta
adhesiva, o si tienen pestañas, éstas se pueden sujetar con
gomas elásticas o por medio de adecuados diseños de
entrantes y salientes en los correspondientes lados de las
piezas.
Dado que la investigación tiene como objeto que se
construyan los poliedros regulares, que son aquellos que tienen
las caras iguales formadas por polígonos regulares y los
vértices también iguales, has de tener en cuenta dos
cuestiones principalmente: ¿Qué poliedros se pueden
construir? y ¿cuántos? Para ello comienza la construcción de
poliedros utilizando solo triángulos, después con cuadrados,
pentágonos,...,hasta conseguirlos todos fundamentando el
porqué no se pueden obtener más.
Nº DE CARAS
Nº DE VÉRTICES
Nº DE ARISTAS
FUNDAMENTA TU INVESTIGACIÓN
Para que se formen esquina en el poliedro la suma de los ángulos de los polígonos
que concurren en un vértice tiene que ser menor que..........
Cómo mínimo en cada vértice del poliedro tienen que concurrir...... caras.
A medida que aumenta el número de lados de un polígono regular aumenta el........
de éste.
¿Puede existir un poliedro que sus caras sean hexágonos regulares? ......
¿Porque?.................................................................
Comprueba con cada uno de los poliedros la fórmula de Euler:
Nº de caras + Nº vértices = Nº de aristas + 2
Busca información sobre Leonardo Euler (Época en la que vivió, dónde nació y vivió,
la sociedad de su tiempo, aspectos que estudio y fundamentalmente los que tienen
relación con lo aquí estudiado)
31
CONSTRUCCIÓN
LOS PRIMAS
MATERIAL:
Caja de cuerpos geométricos. Lámina de cartón grueso. Hilo
de coser.
DESCRIPCIÓN:
Un prisma es un poliedro que consta de: Dos caras iguales
situadas en planos paralelos que se llaman bases y varias
caras que son paralelogramos que se llaman caras laterales.
Para visualizar primas toma una lámina de cartón grueso y
recorta dos polígonos iguales. Uniendo sus vértices con hilos y
manteniendo las bases paralelas tendrás multitud de primas
según la tensión a que someta al hilo.
Infórmate qué son primas rectos y
oblicuos.
Escribe las conclusiones obtenidas.
Clasifica los prismas de la caja de
cuerpos geométricos en rectos y
oblicuos.
Dibuja un prisma recto y señala los
siguientes elementos: bases, aristas
básicas, caras laterales, aristas
laterales, vértices y altura.
Dibuja un prisma oblicuo y señala los
siguientes elementos: bases, aristas
básicas, caras laterales, aristas laterales,
vértices y altura.
Infórmate qué son prismas regulares e
irregulares y escribe las conclusiones
obtenidas.
Clasifica los prismas de la caja en
regulares e irregulares.
Dibuja un prisma regular y señala sus
principales elementos básicos.
Dibuja un prisma irregular y señala sus
principales elementos básicos
Contesta:
Contesta:
A)
A)
¿Todos los prismas son
poliedros?
¿Por qué?
¿Todos los poliedros son prismas?
¿Por qué?
32
INVESTIGA
EL AREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA
DIBUJO
1.
ANÁLISIS
Dibuja el desarrollo de un
hexaedro o cubo.
¿Cuántos cuadrados
resultan?
¿Qué superficie ocupa el
desarrollo de un hexágono en
función de la superficie
ocupada por un cuadrado?
2.
Dibuja el desarrollo de un
ortoedro. Colorea de azul la
superficie ocupada por las
caras laterales y de rojo la
superficie ocupada por las
bases.
¿Cuántos rectángulos
resultan?
¿Son iguales los rectángulos
de las caras laterales?
¿Cuál será la superficie
ocupada por el desarrollo del
ortoedro en función de la
superficie ocupada por las
caras laterales?
¿Cuál será la superficie
ocupada por las dos bases en
función de una de ellas?
¿Cuál será la superficie total
ocupada por el desarrollo del
ortoedro?
3.
Dibuja el desarrollo de un
prisma hexagonal. Colorea de
rojo la superficie ocupada por
las bases y de azul la superficie
ocupada por las caras
laterales.
¿Cuál será la superficie
ocupada por el desarrollo del
prisma en función de una de
las caras laterales?
¿Cuál será la superficie de las
bases ocupadas por el
desarrollo del prisma en
función de una de sus bases?
¿Cuál será la superficie total
que ocupa el desarrollo del
prisma?
CONCLUSIONES
PRISMAS
HEXAEDRO O CUBO
ORTOEDRO
CUALQUIER PRISMA
AREA LATERAL
AREA TOTAL
33
CONSTRUYE
LAS PIRÁMIDES
Las pirámides nos recuerda al antiguo Egipto y los monumentos que allí sirven de
tumba a sus faraones. La más grande de éstas es la Kéops, que data del 2600 a.C.
aproximadamente y es de base cuadrada con unas dimensiones impresionantes: 230
m de arista básica y 146 m de altura. Está formada por 2,3 millones de bloques de
piedra, cada uno de los cuales pesan aproximadamente 20 toneladas.
1.
Puedes visualizar pirámides del
mismo modo que los primas. Para
ello recorta en un cartón grueso un
polígono regular. Uniendo los
vértices del polígono con un hilo a
un punto común que llamaremos
vértices de la pirámide
obtendremos una pirámide. Para
obtener pirámides de más altura,
sólo es necesario cambiar la
situación del punto que hemos
considerado como vértice. En el
caso que queramos obtener otras
pirámides, tendremos que recortar
en cartón un nuevo polígono
regular y proceder de igual modo
que anteriormente.
2.
Dibuja la pirámide de Kéops a
escala 1/5000 y señala los
elementos básicos (base,
aristas básicas, caras laterales,
aristas laterales, apotema y
altura de la pirámide.
4.
Dibuja una pirámide regular y
otra irregular con todos sus
elementos básicos.
Busca más información sobre las
pirámides, saca conclusiones y
define qué es una pirámide.
3.
Dibuja una pirámide recta y otra
oblicua con todos sus elementos
básicos.
34
INVESTIGA
EL AREA LATERAL Y TOTAL DE UNA PIRÁMIDE
DIBUJO
1.
ANÁLISIS
Dibuja el desarrollo de
una pirámide
cuadrangular y colorea
de color rojo la superficie
ocupada por la base y de
color azul la superficie
ocupada por las caras
laterales.
¿Cuál será la
superficie lateral
ocupada por el
desarrollo de la
pirámide en función
de la superficie
ocupada por una de
las caras laterales.
¿Cuál será la
superficie total
ocupada por el
desarrollo de la
pirámide en función
de la superficie
ocupada por las caras
laterales y de la
base?
Comprueba si en la
pirámide se cumple la
fórmula de Euler
Nº de caras + Nº de
vértices =
Nº de aristas + 2
CONCLUSIONES
AREA LATERAL DE LA PIRÁMIDE
AREA TOTAL DE LA PIRÁMIDE
MAPA DE CONCEPTOS
CLASIFICACIÓN DE LOS POLIEDROS
35
¿RECONOCES LOS POLIEDROS?
MEJORA TUS
DESTREZAS
CUESTIONARIO
Comprueba si dominas con soltura la clasificación de los poliedros. Contesta con SI
o NO a las siguiente afirmaciones:
Los poliedros tienen todas sus caras iguales.
Las caras de los poliedros son polígonos regulares.
Los vértices de los poliedros son de la misma clase.
El menor número de caras de un poliedro es tres.
En los poliedros regulares todas sus caras son polígonos regulares iguales
y sus vértices son del mismo orden.
El número de aristas de un poliedro que concurre en un vértice es como
mínimo cinco.
En algunos primas sus caras no son iguales ni regulares, pero sus vértices
son del mismo orden.
Los deltaedros tienen todas sus caras iguales.
Algunos deltaedros tienen todas sus caras son polígonos regulares iguales
y sus vértices no son del mismo orden.
Los vértices de los prismas y pirámide son del mismo orden.
En los prismas rectos sus caras laterales son polígonos iguales y sus
bases polígonos regulares iguales.
Todas las pirámides tienen por base un polígono regular.
El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros.
En los primas oblicuos la altura tiene la misma dimensión que las aristas
laterales.
En las pirámides rectas la altura de la pirámide coincide con su apotema.
Las pirámides irregulares tienen por base un polígono regular.
En los primas regulares las bases son polígonos iguales irregulares.
El tetraedro regular es una pirámide.
El cubo no es un prisma.
El octaedro no es una bipirámide.
El cilindro, el cono y la esfera no son poliedros.
36
CONSTRUYE
LOS CUERPOS REDONDOS
MATERIAL:
Caja de cuerpos geométricos. Generador de figuras de
revolución.
DESCRIPCIÓN:
En la caja de cuerpos geométricos hay determinadas figuras
que no pertenecen al grupo de los poliedros, ya que no tienen
caras poligonales. Estas figuras pertenecen a una nueva familia
que llamamos cuerpos redondos o cuerpos de revolución. Se
llaman figuras de revolución las que se obtienen al hacer girar
una figura plana alrededor de un eje.
Coge de la caja de cuerpos geométricos aquellas figuras que
no tienen las caras poligonales y obsérvalas detenidamente.
Construir en cartón diferentes formas planas (rectángulos,
triángulos isósceles, círculos, semicírculos, otras figuras con o
sin ejes de simetrías). Para cada una de las piezas construidas
observar qué superficie resulta al colocarlas en el motor de
rotación, o también, realizando en cada figura un pequeño
agujero en la parte superior e inferior de la figura, atándolo un
hilo elástico a cada uno de los agujeros. Al tomar cada figura
por sus hilos y girarlas con gran rapidez producirá el efecto
óptico propio de las figuras de revolución.
DIBUJO DE LA EXPERIENCIA REALIZADA
37
INVESTIGA
MATERIAL:
EL CILINDRO
Caja de cuerpos geométricos.
DESCRIPCIÓN:
En la vida diaria no son familiares cuerpos como un vaso, un
rodillo o una tubería; tales cuerpos dan idea de cilindro.
Coge de la caja de cuerpos geométricos los cilindros que
haya y obsérvalos atentamente.
Hemos visto anteriormente como un rectángulo genera un
cilindro de revolución también llamado cilindro recto, por
tener su generatriz perpendicular a la base (El lado que queda
fijo es el eje de giro. El lado del rectángulo paralelo a él se
llama generatriz; no obstante al igual que en el prisma,
también existen cilindros oblicuos. Estos se obtienen al
cortar un cilindro de revolución por dos planos paralelos no
perpendiculares a sus generatrices.
El cilindro tiene una superficie curva y dos superficies
planas. La superficie curva se llama superficie lateral del
cilindro. Las superficies planas se llaman bases del cilindro. La
altura de un cilindro recto es la distancia entre sus bases. El
radio de un cilindro recto es el radio de los círculos de las
bases.
Si cortamos un cilindro por su generatriz y separamos las
bases obtenemos el desarrollo de un cilindro que consta de
dos círculos y un rectángulo.
DIBUJO
1.
Dibuja el desarrollo
de un cilindro y
colorea de color rojo
la superficie ocupada
por las dos base y de
color azul la
superficie ocupada
por el rectángulo que
da lugar a la
superficie lateral.
ANÁLISIS
¿Cuál será la superficie la superficie
ocupada por las dos bases en
función de una de ellas. Ten en
cuenta que las bases son círculos.
¿Cuál será la superficie ocupada por
el rectángulo? Observa que la
longitud del rectángulo es la de la
circunferencia y la altura del
rectángulo tiene la misma longitud
que la generatriz.
¿Cuál será la superficie total?
CONCLUSIONES
AREA LATERAL DEL CILINDRO
AREA TOTAL DEL CILINDRO
38
INVESTIGA
MATERIAL:
EL CONO
Caja de cuerpos geométricos.
DESCRIPCIÓN:
La idea de cono nos viene sugerida por cuerpos como un
embudo o un cucurucho.
Coge de la caja de cuerpos geométricos los conos que haya
y obsérvalos atentamente.
Hemos comprobado cómo un triángulo isósceles, en su
rotación alrededor de su altura, genera el cuerpo geométrico
llamado cono recto o cono de revolución. Igualmente
podemos obtenerlo haciendo girar un triángulo rectángulo
sobre uno de sus catetos. El cateto sobre el que gira es el eje
de giro y la hipotenusa del rectángulo es la generatriz.
Un cono tiene una superficie curva y una superficie plana. La
superficie curva se llama superficie lateral. La superficie
plana se llama base.
La altura del cono es la distancia del vértice al centro de la
base. Coincide con la longitud el eje.
El radio del cilindro es el radio del círculo de la base.
Si cortamos un cono por una generatriz y separamos su
base obtenemos su desarrollo, que consta de: un círculo que
es la base y de un sector circular que es la superficie lateral.
DIBUJO
1.
ANÁLISIS
Dibuja el desarrollo de
un cono y colorea de
color rojo la superficie
ocupada por la base y de
color azul la superficie
ocupada por el sector
circular que da lugar a la
superficie lateral.
¿Cuál será la superficie la superficie
ocupada por la base?
¿Cuál será la superficie ocupada por
el sector circular? Observa que la
longitud del arco del sector circular
es la misma que la de la
circunferencia de la base (Recuerda
cómo se obtenía el área del sector
circular).
¿Cuál será la superficie total?
CONCLUSIONES
AREA LATERAL DEL CONO
AREA TOTAL DEL CONO
39
INVESTIGA
MATERIAL:
LA ESFERA
Caja de cuerpos geométricos.
DESCRIPCIÓN: Cuerpos como una pelota, una canica o un globo aerostático, nos
recuerdan el cuerpo de revolución obtenido por rotación de un
círculo alrededor de su diámetro. El centro de la esfera es el
centro del círculo que la engendra. La parte externa de la esfera
se llama superficie esférica. La propiedad que define a la
esfera es la que todos sus puntos están a igual distancia de un
punto interior llamado centro, dicha distancia se llama radio.
El radio de la esfera coincide con el radio del círculo y es el
segmento que une el centro con cualquier punto de la superficie
esférica. Cualquier segmento que une dos puntos de la
superficie esférica pasando por el centro es un diámetro. Un
diámetro es igual a dos radios.
Observa detenidamente las esferas que hay en la caja de
cuerpos geométricos.
Dibuja una esfera con todos sus elementos e infórmate del
área de la esfera y escribe tus conclusiones.
DIBUJO
AREA
40
INVESTIGA
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
A)
EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
Caja de cuerpos geométricos.
Todos los cuerpos ocupan un lugar en el espacio. Un espacio
limitado que no puede ser ocupado por otro cuerpo. El volumen
no es más que el espacio ocupado por un cuerpo. Así, por
ejemplo, para poner a flote un barco hundido lo que se hace es
quitar el agua que hay en su interior llenándolo de aire.
¿Qué propiedad tienen los
cuerpos de tres dimensiones?
B)
¿Qué entiendes por volumen?
C)
¿Todas las figuras que has
construido tendrán volumen?
D)
Ordena de mayor a menor,
según su volumen, las figuras
que has construido.
E)
Si dos cuerpos tienen el mismo
volumen, ¿es necesario que
tengan la misma forma?
F)
En función del volumen que
ocupa un policubos, ¿qué
volumen ocupará cada una de
las figuras que has construido?
Infórmate qué es el volumen y escribe tus conclusiones:
41
RECORDANDO
LA CAPACIDAD
El volumen de los líquidos (leche, aceite, agua, vino, etc.) y de ciertas materias
secas granuladas (cereales, legumbres, etc.) se mide utilizando recipientes de
medidas fijas que los contengan. El volumen interior de esos recipientes se
denominada capacidad y su unidad es el litro definido como la capacidad de 1 dm3.
El litro es la unidad de capacidad pero, como ocurre con el resto de unidades,
existen múltiplos y divisores para facilitar la medida de capacidades grandes y
pequeñas.
Realiza una tabla con los múltiplos y divisores del litro.
Aquí tienes una lista de las capacidades de
diferentes recipientes de uso doméstico:
limpiacristales: 55 cl; lavavajillas: 1,5 l; lejía: 750
ml; limpiador de metales: 3 dl; tetrabrik de leche
100 cl; batido de chocolate: 250 ml
A)
Ordénalos en orden creciente de capacidad.
Distribuye el vino contenido en una cisterna de
30.000 litros utilizando los siguientes recipientes:
pipa: 440 l;
garrafa: 20 l.
42
RECORDANDO
MATERIAL:
LA MASA
Varias balanzas.
DESCRIPCIÓN:
Habrás visto en algún documental que los objetos pueden
volar dentro de una nave espacial alejada de la Tierra (como si
no pesasen). Un objeto con cierto peso en la Tierra pesará
mucho menos en la Luna. Esto indica que el peso es una
propiedad de la materia que no es fija, sino que varía
dependiendo del lugar del espacio en que se encuentre el
objeto. Si embargo, todos los objetos tienen siempre la misma
cantidad de materia independientemente del lugar en donde se
encuentren en el espacio. La masa es una propiedad
permanente. De esta forma llamaremos masa de un objeto a la
cantidad de materia que tiene.
La unidad de masa en el S.I. es el kilogramo que se define
como la masa contenida en el kilogramo patrón, que es un
cilindro de platino iridiado que se encuentra depositado en el
pabellón Breteuil, en Sevres (París).
La masa se mide con una balanza, instrumento que permite
establecer comparaciones con otras masas (que se toman como
patrón).
Pesa en una balanza distintos objetos.
OBJETOS
PESOS
Realiza una tabla con los múltiplos y divisores del kilo.
43
LAS UNIDADES DE VOLUMEN (El cm3 )
INVESTIGA
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
Centicubos.
Para medir el espacio que ocupa un cuerpo, empleamos las
unidades de volumen. Las unidades de volumen, además
permiten comparar el volumen de dos cuerpos. Universalmente
se toma como unidad de volumen un cubo de arista 1 metro.
Se llama metro cúbico. Los múltiplos y divisores del m3 se
construyen a partir de cubos cuyas aristas sean las unidades de
longitud.
Para medir el espacio que ocupa los cuerpos, empleamos
determinadas unidades de volumen. Utilizando estas unidades
podemos comparar el volumen de los cuerpos.
La unidad de volumen utilizada para medir pequeños cuerpos es el
centímetro cúbico.
Utilizando centicubos, cubos con 1 cm de arista vamos a investigar
las características de esta unidad.
EL CENTÍMETRO CÚBICO
Dibuja un centicubos. Comprueba que tiene un
centímetro de arista. ¿Qué volumen ocupa?
Nombra tres cuerpos cuyo volumen calcularías
empleando el centímetro cúbico.
Construye varios cuerpos empleando cinco
centicubos. ¿Qué volumen ocupa cada uno de ellos?
En algunas vasijas para contener líquidos, viene
indicada su capacidad en cm3. ¿Cómo puedes explicar
esto?
¿Cuántos cm3 de agua crees que hay en cada uno de
los siguientes objetos si están completamente llenos?
A)
Una cuchara.
B)
Vaso.
C)
Una botella de un litro.
D)
Un cubo de limpieza.
E)
Una gota.
44
LAS UNIDADES DE VOLUMEN (El m3 )
INVESTIGA
MATERIAL:
Barras metálicas para construir un m3. centicubos y dm3.
Policubos.
DESCRIPCIÓN:
El metro cúbico es la unidad por excelencia de volumen.
Representa el volumen encerrado en un cubo de 1 m de arista.
Utilizando las barras metálicas vamos a construir un metro
cúbico e investigaremos algunas de sus características.
EL METRO CÚBICO
Construye con las barras metálicas el metro cúbico y
utilizando los centicubos y la caja que los contiene (un
dm3) contesta a las siguientes preguntas.
A)
¿Cuántos dm3 caben en él?
B)
¿Cuántos centicubos (un centicubos es un cm3 )
caben en su caja
(1 dm3)
C)
¿Cuántos cm3 hay en un 1 m3 ?
Como habrás podido comprobar, los policubos son
mayores que los centicubos. A través de relaciones que
puedes montar con ellos, trata de contestar a las
siguientes preguntas:
A)
¿Cuántos cm3 tendrá un policubos?
B)
¿Cuántos policubos caben en un dm3 ?
C)
¿Cuántos policubos caben en un m3 ?
En ocasiones es aconsejable el uso de los múltiplos y
divisores del metro cúbico. Realiza una tabla con los
múltiplos y divisores del m3.
¿Qué unidades emplearías para medir el volumen de? :
A)
Un depósito de agua.
B)
Una caja de embalaje.
C)
Un dado.
D)
Un pantano.
45
JUEGA Y DIVIÉRTETE
JUEGO DE DOMINÓ
OBJETIVOS:
- Practicar la equivalencia entre unidades de capacidad y de
volumen.
- Mejoras destrezas.
MATERIAL:
Ficha de dominó
JUGADORES:
Juego para varios jugadores.
DESCRIPCIÓN:
Consta de 28 piezas, cada una de ellas dividida en dos
partes.
Se han elegido siete medidas de capacidad. Para cada una,
se dan ocho equivalencia expresadas en medidas de capacidad
y volumen de manera que, todas ellas, se les asigna su valor en
cm3, dm3 y m3 y, las cuatro equivalencia restantes se expresan
en distintas medidas de capacidad.
Se juega siguiendo las reglas del dominó clásico.
Copiar de la pizarra la forma en que ha sido elaborado
46
MEJORA TUS
DESTREZAS
DIFERENCIANDO VOLUMEN DE CAPACIDAD
Y REALIZANDO CAMBIOS DE UNIDADES
MATERIAL:
Tabla con la capacidad, el volumen máximo y mínimo de varios
embalses.
DESCRIPCIÓN:
Los pantanos son grandes obras de ingeniería que se construyen
generalmente con dos fines: Para obtener energía eléctrica y para regadío y
consumo. El abastecimiento de agua de los embalses proviene del agua del río
en que se construyen y su volumen dependerá de las lluvias y del consumo que
se realice.
En épocas de pocas lluvias habrás oído hablar de que tal o cual pantano
está a la mitad, un tercio, etc. de su capacidad. También habrás escuchado en
alguna ocasión que debido a las lluvias torrenciales ha sido preciso abrir las
compuertas de los embalses para evitar el desbordamiento o rotura. De hecho,
en alguna ocasión ha habido accidentes debido a fallos en el sistema de
apertura de compuertas.
A continuación tienes una tabla con la capacidad, el volumen máximo y
mínimo alcanzado por cuatro embalse españoles durante el año 1986.
Embalse
Río
Capacidad
Vol. Max.
Vol. Min.
Canelles
Noguera
Ribagorzana
567
millones m3
137 Hm3
111.000
Dm3
Mequinenza
Ebro
1534000
Dm3
1493 106
m3
892 Hm3
Almendra
Tormes
2649 Hm3
2,227 106
Dm3
1,738 Km3
Alcántara
Tajo
3,162 Km3
2,214 Km3
1599 106
m3
Sitúalos en un mapa.
Ordena, en orden decreciente, los cuatro embalses. Para ello
calcula la capacidad de cada embalse en Hm3.
Indica el orden de magnitud de volumen máximo de cada uno de
los embalses.
Escribe en notación científica, el volumen mínimo expresado en
Hm3.
Barcelona consume para la industria y para la vivienda 1037
millones de litros cada día. ¿Para cuántos días tendría la ciudad de
Barcelona con el agua almacenada en el embalse de Canelles en el
momento de mínimo volumen?
47
MEJORA TUS
DESTREZAS
ESTIMANDO EL VOLUMEN DE LOS CUERPOS
ESTIMAR
¿Cuántos vasos de refrescos hay en una botella
de un litro?
¿Cuantos litros de agua hay en un cubo de
fregona?
¿Cuántas cucharadas de agua hay en un vaso?
¿Cuántos litros de agua gasta?
A)
Al ducharte.
B)
Cada vez que va al W. C.
C)
Al lavarte las manos.
D)
Para beber.
¿Cuáles de los siguientes objetos tienen una
capacidad de 2 dl? :
Una cucharada sopera, un vaso, una botella.
¿Qué objetos tienen la misma capacidad que un
cubo de fregona?
Nombra varios objetos que tengan una capacidad
de 50 cl
¿Cuántos garbanzos caben en un vaso de los
utilizados para beber?
Dime tres objetos que puedan contener 10
pelotas de tenis.
Nombra varios objetos que un espacio de 10
metros cúbicos.
MEDIR
48
MEJORA TUS
DESTREZAS
RELACIONANDO LAS UNIDADES DE CAPACIDAD
Y VOLUMEN
TABLA DE TRANSFORMACIÓN DE UNIDADES
m3
l
cl
cm3
ml
1
1
1
1
1
0,001
10
107
103
6.109
En el caso del agua destilada, ¿qué relaciones existen entre las unidades de
capacidad, masa y volumen? Busca información y escribe tus conclusiones:
CON EL AGUA DESTILADA RELACIONAMOS: MASA, CAPACIDAD Y VOLUMEN
1.
Un depósito cuyo volumen es de 10 metros cúbicos de
agua. ¿Cuántos litros de agua contiene? Si el depósito
de vacía hasta la mitad, ¿cuánto pesará el agua que
contiene?
2.
Tenemos 10 botellas de 1 decímetro cúbico cada una. La
queremos llenar de agua. ¿Cuántos litros precisaremos?
3.
Un depósito de 50 metros cúbicos está lleno de agua
hasta la mitad. ¿Cuántas botellas de 5 litros podremos
llenar?
4.
¿Qué volumen en centímetros cúbicos tendrá un
recipiente que contiene 20 litros de agua destilada?
¿Cuál será el peso en gramos de dicho líquido?
49
INVESTIGA
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
EL VOLUMEN DEL CUBO
Centicubos.
Se pretende averiguar el volumen de cualquier cubo
utilizando los centicubos.
Construye varios cubos utilizando los centicubos y completa
la siguiente tabla:
Dimensiones del cubo
1 cm de arista
2 cm de arista
3 cm de arista
X cm de arista
Dibujo
Volumen
50
INVESTIGA
EL VOLUMEN DE UN ORTOEDRO
MATERIAL:
Centicubos.
DESCRIPCIÓN:
Construye con los centicubos varios ortoedros.
Dimensiones del
ortoedro.
1 cm x 1 cm x 2 cm
1 cm x 1 cm x 3 cm
1 cm x 2 cm x 2 cm
2 cm x 3 cm x 4 cm
A cm x B cm x C cm
Dibujo
Volumen
51
MEJORA TU COMPROBANDO QUE EL LITRO ES LA
CAPACIDADES
CAPACIDAD DE CUALQUIER RECIPIENTE CUYO
VOLUMEN SEA DE 1 DM3
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
- Envase de tetrabrik de 1 litro.
- Regla graduada en mm.
El tetrabrik es un envase para contener líquidos (leche, vino,
zumos). Estos envases presentan la particularidad de que
tienen forma de ortoedro y en el caso del tetrabrik que te
pedimos su capacidad es un litro.
Con esta experiencia vas a comprobar que el litro es la
capacidad de cualquier recipiente cuyo volumen sea un
decímetro cúbico.
Para ello mide las dimensiones del envase y calcula el
volumen dando el resultado con el número adecuado de cifras
significativas.
Realiza una tabla, con los datos obtenidos por tus
compañeros, que podrás obtener en la puesta en común, en la
que deberás recoger además el valor medio de todos los valores
que tu mismo te encargará de averiguar.
Una vez que hayas completado la tabla realiza en el papel
milimetrado una gráfica de los valores obtenidos.
TABLA
GRÁFICO
52
INVESTIGA
EL VOLUMEN DEL PRISMA
MATERIAL:
Primas
(triangulares,
cuadrangulares,
pentagonales, hexagonales, etc.)
DESCRIPCIÓN:
Construye los siguientes primas que te proponemos, busca
relaciones que te permitan obtener el volumen y rellena la
siguiente tabla:
TIPO DE PRIMA
Cuadrangular
Dimensiones:
Arista básica: 2 cm.
Arista lateral: 6 cm.
Rectangular
Dimensiones:
Base: 2 cm x 4 cm.
Arista lateral: 6 cm.
Triangular
Dimensiones:
Arista básica: 2 cm.
Arista lateral: 6 cm.
Hexagonal
Dimensiones:
Arista básica: 2 cm.
Arista lateral: 6 cm.
En general
Dimensiones:
Base: Un polígono de n lados de (arista
básica 2 cm).
Arista lateral: 6 cm.
DIBUJO
rectangulares,
VOLUMEN
53
INVESTIGA
EL VOLUMEN DE LA PIRÁMIDE
MATERIAL:
Un prisma y una pirámide rectos, con la misma base y la
misma altura.
DESCRIPCIÓN:
Construye con cartón un prima y una pirámide rectos, que
tengan por base un mismo polígono y la misma altura. Una vez
que los tengas construido no pegues la base a la pirámide ni
tampoco una de las bases del prima.
Llena de arena o de algún material similar la pirámide y la
vacías en el prisma. Observa la altura que alcanza la arena en
el prisma:
DIBUJO DE LA EXPERIENCIA REALIZADA
Con las observaciones realizadas completa la siguiente tabla:
PRISMA
PIRÁMIDE
Halla el volumen del
prisma una vez que
hayas completado los
datos A y B:
Averigua el volumen de
la pirámide una vez que
hayas completado los
datos A y B:
A)
Arista básica:
A)
Arista básica
B)
Altura del
prisma:
B)
Altura de la
pirámide:
C)
Volumen:
C)
Volumen con
relación al prisma:
CONCLUSIONES
54
INVESTIGA
MATERIAL:
EL VOLUMEN DEL CILINDRO
Un prisma hexagonal de arista básica 2 cm y arista lateral 6
cm y un cilindro de radio 2 cm y altura 6 cm.
DESCRIPCIÓN: Construye el prisma hexagonal y el cilindro. Busca relaciones entre
los elementos de ambos cuerpos y saca conclusiones.
Dibujo del prisma y del cilindro
Dibuja también las bases.
¿Se puede considerar al círculo como un polígono de infinitos lados?
¿Qué volumen tiene el prisma?
¿Se puede considerar al cilindro como un prisma de infinitas caras?
Teniendo en cuenta lo anterior, ¿cuál será el volumen del cono?
55
INVESTIGA
EL VOLUMEN DEL CONO
MATERIAL:
Un cilindro y un cono rectos, con la misma base y la misma
altura.
DESCRIPCIÓN:
Construye con cartón un cilindro y un cono rectos que tengan
la misma y la misma altura. Una vez que los hayas construido
no pegues la base al cono ni tampoco una de las bases del
cilindro.
Llena de arena o de algún material similar el cono y lo vacías
en el cilindro. Observa la altura que alcanza la arena en el
cilindro:
DIBUJO DE LA EXPERIENCIA REALIZADA
Con las observaciones realizadas completa la siguiente tabla:
CILINDRO
CONO
Halla el volumen del
cilindro una vez que
hayas completado los
datos A y B:
Averigua el volumen del
cono una vez que hayas
completado los datos A
y B:
A)
Radio:
A)
Radio:
B)
Altura del
cilindro:
B)
Altura del cono:
C)
Volumen:
C)
Volumen con
relación al
cilindro:
CONCLUSIONES
56
CONOCER
MATERIAL:
DESCRIPCIÓN:
EL VOLUMEN DE LA ESFERA
Útiles para dibujar.
Seguramente has visto en tu entorno natural objetos que
tienen forma de esferas. Algunos de estos sirven para contener
fluidos (líquidos ó gases), dibújalos señalando su utilidad.
LAS ESFERAS DE TU ENTORNO
Infórmate del volumen de la esfera y escribe tus conclusiones.
57
RESUMEN
SUPERFICIES Y VOLÚMENES
POLIEDROS
FIGURAS
AREA LATERAL
AREA TOTAL
VOLUMEN
Hexaedro o cubo
Ortoedro
Prisma
Pirámide
FIGURAS DE REVOLUCIÓN
FIGURAS
Cilindro
Cono
Esfera
AREA LATERAL
AREA TOTAL
VOLUMEN
58
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
¿NOS SIRVE LA ESCALERA?
Para pintar la fachada de mi casa poseo
una escalera de 4 m de longitud. Si es
conveniente por cuestión de seguridad
que su pie esté separado 1,20 m de la
pared, ¿qué altura alcanzará?
LA ALTURA DE LA TORRE
¿Cuál será la altura de una torre que
proyecta una sombra de 15 metros si
sabemos que junto a ella se encuentra
un niño de 1,60 metros de altura que
produce una sombra de 2 m?
UNA ESCALERA
Una escalera salva una altura de 3 m.
Determina su número de peldaño, la
longitud del pasamano y el avance
horizontal si los peldaños tienen 25 cm
de ancho y 25 cm de alto.
59
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LA CONSTRUCCIÓN DE UNA VELA
Queremos construir una vela para una
embarcación deportiva que tenga forma
de triángulo rectángulo y que sea 10
veces más larga que ancha.
¿Qué cantidad de loneta necesitará si de
ancho solo puede tener 2 metros?
CONSTRUYENDO BANDERITAS
Queremos construir 100 banderitas
iguales que tengan la forma de un
triángulo isósceles y cuyos lados midan:
40 cm los dos iguales y 20 cm el lado
desigual.
¿Qué cantidad de tela necesitaremos.
EL DECORADO
Para realizar el decorado para una obra
de teatro me han encargado cinco
triángulos desiguales, realizados en
papel brillante, de dos metros de base y
tres metros de altura. Dibuja a escala,
los posibles triángulos y averigua la
cantidad en m² que necesitaré.
60
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
TAPIZANDO LAS PAREDES
Averigua cuánto costará tapizar las
paredes de la clase con tela de 5 euros
el metro cuadrado.
¿CUÁNTA PINTURA NECESITO?
En las indicaciones de un bote de medio
kilo de pintura dice: " Con el contenido
de este bote se puede pintar entre cinco
y seis metros cuadrados de pared".
Averigua cuántos kg. de pintura
necesitaré para pintar una habitación de
4 m de larga por 3 m de ancha y 2, 5 m
de altura (cuatro paredes y el techo),
sabiendo que en un testero hay una
puerta de
2 m X 0,80 m y en el otro una ventana
de 1,5 m x 1 m
EL PLANO DE TU VIVIENDA
Realiza en papel milimetrado el plano de
tu vivienda (E: 1/100) y averigua la
superficie de cada uno de los
habitáculos, así como la superficie total.
61
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LAS RUEDAS DE LA BICICLETA
¿Qué longitud ha de tener los diámetros
de las ruedas de una bicicleta para que
al recorrer 6 m de cuatro vuelta la rueda
delantera y tres y media la rueda
trasera?
EL CIRCUITO DE CAVALERI
El circuito que hemos preparado en
Cavaleri para las pruebas de ciclismo
tiene un diámetro de 100 metros.
¿Cuántos kilómetros recorrerán los
ciclistas si tienen que realizar 20
vueltas?
SUJETAR UN POSTE
¿A qué altura debemos colocar dos
amarres, de 50 metros cada uno, para
sujetar un poste vertical de forma que
estén separados en su base 60 metros?
62
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
UN MURO EN RUINAS
Queremos colocar dos soportes de
madera para sujetar por ambos lados
un muro en ruinas de 4 m de altura de
forma que el punto de sujeción al muro
de ambos soportes forme un ángulo de
90º. Si tenemos un soporte de 6 m de
longitud, ¿Cuánto debe medir el otro?
UNA MESA CIRCULAR
Un carpintero quiere construir una
mesa circular para que se sienten 15
personas a su alrededor. Si cada
persona ocupa 0,75 metros. ¿Cuál debe
ser el radio de la mesa?
ENLOSAR UNA HABITACIÓN
¿Cuántas losetas como mínimo de 25
cm de lado necesitamos para enlosar
una habitación de 5 m de largo por 4
metros de ancha?
63
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
DÓNDE COLOCAMOS LOS FOCOS
Queremos colocar tres focos en un
escenario que formen entre sí un
triángulo rectángulo. Si uno lo colocamos
a 7 m de otro y éste a su vez a 15 m del
tercero. ¿A qué distancia quedará el
primero que hemos colocado del
segundo?
CONSTRUYENDO CUBOS
Averigua qué cantidad de papel
necesitaremos para construir 10 cubos
de 10 cm de arista.
LA CÚPULA DE UN PABELLÓN
Nos han encargado una pirámide
hexagonal de latón de 2 m de arista
básica y 5 m de altura para adornar la
cúpula de un pabellón. ¿Cuántos metros
cuadrados necesitaré del material que
hemos de emplear?
64
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
EN UNA SALA DE EXPOSICIONES
Se quiere construir un prisma triangular
regular, de cartón piedra, de 2 m de
arista básica y 4 m de altura, para
decorar unas de las paredes interiores
de una sala de exposiciones. Si el m² de
cartón piedra vale 24 euros y quiero
ganarme 96 euros ¿Cuánto costará la
pirámide?
BALONES DE CUERO
En una industria diariamente se fabrican
1000 balones de cuero. Si el radio de
cada balón es de 12, 5 cm, ¿cuántos m²
de cuero se gastan diariamente?
UNA COFRADÍA DE NAZARENOS
Una cofradía de nazarenos quiere
comprar 1500 capiruchos de nazarenos
de 25 cm de diámetro y 1, 20 m de
altura. Si el m² de cartón vale 0,5 euros
y la mano de obra por cada capirote 2
euros. ¿Cuánto tendrá que pagar?
65
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LOS TABURETES
Hemos comprado 500 cilindros de
madera, de 40 cm de radio y 50 cm de
altura, para confeccionar taburetes. Sí
el m² de madera de pino vale 160 euros
¿A cuánto debemos vender cada
taburete si queremos ganar 3 euros por
cada uno y sabiendo que con cada
cilindro de madera solo obtenemos 2
taburetes?
TUBOS METÁLICOS
¿Cuántos m² de plancha serán
necesarios para construir 200 m de tubo
de 40 cm de diámetro?
EL PRECIO DE UN M² DE HOJALATA
Un bote cilíndrico de hojalata de 7 cm
de diámetro y 12 cm de altura pesa
vacío con sus tapas 120 gramos.
¿Cuánto pesará un metro cuadrado de
hojalata?
66
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LA PROFUNDIDAD DE UN POZO
Un pozo tiene forma de prisma
hexagonal y mide 2,3 m la arista básica
y 3, 6 m desde la mitad de un lado a la
parte media del opuesto. Si queremos
que contenga 128 m3 de agua, ¿qué
profundidad debemos darle?
EL PESO DE LA CAJITA
Tenemos una cajita de metal de forma
paralepípeda, de 25 mm de larga, 16
mm de ancha y 10 mm de alta. Si la
llenamos hasta su 3/4 partes de
mercurio. ¿Cuánto pesara todo, si la
cajita vacía pesa 70 g y un centímetro
cúbico de mercurio pesa 13,59 g?
CUBOS ALINEADOS
Se hace una alineación de 7 cubos de
25 cm de arista, de tal forma que estén
en línea recta y las caras de dos
consecutivos en contacto. Calcula el
área de todas las caras que pueden
verse si se mira de frente.
67
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
UN DEPÓSITO
Calcula en litros la capacidad de un
depósito cilíndrico de 60 cm de
diámetro y 1, 25 m de altura.
¿EL Nº DE LADRILLOS?
Las dimensiones de un ladrillo son 25,
12 y 8 cm. ¿Cuántos ladrillos se
necesitarán para construir un muro de
12 m de largo por 8 m de alto y 60 cm
de espesor, teniendo en cuenta que el
mortero empleado ocupa 1/16 del
volumen total?
LA ALTURA DE UN CONO
Halla la altura que debe tener un cono
de 8 cm de radio y 4 litros de
capacidad.
68
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
UN CURURUCHO PARA HELADOS
Calcula que espacio quedará vacío en
un cucurucho de helados que tiene 5
cm de radio y 15 cm de altura, si 1/3
de su capacidad estará ocupado por el
helado.
UN GLOBO AEROSTÁTICO
¿Qué volumen de aire se necesitará
para llenar completamente un globo
aerostático que tiene 12,5 m de
diámetro?
UN FAROLILLO
Se quiere construir un farolillo de
cartulina en forma de icosaedro, cuyas
caras sean en igual número de colores
verde, rojo, azul y amarilla. Si la arista
de dicho cuerpo mide 35 mm averigua
cuántos cm² de cartulina verde se
necesita.
69
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
¿CUÁNTOS CUBITOS CABE EN EL
CAJÓN?
¿Cuántos cubitos de 0,5 cm de aristas cabe en
un cajón de 30 cm de largo, 20 cm de ancho y
10 cm de alto?
UN OCTAEDRO DE MADERA
La caras de un octaedro de madera se quieren
pintar alternativamente de blanco y verde. Si
el octaedro tiene 15 cm de arista, ¿qué
superficie estará pintada de blanco?
LA APISONADORA
¿Cuántas vueltas como mínimo habrá dado el
rodillo de una apisonadora de 1,8 m de
diámetro y 2,5 m de largo en apisonar los 2
Km de un camino de 5 m de ancho?
70
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LOS GORROS PARA LA FIESTA
En la fiesta de séptimo se han hecho
125 gorros de forma cónica en papel
plateado. ¿Cuánto papel se habrá
empleado si las dimensiones de gorro
son 20 cm de diámetro y 30 cm de
altura?
VACIANDO UN DEPÓSITO
Si tuviéramos que vaciar un depósito de
100 agua con una vasija cilíndrica de 5
cm de radio y 10 cm de altura, ¿cuántas
vasijas necesitaríamos?
LAS DIMENSIONES DE UN
DEPÓSITO
¿Qué dimensiones ha de tener el
depósito de agua de un bloque de pisos,
si solo puede tener 3 metros de altura y
diariamente sus moradores consumen
15000 litros de agua y debe quedar
2000 litros de reserva?
71
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LAS DIMENSIONES DEL RODILLO
Para imprimir una hoja de periódico de
23 cm x 32 cm se utiliza exclusivamente
una única revolución del rodillo. ¿Cuál es
el ancho y el diámetro del rodillo?
FABRICANDO PANTALLAS
¿Qué cantidad de papel tripa se necesita
para fabricar 500 pantallas cilíndricas de
25 cm de diámetro y 40 cm de altura si
se considera que en corte hay un 5% de
desperdicio?
EL REMATE DEL MOLINO
El remate de un molino es un cono de 3
m de diámetro y 2 m de altura. Se
recubre este remate con láminas de
cobre a razón de 90 euros el metro
cuadrado. ¿Cuál es el coste del
recubierto?
72
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LA CAPACIDAD DE UN TERMO
Determina la capacidad máxima de un
termo que consta de un cilindro
envolvente de 15 cm de diámetro y 25
cm de altura y la distancia entre la
pared cilíndrica interior y la envolvente
está a una distancia de 0,75 cm.
UN CONTENEDOR DE ARENA
Un contenedor de arena tiene la forma
de un prisma hexagonal regular de 2 m
de altura rematado en su base por una
pirámide hexagonal cuya arista básica
es de 3 m y la arista lateral es de 4 m.
Averigua los m3 de arena que cabe en
él.
UNA RÉPLICA DE KÉOPS
Determina el volumen de una réplica de
la pirámide de Kéops, cuya base es un
cuadrado de 230 m de lado y cuyas
caras laterales son triángulos
equiláteros.
73
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
EMBALDOSANDO UN ESTANQUE
¿Cuántas baldosas de 15 cm de lado
como mínimo necesitamos para
embaldosar un estanque de forma
cilíndrica de 9 m de diámetro y 1, 5 m
de profundidad?
EL ALMACÉN DE JUAN
Juan tiene un almacén de 5 m de largo,
3 m de ancho y 2,5 m de alto. Calcula el
número de cajas de 50 cm de largo, 25
cm de ancho y 15 cm de alto que puede
meter en el almacén.
LA PISCINA
Para llenar una piscina que mide 10 m
de largo, 6 m de ancho y 3 m de
profundidad se abre un caño que arroja
100 litros por minuto. Calcula el tiempo
que tardará en llenarse la piscina.
74
BUSCA ESTRATEGIAS
Lee, comprende, busca estrategias, formula
una hipótesis, resuelve las operaciones,
comprueba la solución obtenida, saca
conclusiones y debate con tus compañeros.
LOS CONTENEDORES DE GAS
Calcula el volumen de gas contenido en
tres depósitos esféricos de 20 m, 25 m
y 30 m de diámetro.
LA SEMIESFERA HUECA
Determina el volumen de una
semiesfera hueca si el diámetro exterior
es de 25 cm y el del interior de 10 cm.
LA ESFERA DEL CUBO
Determina el volumen de una esfera
inscrita en un cubo de 20 cm de arista.
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ANOTACIONES
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